Bài giảng Ma trận – định thức – hệ phương trình tuyến tính

Chia sẻ: Nguyễn Xuân Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:78

Thêm vào BST

Báo xấu

1.693
lượt xem 402
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ma trận chéo : A được gọi là ma trận chéo nếu mọi phần tử không thuộc đường chéo chính đều bằng 0. A là ma trận tam giác dưới nếu mọi phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 0. A là một ma trận tam giác nếu nó là ma trận trên hoặc dưới

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Ma trận – định thức – hệ phương trình tuyến tính

MUC LUC . . 1 Ma trˆn - Dinh th´.c a . -. u 3 1.1 Ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. . . . . . . . . . . . 3 -. ˜ ` ´ 1.1.1 Dinh nghı a va ca c kha i niˆm . . . . ´ e . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Ca c phe p toa n trˆn ma trˆn . . . . ´ ´ ´ e a . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Ma trˆn d o i x´ a ¯ˆ u ´ .ng va ma trˆn phan ` a ’ x´.ng. u . . . . . . . 8 . . 1.1.4 Da th´.c ma trˆn. . . . . . . . . . . - u a . . . . . . . . . . . . 9 - inh th´ 1.2 D. u .c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ´ e . ´ 1.2.1 Phe p thˆ - Nghich thˆ . . . . . . . . ´ e . . . . . . . . . . . 10 -. 1.2.2 Dinh th´ u .c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . ’ 1.3 Ma trˆn kha nghich. . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . 20 . ˙ ’ 1.4 Hang cua ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . a. . . . . . . . . . . . 28 2 Hˆ phu.o.ng trı e . ´ `nh tuyˆ n tı e ´nh 31 2.1 Hˆ phu e .o.ng trı tuyˆ n tı tˆ’ng qua t. . . . . . . . . . . . . `nh ´ e ´nh o ´ 31 . -. ˜ 2.1.1 Dinh nghı a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2 Giai hˆ phu.o.ng trı tuyˆ n tı ’ e. `nh ´ e ´nh. . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Hˆ phu.o.ng trı tuyˆ n tı thuˆn nhˆ t. . . . . . . . . . . . . e . `nh ´ e ´nh ` a ´ a 40 -. ˜ ` ´nh chˆ t. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Dinh nghı a va tı ´ a 40 2.2.2 Hˆ nghiˆm co. ban cua hˆ phu.o.ng trı tuyˆ n tı thuˆn e . e . ’ ’ e . `nh ´ e ´nh ` a ´ nhˆ t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 41 2.2.3 Cˆ u tru c nghiˆm cua hˆ phu.o.ng trı tuyˆ n tı tˆ’ng ´ a ´ e. ’ e . `nh ´ e ´nh o qua t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 42 3 Khˆng gian vector o 47 ´ e ` 3.1 Kha i niˆm vˆ khˆng gian vector . . . . . . . . . . . e o . . . . . . . 47 -. ˜ 3.1.1 Dinh nghı a khˆng gian vector . . . . . . . o . . . . . . . 47 3.1.2 V`i v´ du. . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ı . . . . . . . . 48 o o ´nh chˆ t d .n gian cua khˆng gian . ´ 3.1.3 Mˆt sˆ tı ´ a ¯o ’ ’ o vector. . . . 49 3.2 Khˆng gian vector con. . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 50 3.3 Su . phu thuˆc tuyˆn t´ v` d oc lˆp tuyˆn t´ o ´ e ınh a ¯ˆ a ´ e ınh. . . . . . . . 51 . . . . . 1
MUC LUC . . 2 3.3.1 Tˆ’ ho.p tuyˆ n tı va biˆ u thi tuyˆ n tı o . e ´nh ` e’ ´ . ´ e ´nh. . . . . . . . 51 3.3.2 -ˆ a . . ´ Doc lˆp tuyˆn t´ v` phu thuˆc tuyˆn t´ e ınh a . o. ´ e ınh. . . . . . . 52 3.3.3 a ınh a ` e ´ e . . o . ´ V`i t´ chˆ t vˆ hˆ phu thuˆc tuyˆn t´ v` hˆ d oc lˆp e ınh a e ¯ˆ a . . . e´n t´ tuyˆ ınh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4 . ˙ ’ Hang cua mˆt hˆ vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e . . 55 . ¯ˆ a . . ´ e ınh o ¯a´ 3.4.1 Hˆ con d oc lˆp tuyˆn t´ tˆi d . i. . . . . . . . . . . . . e 55 . ˙ ’ 3.4.2 Hang cua mˆt hˆ vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . o e . . 56 3.4.3 C´c hˆ vector trong Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e . 56 . so. - Sˆ chiˆu - Toa d o cua khˆng gian vector. . . . . . . . Co ˙ ’ o ` ´ e 3.5 . ¯ˆ ˙ . ’ o 57 3.5.1 Co ˙ ˙ . so. cua khˆng gian vector. . . . . . . . . . . . . . . ’ ’ o 57 . ˙ ’ 3.5.2 Hˆ sinh cua mˆt khˆng gian vector. . . . . . . . . . . . e o. o 58 3.5.3 Sˆ chiˆu. Khˆng gian h˜.u han v` vˆ han chiˆu. . . . . o ` ´ e o u . a o . ` e 59 . ¯ˆ ˙ . ’ 3.5.4 Toa d o cua mˆt vector trong khˆng gian n chiˆu. . . . o. o ` e 60 4 Dang to`n phu.o.ng . a 66 ´ . ´ 4.1 Anh xa song tuyˆn t´ . ´ e ınh, dang song tuyˆn t´ e ınh. . . . . . . . . 66 -. 4.1.1 Dinh ngh˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa. . . . . . . . 66 a ˙ . ’ 4.1.2 Ma trˆn cua dang song tuyˆn t´ . ´ e ınh. . . . . . . . . . . . 67 4.2 Dang to`n phu.o.ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . 68 -. 4.2.1 Dinh ngh˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa. . . . . . . . 68 4.2.2 Du.a dang to`n phu.o.ng vˆ dang ch´ tˇ c. - . a ` . e ınh a ´ . . . . . . . 69 4.2.3 Dang chuˆ˙n tˇ c cua dang to`n phu.o.ng. . . a’ a ˙ ´ ’ . a . . . . . . . 76 4.2.4 Dang to`n phu.o.ng x´c d .nh am, x´c d .nh . a a ¯i ˆ a ¯i du.o.ng, luˆt a . qu´n t´ a ınh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
