intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng môn xác suất thống kê - Ths Đoàn Vương Nguyên

Chia sẻ: Nguyen Thuy Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST
Báo xấu
583
lượt xem 67
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Những hiện tượng mà cho dù khi được thực hiện trong một điều kiện vẫn có thể sẽ cho ra các kết quả khác nhau được gọi là những hiện tượng ngẫu nhiên, chẳng hạn gieo một hạt lúa ở điều kiện bình thường thì hạt lúa có thể nảy mầm cũng có thể không nảy mầm. Hiện tượng ngẫu nhiên chính là đối tượng khảo sát của lý thuyết xác suất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng môn xác suất thống kê - Ths Đoàn Vương Nguyên

  1. BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ Biên soạn: Ths Đoàn Vương Nguyên
  2. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com PHẦN II. LÝ THUYẾT THỐNG KÊ XÁC SU T & TH NG KÊ TH NG (Statistical theory) Đ IH C Chương 6. Mẫu thống kê và Ước lượng tham số Chương 7. Kiểm định Giả thuyết Thống kê PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH CH Chương 8. Bài toán Tương quan và Hồi quy S ti t: 30 ti Tài liệu tham khảo --------------------- PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – NXB Thống kê. (Probability theory) 2. Đinh Ngọc Thanh – Giáo trình Xác suất Thống kê Chương 1. Xác suất của Biến cố – ĐH Tôn Đức Thắng Tp.HCM. Chương 2. Biến ngẫu nhiên 3. Đặng Hùng Thắng – Bài tập Xác suất; Thống kê Chương 3. Phân phối Xác suất thông dụng – NXB Giáo dục. Chương 4. Vector ngẫu nhiên 4. Lê Sĩ Đồng – Xác suất – Thống kê và Ứng dụng Chương 5. Định lý giới hạn trong Xác suất – NXB Giáo dục. 5. Đào Hữu Hồ – Xác suất Thống kê PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT – NXB Khoa học & Kỹ thuật. (Probability theory) 6. Đậu Thế Cấp – Xác suất Thống kê – Lý thuyết và các bài tập – NXB Giáo dục. Chương 1. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 7. Phạm Xuân Kiều – Giáo trình Xác suất và Thống kê §1. Biến cố ngẫu nhiên – NXB Giáo dục. §2. Xác suất của biến cố 8. Nguyễn Cao Văn – Giáo trình Lý thuyết Xác suất §3. Công thức tính xác suất & Thống kê – NXB Ktế Quốc dân. ………………………………………………………………………… 9. F.M. Dekking – A modern introduction to Probability §1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN and Statistics – Springer Publication (2005). 1.1. Hiện tượng ngẫu nhiên Biên so n: ThS. Đoàn Vương Nguyên Người ta chia các hiện tượng xảy ra trong đời sống Download Slide bài gi ng XSTK_ĐH t i Download ng hàng này thành hai loại: tất nhiên và ngẫu nhiên. dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. • Những hiện tượng mà khi được thực hiện trong cùng 1.2. Phép thử và biến cố một điều kiện sẽ cho ra kết quả như nhau được gọi là • Để quan sát các hiện tượng ngẫu nhiên, người ta cho những hiện tượng tất nhiên. các hiện tượng này xuất hiện nhiều lần. Việc thực hiện Chẳng hạn, đun nước ở điều kiện bình thường đến một quan sát về một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó, để 1000C thì nước sẽ bốc hơi; một người nhảy ra khỏi máy xem hiện tượng này có xảy ra hay không được gọi là bay đang bay thì người đó sẽ rơi xuống là tất nhiên. một phép thử (test). • Những hiện tượng mà cho dù khi được thực hiện trong • Khi thực hiện một phép thử, ta không thể dự đoán được cùng một điều kiện vẫn có thể sẽ cho ra các kết quả kết quả xảy ra. Tuy nhiên, ta có thể liệt kê tất cả các kết khác nhau được gọi là những hiện tượng ngẫu nhiên. quả có thể xảy ra. Chẳng hạn, gieo một hạt lúa ở điều kiện bình thường Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một thì hạt lúa có thể nảy mầm cũng có thể không nảy mầm. phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử Hiện tượng ngẫu nhiên chính là đối tượng khảo sát của đó. Ký hiệu là . lý thuyết xác suất. Xác su t - Th ng kê Đ i h c 1
  3. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. A = {4; 4, 5;...; 10} , B = {0; 0, 5;...; 3, 5} ,… Mỗi phần tử ω ∈ được gọi là một biến cố sơ cấp. Mỗi tập A ⊂ được gọi là một biến cố (events). là các biến cố. Các biến cố A, B có thể được phát biểu lại là: VD 1. Xét một sinh viên thi hết môn XSTK, thì hành động của sinh viên này là một phép thử. A : “sinh viên này thi đạt môn XSTK”; B : “sinh viên này thi hỏng môn XSTK”. Tập hợp tất cả các điểm số: = {0; 0, 5; 1; 1, 5;...; 9, 5; 10} • Trong một phép thử, biến cố mà chắc chắn sẽ xảy ra được gọi là biến cố chắc chắn. Ký hiệu là . mà sinh viên này có thể đạt là không gian mẫu. Biến cố không thể xảy ra được gọi là biến cố rỗng. Các phần tử: Ký hiệu là ∅. ω1 = 0 ∈ , ω2 = 0, 5 ∈ ,…, ω21 = 10 ∈ VD 2. Từ nhóm có 6 nam và 4 nữ, ta chọn ngẫu nhiên là các biến cố sơ cấp. ra 5 người. Khi đó, biến cố “chọn được ít nhất 1 nam” Các tập con của : là chắc chắn; biến cố “chọn được 5 người nữ” là rỗng. Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. 1.3. Quan hệ giữa các biến cố b) Tổng và tích của hai biến cố a) Quan hệ tương đương • Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố, biến cố này xảy ra khi A xảy ra hay B xảy ra trong một phép Trong 1 phép thử, biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu khi A xảy ra thì B xảy ra. Ký hiệu là A ⊂ B . thử (ít nhất một trong hai biến cố xảy ra). Ký hiệu là A ∪ B hay A + B . Hai biến cố A và B được gọi là tương đương với nhau nếu A ⊂ B và B ⊂ A . Ký hiệu là A = B . • Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, biến cố này xảy ra khi cả A và B cùng xảy ra trong một phép VD 3. Quan sát 4 con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày. Gọi thử. Ký hiệu là A ∩ B hay AB . Ai : “có i con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày”, i = 0, 4 . VD 4. Một người thợ săn bắn hai viên đạn vào một con A: “có 3 hoặc 4 con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày”. thú và con thú sẽ chết nếu nó bị trúng cả hai viên đạn. B : “có nhiều hơn 2 con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày”. Gọi Ai : “viên đạn thứ i trúng con thú” (i = 1, 2); Khi đó, ta có: A3 ⊂ B , A2 ⊄ B , B ⊂ A và A = B . A : “con thú bị trúng đạn”; B : “con thú bị chết”. Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. Khi đó, ta có: A = A1 ∪ A2 và B = A1 ∩ A2 . c) Biến cố đối lập Trong 1 phép thử, biến cố A được gọi là biến cố đối lập VD 5. Xét phép thử gieo hai hạt lúa. (hay biến cố bù) của biến cố A nếu và chỉ nếu khi A Gọi N i : “hạt lúa thứ i nảy mầm”; xảy ra thì A không xảy ra và ngược lại, khi A không K i : “hạt lúa thứ i không nảy mầm” (i = 1, 2); xảy ra thì A xảy ra. A : “có 1 hạt lúa nảy mầm”. Vậy ta có: A = \ A. Khi đó, không gian mẫu của phép thử là: VD 6. Từ 1 lô hàng chứa 12 chính phẩm và 6 phế phẩm, = {K1K 2 ; N 1K 2 ; K1N 2 ; N 1N 2 }. người ta chọn ngẫu nhiên ra 15 sản phẩm. Gọi Ai : “chọn được i chính phẩm”, i = 9,10,11,12 . Các biến cố tích sau đây là các biến cố sơ cấp: Ta có không gian mẫu là: ω1 = K1K 2, ω2 = N 1K 2, ω3 = K1N 2 , ω4 = N 1N 2 . = A9 ∪ A10 ∪ A11 ∪ A12 , Biến cố A không phải là sơ cấp vì A = N 1K 2 ∪ K1N 2 . và A10 = \ A10 = A9 ∪ A11 ∪ A12 . Xác su t - Th ng kê Đ i h c 2
  4. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. 1.4. Hệ đầy đủ các biến cố b) Hệ đầy đủ các biến cố Trong một phép thử, họ gồm n biến cố {Ai } , i = 1, n a) Hai biến cố xung khắc Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau được gọi là hệ đầy đủ khi và chỉ khi có duy nhất biến cố Ai , i0 ∈ {1; 2;...; n } của họ xảy ra. Nghĩa là: trong một phép thử nếu A và B không cùng xảy ra. 0 1) Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i ≠ j và 2) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = VD 7. Hai sinh viên A và B cùng thi môn XSTK. . Gọi A : “sinh viên A thi đỗ”; VD 8. Trộn lẫn 4 bao lúa vào nhau rồi bốc ra 1 hạt. B : “chỉ có sinh viên B thi đỗ”; Gọi Ai : “hạt lúa bốc được là của bao thứ i ”, i = 1, 4 . C : “chỉ có 1 sinh viên thi đỗ”. Khi đó, A và B là xung khắc; B và C không xung khắc. Khi đó, hệ {A1; A2 ; A3 ; A4 } là đầy đủ. Chú ý Chú ý Trong 1 phép thử, hệ {A; A} là đầy đủ với A tùy ý. Trong VD 7, A và B xung khắc nhưng không đối lập. …………………………………………………………………………………… Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. 2.1. Định nghĩa xác suất dạng cổ điển §2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Xét một phép thử với không gian mẫu = {ω1;...; ωn } Quan sát các biến cố đối với một phép thử, mặc dù không thể khẳng định một biến cố có xảy ra hay không và biến cố A ⊂ có k phần tử. Nếu n biến cố sơ cấp nhưng người ta có thể phỏng đoán khả năng xảy ra của có cùng khả năng xảy ra (đồng khả năng) thì xác suất các biến cố này là ít hay nhiều. Khả năng xảy ra khách của biến cố A được định nghĩa là: quan của một biến cố được gọi là xác suất (probability) Soá tröôøng hôïp A xaûy ra k của biến cố đó. P (A) = =. Soá tröôøng hôïp coù theå xaûy ra n Xác suất của biến cố A, ký hiệu là P (A), có thể được định nghĩa bằng nhiều dạng sau: VD 1. Một công ty cần tuyển hai nhân viên. Có 4 người dạng cổ điển; nữ và 2 người nam nộp đơn ngẫu nhiên (khả năng trúng dạng thống kê; tuyển của 6 người là như nhau). Tính xác suất để: dạng tiên đề Kolmogorov; 1) cả hai người trúng tuyển đều là nữ; dạng hình học. 2) có ít nhất một người nữ trúng tuyển. Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. 2.2. Định nghĩa xác suất dạng thống kê VD 2. Từ một hộp chứa 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm • Nếu khi thực hiện một phép thử nào đó n lần, thấy có người ta chọn ngẫu nhiên ra 5 sản phẩm. k Tính xác suất để có: được gọi là tần k lần biến cố A xuất hiện thì tỉ số 1) cả 5 sản phẩm đều tốt; 2) đúng 2 phế phẩm. n suất của biến cố A. • Khi n thay đổi, tần suất cũng thay đổi theo nhưng luôn k VD 3. Tại một bệnh viện có 50 người đang chờ kết quả dao động quanh một số cố định p = lim . n →∞ n khám bệnh. Trong đó có 12 người chờ kết quả nội soi, 15 người chờ kết quả siêu âm, 7 người chờ kết quả cả • Số p cố định này được gọi là xác suất của biến cố A nội soi và siêu âm. Gọi tên ngẫu nhiên một người trong theo nghĩa thống kê. 50 người này, hãy tính xác suất gọi được người đang k Trong thực tế, khi n đủ lớn thì P (A) ≈ . chờ kết quả nội soi hoặc siêu âm? n Xác su t - Th ng kê Đ i h c 3
  5. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. VD 4. 2.3. Định nghĩa xác suất dạng hình học (tham khảo) • Pearson đã gieo một đồng tiền cân đối, đồng chất Cho miền . Gọi độ đo của 12.000 lần thấy có 6.019 lần xuất hiện mặt sấp (tần là độ dài, diện tích, thể tích suất là 0,5016); gieo 24.000 lần thấy có 12.012 lần (ứng với là đường cong, xuất hiện mặt sấp (tần suất là 0,5005). miền phẳng, khối). Xét điểm M rơi ngẫu nhiên vào miền . • Laplace đã nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái ở London, Petecbua và Berlin trong 10 năm và đưa ra tần suất sinh bé gái là 21/43. Gọi A: “điểm M rơi vào miền S ⊂ ”, ta có: • Cramer đã nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái ở Thụy Điển ñoä ño S trong năm 1935 và kết quả có 42.591 bé gái được sinh P (A) = . ra trong tổng số 88.273 trẻ sơ sinh, tần suất là 0,4825. ñoä ño Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. VD 5. Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình tròn nội VD 6. Hai người bạn hẹn gặp nhau tại 1 địa điểm xác tiếp tam giác đều có cạnh 2 cm. định trong khoảng từ 7h đến 8h. Mỗi người đến (và chắc chắn đến) điểm hẹn một cách độc lập, nếu không Giải. Gọi A: “điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp”. gặp người kia thì đợi 30 phút hoặc đến 8 giờ thì không Diện tích của tam giác là: đợi nữa. Tìm xác suất để hai người gặp nhau. 22. 3 = 3 cm 2 . dt( ) = Giải. Chọn mốc thời gian 7h là 0. 4 Gọi x, y (giờ) là thời gian Bán kính của hình tròn là: tương ứng của mỗi người 123 3 r= . = cm đi đến điểm hẹn, ta có: 32 3 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.  3 2 π π  ⇒ dt(S ) = π   = ⇒ P (A) = Suy ra là hình vuông = 0, 6046 . 3   3 có cạnh là 1 đơn vị.  33 Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. Từ điều kiện, ta có: §3. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT x − y ≤ 0, 5 x − y − 0, 5 ≤ 0   x − y ≤ 0, 5 ⇔  ⇔ 3.1. Công thức cộng xác suất   x − y ≥ −0, 5 x − y + 0, 5 ≥ 0.   Xét một phép thử, ta có các công thức cộng xác suất sau   Suy ra, miền gặp nhau gặp nhau của hai người là S : • Nếu A và B là hai biến cố tùy ý: {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x − y − 0, 5 ≤ 0, x − y + 0, 5 ≥ 0}. P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ). dt (S ) 3 Vậy p = = = 75% . • Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: dt( ) 4 P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ). 2.4. Tính chất của xác suất • Nếu họ {Ai } (i = 1,..., n ) xung khắc từng đôi thì: 1) Nếu A là biến cố tùy ý thì 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) =P (A1 )+P (A2 )+...+P (An ). 2) P(∅) = 0 ; 3) P( ) = 1; 4) Nếu A ⊂ B thì P(A) ≤ P(B ). …………………………………………………………………………… Xác su t - Th ng kê Đ i h c 4
  6. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. VD 1. Một nhóm có 30 nhà đầu tư các loại, trong đó có: Chú ý 13 nhà đầu tư vàng; 17 nhà đầu tư chứng khoán và 10 A ∩ B = A ∪ B; A ∪ B = A ∩ B. nhà đầu tư cả vàng lẫn chứng khoán. Một đối tác gặp ngẫu nhiên một nhà đầu tư trong nhóm. Tìm xác suất để người đó gặp được nhà đầu tư vàng hoặc chứng khoán? VD 3. Trong một vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim Đặc biệt là 9%; mắc bệnh huyết áp là 12%; mắc cả bệnh tim và P (A) = 1 − P (A); P (A) = P (A.B ) + P (A.B ). huyết áp là 7%. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong vùng đó. Tính xác suất để người này không mắc bệnh tim và không mắc bệnh huyết áp? VD 2. Một hộp phấn có 10 viên trong đó có 3 viên màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên phấn. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 viên phấn màu đỏ. Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. 3.2. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN Lúc này, biến cố: “2 người thi đỗ trong đó có A ” là: • Xét phép thử: 3 người A , B và C thi tuyển vào một 2 AH = {ABC , ABC } và P (AH ) = . công ty. Gọi 8 A : “người A thi đỗ”, B : “người B thi đỗ”, • Bây giờ, ta xét phép thử là: A , B , C thi tuyển vào một C : “người C thi đỗ”, H : “có 2 người thi đỗ”. công ty và biết thêm thông tin có 2 người thi đỗ. Khi đó, không gian mẫu là: Không gian mẫu trở thành H và A trở thành AH . {ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC }. Ta có: Gọi A H : “A thi đỗ biết rằng có 2 người thi đỗ” thì ta 4 A = {ABC , ABC , ABC , ABC } ⇒ P (A) = ; 8 ( ) 2 P (AH ) được: P A H = = . 3 H = {ABC , ABC , ABC } ⇒ P (H ) = . 3 P (H ) 8 Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. 3.2.1. Định nghĩa xác suất có điều kiện Nhận xét ( ) Trong một phép thử, xét hai biến cố bất kỳ A và B với Khi tính P A B với điều kiện B đã xảy ra, nghĩa là ta P (B ) > 0 . Xác suất có điều kiện của A với điều kiện B đã hạn chế không gian mẫu xuống còn B và hạn chế đã xảy ra được ký hiệu và định nghĩa là: A xuống còn A ∩ B . ( ) P (A ∩ B ) P AB = . P (B ) Tính chất ( ) 1) 0 ≤ P A B ≤ 1 , ∀ A ⊂ ; VD 4. Một nhóm 10 sinh viên gồm 3 nam và 7 nữ trong đó có 2 nam 18 tuổi và 3 nữ 18 tuổi. Chọn ngẫu nhiên 1 () ( ) 2) nếu A ⊂ C thì P A B ≤ P C B ; sinh viên từ nhóm đó. Gọi A : “sinh viên được chọn là nữ”, 3) P (A B ) = 1 − P (A B ). B : “sinh viên được chọn là 18 tuổi”. ( )( ) Hãy tính P A B , P B A ? Xác su t - Th ng kê Đ i h c 5
  7. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. 3.2.2. Công thức nhân xác suất Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì: P (A ∩ B ) = P (A).P (B ). a) Sự độc lập của hai biến cố • Nếu n biến cố Ai , i = 1,..., n không độc lập thì: Trong một phép thử, hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu B có xảy ra hay không cũng không ảnh ( )( ) P (A1A2 ...An ) = P (A1 ) P A2 A1 ...P An A1...An −1 . hưởng đến khả năng xảy ra A và ngược lại. Chú ý Nếu A và B độc lập với nhau thì các cặp biến cố: A và B , A và B , A và B cũng độc lập với nhau. VD 5. Một người có 5 bóng đèn trong đó có 2 bóng bị b) Công thức nhân hỏng. Người đó thử ngẫu nhiên lần lượt từng bóng đèn • Nếu A và B là hai biến cố không độc lập thì: (không hoàn lại) cho đến khi chọn được 1 bóng tốt. ( ) ( ) Tính xác suất để người đó thử đến lần thứ 2. P (A ∩ B ) = P (B )P A B = P (A)P B A . Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. VD 8. Trong dịp tết, ông A đem bán 1 cây mai lớn và 1 VD 6. Một sinh viên học hệ niên chế được thi lại 1 lần cây mai nhỏ. Xác suất bán được cây mai lớn là 0,9. Nếu nếu lần thi thứ nhất bị rớt (2 lần thi độc lập). Biết rằng bán được cây mai lớn thì xác suất bán được cây mai xác suất để sinh viên này thi đỗ lần 1 và lần 2 tương nhỏ là 0,7. Nếu cây mai lớn không bán được thì xác ứng là 60% và 80%. Tính xác suất sinh viên này thi đỗ? suất bán được cây mai nhỏ là 0,2. Biết rằng ông A bán được ít nhất 1 cây mai, xác suất để ông A bán được cả hai cây mai là: VD 7. Có hai người A và B cùng đặt lệnh (độc lập) để A. 0,6342; B. 0,6848; C. 0,4796; D. 0,8791. mua cổ phiếu của một công ty với xác suất mua được tương ứng là 0,8 và 0,7. Biết rằng có người mua được, VD 9. Hai người A và B cùng chơi trò chơi như sau: xác suất để người A mua được cổ phiếu này là: Cả hai luân phiên lấy mỗi lần 1 viên bi từ một hộp đựng 12 40 10 19 2 bi trắng và 4 bi đen (bi được lấy ra không trả lại hộp). A. ; B. ; C. ; D. . 19 47 19 47 Người nào lấy được bi trắng trước thì thắng cuộc. Giả sử A lấy trước, tính xác suất A thắng cuộc ? Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. Chú ý 3.2.3. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes. Trong trắc nghiệm ta dùng sơ đồ giải nhanh như sau: a) Công thức xác suất đầy đủ Xét họ n biến cố {Ai } (i = 1,2,..., n ) đầy đủ và B là Nhánh 1: P(đèn tốt màu trắng) = 0,7.0,99. một biến cố bất kỳ trong phép thử, ta có: Nhánh 2: P(đèn tốt màu vàng) = 0,3.0,98. n ( ) P (B ) = ∑ P (Ai )P B Ai Suy ra: P(đèn tốt) = tổng xác suất của 2 nhánh = 0,987. i =1 ( ) ( ) = P (A1 )P B A1 + ... + P (An )P B An . VD 11. Chuồng thỏ 1 có 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ VD 10. Một cửa hàng bán hai loại bóng đèn cùng kích đen; chuồng 2 có 5 thỏ trắng và 3 thỏ đen. Quan sát cỡ gồm: 70 bóng màu trắng với tỉ lệ bóng hỏng là 1% thấy có 1 con thỏ chạy từ chuồng 1 sang chuồng 2, sau và 30 bóng màu vàng với tỉ lệ hỏng 2%. Một khách đó có 1 con thỏ chạy ra từ chuồng 2. Tính xác suất để hàng chọn mua ngẫu nhiên 1 bóng đèn từ cửa hàng này. con thỏ chạy ra từ chuồng 2 là thỏ trắng ? Tính xác suất để người này mua được bóng đèn tốt ? Xác su t - Th ng kê Đ i h c 6
  8. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. Phân bi t các bài toán áp d ng công th c b) Công thức Bayes Nhân – Đ y ñ – Bayes Xét họ n biến cố {Ai } (i = 1,2,..., n ) đầy đủ và B là A1, A2 , B. một biến cố bất kỳ trong phép thử. Khi đó, xác suất để Trong 1 bài toán, ta xét 3 bi n c biến cố Ai xảy ra sau khi B đã xảy ra là: 1) N u bài toán yêu c u tìm xác su t c a A1 ∩ B, ( ) ( ). P (Ai )P B Ai P (Ai )P B Ai A2 ∩ B thì ñây là bài toán công th c nhân. ( ) P Ai B = = Xác su t là xác su t tích c a t ng nhánh. n P (B ) ∑ P(Ai )P (B Ai ) i =1 B và 2) N u bài toán yêu c u tìm xác su t c a {A1, A2 } ñ y ñ thì ñây là bài toán áp d ng VD 12. Xét tiếp VD 10. Giả sử khách hàng chọn mua được bóng đèn tốt. Tính xác suất để người này mua công th c ñ y ñ . Xác su t b ng t ng 2 nhánh. được bóng đèn màu vàng ? Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. A1, A2 3) N u bài toán yêu c u tìm xác su t c a 3) Biết rằng sản phẩm được chọn là hỏng, tính xác suất sản phẩm này là do phân xưởng A sản xuất ra ? và cho bi t B ñã x y ra, ñ ng th i h {A1, A2 } ñ y ñ thì ñây là bài toán áp d ng công th c VD 14. Tỉ lệ ôtô tải, ôtô con và xe máy đi qua đường X Bayes. Xác su t là t s gi a nhánh c n tìm có trạm bơm dầu là 5 : 2 : 13. Xác suất để ôtô tải, ôtô v i t ng c a hai nhánh. con và xe máy đi qua đường này vào bơm dầu lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,15. Biết rằng có 1 xe đi qua đường X VD 13. Nhà máy X có 3 phân xưởng A, B , C tương vào bơm dầu, tính xác suất để đó là ôtô con ? ứng sản xuất ra 20%, 30% và 50% tổng sản phẩm của nhà máy. Giả sử tỉ lệ sản phẩm hỏng do các phân xưởng 11 10 8 7 A. ; B. ; C. ; D. . A, B , C tương ứng sản xuất ra là 1%, 2% và 3%. 57 57 57 57 Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm do nhà máy X sản xuất ra. ……………………………………………………………………………………… 1) Tính xác suất (tỉ lệ) sản phẩm này là hỏng ? 2) Tính xác suất sản phẩm này hỏng và do phân xưởng A sản xuất ra ? Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi §1. Biến ngẫu nhiên và hàm mật độ VD 1. Người A mua một loại bảo hiểm tai nạn trong 1 §2. Hàm phân phối xác suất năm với phí là 70 ngàn đồng. Nếu bị tai nạn thì công ty §3. Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên …………………………………………………………………………… sẽ chi trả 3 triệu đồng. Gọi X là số tiền người A có §1. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM MẬT ĐỘ được sau 1 năm mua bảo hiểm này. Khi đó, ta có 1.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên Phép thử là: “mua bảo hiểm tai nạn”. • Xét một phép thử với không gian mẫu . Giả sử, ứng Biến cố là T : “người A bị tai nạn”. với mỗi biến cố sơ cấp ω ∈ , ta liên kết với 1 số thực Không gian mẫu là = {T , T }. X (ω) ∈ ℝ , thì X được gọi là một biến ngẫu nhiên. Vậy X (T ) = 2, 93 (triệu), X (T ) = 0, 07 (triệu). Tổng quát, biến ngẫu nhiên (BNN) X của một phép thử với không gian mẫu là một ánh xạ • Nếu X ( ) là 1 tập hữu hạn {x 1, x 2,..., x n } hay vô hạn X: →ℝ ω ֏ X (ω) = x . đếm được thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. Để cho gọn, ta viết là X = {x1, x 2 ,..., x n ,...}. Giá trị x được gọi là một giá trị của biến ngẫu nhiên X . Xác su t - Th ng kê Đ i h c 7
  9. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi 1.2. Hàm mật độ • Nếu X ( ) là 1 khoảng của ℝ (hay cả ℝ ) thì X được a) Biến ngẫu nhiên rời rạc gọi là biến ngẫu nhiên liên tục. Cho BNN rời rạc X : → ℝ , X = {x 1, x 2 ,..., x n ,...} . Chú ý Giả sử x 1 < x 2 < ... < x n < ... với xác suất tương ứng Trong thực nghiệm, các biến ngẫu nhiên thường là rời là P ({ω : X (ω) = x i }) ≡ P (X = x i ) = pi , i = 1, 2,... rạc. Khi biến ngẫu nhiên rời rạc X có các giá trị đủ Ta định nghĩa nhiều trên 1 khoảng của ℝ , thì ta xem X là biến ngẫu • Bảng phân phối xác suất của X là nhiên liên tục. Thực chất là, các biến ngẫu nhiên liên X x1 x 2 … x n … tục được dùng làm xấp xỉ cho các biến ngẫu nhiên rời rạc khi tập giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc đủ lớn. p1 p2 … pn … P • Cho biến ngẫu nhiên X và hàm số y = ϕ(x ). • Hàm mật độ của X là p khi x = x ,  Khi đó, biến ngẫu nhiên Y = ϕ(X ) được gọi là hàm f (x ) =  i i  của biến ngẫu nhiên X . 0 khi x ≠ x i , ∀i.   Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi Chú ý VD 3. Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn lần lượt từng viên ∑ pi = 1, i = 1, 2,... pi ≥ 0 ; vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,8. Biết rằng, nếu có 1 viên trúng Nếu x ∉ {x 1, x 2 ,..., x n ,...} thì P (X = x ) = 0 . mục tiêu hoặc hết đạn thì dừng. Gọi X là số viên đạn xạ thủ đã bắn, hãy lập bảng phân phối xác suất của X ? ∑ P (a < X ≤ b ) = pi . a
  10. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi §2. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 4x 3 , x ∈ [0; 1]  VD 5. Chứng tỏ f (x ) =  2.1. Định nghĩa. Hàm phân phối xác suất (hay hàm  là hàm mật độ  0, x ∉ [0; 1] phân phối tích lũy) của BNN X , ký hiệu F (x ), là xác    suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x với mọi x ∈ ℝ . của biến ngẫu nhiên X và tính P (0, 5 ≤ X < 3)? F (x ) = P (X < x ), ∀x ∈ ℝ . Nghĩa là: Nhận xét 1 Nếu biến ngẫu nhiên X là rời rạc với phân phối xác suất P (X = x i ) = pi thì: F (x ) = ∑ pi . VD 6. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ: x i
  11. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi VD 2. Cho BNN X có hàm mật độ là: VD 3. Cho BNN X có hàm mật độ là: 0, x ∈ [0; 1] 0,   / x < 100 f (x ) =  2    f (x ) = 100 3x , x ∈ [0; 1].    2 , x ≥ 100.    x  Tìm hàm phân phối của X và vẽ đồ thị của F (x )? Tìm hàm phân phối F (x ) của X ? Đồ thị của F (x ): 2.2. Tính chất của hàm phân phối xác suất 1) Hàm F (x ) xác định với mọi x ∈ ℝ . 2) 0 ≤ F (x ) ≤ 1, ∀x ∈ ℝ ; F (−∞) = 0; F (+∞) = 1 . 3) F (x ) không giảm và liên tục trái tại mọi x ∈ ℝ . 4) P (a ≤ X < b ) = F (b ) − F (a ). Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi Đặc biệt VD 5. Cho BNN X có hàm mật độ 2 1 3x , x ∈ [−1; 3] • Nếu X là BNN rời rạc thì:  f (x ) =  pi = F (x i +1 ) − F (x i ), ∀i.  28 0, x ∈ [−1; 3]. /   • Nếu X là BNN liên tục thì: Hàm phân phối xác suất của X là: P (a ≤ X ≤ b ) = P (a ≤ X < b ) = P (a < X ≤ b ) = P (a < X < b ) = F (b) − F (a ). 0, 0,   x ≤−1 x
  12. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi 3.1.2. MODE VD 1. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: Mode của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu ModX , là giá trị 0 1 2 3 X x 0 ∈ X thỏa: 0,125 0,375 0,375 0,125 P Ta có: MedX = m thỏa 1 < m < 2 . P (X = x 0 ) max nếu X là rời rạc, và f (x 0 ) max nếu X liên tục có hàm mật độ f (x ). VD 2. Cho BNN X có hàm mật độ:  Chú ý 2 3x − x , x ∈ [0; 3] 2 f (x ) =  ModX còn được gọi là giá trị tin chắc nhất của X .  9 0, x ∈ [0; 3]. /  Biến ngẫu nhiên X có thể có nhiều ModX .   Ta có: P (X ≤ m ) = P (X ≥ m ) ⇒ MedX = m ∈ [0; 3] VD 3. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: m 0 1 4 5 8 2 X 12 3 = ∫ (3x − x 2 )dx ⇒ m = ∈ [0; 3]. ⇒ 0,10 0,20 0,30 0,05 0,25 0,10 P 29 2 Ta có: ModX = 2 . 0 Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi Nếu X là rời rạc với xác suất P (X = x i ) = pi thì: VD 4. Tìm ModX , biết X có bảng phân phối xác suất: EX = ∑ x i pi . 1 2 4 5 8 X 1 − 3p 0,18 0,07 0,25 p P i Nếu X là liên tục có hàm mật độ f (x ) thì: VD 5. Tìm ModX , biết X có hàm mật độ xác suất: 3 2 +∞   x (4 − x ), x ∈ [0; 4] ∫ EX = f (x ) =  64 x .f (x )dx .   −∞  0, x ∉ [0; 4].   Đặc biệt Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X = {x1; x 2 ;...; x n } với 3.2. KỲ VỌNG xác suất tương ứng là p1, p2,..., pn thì: 3.2.1. Định nghĩa Kỳ vọng (Expectation) của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu EX = x1p1 + x 2 p2 + ... + x n pn . EX hay M (X ), là một số thực được xác định như sau: Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi Chú ý VD 6. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: Nếu X là BNN liên tục trên [a ; b ] thì EX ∈ [a ; b ]. X –1 0 2 3 Nếu X = {x 1 , ..., x n } thì: P 0,1 0,2 0,4 0,3 EX ∈ [min{x 1,..., x n }; max{x 1,..., x n }]. Tính kỳ vọng của X ? VD 9. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: VD 7. Một lô hàng gồm 10 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. X12 4 5 7 Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng đó, gọi X là số sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm lấy ra. P a 0,2 b 0,2 0,1 Tìm giá trị của tham số a và b để EX = 3, 5 ? Tìm phân phối xác suất và tính kỳ vọng của X ? VD 10. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ: VD 8. Tìm kỳ vọng của BNN X có hàm mật độ: ax + bx 2 , x ∈ [0; 1]  3 2 f (x ) =    (x + 2x ), x ∈ [0; 1]  f (x ) =  4  0, x ∉ [0; 1].       0, x ∉ [0; 1]. Cho biết EX = 0, 6 . Hãy tính P (X < 0, 5)?   Xác su t - Th ng kê Đ i h c 11
  13. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi 3.2.2. Ý nghĩa của Kỳ vọng VD 12. Ông A tham gia một trò chơi đỏ, đen như sau: Trong một hộp có 4 bi đỏ và 6 bi đen. Mỗi lần ông A • Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là giá trị trung bình lấy ra 1 bi: nếu là đỏ thì được thưởng 100 (ngàn đồng), (tính theo xác suất) mà X nhận được, nó phản ánh giá nếu là đen thì bị mất 70 (ngàn đồng). Hỏi trung bình trị trung tâm phân phối xác suất của X . mỗi lần lấy bi ông A nhận được bao nhiêu tiền? • Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, khi cần chọn phương án cho năng suất hay lợi nhuận cao, người ta VD 13. Người thợ chép tranh mỗi tuần chép hai bức thường chọn phương án sao cho kỳ vọng năng suất tranh độc lập A và B với xác suất hỏng tương ứng là hay kỳ vọng lợi nhuận cao. 0,03 và 0,05. Nếu thành công thì người thợ sẽ kiếm lời VD 11. Một thống kê cho biết tỉ lệ tai nạn xe máy ở từ bức tranh A là 1,3 triệu đồng và B là 0,9 triệu đồng, thành phố H là 0,001. Công ty bảo hiểm A đề nghị bán nhưng nếu hỏng thì bị lỗ do bức tranh A là 0,8 triệu loại bảo hiểm tai nạn xe máy cho ông B ở thành phố H đồng và do B là 0,6 triệu đồng. Hỏi trung bình người trong 1 năm với số tiền chi trả là 10 (triệu đồng), phí thợ nhận được bao nhiêu tiền chép tranh mỗi tuần? bảo hiểm là 0,1 (triệu đồng). Hỏi trung bình công ty A A. 2,185 triệu đồng; B. 2,148 triệu đồng. lãi bao nhiêu khi bán bảo hiểm cho ông B ? C. 2,116 triệu đồng; D. 2,062 triệu đồng. Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi VD 14. Một dự án xây dựng được viện C thiết kế cho 3.2.3. Kỳ vọng của hàm của biến ngẫu nhiên cả 2 bên A và B xét duyệt một cách độc lập. Xác suất Giả sử Y = ϕ(X ) là hàm của biến ngẫu nhiên X . (khả năng) để A và B chấp nhận dự án này khi xét Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì: duyệt thiết kế là 70% và 80%. Nếu chấp nhận dự án thì EY = ∑ yi .pi = ∑ ϕ(xi ).pi bên A phải trả cho C là 400 triệu đồng, còn ngược lại thì phải trả 100 triệu đồng. Nếu chấp nhận dự án thì bên i i B phải trả cho C là 1 tỉ đồng, còn ngược lại thì phải trả Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì: 300 triệu đồng. Biết chi phí cho thiết kế của C là 1 tỉ +∞ +∞ đồng và 10% thuế doanh thu. Hỏi trung bình viện C có ∫ ∫ EY = y.f (x )dx = ϕ(x ).f (x )dx lãi bao nhiêu khi nhận thiết kế trên? −∞ −∞ Hướng dẫn Chú ý Gọi X (triệu đồng) là tiền lãi (đã trừ thuế) của C . Khi biến ngẫu nhiên X là rời rạc thì ta nên lập bảng Tính tương tự VD 13, ta được EX = 53 (triệu đồng). phân phối xác suất của Y , rồi tính EY . Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi 3.3. PHƯƠNG SAI VD 15. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: X –1 0 1 2 3.3.1. Định nghĩa P 0,1 0,3 0,35 0,25 Phương sai (Variance hay Dispersion) của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu VarX hay D(X ), là một số thực Tính EY với Y = X 2 − 3 ? không âm được xác định bởi: VarX = E (X − EX )2 = E (X 2 ) − (EX )2 . VD 16. Cho BNN X có hàm mật độ xác suất: 2   , x ∈ [1; 2] f (x ) = x 2 Nếu BNN X là rời rạc và P(X = xi ) = pi thì:    0, x ∉ [1; 2]. 2      x .p  . VarX = ∑ x i .pi − ∑ i i  2    2   Tính EY với Y = X 5 − ? i i X Xác su t - Th ng kê Đ i h c 12
  14. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi VD 18. Tính phương sai của X , biết hàm mật độ: Nếu BNN X là liên tục và có hàm mật độ f (x ) thì: 3 2  2 +∞   (x + 2x ), x ∈ [0; 1] +∞ f (x ) =  4   x 2 .f (x )dx −  ∫ x .f (x )dx  .  ∫ VarX =   0,    x ∉ [0; 1].  −∞     −∞ VD 17. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: VD 19. Cho BNN X có hàm mật độ xác suất: 3 X1 2 3   (1 − x 2 ), x ≤ 1 f (x ) =  4 P 0,2 0,7 0,1  0, Ta có: VarX = (12.0, 2 + 22.0, 7 + 32.0,1)  x > 1.   −(1.0, 2 + 2.0, 7 + 3.0,1)2 = 0, 29 . Tính phương sai của Y , cho biết Y = 2X 2 . Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi 3.3.2. Ý nghĩa của Phương sai VD 20. Năng suất (sản phẩm/phút) của hai máy tương • (X − EX )2 là bình phương sai biệt giữa giá trị của X ứng là các BNN X và Y , có bảng phân phối xác suất: X1234 Y2345 so với trung bình của nó. Và phương sai là trung bình của sai biệt này, nên phương sai cho ta hình ảnh về sự 0,3 0,1 0,5 0,1 P 0,1 0,4 0,4 0,1 P Từ bảng phân phối xác suất, ta tính được: phân tán của các số liệu: phương sai càng nhỏ thì số EX = 2, 4 ; VarX = 1, 04 ; EY = 3, 5 ; VarY = 0, 65 . liệu càng tập trung xung quanh trung bình của chúng. Vì EX < EY , VarX > VarY nên nếu phải chọn mua • Trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị. Trong kinh doanh, phương sai đặc trưng cho một trong hai loại máy này thì ta chọn mua máy Y . độ rủi ro đầu tư. Chú ý • Do đơn vị đo của VarX bằng bình phương đơn vị đo EX < EY EX > EY   Trong trường hợp  hay  của X nên để so sánh được với các đặc trưng khác,   VarX < VarY VarX > VarY người ta đưa vào khái niệm độ lệch tiêu chuẩn     (standard deviation) là: σ = VarX . thì ta không thể so sánh được. Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi Để giải quyết vấn đề này, trong thực tế người ta dùng tỉ 3.4. Một số đặc trưng khác (tham khảo) σ Xét BNN X có kỳ vọng, phương sai là µ và σ 2 . số tương đối .100% ( µ là trung bình) để so sánh sự µ a) Hệ số đối xứng của X E (X − µ)3 ổn định của các BNN X và Y . γ1(X ) = . Tỉ số tương đối càng nhỏ thì độ ổn định càng cao. σ3 Khi γ1(X ) = 0 thì phân phối của X là đối xứng; lệch VD 21. Điểm thi hết môn XSTK của lớp A và B tương phải khi γ1(X ) > 0 và lệch trái khi γ1(X ) < 0 . ứng là các BNN X và Y . Từ bảng kết quả điểm thi người ta tính được: b) Hệ số nhọn của X EX = 6, 25 ; VarX = 1, 25 ; EY = 5, 75 ; VarY = 0, 75 . E (X − µ)4 γ2 (X ) = . σy σ σ4 Ta có: x .100% = 17, 89% ; .100% = 15, 06% . Khi γ2 (X ) càng lớn thì phân phối của X càng nhọn. EX EY Vậy lớp B học đều (ổn định) hơn lớp A. ………………………………………………………………………………………… Xác su t - Th ng kê Đ i h c 13
  15. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng §1. Phân phối Siêu bội • Xác suất trong n phần tử chọn ra có k phần tử A là: §2. Phân phối Nhị thức §3. Phân phối Poisson C N C N−k k n §4. Phân phối Chuẩn −N ……………………………………………………………………… pk = P (X = k ) = . A A §1. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI n CN 1.1. Định nghĩa Trong đó: • Xét tập có N phần tử gồm N A phần tử có tính chất A 0 ≤ k ≤ n và n − (N − N A ) ≤ k ≤ N A . và N − N A phần tử có tính chất A . Từ tập đó, ta chọn ra n phần tử. VD 1. Một hộp phấn gồm 10 viên, trong đó có 6 viên • Gọi X là số phần tử có tính chất A lẫn trong n phần tử màu trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên phấn từ hộp này. Gọi đã chọn thì X có phân phối Siêu bội (Hypergeometric X là số viên phấn trắng lấy được. Lập bảng phân phối distribution) với 3 tham số N , N A , n . xác suất của X ? Ký hiệu là: X ∈ H (N , N A, n ) hay X ∼ H (N , N A, n ). Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng Giải. Ta có: X = {0; 1; 2; 3} và 1.2. Các số đặc trưng của X ~ H(N, NA, n) N = 10, N A = 6, n = 3 ⇒ X ∈ H (10, 6, 3). N −n EX = np; VarX = npq . N −1 Vậy ta có bảng phân phối xác suất của X : Trong đó: 0 1 2 3 X 03 12 21 30 NA C 6C 4 C 6C 4 C 6C 4 C 6C 4 p= , q = 1 − p. P N 3 3 3 3 C 10 C 10 C 10 C 10 VD 3. Tại một công trình có 100 người đang làm việc, VD 2. Một cửa hàng bán 10 bóng đèn, trong đó có 3 trong đó có 70 kỹ sư. Chọn ngẫu nhiên 40 người từ bóng hỏng. Một người chọn mua ngẫu nhiên 5 bóng công trình này. Gọi X là số kỹ sư chọn được. đèn từ cửa hàng này. Gọi X là số bóng đèn tốt người đó 1) Tính xác suất chọn được từ 27 đến 29 kỹ sư ? mua được. Tính xác suất người đó mua được 3 hoặc 4 2) Tính trung bình số kỹ sư chọn được và VarX ? bóng đèn tốt? …………………………………………………………………… Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng b) Các số đặc trưng của X ~ B(p) §2. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC EX = p; VarX = pq. 2.1. Phân phối Bernoulli a) Định nghĩa VD 1. Một câu hỏi trắc nghiệm có 4 phương án trả lời, • Phép thử Bernoulli là một phép thử mà ta chỉ quan tâm trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Một sinh viên chọn đến 2 biến cố A và A , với P (A) = p . ngẫu nhiên 1 phương án để trả lời câu hỏi đó. • Xét biến ngẫu nhiên: Gọi A : “sinh viên này trả lời đúng”. 1 khi A xuaát hieän,  X = P (A) = 1 − p = q . Khi đó, việc trả lời câu hỏi của sinh viên này là một  0 khi A xuaát hieän, phép thử Bernoulli và p = P (A) = 0,25 , q = 0, 75 .   1 khi sinh vieân naøy traû lôøi ñuùng,  Khi đó, ta nói X có phân phối Bernoulli với tham số p . Gọi BNN X =   Ký hiệu là X ∈ B(p) hay X ∼ B(p). 0 khi sinh vieân naøy traû lôøi sai, X01   Bảng phân phối xác suất của X là: Pqp thì X ∈ B(0,25) và EX = 0, 25, VarX = 0,1875 . Xác su t - Th ng kê Đ i h c 14
  16. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng 2.2. Phân phối Nhị thức • Xác suất trong n lần thử có k lần A xuất hiện là: pk = P (X = k ) = C n pkq n −k (k = 0,1,..., n ). a) Định nghĩa k • Xét dãy n phép thử Bernoulli độc lập. Với phép thử thứ i , ta xét biến ngẫu nhiên Xi ∈ B(p) (i = 1,..., n ). VD 2. Một đề thi XSTK gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm như trong VD 1. Sinh viên B làm bài một cách ngẫu 1 khi laàn thöù i A xuaát hieän,  Nghĩa là: Xi =  nhiên. Biết rằng, nếu trả lời đúng 1 câu thì sinh viên B  0 khi laàn thöù i A xuaát hieän.  được 0,5 điểm và nếu trả lời sai 1 câu thì bị trừ 0,125  điểm. Tính xác suất để sinh viên B đạt điểm 5 ? • Gọi X là số lần biến cố A xuất hiện trong n phép thử. Khi đó, X = X1 + ... + Xn và ta nói X có phân phối b) Các số đặc trưng của X ~ B(n, p) Nhị thức (Binomial distribution) với tham số n , p . EX = np; VarX = npq ; Ký hiệu là X ∈ B(n, p) hay X ∼ B(n, p). ModX = x 0 : np − q ≤ x 0 ≤ np − q + 1. Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng VD 3. Ông B trồng 100 cây bạch đàn với xác suất cây VD 5. Một nhà tuyển dụng kiểm tra kiến thức lần lượt chết là 0,02. Gọi X là số cây bạch đàn chết. các ứng viên, xác suất được chọn của mỗi ứng viên đều 1) Tính xác suất có từ 3 đến 5 cây bạch đàn chết ? bằng 0,56. Biết xác suất để nhà tuyển dụng chọn đúng 8 2) Tính trung bình số cây bạch đàn chết và VarX ? ứng viên là 0,0843. Số người cần phải kiểm tra là: 3) Hỏi ông B cần phải trồng tối thiểu mấy cây bạch đàn A. 9 người; B. 10 người; để xác suất có ít nhất 1 cây chết lớn hơn 10% ? C. 12 người; D. 13 người. VD 4. Một nhà vườn trồng 126 cây lan quý, xác suất nở hoa của mỗi cây trong 1 năm là 0,67. VD 6. Một lô hàng chứa 20 sản phẩm trong đó có 4 phế 1) Giá bán 1 cây lan quý nở hoa là 2 triệu đồng. Giả sử phẩm. Chọn liên tiếp 3 lần (có hoàn lại) từ lô hàng, mỗi nhà vườn bán hết những cây lan nở hoa thì mỗi năm lần chọn ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3 lần nhà vườn thu được chắc chắn nhất là bao nhiêu tiền? chọn có đúng 1 lần chọn phải 2 phế phẩm. 2) Nếu muốn trung bình mỗi năm có nhiều hơn 100 cây lan quý nở hoa thì nhà vườn phải trồng tối thiểu mấy ………………………………………………………………………… cây lan quý ? Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng n −k λ    k §3. PHÂN PHỐI POISSON 1 − λ  • Ta có: P (X = k ) = C     k  n        n n 3.1. Bài toán dẫn đến phân phối Poisson • Giả sử các vụ tai nạn giao thông ở vùng A xảy ra một  λ n λk n! 1 . 1 −  cách ngẫu nhiên, độc lập với nhau và trung bình 1 =   . . n k ! (n − k ) ! n (n − λ)k .n −k   ngày có λ vụ tai nạn. Gọi X là số vụ tai nạn giao   k thông xảy ra trong 1 ngày ở vùng A. λk n(n − 1)...(n − k + 1)  λ n • Chia 24 giờ trong ngày thành n khoảng thời gian sao . 1 −  . =   .   cho ta có thể coi rằng trong mỗi khoảng thời gian đó  (n − λ)  n k k! có nhiều nhất 1 vụ tai nạn xảy ra, và khả năng xảy ra Suy ra: λ tai nạn giao thông trong mỗi khoảng thời gian bằng . λ k −λ n n →∞ P (X = k )   →  λ .e . Khi đó, X ∈ B n, .  k!    n   Xác su t - Th ng kê Đ i h c 15
  17. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng 3.2. Định nghĩa phân phối Poisson 3.3. Các số đặc trưng của X ~ P(λ) Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson EX = VarX = λ; ModX = x 0 : λ − 1 ≤ x 0 ≤ λ. tham số λ > 0 , ký hiệu là X ∈ P (λ) hay X ∼ P (λ), nếu X nhận các giá trị 0, 1, 2,…, n ,… với xác suất: e −λ .λk pk = P (X = k ) = (k = 0,1,..., n,...). VD 1. Quan sát tại siêu thị A thấy trung bình 5 phút có k! 18 khách đến mua hàng. Trong đó, λ là trung bình số lần xuất hiện biến cố nào 1) Tính xác suất để trong 7 phút có 25 khách đến siêu đó mà ta quan tâm. thị A ? Nhận xét 2) Tính xác suất để trong 2 phút có từ 3 đến 5 khách đến • Phân phối Poisson không phải là phân phối xác suất siêu thị A ? chính xác. Tuy vậy, phân phối Poisson rất thuận tiện 3) Tính số khách chắc chắn nhất sẽ đến siêu thị A trong cho việc mô tả và tính toán. 1 giờ ? • Phân phối Poisson thường gắn với yếu tố thời gian. Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng §4. PHÂN PHỐI CHUẨN VD 2. Quan sát thấy trung bình 1 phút có 3 ôtô đi qua trạm thu phí. Biết xác suất có ít nhất 1 ôtô đi qua trạm 4.1. Phân phối Chuẩn đơn giản thu phí trong t phút bằng 0,9. Giá trị của t là: a) Định nghĩa A. 0,9082 phút; B. 0,8591 phút; C. 0,8514 phút; D. 0,7675 phút. Biến ngẫu nhiên liên tục T được gọi là có phân phối Chuẩn đơn giản (hay phân phối Gauss), ký hiệu là T ∈ N (0; 1) hay T ∼ N (0; 1), nếu hàm mật độ xác VD 3. Quan sát thấy trung bình 1 ngày (24 giờ) có 12 suất của T có dạng: chuyến tàu vào cảng A. Chọn ngẫu nhiên liên tiếp 6 giờ t2 trong 1 ngày. Tính xác suất để 2 trong 6 giờ ấy, mỗi giờ − 1 f (t ) = t ∈ ℝ. 2, e có đúng 1 tàu vào cảng A . 2π ………………………………………………………………………………………… (Giá trị hàm f (t ) được cho trong bảng phụ lục A). Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng • Tính chất của hàm Laplace b) Các số đặc trưng của T ~ N(0; 1) Hàm ϕ(x ) đồng biến trên ℝ ; ModT = ET = 0; VarT = 1. ϕ(−x ) = −ϕ(x ) (hàm ϕ(x ) lẻ); ϕ(−∞) = −0, 5 ; ϕ(+∞) = 0, 5 . c) Xác suất của T ~ N(0; 1) • Công thức tính xác suất b • Hàm Laplace ∫ f (t )dt = ϕ(b) − ϕ(a ). P (a ≤ T ≤ b ) = x a ∫ f (t )dt (t ≥ 0) được gọi là hàm Laplace. Hàm ϕ(x ) = 0 Chú ý P (T < b) = 0, 5 + ϕ(b ); P (T > a ) = 0, 5 − ϕ(a ) . (Giá trị hàm ϕ(x ) được cho trong bảng phụ lục B ). Nếu x ≥ 4 thì ϕ(x ) ≈ 0, 5 . Xác su t - Th ng kê Đ i h c 16
  18. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng c) Xác suất của X ~ N(µ, σ2) 4.2. Phân phối Chuẩn X −µ Nếu X ∈ N (µ; σ2 ) thì T = a) Định nghĩa ∈ N (0; 1) . σ Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối Vậy, ta có công thức tính xác suất: Chuẩn (Normal distribution) tham số µ và σ2 (σ > 0), b − µ     − ϕ a − µ  . P (a ≤ X ≤ b ) = ϕ  ký hiệu là X ∈ N (µ; σ2 ) hay X ∼ N (µ; σ2 ), nếu hàm      σ σ      mật độ xác suất của X có dạng: (x −µ )2 − 1 VD 1. Tốc độ chuyển dữ liệu từ máy chủ của ký túc xá 2σ2 f (x ) = , x ∈ ℝ. e đến máy tính của sinh viên vào buổi sáng chủ nhật có σ 2π phân phối chuẩn với trung bình 60Kbits/s và độ lệch b) Các số đặc trưng của X ~ N(µ, σ2) chuẩn 4Kbits/s. Xác suất để tốc độ chuyển dữ liệu lớn hơn 63Kbits/s là: ModX = EX = µ; VarX = σ2 . A. 0,2266; B. 0,2144; C. 0,1313; D. 0,1060. Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng VD 2. Một kỳ thi đầu vào ở trường chuyên A quy định VD 4. Cho BNN X có phân phối chuẩn với EX = 10 điểm đỗ là tổng số điểm các môn thi không được thấp và P (10 < X < 20) = 0, 3 . Tính P (0 < X ≤ 15) ? hơn 15 điểm. Giả sử tổng điểm các môn thi của học sinh là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 12 điểm. Biết rằng tỉ lệ học sinh thi đỗ là 25,14%. Độ lệch chuẩn là: A. 4 điểm; B. 4,5 điểm; C. 5 điểm; D. 5,5 điểm. VD 5. Tuổi thọ của 1 loại máy lạnh A là BNN X (năm) có phân phối N (10; 6,25). Khi bán 1 máy lạnh A thì lãi được 1,4 triệu đồng nhưng nếu máy lạnh phải bảo hành VD 3. Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục vụ thì lỗ 1,8 triệu đồng. Vậy để có tiền lãi trung bình khi tại một cửa hàng là BNN X (phút), X ∈ N (4, 5; 1,21). bán mỗi máy lạnh loại này là 0,9 triệu đồng thì cần phải 1) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 phút đến 5 phút. quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu ? 2) Tính thời gian tối thiểu t nếu xác suất khách phải chờ vượt quá t là không quá 5%. Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Phân phối Chi bình phương χ2(n) (tham khảo) Phân b xác su t Nếu Xi ∈ N (0; 1) (i = 1,..., n ) và các Xi độc lập thì 34,1% 34,1% n ∑ Xi2 ∈ χ2 (n ) với hàm mật độ xác suất: X=  i =1  x ≤0 0,    13,6% 13,6% xn  − −1 1 f (x ) =  .e 2 x 2 , x > 0. n 2,1% 2,1%   2 n   2 .Γ       0,1% 0,1% 2   +∞ −3σ −2σ −σ 2σ 3σ µ σ e −x x n −1dx , Γ(n + 1) = n Γ(n ), ∫ Trong đó: Γ(n ) =  1 Γ   = π, Γ(1) = 1. 0   2 Xác su t - Th ng kê Đ i h c 17
  19. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 4. Vector ng u nhiên Ch 3. Phân ng Ch 4. ng §1. Phân phối xác suất của vector ngẫu nhiên rời rạc Phân phối Student St(n) (tham khảo) §2. Phân phối xác suất của vector ngẫu nhiên liên tục Nếu T ∈ N (0; 1) và Y ∈ χ2 (n ) độc lập thì ………………………………………………… Khái niệm vector ngẫu nhiên n X =T ∈ St (n ) với hàm mật độ xác suất: • Một bộ có thứ tự n biến ngẫu nhiên (X 1 , … , X n ) được Y gọi là một vector ngẫu nhiên n chiều.  n + 1  Γ • Vector ngẫu nhiên n chiều là liên tục hay rời rạc nếu n +1   −  2   x2  2 các biến ngẫu nhiên thành phần là liên tục hay rời rạc.   1 +  f (x ) = , x ∈ ℝ.  n   Chẳng hạn, một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm, n      nếu xét đến kích thước của sản phẩm được đo bằng n π.Γ    2 chiều dài X và chiều rộng Y thì ta có vector ngẫu nhiên hai chiều (X ,Y ) . Còn nếu xét thêm cả chiều cao Trong đó, n được gọi là bậc tự do và giá trị của St(n ) Z nữa thì ta có vector ngẫu nhiên ba chiều (X ,Y , Z ). được cho trong bảng C . • Trong khuôn khổ của chương trình ta chỉ xét vector ……………………………………………………………………………………… ngẫu nhiên hai chiều, thường được ký hiệu là (X ,Y ). Chương 4. Vector ng u nhiên Chương 4. Vector ng u nhiên Ch 4. ng Ch 4. ng m n ( ) §1. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ∑ ∑ pij = 1. Trong đó P X = x i ; Y = y j = pij và CỦA VECTOR NGẪU NHIÊN RỜI RẠC i =1 j =1 1.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y) 1.2. Phân phối xác suất thành phần (phân phối lề) Yy y 2 ⋯ y j … y n Tổng dòng Từ bảng phân phối xác suất đồng thời của (X ,Y ) ta có: 1 X p1 1 p1 2 ⋯ p1 j … p1n • Bảng phân phối xác suất của X x1 p1• X x1 x 2 ⋯ x m p2 j … x2 p21 p22 ⋯ p 2n p2• P p1• p2• ⋯ pm • ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Trong đó pi • = pi1 + pi 2 + ⋯ + pin pij xi pi 1 pi 2 ⋯ pin pi • … (tổng dòng i của bảng phân phối xác suất đồng thời). ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ p m j … pm n xm pm 1 pm 2 ⋯ pm • Kỳ vọng của X là: EX = x 1p1• + x 2 p2• + ⋯ + x m pm • . p• j … Tổng cột p • 1 p • 2 ⋯ p •n 1 Chương 4. Vector ng u nhiên Chương 4. Vector ng u nhiên Ch 4. ng Ch 4. ng ( ) 1) Tính P (X = 6) và P X ≥ 7, Y ≥ 2 . • Bảng phân phối xác suất của Y Y y1 y2 ⋯ yn 2) Lập bảng phân phối xs thành phần và tính EX , EY . P p•1 p•2 ⋯ p•n Giải Trong đó p• j = p1 j + p2 j + ⋯ + pmj 1) P (X = 6) = 0,1 + 0, 05 + 0,15 = 0, 3 . (tổng cột j của bảng phân phối xác suất đồng thời). P (X ≥ 7,Y ≥ 2) = P {(7, 2)}+P {(7, 3)}+P {(8, 2)} Kỳ vọng của Y là: EY = y1p•1 + y2 p•2 + ⋯ + yn p•n . + P {(8, 3)} = 0,15 + 0,1 + 0,2 + 0,1 = 0, 55. Y VD 1. Phân phối xác suất 2) Bảng phân phối của X là: 1 2 3 X đồng thời của vector X678 6 0,10 0,05 0,15 ngẫu nhiên (X ,Y ) P 0,3 0,3 0,4 7 0,05 0,15 0,10 EX = 6.0, 3 + 7.0, 3 + 8.0, 4 = 7,1. cho bởi bảng: 8 0,10 0,20 0,10 Xác su t - Th ng kê Đ i h c 18
  20. ĐH Công nghi p Tp.HCM Monday, January 03, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Vector ng u nhiên Chương 4. Vector ng u nhiên Ch 4. ng Ch 4. ng • Bảng phân phối xác suất của X với điều kiện Y = y j : Bảng phân phối của Y là: x1 x 2 ⋯ x m X Y1 2 3 p1 j p2 j pmj P 0,25 0,40 0,35 ( ) P X =xi Y =y j EY = 1.0,25 + 2.0, 4 + 3.0, 35 = 2,1. ⋯ p• j p• j p• j Kỳ vọng của X với điều kiện Y = y j là: 1.3. Phân phối xác suất có điều kiện 1 Từ công thức xác suất có điều kiện, ta có: EX = (x p + x 2 p2 j + ... + x m pmj ). p• j 1 1 j P (X =x i , Y =y j ) pij ( ) , i = 1, m . P X =x i Y =y j = = P (Y = y j ) p• j • Bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện X = x i : y1 y2 yn P (X =x i , Y =y j ) pij ⋯ ( ) Y P Y =y j X =x i = = , j = 1, n . ( )p P (X = x i ) P Y =y j X =xi pi • / pi • pi 2 / pi • ⋯ pin / pi • i1 Chương 4. Vector ng u nhiên Chương 4. Vector ng u nhiên Ch 4. ng Ch 4. ng Kỳ vọng của Y với điều kiện X = xi là: Giải. 1) Ta có: 0, 05 1 P ( X = 6 | Y = 2) = 1 =. EY = (y p + y2 pi 2 + ... + yn pin ). 0, 05 + 0,15 + 0,1 6 pi • 1 i 1 0,15 1 P (X = 7 | Y = 2) = =. VD 2. Cho bảng phân phối xs đồng thời của (X ,Y ): 0, 05 + 0,15 + 0,1 2 Y 1 2 3 0,1 1 P (X = 8 | Y = 2) = X =. 0, 05 + 0,15 + 0, 1 3 6 0,10 0,05 0,15 7 0,05 0,15 0,10 Bảng phân phối xác suất của X với điều kiện Y = 2 là: 8 0,20 0,10 0,10 6 7 8 X 1) Lập bảng phân phối xác suất của X với điều kiện P (X =x i | Y =2) 1 1 1 Y = 2 và tính kỳ vọng của X . 2) Lập bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện 6 2 3 X = 8 và tính kỳ vọng của Y . Chương 4. Vector ng u nhiên Chương 4. Vector ng u nhiên Ch 4. ng Ch 4. ng 1) Tính xác suất P (X −Y = 1). 1 1 1 43 EX = 6. + 7. + 8. = . 6 2 3 6 2) Tính xác suất P (X > 0 | Y = 1). 2) Bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện X = 8 : 3) Tính trung bình của X và Y . 4) Tính trung bình của Y khi X = 1 . 1 2 3 Y ( ) P Y =y j | X =8 0, 50 0, 25 0, 25 Giải. 1) Ta có: EY = 1.0, 5 + 2.0,25 + 3.0, 25 = 1, 75 . 4 1 5 P (X −Y = 1) = P {(1, 0)}+P {(2,1)} = +=. 18 18 18 VD 3. Cho vector ngẫu nhiên rời rạc (X ,Y ) có bảng phân phối xác suất đồng thời như sau: 2) P (X > 0 | Y =1) = P (X =1 | Y =1) + P (X =2 | Y =1) (X ,Y ) (0; 0) (0; 1) (1; 0) (1; 1) (2; 0) (2; 1) P {(1,1)} P {(2,1)} 4 1 3 4 3 6 1 = + =. pij P (Y = 1) P (Y = 1) 7 18 18 18 18 18 18 Xác su t - Th ng kê Đ i h c 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
4=>1