Bài giảng môn học: Phương pháp tính

Chia sẻ: Trần Công Chính | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:85

Thêm vào BST

Báo xấu

310
lượt xem 91
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đại số tuyến tính là một ngành toán học nghiên cứu về không gian vectơ, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng.Các khái niệm vectơ trong không gian vectơ, ma trận và các định thức là những công cụ rất quan trọng trong đại số tuyến tính.Đại số tuyến tính được sử dụng nhiều trong toán học, như trong đại số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích... để giải các bài toán như phép quay trong không gian, nội suy bình phương nhỏ nhất, nghiệm của hệ phương trình vi...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng môn học: Phương pháp tính

Phương pháp tính 1
Chương 1: Một số phương pháp tính toán trong đại số tuyến tính 1.1. Ma trận và định thức 1. Định thức của một ma trận  a11 a12 ... a1n  a a22 ... a2n  Ma trận A= (1.1)   21 . . . ...   am1 a m 2 ... amn   n ∑ aij Aij det A= , với j bất kỳ, 1 ≤ j ≤ n (1.2a) i =1 n det A= , với i bất kỳ, 1 ≤ i ≤ n (1.2b) ∑ aij Aij 2 j =1
Định lý: nhân 1 hàng hoặc 1 cột của ma trận A với 1 số khác 0, sau đó đem • cộng các thành phần tương ứng vào một hàng hoặc một cột khác của ma trận đó thì giá trị của định thức không thay đổi b11 b12 ... b1n  B = (1.3) 0 b  22 ... b2 n   . . ... .    0 0 ... bnn  Áp dụng CT (1.2a) với j = 1 ta được b22 ... b2n  b23 det A = det b11 0 ... b3n  b33   . ... .  .   0 0 ... bnn  b33 b34 ... b3n  Tiếp tuc ⇒det A = det b11 b22 0 b ... b4n    44 . ... .  .   0 0 ... bnn  b  b = det = −1,n  b11...bn − 2, n − 2 b11...bn, n n −1, n −1 n 0 bn, n   3
Các bước chuyển từ ma trận A về ma trận B Xét 2 hàng đầu của ma trận A : a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2 n Nhân hàng đầu với 1 số rồi cộng kết quả đó vào hàng thứ 2 sao cho b21= 0 a a11 a21 / a11 b21 = a21 − 21 0 a11 0) ⇒ số đó là – = ( ≠ a11 Các thành phần còn lại của hàng thứ 2 sẽ là: • a21a1 j =a − b 11 a , j = 1,2,…n 2j 2j Tiếp tục với hàng thứ 3, 4, …cho đến hàng thứ i • ai1a1 j b =a − , j = 1,2,…n (1.4) ij ij a11 4
Theo (1.2), với j = 1 • b22 b23 ... b2 n  b b33 ... b3n  a11 a12 ... a1n   32  0 b  a11 22 ... b2 n  . . ... .   det A = ⇒ det A = det   . . ... .  bn 2 bn3 ... bnn    0 0 ... bnn   b22 b23 ... b2 n  b22 b23 ... b2 n  0 c33 ... c3n  b ... b3n  a11 det   b  32 33  . . ... .  Lặp lại với ⇒ det A = . . ... .      0 cn3 ... cnn  bn 2 bn3 ... bnn  bi 2b2 j cij = bij − , j = 2,.., n b22 ở hàng thứ i: bij , cij Thay cho ký hiệu và công thức (1.4) ta dùng aill −1) aljl −1) ( ( aijl ) = aijl −1) − ( ( , a1 0) = a1 j ( j (l −1) (1.5) all l = 1,2,.., n; i = l + 1,..., ; j = i + 1,..., n 5
a11 a12 a1n  ...  0 a (1) a21)  ( ... ⇒ det A = det  n = a11 ) × a22) × ... × ann−1) 22 (0 (1 (n . . . ...   ... ann−1)  (n 0 0 6
2. Ma trận nghich đảo 1là ma trận nghich đảo của ma trận A A− ⇔ A−1 A = AA−1 = 1 Cách tìm mt nghich đảo C1: tính giá trị phần bù đại số , i,j=1,2,…,n Aij  A11 An1  A21 ...  ... An 2  1  A12 A22  −1 A= (1.6) det A  . ... .  .    A1n A2 n ... Ann  C2: Viết thêm mt I vào bên phải ma trận A  a11 a12 ... a1n 1 0 ... 0 a  21 a22 ... a2 n 0 1 ... 0 [ A, I ] =   . (1.7) . . ... .  . ... .    an1 an 2 ... ann 0 0 ... 1 7
