zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Bài giảng môn Toán Đại số A1: Chương: Số phức

Chia sẻ: Phan Thi Ngoc Giau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Báo xấu

32
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo toán học

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng môn Toán Đại số A1: Chương: Số phức

Bài gi ng môn h c Đ i s A1 Chương 0: S PH C Lê Văn Luy n lvluyen@yahoo.com www.math.hcmus.edu.vn/∼lvluyen/09tt Đ i h c Khoa H c T Nhiên Tp. H Chí Minh Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 1 / 24
N i dung Chương 0. S PH C 1. D ng đ i s c a s ph c 2. D ng lư ng giác c a s ph c 3. Căn c a s ph c 4. Đ nh lý cơ b n c a Đ i s Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 2 / 24
1. D ng đ i s c as ph c 1. D ng lư ng giác c a s ph c Đ nh nghĩa. Ta ký hi u i là s th a mãn đi u ki n i2 = −1. Khi đó i ∈ R nên i / đư c g i là đơn v o . ph c đư c ký hi u C và Tps C = {a + bi | a, b ∈ R}. c a s ph c là: z = a + bi, trong đó D ng đ i s • a : đư c g i là ph n th c c a s ph c z , ký hi u Re(z). • b : đư c g i là ph n o c a s ph c z , ký hi u là Im(z). Ví d . Cho z = 3 − 2i. Khi đó Re(z ) = 3 và Im(z ) = −2. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 3 / 24
1. D ng đ i s c as ph c Phép toán trên s ph c Ta đ nh nghĩa phép toán c ng tr , nhân, chia trên C m t cách t nhiên như trên R (chú ý i2 = −1.) M nh đ . Cho z = a + ib; z = c + id. Khi đó • z = z ⇔ a = c, b = d; • z ± z = (a ± c) + i(b ± d); • zz = (ac − bd) + i(ad + bc); (ac + bd) + i(bc − ad) z • N u z = 0 thì = . c2 + d2 z Ví d . 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22 .5i + 3.2.52 i2 + 53 i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 4 / 24
1. D ng đ i s c as ph c S ph c liên h p Đ nh nghĩa. Cho s ph c z = a + ib. Ta g i s ph c liên h p c a z , ký hi u là ¯, là s ph c a − ib. z Đ nh lý. V i m i s ph c z, z , ta có ¯ i) z = 0 ⇔ z = 0; ¯ ii) z = z ; ¯ z−z z+z ¯ ¯ iii) Re(z ) = và Im(z ) = ; 2 2i iv) z ± z = z ± z ; ¯¯ v) zz = z z ; ¯¯ z z ¯ vi) = (z = 0). z z ¯ Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 5 / 24
1. D ng đ i s c as ph c Môđun c a s ph c Nh n xét. i) z = z ⇔ Im(z ) = 0, nghĩa là z ∈ R. ¯ ii) z = −z ⇔ Re(z ) = 0, nghĩa là z = ib, b ∈ R. Trong trư ng h p ¯ z = ib ta nói z là s thu n o. Đ nh nghĩa. Cho s ph c z = a + ib. Ta g i môđun c a z, ký hi u là √ |z|, là s th c không âm |z | = a2 + b2 . Ví d . V i z = 3 − 4i, ta có √ 32 + (−4)2 = |z | = 25 = 5. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 6 / 24
1. D ng đ i s c as ph c Ví d . Cho các s ph c z = 3 − 4i; z = −6 + 8i. Hãy tìm môđun c a z, z ; z + z ; z − z ; zz ; z/z ; z 4 và z −3 . Gi i. 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z 4 = |z |4 = 54 = 625; |z | = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z −3 = |z |−3 = 10−3 = 0, 001; |z | = (−3)2 + 42 = 5; z + z = −3 + 4i ⇒ |z + z | = 92 + (−12)2 = 15; z − z = 9 − 12i ⇒ |z − z | = |zz | = |z | |z | = 5.10 = 50; |z | z 5 1 = = =. |z | z 10 2 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 7 / 24
2. D ng lư ng giác c a s ph c 2. D ng lư ng giác c a s ph c Cho s ph c z = a + bi. Khi đó có th xem z như là đi m M (a, b) m t ph ng t a đ Oxy và ta g i M là bi u di n hình h c c a z. y 6 • M (a, b) ⇔ z = ai + b b > ϕ -x O a G i ϕ là góc đ nh hư ng (Ox, OM ) và r là đ dài đo n OM . Khi đó a2 + b2 , r= a = r cos ϕ, b = r sin ϕ. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 8 / 24
2. D ng lư ng giác c a s ph c Như v y z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). D ng bi u s ph c theo r và ϕ đư c g i là d ng lư ng giác c a z . Trong đó • r là môđun c a z , r = |z | • ϕ đư c g i là đ i s (hay argument ) c a z , ký hi u ϕ = arg(z ). Ví d . π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3 π π • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3 2π 2π • −1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3 4π 4π • −1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 9 / 24
2. D ng lư ng giác c a s ph c M nh đ . Cho các s ph c z, z = 0 dư i d ng lư ng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ), z = r (cos ϕ + i sin ϕ ). Khi đó • zz = rr [cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )]; z r • = [cos(ϕ − ϕ ) + i sin(ϕ − ϕ )]. z r Ví d . Vi t các s ph c sau dư i d ng lư ng giác: √ 1−i z2 = √ z1 = (1 − i)( 3 − i); . 3−i Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 10 / 24
2. D ng lư ng giác c a s ph c Gi i. Ta có √√ √ √ 2 2 π π 1−i = −i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 2( √2 2 4 4 √ 3 1 π π 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ ππ ππ z1 = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 4 6 4 6 √ 5π 5π = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1−i 2 ππ ππ z2 = √ cos(− + ) + i sin(− + ) = 2 4 6 4 6 3−i √ 2 π π cos(− ) + i sin(− ) . = 2 12 12 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 11 / 24
2. D ng lư ng giác c a s ph c Công th c Moivre Đ nh lý. [công th c Moivre] Cho s ph c z = 0 dư i d ng lư ng giác: z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi đó v i m i s nguyên n ta có z n = rn (cos nϕ + i sin nϕ). (4) Ví d . Tính (1 − i)1945 Gi i. Ta vi t 1 − i dư i d ng lư ng giác √ π π 1−i= 2 cos − + i sin − . 4 4 Theo công th c Moivre ta có √ π π 1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 12 / 24
2. D ng lư ng giác c a s ph c √ π π 1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 √ 1945π 1945π 1945 cos − + i sin − = 2 4 4 √ π π = 2972 2 cos − + i sin − 4 4 = 2972 (1 − i). Ví d . Tính cos 3x theo cos x và sin 3x theo sin x. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 13 / 24
2. D ng lư ng giác c a s ph c Gi i. Đ t z = cos x + i sin x. Theo công th c Moivre ta có z 3 = cos 3x + i sin 3x. M t khác z 3 = (cos x + i sin x)3 = cos3 x + 3 cos2 x(i sin x) + 3 cos x(i sin x)2 + (i sin x)3 = (cos3 x − 3 cos x sin2 x) + i(3 cos2 x sin x − sin3 x). Suy ra cos 3x = cos3 x − 3 cos x sin2 x = 4 cos3 x − 3 cos x; sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x = 3 sin x − 4 sin3 x. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 14 / 24
3. Căn c a s ph c 3. Căn c a s ph c Đ nh nghĩa. Căn b c n > 0 c a s ph c u là s ph c z th a z n = u. Đ nh lý. M i s ph c u = 0 đ u có đúng n căn b c n đ nh b i √ ϕ + k 2π ϕ + k 2π n zk = r cos + i sin , (1) n n v i k ∈ 0, n − 1, trong đó r = |z |, ϕ = arg(z ). Ví d . Tìm căn b c 5 c a 1. Gi i. Ta vi t 1 dư i d ng lư ng giác 1 = cos 0 + i sin 0. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 15 / 24
3. Căn c a s ph c 1 = cos 0 + i sin 0. Theo công th c (1), ta có các căn b c 5 c a 1 là k 2π k 2π zk = cos + i sin v i k = 0, 1, 2, 3, 4. 5 5 Đó là các s ph c: z0 = 1; 2π 2π z1 = cos + i sin ; 5 5 4π 4π z2 = cos + i sin ; 5 5 6π 6π z3 = cos + i sin ; 5 5 8π 8π z4 = cos + i sin . 5 5 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 16 / 24
3. Căn c a s ph c Ví d . Tìm căn b c 3 c a 1 + i. Gi i. Ta vi t 1 + i dư i d ng lư ng giác √ π π 1 + i = 2 cos + i sin . 4 4 Theo công th c (1), các căn b c 3 c a 1 + i là π π + k 2π + k 2π √ 4 + i sin 4 6 zk = 2 cos v i k = 0, 1, 2. 3 3 V y 1 + i có 3 căn b c 3 là √ π π 6 z0 = 2 cos + i sin ; 12 12 √ 9π 9π 6 z1 = 2 cos + i sin ; 12 12 √ 17π 17π 6 z2 = 2 cos + i sin . 12 12 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 17 / 24
3. Căn c a s ph c Căn b c hai c a s ph c Đ nh lý. Cho s ph c u = a + ib = 0. Khi đó u có 2 căn b c hai đ i nhau z = x + iy , trong đó √  2 2  x = a+ a +b ; 2  2 √ a − a2 + b2 2 y = − .  2 Hơn n a, tích s xy luôn luôn cùng d u v i b (n u b = 0). Ví d . Tìm căn b c hai c a s ph c z = 3 + 4i. 2  x = 4; y 2 = 1; Gi i. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra xy > 0 (vì b = 4 > 0).  V y căn b c hai c a z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 18 / 24
3. Căn c a s ph c Phương trình b c hai Đ nh lý. Phương trình b c hai az 2 + bz + c = 0 v i a, b, c ∈ C, a = 0, luôn luôn có các nghi m đ nh b i √ −b ± ∆ , trong đó ∆ = b2 − 4ac, z= 2a √ v i quy ư c ∆ là m t trong hai căn b c hai c a s ph c ∆. Ví d . Gi i phương trình ph c 2z 2 + (2i + 1)z + 8i + 11 = 0. Gi i. Ta có ∆ = b2 − 4ac = (2i + 1)2 − 4.2(8i + 11) = −91 − 60i. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 19 / 24
3. Căn c a s ph c G i z = x + iy là m t căn b c hai c a ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 2 x= = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 2 y =− = 100. 2 xy < 0 (cùng d u v i −60). V y z = ±(3 − 10i) là các căn b c hai c a ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghi m phương trình đã cho là √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 = − 3i; z1 = = 2a 2.2 2 √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) = −1 + 2i. z2 = = 2a 2.2 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 0: S ph c 03/04/2010 20 / 24

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.