Chu.o.ng 1 Ma trˆn - Dinh th´.c a . -. u 1.1 Ma trˆn a . 1.1.1 -. ˜ ` ´ Dinh nghı a va ca c kha i niˆm ´ e . Cho K la mˆt tru.o.ng. ` o. ` Dinh nghı a 1.1. Cho m, n la hai sˆ nguyˆn du.o.ng. Ta goi mˆt ma trˆn A -. ˜ ` o´ e . o . a . ´p m × n la mˆt bang gˆm m.n phˆn tu ij cˆ a ` o ’ `o `a ’ . a ∈ K (i = 1, m; j = 1, n) d .o.c ¯u . . ´ ´ s˘ p xˆ p thanh m dong va n cˆt nhu a e ` ` ` o . sau: .   a11 a12 . . . a1n a a22 . . . a2n  A =  21 · · ·  ··· ··· ··· am1 am2 . . . amn Kı hiˆu: A = (aij )m×n . ´ e . Ca c phˆn tu. o. dong th´. i va cˆt th´. j d .o.c goi la phˆn tu. aij . Ca c phˆn ´ `a ’ ’ ` u ` o . u ¯u . . ` ` a ’ ´ ` a ’ . a , a , . . . , a d .o.c goi la ca c phˆn tu. thuˆc dong th´. i. Ca c phˆn tu. tu i1 i2 ` a ’ ` a ’ in ¯u . . ` ´ o ` . u ´ .o.c goi la ca c phˆn tu. thuˆc cˆt th´. j. a1j , a2j , . . . , amj d . . ` ´ ¯u ` a ’ o o u . . Vı du: ´ .   −1 3 6 0 ` a a . ´  6 −2 1 8 la ma trˆn cˆ p 3 × 4 (3 hang, 4 cˆt) ` o . 2 2 5 1 Ca c kha i niˆm kha c: ´ ´ e . ´ 1. Ma trˆn khˆng. Mˆt ma trˆn cˆ p m × n d .o.c goi la ma trˆn khˆng nˆ u a . o o . . ´ a a ¯u . . ` a . o ´ e ` . d` u b˘ ng 0. a ’ e ` moi phˆn tu ¯ˆ a . 2. Ma trˆn vuˆng. Mˆt ma trˆn A = (aij )m×n d .o.c goi la ma trˆn vuˆng a . o o. a . ¯u . . ` a . o ´ e ´ ¯o . ` a . o ´ nˆ u m = n. Lu c d´ ta goi A la ma trˆn vuˆng cˆ p n, kı hiˆu A = (aij )n . a ´ e . 3
4 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u 3. Cho ma trˆn vuˆng a . o   a11 a12 ... a1n a a22 ... a2n  A = (aij )n =  21 · · ·  ··· ··· · · · an1 an2 ... ann Ca c phˆn tu. a11 , a22, . . . , ann goi la ca c phˆn tu. thuˆc d .o.ng che o chı ´ ` a ’ . ` ´ ` a ’ o ¯u ` . ´ ´nh. ` a ’ . a ,a Ca c phˆn tu 1n 2n−1 , . . . , an1 goi la ca c phˆn tu a ´ a ’ ` ` . n˘ m trˆn d .o.ng che o . ` ´ e ¯u ` ´ phu. . 4. Ma trˆn d o.n vi. Cho ma trˆn vuˆng A = (aij )n . A d .o.c goi la ma trˆn a ¯ . . a. o ¯u . . ` a . d .n vi nˆ u moi phˆn tu. n˘ m trˆn d .o.ng che o chı d` u b˘ ng 1 con ca c phˆn ¯o . e ´ ` ’ a a ` e ¯u ` ´ e ` ´nh ¯ˆ a ` ´ ` a . ’ . kha c d` u b˘ ng 0. Lu c d´ A d .o.c kı hiˆu la I : ma trˆn d .n vi cˆ p n. tu ´ ¯ˆ a e ` ´ ¯o ¯u . ´ e ` n a ¯o . a ´ . . Vı du. ´ .   1 0 0 1 0 I2 = I 3 = 0 1 0  0 1 0 0 1 5. Ma trˆn che o. Cho A = (aij )n . A d .o.c goi la ma trˆn che o nˆ u moi a . ´ ¯u . . ` a . ´ ´ e . `a ’ phˆn tu o . khˆng thuˆc d .o.ng che o chı o ¯u ` ´ ´nh d` u b˘ ¯ˆ a e ` ng 0. . Vı du. ´ .   1 0 0 A = 0 −2 0 la ma trˆn che o. ` a. ´ 0 0 5 6. Ma trˆn tam gia c. Cho A = (aij )n . A la ma trˆn tam gia c trˆn nˆ u a . ´ ` a. ´ e e ´ ` ’ ` moi phˆn tu a a . n˘ m du.o.i d .o.ng che o chı d` u b˘ ng 0. A la ma trˆn tam gia c ´ ¯u ` ´ ´nh ¯ˆ a e ` ` a ´ . . .o.i nˆ u moi phˆn tu. n˘ m trˆn d .o.ng che o chı d` u b˘ ng 0. A la mˆt ma du ´ e ´ ` a ’ a ` e ¯u ` ´ e ` ´nh ¯ˆ a ` o . . ´ e ´u no la ma trˆn tam gia c trˆn ho˘c du ´ trˆn tam gia c nˆ ´ ` a a ´ e a .o.i. . . .   a11 a12 . . . a1n−1 a1n  0 a22 . . . a2n−1 a2n    A = · · · · · · · · ·  ··· · · ·  la ma trˆn tam gia c trˆn.  ` a . ´ e  0 0 . . . an−1n−1 an−1n  0 0 ... 0 ann   a11 0 ... 0 0  a21 a22 . . . 0 0    B =  ···  ··· ··· ··· · · ·  la ma trˆn tam gia c du.o.i.  ` a. ´ ´ an−11 an−11 . . . an−1n−1 0  an1 an2 . . . an−1n ann ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
