Bài giảng Toán A1: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

108
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 2 trang bị cho người học những kiến thức về đạo hàm và vi phân. Các nội dung chính của chương này gồm: Đạo hàm và các tích chất, vi phân và tính gần đúng, quy tắc L’Hospital, định lý giá trị trung bình và ks hàm số, công thức Taylor - Mac Laurin. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán A1: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Huỳnh Văn Kha Khoa Toán – Thống Kê Toán A1 - MS: 501001 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 1 / 29
Nội dung 1 Đạo hàm và các tích chất Đạo hàm, đạo hàm một phía và tính chất Đạo hàm hàm ẩn, hàm cho bởi pt tham số 2 Vi phân và tính gần đúng Vi phân và tính gần đúng 3 Quy tắc L’Hospital 4 Định lý giá trị trung bình và ks hàm số Định lý giá trị trung bình Đơn điệu, cực trị, điểm uốn 5 Công thức Taylor, Mac Laurin Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 1 / 29
Đạo hàm Định nghĩa Cho f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b), giới hạn f (x0 + ∆x) − f (x0 ) lim (nếu có) được gọi là đạo hàm ∆x→0 ∆x của f tại x0 . Ký hiệu: f 0 (x0 ). f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f+0 (x0 ) = lim + được gọi là đạo ∆x→0 ∆x hàm phải của f tại x0 . f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f−0 (x0 ) = lim − được gọi là đạo ∆x→0 ∆x hàm trái của f tại x0 . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 2 / 29
Nếu f có đạo hàm tại mọi x0 ∈ (a, b) thì f 0 là một hàm số f 0 : (a, b) → R x 7→ f 0 (x) Nếu hàm số này có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b) thì ta nói f có đạo hàm cấp hai tại x0 . Ký hiệu: f 00 (x0 ) = (f 0 )0 (x0 ) Nếu f có đạo hàm cấp n là f (n) thì đạo hàm cấp n + 1 được định nghĩa là: f (n+1) (x) = (f (n) )0 (x) Các đạo hàm của y = f (x) còn được ký hiệu: df dy 00 d2 f d2 y f 0 (x) = (x) = , f (x) = 2 (x) = 2 , · · · dx dx dx dx Nếu f có đạo hàm tại x thì f liên tục tại x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 3 / 29
Các tính chất của đạo hàm Nếu f , g có đạo hàm tại x ∈ (a, b) thì: 1. (f + g )0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) 2. (αf )0 (x) = αf 0 (x), với α ∈ R 3. (fg )0 (x) = f 0 (x)g (x) + f (x)g 0 (x) 0 f f 0 (x)g (x) − f (x)g 0 (x) 4. (x) = g g 2 (x) 5. (g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x) 6. Nếu f đơn ánh và f 0 (x) 6= 0 thì f −1 cũng có đạo hàm tại y = f (x) và: 1 1 (f −1 )0 (y ) = 0 = 0 −1 f (x) f (f (y )) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 4 / 29
Đạo hàm các hàm sơ cấp f (x) f 0 (x) f (x) f 0 (x) 1 ex ex ln x x 1 ax ax ln a loga x x ln a xα αx α−1 1 sin x cos x tan x 2 = 1 + tan2 x cos x −1 cos x − sin x cot x 2 = −(1 + cot2 x) sin x 1 −1 arcsin x √ arccos x √ 1 − x2 1 − x2 1 arctan x 1 + x2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 5 / 29
Ví dụ ex 1. f (x) = . Tính f 0 (x). 2 + sin(x) 1 2. f (x) = x arctan . Tính f 0 (x). x 1 3. f (x) = . Tính f 0 (x), f 00 (x), f 000 (x), f (n) (x). 1+x 1 4. f (x) = 2 . Tính f 0 (x), f 00 (x), f 000 (x), f (n) (x), 1 −x 1 và f (20) . 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 6 / 29
Đạo hàm hàm ẩn Để tính đạo hàm hàm ẩn y = y (x) cho bởi pt g (x, y ) = 0, ta xem y là hàm theo x lấy đạo hàm 2 vế rồi suy ra y 0 (x). Ví dụ. 1. x 3 + y 3 = 12xy . Tính y 0 (x). 2. sin(xy ) + x 2 = y + cos(πx). Tính y 0 (0). p 3. 3 x 2 + y 2 = x sin(y ) + 4. Tính y 0 (x). Biết y (0) < 0, tính y 0 (0). 4. x 4 + y 4 = 16. Tính y 00 (x). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 7 / 29
Đạo hàm hàm cho bởi pt tham số x = x(t) Nếu hàm số cho bởi pt tham số . y = y (t) 0 dy dy dx Thì ta có: y (x) = = dx dt dt Ví dụ. Cho y là hàm theo x xác định bởi ptts: x = et d 2y dy dy 1. . Tính , (e), (e). y = t + ln t dx dx dx 2 ( x = arctan t dy dy d 2y 2. t . Tính , (0), (0) y = dx dx dx 2 1 + t2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 8 / 29
