Bài giảng Toán A1: Chương 1 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

99
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán A1 - Chương 1 cung cấp những kiến thức về giới hạn và liên tục. Nội dung chính trong chương này gồm có: Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, hàm số liên tục,...và một số nội dung chi tiết khác. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán A1: Chương 1 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Huỳnh Văn Kha Khoa Toán – Thống Kê Toán A1 - MS: 501001 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 1 / 51
Nội dung 1 Giới hạn dãy số Dãy số – Giới hạn – Một số tính chất Tiêu chuẩn Weierstrass – Số e Các giới hạn cơ bản – Tính giới hạn 2 Giới hạn hàm số Định nghĩa giới hạn Tính chất – Giới hạn cơ bản – Các dạng vô định Đại lượng VCB - Khử dạng vô định 3 Hàm số liên tục Liên tục – Liên tục một phía Tính chất hàm liên tục trên khoảng đóng Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 1 / 51
Dãy số Một dãy số có thể được xem là một dãy (vô hạn) các con số được được xếp theo một thứ tự nào đó a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an , . . . . Với mỗi số tự nhiên n ta có tương ứng duy nhất một số thực an cho nên có thể định nghĩa dãy số là một ánh xạ từ N vào R. Dãy số {a1 , a2 , a3 , . . . } được ký hiệu là {an } hoặc {an }∞ n=1 Chú ý, dãy số có thể được đánh số từ 0 hoặc từ bất kỳ số tự nhiên nào khác. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 2 / 51
Dãy số thường được cho dưới dạng công thức cho an . Ví dụ 1. ∞ n n 1. Dãy có an = n + 1 n=1 n+1 1 2 3 4 n , , , ,..., ,... 2 3 4 5 n+1 n n √ o∞ √ 2. Dãy (−1) n−3 có an = (−1)n n − 3 n=3 n √ √ n √ o 0, 1, − 2, 3, . . . , (−1) n − 3, . . . 3. Dãy {cos(nπ/3)}∞ n=0 có an = cos(nπ/3) {1, 1/2, −1/2, −1, . . . , cos(nπ/3), . . . } Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 3 / 51
Tuy nhiên nhiều dãy số không thể cho dưới dạng công thức đơn giản như vậy. Ví dụ 2 1. Dãy Fibonacci {an } được định nghĩa bằng quy nạp a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2 , n≥3 2. Gọi an là ký tự thứ n trong phần thập phân của số π thì các phần tử đầu tiên của dãy {an } là {1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4, . . . } 3. Gọi pn là số dân thế giới vào Ngày 31 Tháng 12 Năm n. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 4 / 51
Dãy số hội tụ n Xét dãy số an = n+1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 5 / 51
Ta thấy an = n/(n + 1) tiến về 1 khi n đủ lớn. Cụ thể ta thấy khoảng cách giữa 1 và an là n 1 1− = . n+1 n+1 Khoảng cách này có thể nhỏ tùy ý miễn n đủ lớn. Trong trường hợp này, ta nói dãy {n/(n + 1)} có giới hạn là 1 và viết n lim = 1. n→∞ n + 1 Tổng quát, dãy {an } được nói là có giới hạn bằng L nếu các an có thể gần L tùy ý khi n đủ lớn. Ký hiệu lim an = L hoặc lim an = L. n→∞ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 6 / 51
Một cách chính xác, ta có định nghĩa sau đây. Định nghĩa Dãy số an được nói là có giới hạn bằng L nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại số tự nhiên N sao cho |an − L| < ε, ∀n ≥ N. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 7 / 51
Tương tự, dãy số an được nói là có giới hạn bằng ∞ (tương ứng −∞) nếu với mọi số thực M đều tồn tại số tự nhiên N sao cho an > M, ∀n ≥ N (tương ứng an < M, ∀n ≥ N). Khi đó ta cũng ký hiệu lim an = ∞ (tương ứng lim an = −∞) và nói dãy {an } có giới hạn bằng ∞ (hoặc −∞). Nếu lim an = L ∈ R thì ta nói {an } là dãy hội tụ. Ngược lại, nếu lim an = ±∞ hoặc lim an không tồn tại thì ta nói {an } là dãy phân kỳ. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 8 / 51