1.1. Ma trˆn a . 5 7. Ma trˆn A = (aij )1×n = [a11 , a12 , . . . , a1n] d .o.c goi la ma trˆn dong. a . ¯u . . ` a ` .   a11 a  Ma trˆn B = (bij )m×1 =  21  d .o.c goi la ma trˆn cˆt. a .  · · ·  ¯u . . ` a o . . am1 a . a . a a . ´ 8. Ma trˆn bˆc thang. Ma trˆn cˆ p m × n co aij = 0 ; ∀i, j , i > j goi la ´ . ` ma trˆn bˆc thang. a a . . Vı du: ´ .   3 4 5 6 7 8 0 0 7 6 9 4  A= 0 0 0 0 1 2 la ma trˆn bˆc thang.  ` a a . . 0 0 0 0 0 0 9. Hai ma trˆn A = (aij )m×n va B = (bij )m×n d .o.c goi la b˘ ng nhau nˆ u a . ` ¯u . . ` a ` ´ e aij = bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. 1.1.2 Ca c phe p toa n trˆn ma trˆn ´ ´ ´ e a . a. Cˆng ma trˆn. o . a . -. ˜ a ` . ´ Dinh nghı a 1.2. Cho hai ma trˆn cung cˆ p A = (aij )m×n va B = (bij )m×n . a ` Tˆ’ng cua hai ma trˆn A, B la mˆt ma trˆn C = (cij )m×n v´.i cij = aij + o ’ a . ` o . a. o bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. Kı hiˆu: A + B = C. ´ e . Vı du. ´ .       1 2 2 6 3 −8 1+6 2+3 2 + (−8) 4 −2 5 + 2 −2 1  = 4 + 2 −2 + (−2) 5 + 1  7 −3 4 0 0 5 7 + 0 −3 + 0 4+5   7 5 −6 = 6 0 6  7 −3 9 Tı ´ ` ´ a ` . ´ ´nh chˆ t 1.1. Cho A, B, C, 0 la ca c ma trˆn cung cˆ p, khi d´ ta co : a a ¯o ´ (i) (A + B) + C = A + (B + C) (tı kˆ t ho.p) ´ ´nh e . (ii) A + B = B + A(tı giao hoa n) ´nh ´ (iii) A + 0 = 0 + A = A ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
6 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u (iv) A + (−A) = (−A) + A = 0 b. Nhˆn mˆt phˆn tu. cua tru.o.ng K v´.i ma trˆn. a o. `a ’ ’ ` o a . Dinh nghı a 1.3. Cho A = (aij )m×n , k ∈ K. Phe p nhˆn mˆt phˆn tu. cua -. ˜ ´ a o . `a ’ ’ .o.ng K v´.i ma trˆn A cho ta mˆt ma trˆn B = (b ) tru ` o a o a .i b = k.a , ∀i = . . . ij m×n v´ ij o ij 1, m, ∀j = 1, n. Kı hiˆu: kA. ´ e .   ka11 . . . ka1n kA = B = (bij )m×n =  . . . . . . . . .  kam1 . . . kamn -˘ . e . ˜ e ´ Dat biˆt, khi k = −1 ∈ K, thay cho (−1)A, ta se viˆ t −A va goi no la ma ` . ´ ` ´ a ¯ˆ ’ . vˆy: (−a ) trˆn d o i cu a A. Nhu a . . ij m×n = −(aij )m×n ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. Vı du. ´ .     1 2 2 2 4 4 2. 4 −2 5 =  8 −4 10 7 −3 4 14 −6 8 ´ ` ´ a ` . ´ ´nh chˆ t 1.2. Cho A, B la ca c ma trˆn cung cˆ p, α, β ∈ K. Khi d´ ta co : Tı a a ¯o ´ (i) α(A + B) = αA + αB (ii) (α + β)A = αA + βA (iii) α(βA) = (αβ)A = β(αA) (iv) 1.A = A c. Phe p nhˆn hai ma trˆn. ´ a a. -. ˜ ` a a . ´ Dinh nghı a 1.4. Cho A = (aij )m×n la ma trˆn cˆ p m × n trˆn K va B = e ` .i B, kı hiˆu AB, . ´ a a e . ` ´ch ’ (bjk )n×p la ma trˆn cˆ p n × p trˆn K. Ta goi la tı cu a A v´ ` o ´ e . a a´ e ` ´ ` ’ a . cua no d .o.c xa c mˆt ma trˆn C = (cik )m×p cˆ p m × p trˆn K ma ca c phˆn tu ’ ´ ¯u . ´ o . . d ¯inh nhu . sau: n cik = aij bjk ; ∀i = 1, m, ∀k = 1, p. j=1 Minh hoa: . Vı du. Cho ca c ma trˆn: ´ . ´ a .   1 3 1 2 −1 2 −1 A= , B = 2 1  , C = 3 1 2 1 0 3 −1 ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
1.1. Ma trˆn a . 7 Khi d´ : ¯o   1 3 1 2 −1  AB = 2 1  3 1 2 3 −1 1.1 + 2.2 + (−1).3 1.3 + 2.1 + (−1).(−1) 2 6 = = 3.1 + 1.2 + 2.3 3.3 + 1.1 + 2.(−1) 11 8     1 3 10 5 5 1 2 −1 BA = 2 1  =5 5 0  3 1 2 3 −1 0 0 −5 AC va CB khˆng xa c d .nh. ` o ´ ¯i Nhˆn xe t: a ´ . 1 Diˆu kiˆn de’ phe p nhˆn hai ma trˆn thu.c hiˆn d .o.c la sˆ cˆt cua ma - ` e e ¯ˆ ´ . a a. . e ¯u . ` o o ’ . ´ . . ` a ´ o ` ’ trˆn 1 b˘ ng sˆ dong cua ma trˆn 2. a a . 2 AB = BA. Phe p nhˆn hai ma trˆn khˆng co tı giao hoa n. ´ a a . o ´ ´nh ´ Ta kı hiˆu Mm,n(K) la tˆp tˆ t ca nh˜.ng ma trˆn cˆ p m × n trˆn tru.o.ng K, ´ e . . ´ ` a a ’ u a a . ´ e ` .ng ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn tru.o.ng K. . ´ ` a a ’ Mn (K) la tˆp tˆ t ca nh˜ u a . o ´ a e ` ´nh chˆ t 1.3. V´.i phe p nhˆn hai ma trˆn ta co ca c tı chˆ t sau: Tı ´ a o ´ a a . ´ ´ ´nh a ´ (i) (AB)C = A(BC); A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K), C ∈ Mp,q (K). (ii) A(B + C) = AB + AC; A ∈ Mm,n (K), B, C ∈ Mn,p(K). (A + B)C = AC + BC; A, B ∈ Mm,n(K), C ∈ Mn,p(K). (iii) α(AB) = (αA)B = A(αB); A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K), α ∈ K. (iv) AIn = A = Im A; A ∈ Mm,n (K), Im , In la ca c ma trˆn d o.n vi cˆ p lˆn ` ´ a ¯ . . a ` ´ a lu.o.t la m, n. . ` ’ d. Chuyˆ n vi ma trˆn. e . a . -. ˜ e’ . ’ Dinh nghı a 1.5. Cho A = (aij )m×n . Chuyˆ n vi cua ma trˆn A la ma trˆn B a ` a . ´ a´ ` ´ ` a ’ . d .o.c xa c d nh nhu. sau: co cˆ p n × m va ca c phˆn tu ¯u . ´ ¯i . bij = aji , i = 1, m, j = 1, n. ´ e . a . e’ . ’ a ` ´ o ´ . ´ e’ Ta kı hiˆu ma trˆn chuyˆ n vi cua ma trˆn A la At . No i mˆt ca ch kha c chuyˆ n vi cua ma trˆn A la ma trˆn B d .o.c suy ra b˘ ng ca ch d o’i dong thanh cˆt va . ’ a . ` a . ¯u . ` a ´ ¯ˆ ` ` o ` . cˆt thanh dong. o . ` ` ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