1 0 ... 0 c1, n +1 c1, n + 2 ... c1, 2 n  0 1 ... 0 c  Sau khi biến đổi (1.8)c2, 2 n  c2, n + 2 ... [ A, I ] =  2, n +1  . . ... . . . . ...   0 0 ... 1 cn, n +1 cn, n + 2 ... cn, 2 n    c1, n +1 c1, n +1 ... c1, 2 n  c ... c2, 2 n  −1  2, n +1 c2, n + 2  A= . . . ...   cn, n +1 cn, n + 2 ... cn, 2n  cij Cách tìm ta áp dụng công thức (1.5) a11 B1: chia hàng đầu của (1.7) cho  1 a12 / a11 ... a1n / a11 1 / a11 0 ... 0 a 1 ... 0 a22 ... a2 n 0 [ A, I ] =  21  . . ... .  . ... . .    an1 an 2 ... ann 0 0 ... 1 8
B2: nhân hàng 1 với ra21 ộng vào hàng 2 ⇒ − ồi c j=2,3,…,n+1 a21j) = a2 j − a21 / a11 ( Tiếp tục áp dụng với hàng thứ l Vậy có 2 bước tìm mt nghich đảo aljl −1) ( alll −1) Với mỗi hàng thứ l, chia tất cả cho ,j=l,…,n+l ( aijl −1) ( Với mỗi i=1,2,…,n; i ≠ l ta thay bằng aill −1) aljl −1) ( ( aijl ) = aijl −1) − ( ( , l = l ,.., n + l alll −1) ( −1 aljl ) = aljl −1) / alll −1) ( ( ( A ⇒ Tìm trở thành tìm (1.9) 9
1.2. Hệ phương trình đại số tuyến tính Công thức Kramer a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 Cho hệ pt sau: a21x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 (1.10) .......... .......... .......... .......... ...... an1x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn Hệ pt này có thể viết dưới dạng:  a11 a12 ... a1n   x1   b1  a  x  b  a22 ... a2 n  21   2  2 A= x= b= . . ... .  . .      an1 a n 2 ... ann   xn  bn  x = A−1b det A≠ 0 thi (1.10) có nghiệm tính theo CT b1 A11 + b2 A21 + ... + bn An1 x1 = det A b A + b A + ... + bn An 2 x2 = 1 12 2 22 det A .......... .......... .......... .......... ....... b1 A1n + b2 A2 n + ... + bn Ann xn = 10 det A
Có thể viết cách khác:  b1 ... a1n  a12  ... a2 n  1 b2 a22  x1 = det A  . ... .  .   bn an2 ... ann   a11 a12 a1, j +1 ... a1n  ... a1, j −1 b1  a2, j +1 ... a2 n  1 a21 a22 ... a2 n b2  xj = det A  . ... .  . ... .. .    an1 a n 2 ... an, j −1 bn an, j +1 ... ann   a11 a12 ... a1, n −1 b1  a ... a2, n −1 b2  1  21 a22  xn = det A  . . . . ...    an1 a n 2 ... an, n −1 bn  11
1. Phương pháp trực tiếp a) Phương pháp khử dùng ma trận nghịch đảo Ý tưởng: Thêm ma trận I vào bên phải của ma trận A ta được ma trận [A,I] dạng (1.7). Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp lên các hàng của ma trận [A,I] cho đến khi [A,I] ở dạng (1.8). Khi đó nghiệm của phương trình (1.10): x1 = b1c1, n +1 + b2c1, n + 2 + ... + bnc1, 2 n x2 = b1c2, n +1 + b2c2, n + 2 + ... + bnc2, 2 n .......... .......... .......... .......... .......... ...... x1 = b1cn, n +1 + b2cn, n + 2 + ... + bncn, 2 n n xi = ∑ ci , n + j b j ,i = 1,2,..., n ⇒ j =1 12
b) Phương pháp khử Gauss Cho hệ pt đại số tuyến tính sau: a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a1, n +1 a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = a2, n +1 (1.11) .......... .......... .......... .......... ...... an1x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = an, n +1 G/sử ta áp dụng CT (1.5) cho TH l=1 lên (1.11) ta được a11 ≠ 0 a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a1, n +1 a (1) x2 + ... + a (1 xn = a (1) 2 , n +1 (1.12) 22 2n .......... .......... .......... ......... a (1) x2 + ... + a (1) xn = a (1) n , n +1 n2 nn Tiếp tục, nếu th0 (1.12) được đưa về dạng a22 ≠ ì (1) a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = a1, n +1 a (1) x2 + a (1) x3 + ... + a (1) xn = a (1) 2 , n +1 22 23 2n a ( 2) x3 + ... + a ( 2) xn = a ( 2) 3 , n +1 33 3n .......... .......... .......... .......... ... a ( 2) x3 + ... + a ( 2) xn = a ( 2) 13 3 , n +1 n3 3n
