Chương 6: Lý thuyết trường
Giảng viên: PGS. TS. Nguyễn Duy Tân
email: tan.nguyenduy@hust.edu.vn
Viện Toán ƯDTH, HUST
Học kỳ 2, năm học 2020-2021
Lý thuyết trường 1 / 42
6.1. Trường vô hướng 6.1.1. Trường vô hướng
6.1.1. Trường vô hướng
Một trường vô hướng (trong R3) là một ánh xạ u:V→R, gán mỗi
điểm M(x,y,z)với một số u(x,y,z), ở đây V⊂R3.
Khi u=u(x,y), ta gọi trường vô hướng là trường phẳng, hoặc
trường dừng.
Với c∈Rcho trước, tập các điểm M(x,y,z)mà u(M) = Cđược gọi
là mặt đẳng mức (đẳng trị).
Lý thuyết trường 3 / 42
6.1. Trường vô hướng 6.1.2. Đạo hàm theo hướng
6.1.2. Đạo hàm theo hướng
Định nghĩa
Cho hàm u(x,y,z)và vectơ đơn vị ~
e= (a,b,c). Xét M(x0,y0,z0). Nếu
tồn tại giới hạn
lim
t→0
u(x0+ta,y0+tb,z0+tc)−u(x0,y0,z0)
t
thì giới hạn này gọi là đạo hàm của hàm utại điểm Mtheo hướng ~
e, và
ký hiệu là ∂u
∂~
e(M).
Lý thuyết trường 4 / 42
6.1. Trường vô hướng 6.1.2. Đạo hàm theo hướng
Nếu ~
e=~
i= (1,0,0), thì ∂u
∂~
e=∂u
∂x.
Nếu ~
e=~
j= (0,1,0), thì ∂u
∂~
e=∂u
∂y.
Nếu ~
e=~
k= (0,0,1), thì ∂u
∂~
e=∂u
∂z.
Gọi α= (~
e,Ox),β= (~
e,Oy),γ= (~
e,Oz). Khi đó
~
e= (cos α, cos β, cos γ).
Cho ~
vlà một vectơ khác 0. Đạo hàm của utại Mtheo hướng ~
v, ký
hiệu ∂u
∂~
v(M), được định nghĩa là đạo hàm của utại Mtheo hướng
~
e=~
v
||v||.
Đạo hàm theo hướng ∂u
∂~
v(M)thể hiện tốc độ biến thiên của hàm u
theo hướng ~
v.
Lý thuyết trường 5 / 42