8 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u     1 2 1 1 −1 0 2 −1 3 0 Vı du. ´ . A= 2 3 −5 0 At =    0 −5 3 1 0 3 4 3×4 2 0 4 4×3 ´nh chˆ t 1.4. Phe p chuyˆ n vi ma trˆn co nh˜.ng tı chˆ t sau: Tı ´ a ´ ’ e . a ´ u . ´nh a´ 1. (A ± B)t = At ± B t , A, B ∈ Mm,n(K). 2. (αA)t = αAt , A ∈ Mm,n (K), α ∈ K. 3. (AB)t = B t At , A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K). 4. (In )t = In , In la ma trˆn d o.n vi cˆ p n. ` a ¯ . . a´ 5. A la ma trˆn che o thı At = A. ` a . ´ ` 1.1.3 Ma trˆn d o i x´.ng va ma trˆn phan x´.ng. . ´ a ¯ˆ u ` a . ’ u -. ˜ ` a . o ´ Dinh nghı a 1.6. Cho A la ma trˆn vuˆng cˆ p n . a +) A goi la ma trˆn d o i x´.ng nˆ u At = A. . ` ´ a ¯ˆ u . ´ e +) A goi la ma trˆn pha n x´.ng nˆ u At = −A. . ` a . ’ u ´ e Vı du. ´ .     1 −2 1 1 −2 1 Cho A = −2 3 1 . Ta co At = −2 3 1  = A. Vˆy A la ma ´ a . ` 0 1 −1 0 1 −1 ´ trˆn d o i x´ a ¯ˆ u .ng. .     0 −2 1 0 2 −1 Cho B =  2 0 3. Ta co B t = −2 0 −3 = −B. Vˆy B la ma ´ a . ` −1 −3 0 1 3 0 ’ u trˆn phan x´ a .ng. . Nhˆn xe t. Nˆ u A la mˆt ma trˆn phan x´.ng thı ca c phˆn tu. trˆn d .o.ng a. ´ e´ ` o. a. ’ u ` ´ ` a ’ e ¯u ` che o chı ´ ’ ´ a ` ´nh cua no b˘ ng 0. ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
1.1. Ma trˆn a . 9 1.1.4 Da th´.c ma trˆn. - u a . -. ˜ Dinh nghı a 1.7. Cho A la mˆt ma trˆn vuˆng trˆn K va p(x) = a0 + a1 x + ` o . a. o e ` · · · + an xn ∈ K[x] la mˆt d th´.c cua biˆ n x v´.i hˆ sˆ trˆn K. Khi d´ ma ` o ¯a u ’ . ´ e . ´ o e o e ¯o trˆn a. a 0 I + a 1 A + · · · + a n An , trong d´ , I la ma trˆn d .n vi cung cˆ p v´.i A, d .o.c goi la gia tri cua d th´.c ¯o ` a ¯o . ` . ´ a o ¯u . . ` ´ . ’ ¯a u ´ e ´ ˜ ¯u.o.c goi la d th´.c ma trˆn. p(x) tai x = A, kı hiˆu p(A). No cu ng d . . ` ¯a u a . . ’ ¯a u A goi la mˆt nghiˆm ma trˆn cua d th´ .c p(x) nˆ u d th´.c ma trˆn ´ . ` o . e . a . e ¯a u a . a o ` ´ o p(A) = 0 (ma trˆn khˆng cung cˆ p v´ a .i A). . Bai tˆp. ` a . 1.1.1 Cho ca c ma trˆn: ´ a .         1 2 1 3 2 5 1 4 A = −1 0 ; B =  2 1  ; C = 0 3 ; D = 2 5 . 2 1 −3 −2 4 2 3 6 ´nh: a) 5A − 3B + 2C + 4D; b) A + 2B − 3C − 5D. Tı 1.1.2 Cho ma trˆn: a .   1 −2 6 A = 4 3 −8 . 2 −2 5 Tı ma trˆn X sao cho: a) 3A + 2X = I3 ; b) 5A − 3X = I3 . `m a . ´ e . ` o . . ´ 1.1.3 Kı hiˆu (r × s) la mˆt ma trˆn cˆ p r × s trˆn K. Tı m, n ∈ N\{0} a a e `m .o.ng ho.p sau: trong ca c tru ` ´ . a) (3 × 4) × (4 × 5) = (m × n); b) (2 × 3) × (m × n) = (2 × 6); c) (2 × m) × (4 × 3) = (2 × n). 1.1.4 Tı ´nh:    1  4 1 1 0 2  5 n 1 2 −3  2 1 3 2 1 1 a) 0 1 1 0  ; b) ; c) ; 3 0 4 3 2 −4 −2 0 1 1 0 2 1 4 3 n n λ 1 cos ϕ − sin ϕ d) ; e) ; (n ∈ N, 0 ≤ ϕ < 2π). 0 λ sin ϕ cos ϕ ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
10 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u 1.1.5 Cho ma trˆn: a .   0 1 0 0 0 0 1 0 A= 0 . 0 0 1 0 0 0 0 ´nh ca c ma trˆn: AAt va At A. Tı ´ a . ` 1.1.6 Ch´.ng minh ca c tı chˆ t 1.1, 1.2, 1.3, 1.4. u ´ ´nh a ´ 1.1.7 Cho d th´.c p(x) = x2 − 3x + 1. Tı ¯a u ´nh ca c d th´.c ma trˆn p(A), p(B) ´ ¯a u a . ´t biˆ e   1 2 −3 1 2 A= ; B = 3 0 4  . 0 4 0 −1 0 1.1.8 Ch´.ng minh r˘ ng: u  ` a  2 0 0 a) A = 0 2 0  la mˆt nghiˆm cua p(x) = x3 − 3x2 + 4; ` o . e . ’ 0 0 −1 a b b) B = ∈ M2 (K) la nghiˆm cua q(x) = x2 − (a + d)x + ` e . ’ c d +(ad − bc) ∈ K[x]. 1.1.9* V´.i mˆ i ma trˆn vuˆng A = (aij )n ∈ Mn(K), ta goi tˆ’ng ca c phˆn tu. o ˜ o a. o . o ´ `a ’ .o.ng che o chı trˆn d ` e ¯u ´ ’ ´ ` e ’ ´ ´ e .c la: ´nh cua A la vˆ t cua no , kı hiˆu tr(A). T´ ` u . tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann . Ch´.ng minh r˘ ng u ` a v´.i o moi . A, B ∈ Mn (K) ta d` u ¯ˆ e co : ´ tr(AB) = tr(BA). 1.1.10* Ch´.ng minh r˘ ng khˆng tˆn tai ca c ma trˆn vuˆng A, B ∈ Mn(K) sao u ` a o ` . ´ o a . o cho AB − BA = In . 1.2 Dinh th´.c -. u 1.2.1 ´ ´ e . ´ Phe p thˆ - Nghich thˆ . e Dinh nghı a 1.8. Cho n la mˆt sˆ nguyˆn du.o.ng va X la mˆt tˆp ho.p co n -. ˜ . ´ ` o o e ` ` o a . . . ´ ` a ’ phˆn tu.. Mˆt phe p thˆ bˆc n la mˆt song ´ nh σ t`. X lˆn chı o ´ ´ . e a ` o a u e ´nh no . Khˆng ´ o . . ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