Một số tính chất Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương, căn, lũy thừa, . . . bằng tổng, hiệu, tích, thương, căn, lũy thừa, . . . của giới hạn (miễn là tính được). Ví dụ nếu lim an và lim bn đều tồn tại thì: lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn lim(an bn ) = (lim an ) (lim bn ) an lim an lim = (với bn 6= 0, lim bn 6= 0) bn lim bn √ √ lim an = lim an (với an ≥ 0, lim an ≥ 0) lim(an )r = (lim an )r . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 9 / 51
Tiêu chuẩn giới hạn kẹp Nếu an ≤ bn ≤ cn , ∀n ≥ n0 và lim an = lim cn = L thì lim bn = L. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 10 / 51
Dãy đơn điệu - Dãy bị chận Dãy {xn } gọi là dãy tăng nếu: xn ≤ xn+1 , ∀n ∈ N. Dãy {xn } gọi là dãy giảm nếu: xn ≥ xn+1 , ∀n ∈ N. Nếu {xn } là dãy tăng hoặc giảm thì ta nói {xn } đơn điệu. Ví dụ: xét tính đơn điệu của các dãy số sau. n+1 √ xn = n2 , xn = , xn = (−1)n n + 1 n {xn } gọi là bị chận trên nếu: ∃M ∈ R, xn ≤ M, ∀n ∈ N. {xn } gọi là bị chận dưới nếu: ∃N ∈ R, xn ≥ N, ∀n ∈ N. Nếu {xn } bị chận trên và dưới thì ta nói nó bị chận. Ví dụ: Xét tính bị chận của các dãy số trên. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 11 / 51
Tiêu chuẩn Weierstrass – Số e Tiêu chuẩn Weierstrass Một dãy số tăng và bị chận trên thì hội tụ. Một dãy số giảm và bị chận dưới thì hội tụ. n 1 Xét dãy: xn = 1 + . Người ta chứng minh được nó n là dãy tăng và bị chận trên. Suy ra nó hội tụ. n 1 Ta định nghĩa e = lim 1 + n→+∞ n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 12 / 51
Các giới hạn cơ bản 1 1. Nếu a > 0 thì lim = 0, lim na = +∞. n→∞ na n→∞ 2. Nếu |a| < 1 thì: lim an = 0. n→∞ Nếu a > 1 thì lim an = +∞. n→∞ nα 3. Nếu a > 1 và α ∈ R thì: lim n = 0. n→∞ a √ 4. Nếu a > 0 thì lim n a = 1 n→∞ √ Đồng thời lim n n = 1. n→∞ x n 5. Giới hạn liên quan số e: lim 1 + = ex n→+∞ n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 13 / 51
Tính giới hạn Biến đổi đưa về giới hạn cơ bản, áp dụng các tính chất, sử dụng giới hạn kẹp, . . . . Ví dụ: Tính các giới hạn các dãy số sau. 4n2 + 1 1. lim n→∞ 3n2 + 2 a) 3/4 b) 4/3 c) 1/2 d) +∞ p √ √ 2. lim 2n + 3 n − 2n + 1 n→∞ √ √ a) 3 b) 3/2 c) 3 2 d) 3/(2 2) √n n 3. lim √ n √ n→∞ n2 + n n + 1 a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) +∞ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 14 / 51
3 · 5n − 2n 4. lim n→∞ 4n + 2 · 5n a) 3/4 b) -1/2 c) +∞ d) 3/2 2 n n 2 +n 5. lim n n→∞ 3 + n2 + 1 a) +∞ b) 0 c) 3/2 d) 1 2n n−1 6. lim n→∞ n + 1 √ a) 1 b) e −2 c) e −4 d) e − 2 √ n sin n 7. lim 2 n→∞ n + n − 1 a) 1 b) 0 c) +∞ d) Không tồn tại Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 15 / 51
Giới hạn hàm số Hàm số y = f (x) được nói là có giới hạn bằng L khi x tiến về a nếu có thể làm cho giá trị của f gần L tùy ý bằng cách cho x đủ gần a (nhưng khác a). Ký hiệu: lim f (x) = L x→a Ví dụ: xét hàm số f (x) = x 2 − x + 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 16 / 51
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 17 / 51
Các chú ý: Giới hạn hàm số khi x → a chỉ liên quan tới giá trị của f xung quanh a, không liên quan giá trị của f tại a, thậm chí f có thể không xác định tại a. x −1 Ví dụ: Xét lim 2 x→1 x − 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 18 / 51
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 19 / 51