Bài giảng Toán A1 Chương 2 ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Khoa Toán – Thống Kê

Huỳnh Văn Kha

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

1 / 29

Toán A1 - MS: 501001

Nội dung

1 Đạo hàm và các tích chất

2 Vi phân và tính gần đúng

Đạo hàm, đạo hàm một phía và tính chất Đạo hàm hàm ẩn, hàm cho bởi pt tham số

3 Quy tắc L’Hospital

4 Định lý giá trị trung bình và ks hàm số

Vi phân và tính gần đúng

5 Công thức Taylor, Mac Laurin

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

1 / 29

Định lý giá trị trung bình Đơn điệu, cực trị, điểm uốn

Đạo hàm

Định nghĩa Cho f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b), giới hạn

(nếu có) được gọi là đạo hàm

f (x0 + ∆x) − f (x0) lim ∆x ∆x→0 của f tại x0. Ký hiệu: f (cid:48)(x0).

được gọi là đạo f (x0 + ∆x) − f (x0) ∆x

f (cid:48) +(x0) = lim ∆x→0+ hàm phải của f tại x0.

được gọi là đạo f (x0 + ∆x) − f (x0) ∆x

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

2 / 29

f (cid:48) −(x0) = lim ∆x→0− hàm trái của f tại x0.

Nếu f có đạo hàm tại mọi x0 ∈ (a, b) thì f (cid:48) là một hàm số f (cid:48) : (a, b) → R

x (cid:55)→ f (cid:48)(x)

, f (cid:48)(cid:48)(x) = f (cid:48)(x) = (x) = Nếu hàm số này có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b) thì ta nói f có đạo hàm cấp hai tại x0. Ký hiệu: f (cid:48)(cid:48)(x0) = (f (cid:48))(cid:48)(x0) Nếu f có đạo hàm cấp n là f (n) thì đạo hàm cấp n + 1 được định nghĩa là: f (n+1)(x) = (f (n))(cid:48)(x) Các đạo hàm của y = f (x) còn được ký hiệu: d2y dx 2 , · · · d2f dx 2 (x) = dy dx df dx

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

3 / 29

Nếu f có đạo hàm tại x thì f liên tục tại x

Các tính chất của đạo hàm

Nếu f , g có đạo hàm tại x ∈ (a, b) thì:

1. (f + g )(cid:48)(x) = f (cid:48)(x) + g (cid:48)(x) 2. (αf )(cid:48)(x) = αf (cid:48)(x), với α ∈ R 3. (fg )(cid:48)(x) = f (cid:48)(x)g (x) + f (x)g (cid:48)(x)

(cid:19)(cid:48) 4. (x) = (cid:18) f g

f (cid:48)(x)g (x) − f (x)g (cid:48)(x) g 2(x) 5. (g ◦ f )(cid:48)(x) = g (cid:48)(f (x))f (cid:48)(x) 6. Nếu f đơn ánh và f (cid:48)(x) (cid:54)= 0 thì f −1 cũng có đạo

hàm tại y = f (x) và:

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

4 / 29

(f −1)(cid:48)(y ) = = 1 f (cid:48)(x) 1 f (cid:48)(f −1(y ))

Đạo hàm các hàm sơ cấp

f (x) f (cid:48)(x) f (x)

ex ex ln x f (cid:48)(x) 1 x

loga x 1 x ln a ax x α ax ln a αx α−1

sin x cos x tan x = 1 + tan2 x

cos x cot x = −(1 + cot2 x)

√ arcsin x arccos x 1 cos2 x −1 sin2 x −1 √ 1 − x 2

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

5 / 29

arctan x − sin x 1 1 − x 2 1 1 + x 2

Ví dụ

1. f (x) = . Tính f (cid:48)(x).

(cid:19) 2. f (x) = x arctan . Tính f (cid:48)(x). ex 2 + sin(x) (cid:18) 1 x

. Tính f (cid:48)(x), f (cid:48)(cid:48)(x), f (cid:48)(cid:48)(cid:48)(x), f (n)(x). 3. f (x) =

4. f (x) =

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

6 / 29

và f (20) (cid:19) . 1 1 + x 1 1 − x 2 . Tính f (cid:48)(x), f (cid:48)(cid:48)(x), f (cid:48)(cid:48)(cid:48)(x), f (n)(x), (cid:18)1 2

Đạo hàm hàm ẩn

Để tính đạo hàm hàm ẩn y = y (x) cho bởi pt g (x, y ) = 0, ta xem y là hàm theo x lấy đạo hàm 2 vế rồi suy ra y (cid:48)(x).

Ví dụ.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

7 / 29

1. x 3 + y 3 = 12xy . Tính y (cid:48)(x). 2. sin(xy ) + x 2 = y + cos(πx). Tính y (cid:48)(0). 3(cid:112)x 2 + y 2 = x sin(y ) + 4. Tính y (cid:48)(x). 3. Biết y (0) < 0, tính y (cid:48)(0). 4. x 4 + y 4 = 16. Tính y (cid:48)(cid:48)(x).