1.2. D.nh th´.c -i u 11 a ´nh tˆ’ng qua t, ta thu.o.ng lˆ y X = {1, 2, ..., n}. Khi d´ mˆ i phe p thˆ ´ mˆ t tı o ´ ` ´ a ¯o o˜ ´ ´ e bˆc n thu.o.ng d .o.c kı hiˆu: a . ` ¯u . ´ e . 1 2 ··· n σ= σ(1) σ(2) · · · σ(n) Kı hiˆu Sn ´ e . la tˆp ho.p tˆ t ca ca c phe p thˆ bˆc n thı Sn la tˆp ho.p gˆm ` a . . ´ a ’ ´ ´ ´ . e a ` ` a . . ` o n! = 1.2...n ` a ’ phˆn tu .. Khi n > 1, c˘p sˆ (khˆng th´. tu.) phˆn biˆt {i, j} ⊂ {1, 2, ..., n} goi la mˆt a o . ´ o u . a e . . ` o . i−j . ´ ´ nghich thˆ nˆ u e e < 0. σ(i) − σ(j) ´ e . ´ ` o ´ . ´ e ’ ´ ´ Kı hiˆu N (σ) la sˆ ca c nghich thˆ cua phe p thˆ σ. e ´ . `m a ’ ´ ´ ´ ´ . e a ’ Vı du. Tı tˆ t ca ca c phe p thˆ bˆc 3 cua I = {1, 2, 3}. ´ . a a ´ ` a ’ .. vˆy S se co 6 phˆn tu. : Ta thˆ y tˆp I co 3 phˆn tu a 3 ˜ ´ ` a ’ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 σ0 = , σ1 = , σ2 = , σ3 = , 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 1 2 3 1 2 3 σ4 = , σ5 = . 3 1 2 3 2 1 ´ ´ e ’ ˜ ´ Tı sˆ ca c nghich thˆ cua mˆ i phe p thˆ trˆn. `m o ´ . o ´ e e N (σ0 ) = 0, . ´ N (σ1 ) = 1 (nghich thˆ (2,3)), e . ´ N (σ2 ) = 1 (nghich thˆ (1,2)), e . ´ N (σ3 ) = 2 ( nghich thˆ (1,3) va (2,3)), e ` . ´ N (σ4 ) = 3 (nghich thˆ (1,2), (2,3) va (1,3)), e ` . ´ N (σ5 ) = 2 (nghich thˆ (1,2) va (1,3)). e ` 1.2.2 Dinh th´.c. -. u -. ˜ a. Dinh nghı a. Dinh nghı a 1.9. Cho A = (aij )n la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn tru.o.ng -. ˜ ` o . a . o ´ a e ` K (n ∈ N, n > 0). D. - inh th´.c cua ma trˆn A la mˆt sˆ thuˆc K, kı hiˆu detA, u ’ a . . ´ ` o o o . ´ e . .o.c cho bo.i biˆ u th´.c: d . ¯u ’ e’ u detA = (−1)N (σ) a1σ(1)a2σ(2) ...anσ(n) σ∈Sn ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
12 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u Dinh th´.c cua ma trˆn A con d .o.c kı hiˆu la: -. u ’ a . ` ¯u . ´ e ` . a11 a12 . . . a1n a a22 . . . a2n |A| ho˘c A = 21 a . ··· ··· ··· ··· am1 am2 . . . amn a11 a12 Vı du 1. ´ . A= , n = 2, I = {1, 2}, a21 a22 1 2 1 2 σ0 = , σ1 = , N (σ0 ) = 0, N (σ1 ) = 1, 1 2 2 1 detA = (−1)0 a11a22 + (−1)1 a12 a21 = a11a22 − a12 a21.   a11 a12 a13 Vı du 2. ´ . B = a21 a22 a23, su. dung nh˜.ng kˆ t qua cua vı du o. muc ’ . u ´ e ’ ’ ´ . ’ . a31 a32 a33 1.2.1 ta tı .o.c: ´nh d . ¯u detB = a11a22 a33 + a12a23 a31 + a13 a21a32 − a11a23 a32 − a12a21 a33 − a13a22 a31. ´ Quy t˘ c Sarrus d ˆ tı a ¯e ´nh d inh th´.c cˆ p 3. ’ ¯. u a ´ ´ u. tu. cˆt mˆt va cˆt va cˆt hai sau cˆt th´. ba. + Viˆ t theo th´ . o e o ` o ` o o u . . . . . ´ ´ . + Ba sˆ hang mang dˆ u cˆng trong d .nh th´ ` ´ch ’ ´ o . a o ¯i u.c la tı cua ca c phˆn tu. n˘ m ` a ’ a ` trˆn 3 d ` e ¯u .o.ng song song v´.i d .o.ng che o chı o ¯u ` ´ ´nh. ´ + Ba sˆ hang mang dˆ u tr` o . ´ a u. trong d nh th´.c la tı cua ca c phˆn tu. n˘ m ¯i u ` ´ch ’ ´ ` a ’ a ` . trˆn 3 d ` e ¯u .o.ng song song v´.i d .o.ng che o phu. o ¯u ` ´ . u. d´ ta tı d .o.c d nh th´.c cˆ p 3 nhu. vı du 2. Minh hoa: T` ¯o ´nh ¯u . ¯i u a ´ ´ . . . 1 2 1 ´ . ´nh: 2 3 4 = 1.3.2 + 2.3.4 + 1.2.5 − 1.3.3 − 2.2.2 − 1.4.5 = 3 Vı du. Tı 3 5 2 ´nh chˆ t cua d inh th´.c. b. Tı ´ ’ ¯. a u -. ´ ` ` a . ’ Dinh ly 1.1. Cho A = (aij )n ∈ Mn (K) va At la ma trˆn chuyˆ n vi cu a A. e . ’ Khi d´ det(At ) = det(A). No i ca ch kha c d. nh th´.c cu a ma trˆn khˆng thay ¯o ´ ´ ´ ¯i u ’ a . o ¯ˆ ’ ´ ’ d o i qua phe p chuyˆ n vi. e . Ch´.ng minh. Gia su. At = (aij )n . Khi d´ aij = aji (i = 1, n, j = 1, n). u ’ ’ ¯o Ta co : detA = ´ (−1)N (σ) a1σ(1) a2σ(2) ...anσ(n) σ∈Sn −1 detA = t (−1)N (σ ) a1σ−1(1) a2σ−1(2) ...anσ−1 (n) σ−1 ∈Sn ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
1.2. D.nh th´.c -i u 13 = (−1)N (σ) aσ−1(1)1 aσ−1(2)2 ...aσ−1 (n)n σ−1∈Sn vı N (σ −1 ) = N (σ) va aij = aji , i, j = 1, n. ` ` - e’ y a 1 2 ··· n σ −1 (1) σ −1 (2) · · · σ −1 (n) ` Dˆ ´ r˘ ng: σ = = σ(1) σ(2) · · · σ(n) 1 2 ··· n Do do v´.i moi σ ∈ Sn ta d` u co : ´ o . ¯ˆ ´ e (−1)N (σ) a1σ(1) a2σ(2) ...anσ(n) = (−1)N (σ) aσ−1 (1)1aσ−1 (2)2 ...aσ−1 (n)n . Vˆy detAt=detA. a . T`. tı chˆ t trˆn ta suy ra r˘ ng vai tro cu a ca c dong va ca c cˆt trong ma u ´nh a ´ e ` a ` ’ ´ ` ` ´ o . a ` `nh ¯˘ ’ ˜ . o e ¯ˆ ` ¯i e e u.c nˆ u d˜ d´ ng cho dong thı cu ng trˆn la bı d a ng. Mˆ i mˆnh d` vˆ d. nh th´ e ¯a ¯u ´ ` ` ˜ . ¯u .i cˆt va ngu.o.c lai. d´ ng v´ o ` o . . . Dinh ly 1.2. Nˆ u d o i chˆ hai dong bˆ t kı cu a mˆt ma trˆn thı d. nh th´.c -. ´ ´ e ¯ˆ’ ˜ o ` ´ a ` ’ o . a . ` ¯i u ’ ´ ¯ˆ a ’ ´ cu a no d o i dˆ u. Ch´.ng minh. Gia su. A = (aij )n (n ≥ 2) va B = (bij )n la ma trˆn nhˆn d .o.c u ’ ’ ` ` a . a ¯u . . t` u. A b˘ ng ca ch d