Khả vi – Vi phân Hàm số y = f (x) được gọi là khả vi tại x0 nếu số gia hàm số tại điểm x0 có thể viết dưới dạng: ∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A∆x + o(∆x). Trong đó A là hằng số và o(∆x) là một vô cùng bé so với ∆x khi ∆x → 0. Khi đó đại lượng A∆x được gọi là vi phân của f tại x0 và được ký hiệu là df hay dy . f khả vi tại x khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại x. Và khi đó: df = f 0 (x)dx Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 9 / 29
Ví dụ: √ 1. Tìm df , biết f (x) = e x . 2. Cho f (x) = cos(x x ). Tính df (1). Vi phân cấp 2 của f là: d 2 f = f 00 (x)dx 2 Tương tự, vi phân cấp n của f là: d n f = f (n) (x)dx n Ví dụ: √ 3. Tìm d 2 y , biết y = arcsin x. √ 4. Cho y = 2x + 1. Tính d n y và d n y (0). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 10 / 29
Tính gần đúng (xấp xỉ tuyến tính) Khi f khả vi tại x0 thì: f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f 0 (x0 )∆x + o(∆x). Cho nên ta có thể xấp xỉ: f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )∆x Vế phải được gọi là xấp xỉ tuyến tính của f tại x0 . Ký hiệu: L(x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). Ví dụ: Dùng vi phân tính xấp xỉ các giá trị sau √ 1. 3 28. 2. tan 44o . 3. arctan(0.97). p 4. (0.1)2 + 4e 0.1 . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 11 / 29
Quy tắc L’Hospital Quy tắc L’Hospital Giả sử các hàm f , g khả vi và g 0 (x) 6= 0 trên một khoảng mở chứa a (có thể ngoại trừ tại a). Và giả sử một trong hai điều sau là đúng: lim f (x) = lim g (x) = 0, hoặc x→a x→a lim f (x) = lim g (x) = ±∞. x→a x→a f (x) f 0 (x) Thì khi đó: lim = lim 0 , miễn là giới hạn vế x→a g (x) x→a g (x) phải tồn tại (hoặc bằng ±∞). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 12 / 29
Chú ý: Nếu thay “x → a” bằng x → a+ , x → a− , x → +∞, hoặc x → −∞ thì vẫn đúng. Ví dụ: ln x 1. lim = (a) 1 (b) −1 (c) 0 (d) +∞ x→1 1 − x ex 2. lim 2 = (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) 1 x→+∞ x sin x 3. lim− = x→π 1 − cos x (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không ∃ 4. lim x e 1/x − 1 = x→+∞ (a) 0 (b) 1 (c) e (d) e 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 13 / 29
x 1 5. lim − = x→1 x − 1 ln x (a) 0 (b) 1/2 (c) 1 (d) 2 6. lim+ (1 + sin 2x)cot x = x→0 (a) 0 (b) 1 (c) e (d) e 2 7. lim (e x + x)1/x = x→+∞ (a) 0 (b) 1 (c) e (d) e 2 2x+1 2x − 3 8. lim = x→+∞ 2x + 5 (a) 1 (b) e −3 (c) e 5 (d) e −8 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 14 / 29
cos mx − cos nx 9. lim = x→0 x2 (a) m (b) n − m (c) m2 − n2 (d) (n2 − m2 )/2 cos x ln(x − a) 10. lim+ = x→a ln (e x − e a ) (a) cos a (b) a cos a (c) e sin a (d) a sin a √3 8 + 5x − 2 11. lim √ √ x→0 1+x − 1−x e x − e −x − 2x 12. lim x→0 x − sin x ln x 13. lim+ x→0 1 + 2 ln sin x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 15 / 29
πx ln(1 − x) + tan 14. lim− 2 x→1 cot(πx) 15. lim [(π − 2 arctan x) ln x] x→+∞ 1/x 2 tan x 16. lim x→0 x 1/x πx 17. lim tan x→+∞ 2x + 1 x 1/x 2 a − x ln a 18. lim x→0 b x − x ln b Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 16 / 29
Định lý giá trị trung bình Định lý Fermat Nếu f đạt cực trị tại c, và nếu f 0 (c) tồn tại thì f 0 (c) = 0. Định lý Rolle Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). Khi đó nếu f (a) = f (b) thì sẽ có c ∈ (a, b) sao cho: f 0 (c) = 0. Tổng quát, ta có định lý giá trị trung bình sau đây. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 17 / 29
Định lý GTTB (Lagrange) Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). f (b) − f (a) Khi đó có c ∈ (a, b) sao cho: f 0 (c) = . b−a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 18 / 29
Đơn điệu và cực trị 1. Nếu f 0 (x) > 0 trên [a, b] thì f tăng trên [a, b]. 2. Nếu f 0 (x) < 0 trên [a, b] thì f giảm trên [a, b]. 3. Nếu f 0 (x) = 0 trên [a, b] thì f là hằng số trên [a, b]. Giả sử f 0 (c) = 0, ta có: 1. Nếu f 0 đổi dấu từ dương sang âm tại c thì f đạt cực đại (địa phương) tại c. 2. Nếu f 0 đổi dấu từ âm sang dương tại c thì f đạt cực tiểu (địa phương) tại c. 3. Nếu f 0 không đổi dấu tại c thì f không đạt cực trị tại c. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 19 / 29