Bài giảng Sức bền vật liệu chương 2: PGS. TS. Trần Minh Tú (tóm tắt, chi tiết)

Tháng 01/2015 Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 1

Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng Email: tpnt2002@yahoo.com

NỘI DUNG

CHƯƠNG 2 – ỨNG LỰC TRONG BÀI TOÁN THANH

2.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang 2.2. Biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt 2.3. Liên hệ vi phân giữa mômen uốn, lực cắt và tải trọng phân bố 2.4. Phương pháp vẽ biểu đồ nội lực theo điểm đặc biệt 2.5. Biểu đồ nội lực của dầm tĩnh định nhiều nhịp 2.6. Biểu đồ nội lực của khung phẳng 2.7.* Biểu đồ nội lực của thanh cong

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 2

2.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang

Trong trường hợp tổng quát, trên mặt cắt ngang của thanh chịu tác dụng của ngoại lực có 6 thành phần ứng lực:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 3

2.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang

Bài toán phẳng: Ngoại lực nằm trong mặt phẳng đi qua trục z (zOy) → Chỉ tồn tại các thành phần ứng lực trong mặt phẳng này: Nz ; Qy ; Mx

Nz – lực dọc ; Qy – lực cắt ; Mx – mômen uốn

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 4

2.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang

Để xác định các thành phần ứng lực: Phương pháp mặt cắt

1 M

N N

Q

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 5

2.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang

Quy ước dấu các thành phần ứng lực: • Lực dọc: N > 0 khi có chiều đi ra khỏi mặt cắt • Lực cắt: Q > 0 khi có chiều đi vòng quanh phần thanh đang xét

thuận chiều kim đồng hồ

• Mômen uốn: M > 0 khi làm căng các thớ dưới

+N

+Q

+N

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 6

2.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang

Cách xác định các thành phần ứng lực: • Giả thiết chiều các thành phần ứng lực N, Q, M theo chiều

dương quy ước

• Thiết lập phương trình hình chiếu lên các trục z, y và phương trình cân bằng mômen với trọng tâm O của mặt cắt ngang

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 7

2.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang

Biểu thức quan hệ ứng lực – ứng suất: • Trong bài toán phẳng, chỉ tồn tại các thành phần ứng suất trong mặt

phẳng zOy → thay vì ký hiệu (σz; τzy), có thể ký hiệu là (σ; τ)

• dA(x,y) là phân tố diện tích trên mặt cắt ngang của thanh • Ta có biểu thức quan hệ ứng lực

– ứng suất như sau:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 8

2.2. Biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt

• Khi tính toán kết cấu thanh, người thiết kế cần tìm vị trí mặt cắt ngang có trị số ứng lực lớn nhất → cần biết sự phân bố của nội lực dọc theo chiều dài thanh

• Biểu đồ nội lực là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của các

thành phần ứng lực theo toạ độ mặt cắt ngang

Biểu đồ lực dọc và biểu đồ lực cắt vẽ theo quy ước và có mang dấu

N, Q

z

Biểu đồ mômen uốn luôn vẽ về phía thớ căng

z

M

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 9

2.2. Biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt

Các bước vẽ biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt biến thiên

• Xác định phản lực tại các liên kết • Phân đoạn thanh sao cho biểu thức của các thành phần ứng lực

trên từng đoạn là liên tục

• Viết biểu thức xác định các thành phần ứng lực N, Q, M theo toạ độ

mặt cắt ngang bằng phương pháp mặt cắt

• Vẽ biểu đồ cho từng đoạn căn cứ vào biểu thức đã được xác định ở

bước trên

• Kiểm tra biểu đồ nhờ vào các nhận xét mang tính trực quan, kinh

nghiệm

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 10

2.2. Biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt

Ví dụ 2.1: Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực trên các mặt cắt ngang của thanh chịu tải trọng như hình vẽ. GIẢI: 1. Xác định phản lực

Thử lại:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 11

2.2. Biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt

2. Cắt và xét từng phần thanh như hình vẽ Đoạn AC

Mặt cắt 1-1:

Đoạn BC

Mặt cắt 2-2:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 12

2.2. Biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt

3. Vẽ biểu đồ

Nhận xét 1: Tại mặt cắt có lực tập trung, biểu đồ lực cắt có bước nhảy. Độ lớn bước nhảy bằng giá trị lực tập trung. Nếu xét từ trái qua phải, chiều của bước nhảy cùng chiều lực tập trung.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 13