o’i chˆ hai dong th´. k va th´. l nao d´ (1 ≤ k < l ≤ n) cho ` a ´ ¯ˆ ˜ o ` u ` u ` ¯o ˜ ` nhau, nghı a la:  aij , khi i ∈ {1, 2, ..., n}\{k, l},  bij = alj , khi i = k, (j = 1, n)   akj , khi i = l, Ta cˆn ch´.ng to detB=-detA. ` a u ’ Ta co : detB = ´ (−1)N (f) b1f(1) b2f(2) ...bnf(n) . f∈Sn ´ ´ ´ . Xe t phe p thˆ bˆc n: e a 1 2 ... k ... l ... n f: f (1) f (2) ... f (k) ... f (l) ... f (n) -˘ 1 2 ... k ... l ... n Dat . g: f (1) f (2) ... f (l) ... f (k) ... f (n) Ta co g(i) = f (i), i = 1, n, i = k, i = l, g(k) = f (l), g(l) = f (k). Theo ´ d .nh nghı a nghich thˆ , ta suy ra N (g) va N (f ) sai ke m nhau mˆt d .n vi. ¯i ˜ . ´ e ` ´ o ¯o . . ¯o N N Do d´ (−1) (f ) = −(−1) (g), khi f chay kh˘ . ´p Sn thı g cu ng chay kh˘ p Sn . a ` ˜ . ´ a Vˆy: a . detB = (−1)N (f) b1f(1) b2f(2) ...bkf(k) ...blf(l) ...bnf(n) f∈Sn ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
14 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u = (−1)N (f) a1f(1) a2f(2) ...akf(l) ...alf(k) ...anf(n) f∈Sn = −(−1)N (g) a1g(1) a2g(2) ...akg(k) ...alg(l) ...ang(n) = −det(A) g∈Sn Dinh ly 1.3. Cho A la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K va gia su. dong th´. i -. ´ ` o . a . o ´ a e ` ’ ’ ` u ` ¯o ’ nao d´ (1 ≤ i ≤ n) cu a A co tı ´ ´ ´nh chˆ t aij = λaij + µaij ; a j = 1, n. Khi d´ ta co : ¯o ´ ··· ··· ··· ··· detA = λai1 + µai1 λai2 + µai2 · · · λain + µain ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· = λ ai1 ai2 · · · ain + µ ai1 ai2 · · · ain ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· Trong d´ , ca c dong con lai cu a ba d. nh th´.c o. hai vˆ la hoan toan nhu. nhau ¯o ´ ` ` . ’ ¯i u ’ ´ e ` ` ` ` ´nh ` ` ` . ’ va chı la n − 1 dong con lai cu a A. Ch´.ng minh. Kı hiˆu ba d .nh th´.c trˆn t`. tra i sang phai lˆn lu.o.t la D, D , D . u ´ e. ¯i u e u ´ ’ ` a . ` ` Ta cˆn ch´ a u.ng minh D = λD + µD . Ta co ´ N D= (−1) (σ)a1σ(1) a2σ(2) ...anσ(n) σ∈Sn = (−1)N (σ)a1σ(1) a2σ(2) ...(λaiσ(i) + µaiσ(i) )...anσ(n) σ∈Sn =λ (−1)N (σ)a1σ(1) a2σ(2) ...aiσ(i) ...anσ(n) + σ∈Sn +µ (−1)N (σ)a1σ(1)a2σ(2) ...aiσ(i) ...anσ(n) σ∈Sn = λD + µD T`. ca c d .nh ly 1.2 va 1.3 ta dˆ dang suy ra hˆ qua sau u ´ ¯i ´ ` ˜ ` e e . ’ e . ’ ` o. a . o ´ Hˆ qua 1.1. Cho A la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K. a e (1) Nˆ u nhˆn mˆt dong nao d´ cu a A v´.i mˆt sˆ λ ∈ K thı d. nh th´.c cu a e´ a o ` . ` ¯o ’ o . ´ o o ` ¯i u ’ ´ ˜ .o.c nhˆn v´.i λ. no cu ng d u . ¯ a o (2) det(λA) = λn detA, λ ∈ K. (3) Nˆ u A co mˆt dong khˆng thı d. nh th´.c cu a no b˘ ng khˆng. ´ e ´ o ` . o ` ¯i u ’ ´ a ` o (4) Nˆ u A co hai dong b˘ ng nhau hay tı lˆ v´.i nhau thı d. nh th´.c cu a no ´ e ´ ` ` a ’ e o . ` ¯i u ’ ´ ` b˘ ng khˆng. a o ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
1.2. D.nh th´.c -i u 15 (5) Nˆ u ta cˆng vao mˆt dong nao d´ cu a ma trˆn A mˆt dong kha c d˜ nhˆn ´ e o . ` o ` . ` ¯o ’ a . o ` . ´ ¯a a v´.i mˆt sˆ bˆ t ky thuˆc tru.o.ng K thı ta d u.o.c mˆt ma trˆn B co cung o . ´ ´ o o a ` o . ` ` ¯ . o . a . ´ ` ¯i u.c v´.i ma trˆn A. d. nh th´ o a . Dinh ly 1.4. D. nh th´.c cu a ma trˆn che o A b˘ ng tı ca c phˆn tu. n˘ m trˆn -. ´ -i u ’ a . ´ a` ´ch ´ ` ’ a a ` e d u.o.ng che o chı ¯ ` ´ ´nh. Viˆc ch´.ng minh d .nh ly nay tu.o.ng d o i dˆ, ngu.o.i d . c tu. ch´.ng minh. e . u ¯i ´ ` ¯ˆ ˜ ´ e ` ¯o . u Hˆ qua 1.2. D. nh th´.c cu a ma trˆn tam gia c A b˘ ng tı ca c phˆn tu. n˘ m e . ’ -i u ’ a . ´ ` a ´ch ´ ` ’ a a ` trˆn d u.o.ng che o chı e ¯ ` ´ ´nh. Vı du. Dung ca c tı chˆ t cua d .nh th´.c tı ca c d .nh th´.c sau: ´ . ` ´ ´ ´nh a ’ ¯i u ´nh ´ ¯i u 5 1 2 7 2 −3 4 1 a+x x x 3 0 0 2 4 −2 3 2 1) 2) x b+x x 3) 1 3 4 5 a b c d x x c+x 2 0 0 3 3 −1 4 3 -. c. Dinh ly Laplace. ´ -. .c con va phˆn bu d i sˆ . ` ` Dinh th´ u a ` ¯a o . ´ -. ˜ Dinh nghı a 1.10. Cho A = (aij )n la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K ` o . a . o a´ e (n ≤ 2), D = detA va k la mˆt sˆ nguyˆn du.o.ng nho ho.n n. Xe t k dong th´. ` ` o o . ´ e ’ ´ ` u i1 , i2 , ..., ik (1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n) va k cˆt th´ 1 2 ` o u . j , j , ..., j (1 ≤ j < j < . k 1 2 ... < jk ≤ n) nao d´ cua A. Ca c phˆn tu ’ ` ¯o ’ ´ `a ’ . cua A n˘ m o. giao cua ca c dong va ` a ’ ’ ´ ` ` ca c cˆt trˆn tao nˆn mˆt ma trˆn vuˆng Si1 i2 ...ik j1j2 ...jk cˆ p k sau d ay: ´ o e . e. o . a . o ´ a ¯ˆ   ai1 j1 ai1 j2 ... ai1 jk a a ... ai2 jk  Si1 i2 ...ikj1 j2 ...jk =  i2 j1 i2 j2  ...  ... ... ...  aik j1 aik j2 ... aik jk Si1 i2 ...ikj1 j2 ...jk goi la mˆt ma trˆn vuˆng con cˆ p k cua ma trˆn A. D.nh th´.c . ` o . a . o ´ a ’ a . -i u detSi1i2 ...ikj1 j2 ...jk goi la mˆt d. nh th´ .c con cˆ p k cua D, kı hiˆu D ´ ’ . ` o ¯i . u a ´ e . i1 i2 ...ikj1 j2 ...jk . a´ Ma trˆn con cˆ p n − k cua A co d . a ’ ´ ¯u .o.c b˘ ng ca ch xo a d k dong, k cˆt ` a ´ ´ ¯i ` o . . ch´ u .a S ` ’ i1 i2 ...ikj1 j2 ...jk goi la ma trˆn con bu cua Si1 i2...ik j1j2 ...jk (trong A) va d .nh . ` a . ` ¯i th´ u .c con cˆ p n − k cua no d .o.c goi la d inh th´.c con bu cua d nh th´.c con a´ ’ ´ ¯u . ` ’ ¯i . ` ¯. u . u Di1 i2...ik j1j2 ...jk (trong D), kı hiˆu Mi1 i2 ...ikj1 j2...jk ´ e . Dinh nghı a 1.11. Phˆn phu d . i sˆ cua d .nh th´.c con Di1i2 ...ik j1j2 ...jk kı hiˆu -. ˜ ` a . ¯a o ’ ¯i ´ u ´ e . Ai1 i2 ...ikj1 j2...jk , d . ¯i ¯u .o.c d nh nghı a bo.i˜ ’ . Ai1 i2 ...ikj1 j2 ...jk = (−1)s Mi1 i2 ...ikj1 j2 ...jk ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
16 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u trong d´ s = i1 + i2 + · · · + ik + j1 + j2 + · · · + jk la tˆ’ng ca c chı sˆ dong va ¯o ` o ´ ´ ’ o ` ` ´ . ’ o o . e chı sˆ cˆt tao nˆn Di1 i2 ...ikj1 j2...jk . -˘ Dac biˆt, khi k = 1, i = i1 , j = j1 (1 ≤ i, j ≤ n) thı Sij = [aij ] ≡ aij = . e . ` det[aij ] = Dij , d .nh th´.c con bu cua Dij la d .nh th´.c con Mij cˆ p n − 1 nhˆn ¯i u ` ’ ` ¯i u ´ a a . ¯u .o.c t`. D b˘ ng ca ch xo a d dong i va cˆt j; con phˆn bu d i sˆ cua D d . u ` a ´ ´ ¯i ` ` o ` ` a ` ¯a o ’ ´ . . ij i+j chı la Aij = (−1) Mij . ´nh ` Vı du. Xe t d .nh th´.c cˆ p n = 4 sau: ´ . ´ ¯i u a ´ 5 1 2 7 3 0 −3 2 D= 1 3 4 5 2 1 0 3 Lu c d´ : ´ ¯o 5 7 D1314 = la d .nh th´.c con cˆ p 2 cua D v´.i phˆn bu d . i sˆ la: ` ¯i u ´ a ’ o ` a ` ¯a o ` ´ 1 5 0 −3 0 −3 A1314 = (−1)1+3+1+4 =− . 1 0 1 0 3 0 −3 D234123 = 1 3 4 la d .nh th´.c con cˆ p 3 cua D v´.i phˆn bu d . i sˆ la: ` ¯i u ´ a ’ o ` a ` ¯a o ` ´ 2 1 0 A234123 = (−1)2+3+4+1+2+3 a14 = −7. D13 = a13 = 2 la d .nh th´.c con cˆ p 1 cua D v´.i phˆn bu d . i sˆ la: ` ¯i u ´ a ’ o ` a ` ¯a o ` ´ 3 0 2 1+3 A13 = (−1) 1 3 5 . 2 1 3 -. . a . o ´ Dinh ly 1.5. Cho A = (aij )n la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K (n ≥ 2), ´ ` o a e ` ` ` ¯. o ’ a ´ Aij la phˆn bu d ai sˆ cu a aij , i, j = 1, n. Khi d´ ta co : ¯o ´ n (1) detA = aij Aij = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain , i = 1, n; j=1 n (2) detA = aij Aij = a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj , j = 1, n; i=1 ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
1.2. D.nh th´.c -i u 17 Cˆng th´.c (1) (tu.o.ng u.ng (2)) d .o.c goi la phe p khai triˆ n detA theo dong o u ´ ¯u . . ` ´ e’ ` th´. i (tu.o.ng u.ng theo cˆt th´. j); no quy viˆc tı u ´ o . u ´ e ´nh d .nh th´.c cˆ p n vˆ viˆc . ¯i u a ´ ` e e . tı d .nh th´ a ´nh ¯i .c cˆ p n − 1. u ´ ´ . ´nh d .nh th´.c cˆ p 3 sau d ay: Vı du. Tı ¯i u a ´ ¯ˆ 1 1 −1 D = −1 1 1 . 1 −1 1 ´ ` ¯i ˜ Ca ch 1. Dung d .nh nghı a. D = 1.1.1 + 1.1.1 + (−1).(−1).(−1) − 1.1.(−1) − (−1).1.1 − 1.(−1).1 = 4. ´ e’ Ca ch 2. Khai triˆ n D theo dong 1. ` 1 1 −1 1 −1 1 D = 1.(−1)1+1 + 1.(−1)1+2 + (−1).(−1)1+3 −1 1 1 1 1 −1 =2+2+0 =4 ´ e’ Ca ch 2. Khai triˆ n D theo cˆt 3. o. −1 1 1 1 1 1 D = (−1).(−1)1+3 + 1.(−1)2+3 + 1.(−1)3+3 1 −1 1 −1 −1 1 =0+2+2 =4 Dinh ly 1.6 (Laplace). Cho A la ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn tru.o.ng K. T`. -. ´ ` a . o ´ a e ` u A ta chon k hang (ho˘c k cˆt) tuy ´ (1 ≤ k ≤ n). Khi d´ d. nh th´ ` a o ` y ¯o ¯i u.c cu a ma ’ . . . ` ’ ’ ´ ´ch ’ a ’ ´ ¯i ´ trˆn A b˘ ng tˆ ng cu a ca c tı cu a tˆ t ca ca c d. nh th´ a a o u.c con cˆ p k lˆp d u.o.c ´ a a ¯ . . . trˆn k hang (cˆt) d´ v´ e ` o ¯o o .i phˆn bu d ai sˆ cu a chu ng. ` ` ¯. o ’ a ´ ´ . Dinh ly trˆn con d .o.c goi la d .nh ly khai triˆ n d .nh th´.c cua ma trˆn A -. ´ e ` ¯u . . ` ¯i ´ e’ ¯i u ’ a . theo k dong (tu ` .o.ng u.ng theo k cˆt). ´ o . Vı du. Tı ´ . ´nh d .nh th´ ¯i u .c sau d ay: ¯ˆ 1 2 0 −1 3 0 −3 2 D= 0 0 2 1 2 1 0 3 Ta se khai triˆ n D theo 2 dong 2 va 3. Ta co 6 d .nh th´.c con d .o.c lˆp t`. 2 ˜ e’ ` ` ´ ¯i u ¯u . a u . dong nay: ` ` 3 0 3 −3 3 2 D2312 = = 0, D2313 = = 6, D2314 = = 3, 0 0 0 2 0 1 0 −3 0 2 −3 2 D2323 = = 0, D2324 = = 0, D2334 = = −7, 0 2 0 1 2 1 ’ ` ´nh: Ta chı cˆn tı a ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