Đạo hàm hàm cho bởi pt tham số

Nếu hàm số cho bởi pt tham số .

(cid:26) x = x(t) y = y (t) (cid:19) Thì ta có: y (cid:48)(x) = = dy dx (cid:18)dy dt (cid:19)(cid:30)(cid:18)dx dt

Ví dụ. Cho y là hàm theo x xác định bởi ptts:

(cid:26) x = et 1. . Tính , (e), dy dx dy dx

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

8 / 29

y = t + ln t (cid:40) x = arctan t 2. . Tính , (0), y = dy dx dy dx d 2y dx 2 (e). d 2y dx 2 (0) t 1 + t 2

Khả vi – Vi phân

Hàm số y = f (x) được gọi là khả vi tại x0 nếu số gia hàm số tại điểm x0 có thể viết dưới dạng:

∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0) = A∆x + o(∆x). Trong đó A là hằng số và o(∆x) là một vô cùng bé so với ∆x khi ∆x → 0.

Khi đó đại lượng A∆x được gọi là vi phân của f tại x0 và được ký hiệu là df hay dy .

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

9 / 29

df = f (cid:48)(x)dx f khả vi tại x khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại x. Và khi đó:

√

Ví dụ: 1. Tìm df , biết f (x) = e

2. Cho f (x) = cos(x x). Tính df (1).

Vi phân cấp 2 của f là: d 2f = f (cid:48)(cid:48)(x)dx 2 Tương tự, vi phân cấp n của f là: d nf = f (n)(x)dx n

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

10 / 29

√ x. Ví dụ: 3. Tìm d 2y , biết y = arcsin √ 4. Cho y = 2x + 1. Tính d ny và d ny (0).

Tính gần đúng (xấp xỉ tuyến tính) Khi f khả vi tại x0 thì:

f (x0 + ∆x) − f (x0) = f (cid:48)(x0)∆x + o(∆x).

Cho nên ta có thể xấp xỉ:

f (x0 + ∆x) ≈ f (x0) + f (cid:48)(x0)∆x

Vế phải được gọi là xấp xỉ tuyến tính của f tại x0. Ký hiệu: L(x) = f (x0) + f (cid:48)(x0)(x − x0). Ví dụ: Dùng vi phân tính xấp xỉ các giá trị sau √

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

11 / 29

1. 28. 2. tan 44o. 3. arctan(0.97). 4. (cid:112)(0.1)2 + 4e0.1.

Quy tắc L’Hospital

Quy tắc L’Hospital Giả sử các hàm f , g khả vi và g (cid:48)(x) (cid:54)= 0 trên một khoảng mở chứa a (có thể ngoại trừ tại a). Và giả sử một trong hai điều sau là đúng:

g (x) = 0, hoặc

g (x) = ±∞. lim x→a lim x→a

, miễn là giới hạn vế Thì khi đó: lim x→a = lim x→a f (x) = lim x→a f (x) = lim x→a f (x) g (x) f (cid:48)(x) g (cid:48)(x)

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

12 / 29

phải tồn tại (hoặc bằng ±∞).

Chú ý: Nếu thay “x → a” bằng x → a+, x → a−, x → +∞, hoặc x → −∞ thì vẫn đúng.

Ví dụ:

= (a) 1 (b) −1 (c) 0 (d) +∞ 1. lim x→1

(a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) 1 2. lim x→+∞

3. = ln x 1 − x ex x 2 = sin x 1 − cos x (d) không ∃

lim x→π− (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (cid:2)x (cid:0)e1/x − 1(cid:1)(cid:3) = 4.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

13 / 29

lim x→+∞ (a) 0 (b) 1 (c) e (d) e2

(cid:19) (cid:18) x − = x − 1 1 ln x

(b) 1/2 (d) 2 5. lim x→1 (a) 0

(b) 1 (c) e (d) e2 lim x→0+ (a) 0

(ex + x)1/x = 7.

(cid:19)2x+1 8. =

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

14 / 29

(b) 1 (cid:18)2x − 3 2x + 5 (b) e−3 (c) e5 (d) e−8 lim x→+∞ (a) 1

= cos mx − cos nx x 2 9. lim x→0 (a) m (b) n − m (c) m2 − n2 (d) (n2 − m2)/2

10. = cos x ln(x − a) ln (ex − ea)

(b) a cos a (c) e sin a (d) a sin a lim x→a+ (a) cos a √ 8 + 5x − 2 √ √ 11. lim x→0 1 − x

12. lim x→0

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

15 / 29

13. lim x→0+ 1 + x − ex − e−x − 2x x − sin x ln x 1 + 2 ln sin x

(cid:17) ln(1 − x) + tan (cid:16)πx 2 14. lim x→1− cot(πx)

[(π − 2 arctan x) ln x] 15. lim x→+∞

(cid:19)1/x 2

16. lim x→0 (cid:18)tan x x

(cid:19)1/x (cid:18) 17. tan lim x→+∞ πx 2x + 1

(cid:19)1/x 2

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

16 / 29

18. lim x→0 (cid:18) ax − x ln a bx − x ln b

Định lý giá trị trung bình

Định lý Fermat Nếu f đạt cực trị tại c, và nếu f (cid:48)(c) tồn tại thì f (cid:48)(c) = 0.

Định lý Rolle Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). Khi đó nếu f (a) = f (b) thì sẽ có c ∈ (a, b) sao cho: f (cid:48)(c) = 0.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

17 / 29

Tổng quát, ta có định lý giá trị trung bình sau đây.

Định lý GTTB (Lagrange)

Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b).

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

18 / 29

Khi đó có c ∈ (a, b) sao cho: f (cid:48)(c) = . f (b) − f (a) b − a

Đơn điệu và cực trị

1. Nếu f (cid:48)(x) > 0 trên [a, b] thì f tăng trên [a, b]. 2. Nếu f (cid:48)(x) < 0 trên [a, b] thì f giảm trên [a, b]. 3. Nếu f (cid:48)(x) = 0 trên [a, b] thì f là hằng số trên [a, b].

Giả sử f (cid:48)(c) = 0, ta có:

1. Nếu f (cid:48) đổi dấu từ dương sang âm tại c thì f đạt cực

đại (địa phương) tại c.

2. Nếu f (cid:48) đổi dấu từ âm sang dương tại c thì f đạt cực

tiểu (địa phương) tại c.

3. Nếu f (cid:48) không đổi dấu tại c thì f không đạt cực trị

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

19 / 29

tại c.

Ngoài ra, có thể xét cực trị bằng đạo hàm cấp 2.

1. Nếu f (cid:48)(c) = 0 và f (cid:48)(cid:48)(c) > 0 thì f đạt cực tiểu tại c. 2. Nếu f (cid:48)(c) = 0 và f (cid:48)(cid:48)(c) < 0 thì f đạt cực đại tại c.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

20 / 29

Ví dụ: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số f (x) = 3x 4 − 4x 3 − 12x 2 + 5.

Tiếp tuyến

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm x0 có phương trình là: y = f (cid:48)(x0)(x − x0) + f (x0).

Ví dụ:

1. Viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số

f (x) = 3x 4 − 4x 3 − 12x 2 + 5 tại điểm x0 = 1.

2. Viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

21 / 29

f (x) = x ln x tại điểm x0 = e.

Lồi, lõm

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

22 / 29

Nếu đồ thị của f (x) nằm trên tất cả các tiếp tuyến của nó trên khoảng I thì ta nói f lồi trên I . Nếu đồ thị của f (x) nằm dưới tất cả các tiếp tuyến của nó trên khoảng I thì ta nói f lõm trên I .

Nếu f (cid:48)(cid:48)(x) > 0 trên I thì f lồi trên I . Nếu f (cid:48)(cid:48)(x) < 0 trên I thì f lõm trên I .

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

23 / 29

Điểm P được gọi là điểm uốn của đường cong y = f (x) nếu f liên tục tại đó và đường cong thay đổi từ lồi sang lõm hoặc từ lõm sang lồi khi đi qua P.

Ví dụ:

1. Tìm các khoảng đơn điệu, lồi, lõm, cực trị, điểm

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

24 / 29

uốn của các hàm số f (x) = x 4 − 4x 3.

2. Tìm các khoảng đơn điệu, lồi, lõm, cực trị, điểm

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

25 / 29

uốn của các hàm số f (x) = e1/x.

3. Tìm các khoảng đơn điệu, lồi, lõm, cực trị, điểm

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

26 / 29

uốn của các hàm số f (x) = 3(cid:112)x 2(6 − x).

Khai triển Taylor

Công thức Taylor Cho f : (a, b) → R là có đạo hàm đến cấp n trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). Khi đó, với mọi x ∈ (a, b), ta có:

f (x) = f (x0) + (x − x0) + (x − x0)2 + f (cid:48)(cid:48)(x0) 2!

n (cid:88)

· · · + (x − x0)n + Rn(x)

k=0

= (x − x0)k + Rn(x) f (cid:48)(x0) 1! f (n)(x0) n! f (k)(x0) k!

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

27 / 29

Trong đó Rn(x) = o(cid:0)(x − x0)n(cid:1) là phần dư dạng Peano.

Khai triển Mac Laurin Khai triển Taylor với x0 = 0 gọi là khai triển Mac Laurin

n (cid:88)

k=0

f (x) = x k + o(x n). f (k)(0) k!

Ví dụ:

√ 1. Viết kt Taylor tới cấp 4 của: f (x) = 3 2x − 1, tại

x0 = 1.

2. Viết kt Mac Laurin tới cấp 3 của: f (x) = arcsin x. 3. Viết kt Mac Laurin tới cấp 4 của: f (x) = e−x 2. 4. Viết khai triển Mac Laurin tới bậc n (tổng quát) của các hàm số sau: ex, sin x, cos x, arctan x, ln(1 + x).

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Toán A1 - MS: 501001

28 / 29

Chú ý: Khai triển Taylor tại x = x0 là khai triển theo lũy thừa của x − x0.