2.2. Biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt

Ví dụ 2.2: Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực trên các mặt cắt ngang của thanh chịu tải trọng như hình vẽ. GIẢI: 1. Xác định phản lực Bài toán đối xứng

Hoặc:

Thử lại:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 14

2.2. Biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt

2. Cắt và xét từng phần thanh như hình vẽ

Mặt cắt 1-1:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 15

2.2. Biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt

3. Vẽ biểu đồ

Nhận xét 2: Tại mặt cắt có lực cắt bằng 0, biểu đồ mômen đạt cực trị.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 16

2.2. Biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt

Ví dụ 2.3: Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực trên các mặt cắt ngang của thanh chịu tải trọng như hình vẽ. GIẢI: 1. Xác định phản lực

Thử lại:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 17

2.2. Biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt

2. Cắt và xét từng phần thanh như hình vẽ Đoạn AC

Mặt cắt 1-1:

Đoạn CB

Mặt cắt 2-2:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 18

2.2. Biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt

3. Vẽ biểu đồ

Nhận xét 3: Tại mặt cắt có mômen tập trung, biểu đồ mômen uốn có bước nhảy. Độ lớn bước nhảy bằng giá trị mômen tập trung. Nếu xét từ trái qua phải, mômen tập trung quay thuận chiều kim đồng hồ thì bước nhảy đi xuống.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 19

2.2. Biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt

Ví dụ 2.4: Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực trên các mặt cắt ngang của thanh chịu tải trọng như hình vẽ. GIẢI: 1. Xác định phản lực

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 20

2.2. Biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt

2. Cắt và xét từng phần thanh như hình vẽ

Đoạn AC:

Đoạn BC:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 21

2.2. Biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt

3. Vẽ biểu đồ

parabol

Parabol lồi

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 22

2.2. Biểu đồ nội lực – Phương pháp mặt cắt

3. Vẽ biểu đồ

parabol với

Đường cong bậc 3 lồi

Parabol lồi

đường bậc 3

M2 không có cực trị trên [0,a]

parabol

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 23

2.3. Liên hệ vi phân giữa mômen uốn, lực cắt và tải trọng phân bố

Xét dầm chịu tải trọng phân bố q(z) > 0 (hướng lên):

Xét cân bằng của đoạn phân tố thanh có chiều dài dz như hình vẽ:

Đạo hàm bậc hai của mômen uốn bằng đạo hàm bậc nhất của lực cắt và bằng cường độ của tải trọng phân bố

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 24

2.3. Liên hệ vi phân giữa mômen uốn, lực cắt và tải trọng phân bố

bậc n

Ứng dụng: • Nhận dạng các biểu đồ Q, M khi biết quy luật phân bố của tải trọng phân bố q(z): Nếu trên một đoạn thanh, biểu thức của tải trọng q(z) có bậc n thì biểu thức của Q có bậc (n+1) và biểu thức của M có bậc (n+2)

• Tính nghịch biến/đồng biến và độ dốc của các biểu đồ Q, M cũng phụ thuộc vào quy luật phân bố của q(z)

• Tại mặt cắt có q=0 → Q đạt cực trị; Tại mặt cắt có Q=0 → M đạt cực trị

bậc (n+1)

bậc (n+2)

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 25

2.3. Liên hệ vi phân giữa mômen uốn, lực cắt và tải trọng phân bố

q

q(z)

Ứng dụng: • Tìm giá trị của Q, M tại mặt cắt bất kỳ khi biết giá trị của chúng tại một mặt cắt khác:

Aq

z

B

A

Q

Q(z)

AQ

z

B

A

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 26

2.3. Liên hệ vi phân giữa mômen uốn, lực cắt và tải trọng phân bố

Ứng dụng: • Tính lồi/lõm của biểu đồ mômen uốn: biểu đồ mômen luôn có xu

hướng hứng tải trọng phân bố

z

→ M lõm

M

z

→ M lồi

M

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 27

2.4. Phương pháp vẽ biểu đồ nội lực theo điểm đặc biệt

• Cơ sở: Liên hệ vi phân giữa mômen uốn, lực cắt và tải trọng phân bố

• Phương pháp: Từ quy luật của tải trọng phân bố → Nhận xét dạng biểu đồ

Q, M → Xác định số điểm cần thiết để vẽ biểu đồ → Vẽ biểu đồ dựa trên

cách tính giá trị Q, M tại các điểm đặc biệt; các nhận xét về tính đồng

biến/nghịch biến, độ dốc, tính lồi/lõm

• Ví dụ:

 q = 0 → Q = const → Cần xác định 1 điểm → QA = ? (hoặc QB = ?)