18 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u 2 −1 2 0 A2313 = (−1)2+3+1+3 = −7, A2314 = (−1)2+3+1+4 = 0, 1 3 1 0 1 2 A2334 = (−1)2+3+3+4 = −3, 2 1 Vˆy D = 6.(−7) + 3.0 + (−7).(−3) = −21. a . Chu ´ . Sˆ ca c d .nh th´.c con lˆp d .o.c trˆn k dong (tu.o.ng u.ng k cˆt) cua ´ ´ y o ´ ¯i u a ¯u . . e ` ´ o . ’ . a . o ´ a ` k mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n la Cn . o Nhˆn xe t. Do i v´.i bai toa n tı d .nh th´.c: a ´ - ˆ o ` ´ ´nh ¯i . ´ u (1) Khi thˆ y mˆt dong (hay cˆt) cua d .nh th´.c co nhiˆu sˆ khˆng thı nˆn ´ a o ` . o. ’ ¯i u ´ ` o e ´ o ` e e’ ¯i khai triˆ n d .nh th´ u.c theo dong (hay cˆt) d´ . ` o ¯o . (2) Dung ca c phe p biˆ n d o i so. cˆ p ta co thˆ lam cho d .nh th´.c tro. nˆn d .n ` ´ ´ ´ e ¯ˆ ’ ´ a ´ e’ ` ¯i u ’ e ¯o ’ gian, dˆ tı e .n. Dac biˆt, moi d nh th´.c d` u d .a d .o.c vˆ dang tam ˜ ´nh ho - ˘ e u ¯ˆ ¯u ¯u . ` . . . . ¯i. e e .u han phe p biˆ n d o i so. cˆ p. ’ . ´ gia c sau mˆt sˆ h˜ ´ o o u . ´ ´ e ¯ˆ ´ a T`. d .nh ly Laplace va ca c tı u ¯i ´ ` ´ ´nh chˆ t cua d .nh th´.c ta co d .nh ly sau: ´ a ’ ¯i u ´ ¯i ´ Dinh ly 1.7 (Dinh ly nhˆn d inh th´.c). Gia su. A = (aij )n va B = (bij )n -. ´ -. ´ a ¯. u ’ ’ ` ` a . o ` ´ la hai ma trˆn vuˆng cung cˆ p n, khi d´ ta co : det(AB) =detA.detB. a ¯o ´ Nhˆn xe t. Dung d .nh ly 1.7 ta co thˆ tı a . ´ ` ¯i ´ ´ e’ ´nh d .o.c mˆt sˆ d .nh th´.c b˘ ng ¯u . . ´ o o ¯i u a ` ca ch ta ch thanh tı cua hai d .nh th´.c d .n gian ho.n. ´ ´ ` ´ch ’ ¯i u ¯o ’ Vı du. Tı ´ . ´nh d .nh th´ ¯i u .c D = detA cua ma trˆn vuˆng A cˆ p n sau: ’ a o ´ a .   1 + x 1 y1 1 + x 1 y2 · · · 1 + x 1 yn  1 + x 2 y1 1 + x 2 y2 · · · 1 + x 2 yn  A=  ···  ··· ··· ···  1 + x n y1 1 + x n y2 · · · 1 + x n yn a . ´ ` Nhˆn thˆ y r˘ ng: a a     1 1 ··· 1 1 x1 0 ··· 0  y y2 · · · yn   1 x2 0 ··· 0  1  A= · · · · · · · · ·  0 0 ··· 0  ··· · · ·  · · · · · ·  · · · · · · 1 xn 0 ··· 0 0 0 ··· 0 Do d´ ¯o ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
1.2. D.nh th´.c -i u 19 1 1 ··· 1 1 x1 0 ··· 0 y1 y2 · · · yn 1 x2 0 ··· 0 D = detA = 0 0 ··· 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 1 xn 0 ··· 0 0 0 ··· 0 0 , khi n > 2, = (x2 − x1 )(y2 − y1 ) , khi n = 2. Bai tˆp. ` a . ´ ´ e ’ ´ ´ 1.2.1 Tı sˆ nghich thˆ cua ca c phe p thˆ sau: `m o . ´ e 1 2 3 4 1 2 3 4 5 a) b) 2 4 1 3 3 5 4 1 2 1 2 3 4 5 6 7 c) 6 4 5 3 7 1 2 a−x b 1.2.2 Ch´.ng minh v´.i a, b, c ∈ R phu.o.ng trı u o `nh = 0 luˆn co o ´ b c−x nghiˆm thu.c. e . . 1.2.3 Khˆng khai triˆ n d .nh th´.c ch´.ng minh r˘ ng: o e’ ¯i u u ` a 1 a bc 1 a a2 a) 1 b ca = 1 b b2 1 c ab 1 c c2 1 a a3 1 a a2 b) 1 b b3 = (a + b + c) 1 b b2 1 c c3 1 c c2 1 a a2 c) 1 b b2 = (b − a)(c − a)(c − b) 1 c c2 ´nh ca c d .nh th´.c sau: 1.2.5 Tı ´ ¯i u 2 −3 4 1 a 3 0 5 x 1 1 1 4 −2 3 2 0 b 0 2 1 x 1 1 a) b) c) a b c d 1 2 c 3 1 1 x 1 3 −1 4 3 0 0 0 d 1 1 1 x ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
20 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u 1 2 3 ··· n− 1 n 1 2 3 ··· n 1 3 3 ··· n− 1 n 1 x+1 3 ··· n 1 2 5 ··· n− 1 n d) 1 2 x+1 ··· n e) ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 1 2 3 · · · 2n − 3 n 1 2 3 ··· x +1 1 2 3 · · · n − 1 2n − 1 1 1 1 1 ... 1 1 0 1 1 1 ... 1 1 1 0 1 1 ... 1 1 1 0 1 1 ... 1 1 1 1 0 1 ... 1 1 1 1 0 1 ... 1 1 g) h) ··· ··· ··· ··· ··· · ··· ··· ··· ··· ··· ··· · ··· 1 1 1 1 ... 0 1 1 1 1 1 ... 0 1 1 1 1 1 ... 1 0 1 1 1 1 ... 1 0 a0 −1 0 0 ... ... 0 0 a1 x −1 0 . . . ... 0 0 a2 0 x −1 . . . ... 0 0 i) ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· an−1 0 0 0 ... . . . x −1 an 0 0 0 ... ... 0 x 1.2.4 Giai ca c phu.o.ng trı sau d ay theo a’n x trˆn R: ’ ´ `nh ¯ˆ ˆ e 1 x x2 x3 x2 x3 x4 1 2 4 8 a) 0 x2 − 1 0 = 0; = 0; 3 3 1 3 9 27 0 x +1 x −1 1 4 16 64 1 1 1 ··· 1 1 1−x 1 ··· 1 c) 1 1 2−x ··· 1 =0 ··· ··· ··· ··· ··· 1 1 1 · · · (n − 1) − x 1.3 a . ’ Ma trˆn kha nghich. . -. ˜ a . o ´ a e ’ Dinh nghı a 1.12. Cho A la ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K. Ta bao A la ma ` ` a . ’ . e ` . ´ o . a . o ´ trˆn kha nghich nˆ u tˆn tai mˆt ma trˆn B vuˆng cˆ p n trˆn K sao cho: o a e AB = BA = In. ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh