Bài giảng môn Đại số A1: Chương 2. Định thức

Chia sẻ: Phan Thi Ngoc Giau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo toán học

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng môn Đại số A1: Chương 2. Định thức

Bài gi ng môn h c Đ i s A1 Chương 2: Đ NH TH C Lê Văn Luy n lvluyen@yahoo.com www.math.hcmus.edu.vn/∼lvluyen/09tt Đ i h c Khoa H c T Nhiên Tp. H Chí Minh Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 1 / 29
N i dung Chương 2. Đ NH TH C 1. Đ nh nghĩa và các tính ch t 2. Đ nh th c và ma tr n kh ngh ch 3. Quy t c Cramer Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 2 / 29
1. Đ nh nghĩa và các tính ch t 1. Đ nh nghĩa và các tính ch t 1.1 Đ nh nghĩa 1.2 Quy t c Sarrus 1.3 Khai tri n đ nh th c theo dòng và c t 1.4 Đ nh th c và các phép bi n đ i sơ c p Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 3 / 29
1. Đ nh nghĩa và các tính ch t Đ nh nghĩa. Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (K). Đ nh th c c a A, đư c ký hi u là detA hay |A|, là m t s th c đư c xác đ nh b ng quy n p theo n như sau: • N u n = 1, nghĩa là A = (a), thì |A| = a. ab • N u n = 2, nghĩa là A = , thì |A| = ad − bc. cd   a11 a12 . . . a1n a a22 . . . a2n  • N u n > 2, nghĩa là A =  21  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  , thì  an1 an2 . . . ann dòng 1 |A| ==== a11 A(1|1) − a12 A(1|2) + · · · + a1n (−1)1+n A(1|n) . trong đó A(i|j ) là ma tr n có đư c t A b ng cách xóa đi dòng i và c t j c a A. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 4 / 29
1. Đ nh nghĩa và các tính ch t 4 −2 . Khi đó |A| = 4.5 − (−2).3 = 26. Ví d . Cho A = 3 5 Ví d . Tính đ nh th c c a ma tr n   2 −3 1 A= 2 3 0 3 2 4 Gi i. 30 20 23 |A| = 1(−1)1+1 + 2(−1)1+2 + (−3)(−1)1+3 24 34 32 = 12 − 16 + 15 = 11. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 5 / 29
1. Đ nh nghĩa và các tính ch t Quy t c Sarrus Theo đ nh nghĩa đ nh th c, khi n = 3, ta có   a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  . a31 a32 a33 a22 a23 a21 a23 a21 a22 |A| = a11 − a12 + a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 . T đây ta suy ra công thc c Sarrus d t3 vàot1 c t2sau: t1 c t2 c a c sơ đ  ? ? ? ? ? a11 ab ·a13 a·11 a···· 12 ···b · ·· 12  a21 b····ba23 ··bb······ 22  . · · b a22 · b·· · a21 a b ··· b ··· b ···· b a·31··· a32····a33 ····ab bb ·· ···· bb· b31 a32 b · ·· −· · · ·b −· −· + · b + + Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 6 / 29
1. Đ nh nghĩa và các tính ch t c t1 c t2 c t3 c t1 c t2 ? ? ? ? ?  a11 ab ·a13 a·11 a···· 12 ···b · ·· 12  a21 b····ba23 ··bb······ 22  . · · b a · b · · ·· b ··22 ······b ·a·21b a · a31··· a32·· a33 ··· a31 b · b ·· · b ·b b b a32 b ···· −···· −b·+ b + b + ·· · · · − |A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −(a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 ). (T ng ba đư ng chéo đ - t ng ba đư ng chéo xanh) Ví d . 123 = 1.2.5 + 2.1.3 + 3.4.1 − 3.2.3 − 1.1.1 − 2.4.5 = −31. 421 315 s Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 7 / 29
1. Đ nh nghĩa và các tính ch t 1.3 Khai tri n đ nh th c theo dòng và c t Đ nh nghĩa. Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (K). V i m i i, j , ta g i cij = (−1)i+j detA(i|j ) là ph n bù đ i s c a h s aij , trong đó A(i|j ) là ma tr n vuông c p (n − 1) có đư c t A b ng cách xoá dòng i, c t j .   1 11 2 3 1  . Khi đó Ví d . Cho A = 3 40 3 1 21 c11 = (−1)1+1 = −4; c12 = (−1)1+2 = 3. 4 0 30 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 8 / 29
1. Đ nh nghĩa và các tính ch t Đ nh lý. Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (K). V i m i i, j , g i cij là ph n bù đ i s c a h s aij . Ta có n • Công th c khai tri n |A| theo dòng i: |A| = aik cik . k=1 n • Công th c khai tri n |A| theo c t j : |A| = akj ckj . k=1   3 −1 3 Ví d . Tính đ nh th c c a A =  5 2 2 4 10 Lưu ý. Trong vi c tính toán tính đ nh th c ta nên ch n dòng hay c t có nhi u s 0. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 9 / 29
1. Đ nh nghĩa và các tính ch t M nh đ . Cho A ∈ Mn (K). Khi đó: i) |A | = |A|. ii) N u ma tr n vuông A có m t dòng hay m t c t b ng 0 thì |A| = 0. iii) N u A là m t ma tr n tam giác thì |A| b ng tích các ph n t trên đư ng chéo c a A, nghĩa là |A| = a11 .a22 . . . ann . Đ nh lý. N u A, B ∈ Mn (K) thì |AB | = |A||B |. Ví d . −1 3 0 2 0 -3 6 7 = 2 · (−3) · 5 · 4 = −120. 0 05 2 0 004 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 10 / 29
1. Đ nh nghĩa và các tính ch t 1.4 Đ nh th c và các phép bi n đ i sơ c p Đ nh lý. Cho A, A ∈ Mn (K). Khi đó di ↔dj i) N u A − − → A thì |A | = −|A|; −− i= j di :=αdi ii) N u A − − − A thì |A | = α|A|; − −→ di :=di +βdj iii) N u A − − − − → A thì |A | = |A|. −−−− i=j   1 3 7 6 −8  Ví d . Tính đ nh th c c a A =  2 5 −12 4 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 11 / 29
1. Đ nh nghĩa và các tính ch t 1 3 7 1 3 7 dòng 2 6 −8 ====== 2 1 3 −4 2 5 −12 5 −12 4 4 1 1 7 c t2 1 −4 ====== 2.3 1 5 −4 4 1 1 7 d2 :=d2 −d1 0 −11 ====== 6 0 5 −4 4 1 1 dòng 2 ====== 6(−11)(−1)2+3 = −594. 5 −4 Lưu ý. Vì |A | = |A| nên trong quá trình tính đ nh th c ta có th s d ng các phép bi n đ i sơ c p trên c t. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 12 / 29
1. Đ nh nghĩa và các tính ch t Ví d . 3 −4 5 d :=d −d 0 19 −16 2 7 2 2 1 3 −5 4 d4 :=d4 +2d1 1 −8 6 −1 2 ====== 3 −2 d1 :=d1 −2d2 0 44 −27 5 4 3 d :=d −5d 3 3 3 20 −4 8 −3 13 2 5 19 −16 7 c t1 ====== 1.(−1)2+1 44 −27 3 8 −3 13 1195 −751 0 d3 :=d3 −4d2 d2 :=d2 −3d3 548 −342 0 ====== − d1 :=d1 −7d3 −168 105 1 1195 −751 c t1 ====== − = −2858. 548 −342 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 13 / 29
1. Đ nh nghĩa và các tính ch t Ví d . 1 1 1 2 3 632 d1 :=6d1 11 1 11 1 d2 :=12d2 643 ====== . . d3 :=60d3 6 12 60 23 4 20 15 12 11 1 34 5 010 c1 :=c1 −2c2 1 c2 :=c2 −c3 −2 1 1 ====== 4320 c3 :=c3 −2c2 −10 3 6 −2 1 1 1 dòng 1 ====== − = . −10 6 4320 2160 Nh n xét. Trong quá trình tính đ nh th c, phép BĐSC lo i 3 đư c khuy n khích dùng b i nó không thay đ i giá tr đ nh th c. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 14 / 29
1. Đ nh nghĩa và các tính ch t Ví d . Tính đ nh th c c a ma tr n sau     1 1 2 −1 3 2 −1 1  2 3 −2  235 0 0   A= ; B =  .  3 2 6 −2  −3 1 4 −2   −2 1 3 1 41 3 1 K t qu |A| = −19, |B | = −30. Ví d . Tính đ nh th c c a ma tr n sau     −1 7 13 18 6 3 4 2 1 3  2 −3 4 73 4 1 5 1 8      −1 4  ; D =  −4 −7 2 −2 C= 7 9 3 4      −2 3   3 −5 6 93 4 3 5  −2 3 6 −4 6 31 8 1 2 Gi i. |C | = 24; |D| = −174. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 15 / 29
2. Đ nh th c và ma tr n kh ngh ch 2. Đ nh th c và ma tr n kh ngh ch Đ nh nghĩa. Cho A = (aij ) ∈ Mn (K). Đ t C = (cij ) v i cij = (−1)i+j |A(i, j )| là ph n bù đ i s c a aij . Ta g i ma tr n chuy n v C c a C là ma tr n ph h p c a A, ký hi u là adj(A).   2 3 1 Ví d . Cho A =  2 −1 2 . 4 −2 3     −6 10 11 −6 10 7 Khi đó C =  10 −7 1 . Suy ra adj(A) =  10 −7 −2  . 7 −2 −8 1 −8 11 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 16 / 29
2. Đ nh th c và ma tr n kh ngh ch Nh n di n ma tr n kh ngh ch Đ nh lý. Ma tr n vuông A kh ngh ch khi và ch khi |A| = 0.Hơn n a, n u A kh ngh ch thì 1 A−1 = adj(A). |A|   111 Ví d . Tìm ma tr n ngh ch đ o c a A =  2 3 1  . 340 Gi i. Ta có |A| = −2 = 0. Suy ra A kh ngh ch. 31 21 c11 = (−1)1+1 c12 = (−1)1+2 = −4; = 3; 40 30 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 17 / 29
2. Đ nh th c và ma tr n kh ngh ch 23 11 c13 = (−1)1+3 c21 = (−1)2+1 = −1; =4 34 40 c22 = −3; c23 = −1; c31 = −2; c32 = 1; c33 = 1. Suy ra     −4 3 −1 −4 4 −2 C =  4 −3 −1  và adj(A) =  3 −3 1 . −2 −1 −1 1 1 1 Ta có   −4 4 −2 1 1 A−1 3 −3 1 . = adj(A) = |A| −2 −1 −1 1 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 18 / 29
2. Đ nh th c và ma tr n kh ngh ch ab H qu . Ma tr n A = kh ngh ch khi và ch khi cd ad − bc = 0. Khi đó d −b 1 A−1 = . −c a ad − bc 5 −4 1 24 . Suy ra A−1 = Ví d . Cho A = . −3 35 2 −2 Ví d . Tìm ma tr n ngh ch đ o b ng phương pháp đ nh th c c a     1 −5 1 2 1 11 1 3 −1  ⇒ A−1 = −7 −1 A= 2 3 . −2 1 −1 3 5 2 1 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 19 / 29
2. Đ nh th c và ma tr n kh ngh ch Ví d . Tìm t t c các giá tr c a m đ ma tr n sau kh ngh ch   112 1  215 3 A=  5 0 7 m .  −1 2 3 −3    12 1 111 B =  2 3 m  2 3 2 . 3 2 −1 575   111 Ví d . Cho A =  2 3 1  . Tính:|A−1 |; |5A−1 |; |adj (A)|. 335 Ví d . Cho A, B ∈ M3 (K) và |A| = 3, |B | = −2. Tính |(4AB )−1 | và |adj (AB )|. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Đ nh th c 25/04/2010 20 / 29