→ M bậc nhất → Cần xác định 2 điểm → MA = ? và MB = ?

 q = const → Q bậc nhất → Cần xác định 2 điểm → QA = ? và QB = ?

→ M bậc 2 → Cần xác định 3 điểm → MA = ? ; MB = ? ; cực trị

(nếu có) = ? hoặc giá trị tại 1 điểm ở trung gian

→ Tính lồi, lõm của biểu đồ M?

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 28

2.4. Phương pháp vẽ biểu đồ nội lực theo điểm đặc biệt

• Lưu ý: Các giá trị QA, QB, MA, MB, Mcực trị là giá trị tại các điểm

đặc biệt, được xác định nhờ:

 Phương pháp mặt cắt (cách xác định cơ bản nhất)

 Các nhận xét về bước nhảy của biểu đồ Q, M khi trên sơ

đồ dầm có tải trọng tập trung hoặc mômen tập trung

 Công thức tính giá trị Q, M tại mặt cắt bất kỳ khi biết giá trị

của chúng tại một mặt cắt xác định

Qphải = Qtrái + Aq (Aq là diện tích của biểu đồ tải trọng) Mphải = Mtrái + AQ (AQ là diện tích của biểu đồ lực cắt)

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 29

2.4. Phương pháp vẽ biểu đồ nội lực theo điểm đặc biệt

Ví dụ 2.5: Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực trên các mặt cắt ngang của thanh chịu tải trọng như hình vẽ. GIẢI: 1. Xác định phản lực

Thử lại:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 30

2.4. Phương pháp vẽ biểu đồ nội lực theo điểm đặc biệt

2. Vẽ biểu đồ Đoạn AC

q = const → Q bậc nhất

→ M bậc 2

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 31

2.4. Phương pháp vẽ biểu đồ nội lực theo điểm đặc biệt

2. Vẽ biểu đồ Đoạn CB

q = 0 → Q = const

→ M bậc nhất

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 32

Biểu đồ mô men một số dạng chịu lực cơ bản của dầm

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 33

2.5. Biểu đồ nội lực của dầm tĩnh định nhiều nhịp

Định nghĩa: Là hệ tĩnh định gồm tập hợp các dầm, nối với nhau bằng các liên kết khớp. Cách vẽ biểu đồ: • Phân biệt dầm chính và dầm phụ • Dầm chính là dầm khi đứng độc lập vẫn chịu được tải

trọng

• Dầm phụ là dầm khi đứng độc lập không chịu được tải trọng, phải tựa lên dầm chính mới chịu được tải trọng • Tải trọng đặt lên dầm chính không ảnh hưởng tới dầm phụ, tải trọng đặt lên dầm phụ sẽ truyền lên dầm chính thông qua phản lực liên kết

• Vẽ biểu đồ nội

lực cho dầm phụ trước rồi đến dầm

chính, sau đó ghép lại với nhau

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 34

2.5. Biểu đồ nội lực của dầm tĩnh định nhiều nhịp

Ví dụ 2.6: Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực trên các mặt cắt ngang của dầm ghép tĩnh định chịu tải trọng như hình vẽ. GIẢI: 1. Hệ dầm ghép ABCD bao gồm:

- Dầm phụ BCD - Dầm chính AB 2. Xác định phản lực

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 35

2.5. Biểu đồ nội lực của dầm tĩnh định nhiều nhịp

lực của dầm phụ

3. Biểu đồ nội BCD Đoạn BC

q = 0 → Q = const

→ M bậc nhất

Đoạn CD

q = 0 → Q = const

→ M bậc nhất

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 36

2.5. Biểu đồ nội lực của dầm tĩnh định nhiều nhịp

4. Biểu đồ nội lực của dầm chính AB Đoạn AB

q = 0 → Q = const

→ M bậc nhất

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 37

2.5. Biểu đồ nội lực của dầm tĩnh định nhiều nhịp

lực toàn hệ dầm

5. Biểu đồ nội ghép

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 2: Ứng lực trong bài toán thanh – 38