Tiếp tục cho đến n1 lần: a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = a1, n +1 a (1) x2 + a (1) x3 + ... + a (1) xn = a (1) 2 , n +1 22 23 2n a ( 2) x3 + ... + a ( 2) xn = a ( 2) 3 , n +1 33 3n .......... .......... .......... .......... ... a ( n −1) xn = a (n) n , n +1 nn Nghiệm của hệ pt là: ( −1) annn +1 , xn = ann−1) (n n 1 ∑ ( i −1) aiji −1) x j ) ( (1.14) xi = (a i , n +1− aiii −1) ( j = i +1 j = n − 1,...,1 14
c) Phép khử Jordan Tương tự phép khử Gauss chỉ khác là ở bước thứ l các thành (l −1) all phần bên trên và bên dưới đều được đưa về 0. Kết quả ta có hệ pt aiii −1) xi = ai(,n −1) ( n +1 ⇒ Nghiệm của hệ pt là: ai(,n −1) n +1 xi = aiii −1) ( 15
d) Phương pháp Cholesky (giải pt 1.10) Đk:  a11 a13  a12  a11 a12  ≠ 0 ; det a21 a23  ≠ 0 ... det A ≠ 0 a11 ≠ 0 det  a22 a22    a21   a31 a33  a32   Ma trận A=LU u11 u12 u13 ... u1n  1 0 0 ... 0 0 u ... u2 n  l 0 ... 0 22 u23 1     21 U = 0 ... u3n  L = l31 l32 1 ... 0 0 u33 Ma trận ; Ma trận     . . . ... .  . . . ... .   0 ... unn  ln1 ln 2 ln3 ... 1 0 0     Đặt Ux=y ⇒ Ly=b. Do đó ta có 2 hệ pt cần giải 16
 y1  b1  1 0 ... 0 0 Hệ thứ nhất:  y  b  l ... 0 1 0  2  2  21   y3  = b3  ... 0 × l31 l32 1    . . . ... .  ..  ..   yn  bn  ln1 ln 2 ... 1 ln 3    y1 = b1 nghiệm của hệ này là: i −1 yi = bi − ∑ lij y j i = 2,3,..., n j =1  x1   y1  u11 u12 u1n  u13 ... Hệ thứ 2: x   y  0 u u2 n  u23 ...  2  2   22  x3  =  y3  0 u3 n  × 0 u33 ...    . . . ... . ..  ..   xn   y n  0 unn  0 0 ...    xn = yn / unn nghiệm của hệ này là: n 1 ∑ uij x j ) xi = ( yi − i = 2,3,..., n uii j = i +1 17
 Tìm lij , uij  a11 a12 ... a1n  1 0 0 ... 0 u11 u12 u13 ... u1n  LU=A ⇔ x = l 0 ... 0  0 u22 u23 ... u2 n  a ... a2 n  1 a22  21    21  l31 l32 1 ... 0  0 ... u3n  0 u33 . ... .    .  . . . ... .  . . . ... .    ln1 ln 2 ln3 ... 1  0  an1 a n 2 ... ann  ... unn    0 0  Nhận thấy u1 j = a1 j , j = 1,2,..., n Cột thứ nhất của L: li1u11 = ai1 , i = 2,3,..., n ⇒ li1 = ai1 / u11 Hàng thứ 2 của U: l21u1 j + u2 j = a2 j ⇒ u2 j = a2 j − l21 u1 j i = 2,3,..., n Cột thứ 2 của L: 1 ( ai 2 − li1u12 ) li1u12 + li 2u22 = ai 2 ⇒ li 2 = i = 3,4,..., n u22 18
Hàng thứ i của U và cột thứ j của L i −1 uij = aij − ∑ lik ukj i≤ j k =1 j −1 1  lij =  aij − ∑ lik ukj  i> j uij     k =1 19
2. Phương pháp lặp -Tính chéo trội: n ∑ aij aij > i = 1,2,...n j =1, j ≠ i a) Phương pháp lặp Gauss-Seidel Cho hệ phương trình Biến đổi x1 = (−a12 / a11 ) x2 + (− a13 / a11 ) x3 + ... + (−a1n / a11 ) xn + a1n +1 / a11 x2 = (− a21 / a22 ) x1 + (−a23 / a22 ) x3 + ... + (− a2 n / a22 ) xn + a2 n +1 / a11 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ xn = (− an1 / ann ) x1 + (−an 2 / ann ) x2 + ... + (− an, n −1 / ann ) xn −1 + ann +1 / ann 20