Bài giảng Toán lớp 7: Chuyên đề tỉ lệ thức - Ngô Thế Hoàng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán lớp 7 "Chuyên đề tỉ lệ thức" do giáo viên Ngô Thế Hoàng biên soạn có nội dung cung cấp các dạng bài tập để các em học sinh khối 7 trau dồi và nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Hi vọng đây là tài liệu hữu ích với thầy cô và các em học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập của mình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán lớp 7: Chuyên đề tỉ lệ thức - Ngô Thế Hoàng

CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC DẠNG 1: TÌM X Bài 1: Tìm x biết: x −3 5 7 x +1 44 − x x − 12 a, = b, = c, = x+5 7 x −1 9 3 5 HD: a, = 7 ( x − 3) = 5 ( x + 5) = 2 x = 46 = x = 23 b, = ( x − 1)( x + 1) = 7.9 = (8 − 1)(8 + 1) = x = 8 c, = 5 ( 44 − x ) = 3 ( x − 12) = 8x = 256 = x = 32 Bài 2: Tìm x biết: x+4 5 x− y 3 x x −1 x − 2 a, = b, = ( tìm ) c, = 20 x+4 x + 2y 4 y x+2 x+3 HD: a, = ( x + 4 ) = 100 = 102 = x + 4 = 10 2 x b, = 4 x − 4 y = 3x + 6 y = x = 10 y = = 10 y  x −1   x − 2  x −1− x − 2 x − 2 − x − 3 −3 −5 c, =  − 1 =  − 1 = = = =  x+2   x+3  x+2 x+3 x+2 x+3 −1 = 3 ( x + 3) = 5 ( x + 2 ) = 2 x = −1 = x = 2 Bài 3: Tìm x, y, z biết: 15 20 40 40 20 28 a, = = và x.y=1200 b, = = và x.y.z = 22400 x − 9 y − 12 z − 24 x − 30 y − 15 z − 21 HD: x − 9 y − 12 z − 24 x 3 y 3 z 3 a, Từ gt = = = = − = − = − 15 20 40 15 5 20 5 40 5 x y z  x = 15k = = = = k =  , Mà x. y = 1200 = k = 2 15 20 40  y = 20k  x = 40k x − 30 y − 15 z − 21 x y z  b, Từ gt = = = = = = = k =  y = 20k 40 20 28 40 20 28  z = 28k   x = 40  Mà: x. y.z = 22400 =  y = 20  z = 28  Bài 4: Tìm x, y, z biết: x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 a, = = và 2 x + 3 y − z = 50 b, = = và x - 2y +3z =14 2 3 4 2 3 4 HD : x − 1 y − 2 z − 3 2 ( x − 1) + 3 ( y − 2 ) − ( z − 3) ( 2 x + 3 y − z ) − 5 a, = = = = = =5 2 3 4 4+9−4 9 x − 1 y − 2 z − 3 ( x − 1) − 2 ( y − 2 ) + 3 ( z − 3) ( x − 2 y + 3z ) − 6 b, = = = = =1 2 3 4 2 − 6 + 12 8 1 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 5: Tìm x, y, z biết: x −1 y + 3 z − 5 4 3 2 a, = = và 5 z − 3x − 4 y = 50 b, = = và x + y − z = −10 2 4 6 3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z HD : x − 1 y + 3 z − 5 5 ( z − 5) − 3 ( x − 1) − 4 ( y + 3) ( 5z − 3x − 4 y ) − 34 a, Từ : = = = = 2 4 6 30 − 6 − 16 8 4 3 2 3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z b, Từ : = = => = = 3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z 4 3 2 4 ( 3x − 2 y ) 3( 2z − 4x ) 2 ( 4 y − 3z ) (12 x − 8 y ) + ( 6 z − 12 x ) + (8 y − 6 z ) = = = = =0 16 9 2 27 3x = 2 y  x y z x+ y−z = 2 z = 4 x = = = = = −10 4 y = 3 z 2 3 4 2+3−4  7 3 5 Bài 6: Tìm ba số x, y, z biết : = = và x + y + z = 17 2x + 2 2y − 4 z + 4 Bài 7: Tìm các số x,y,z biết chúng thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau : 3x + 2 y + z = 169 và 3x + 25 2 y − 169 z + 144 = = 144 25 169 HD : 3x + 25 2 y − 169 z + 144 ( 3x + 2 y + z ) + ( 25 − 169 + 144 ) 169 1 Từ : = = = = = 144 25 169 338 338 2 144 47 = 3x + 25 = = 72 = x = , Tương tự cho y và z 2 3 Bài 8: Tìm x, y, z biết: x y z a, = = và x2 + y2 − z 2 = 585 b, x:y:z=3:4:5 và 2x2 + 2 y2 − 3z 2 = −100 5 7 3 HD: x2 y 2 z 2 x2 + y 2 − z 2 a, = = = = =9 25 49 9 25 + 49 − 9 x y z x2 y 2 z 2 2 x 2 + 2 y 2 − 3z 2 −100 b, = = = = = = = =4 3 4 5 9 16 25 18 + 32 − 75 −25 Bài 9: Tìm x, y, z biết: a b c a, = = và a 2 − b2 + 2c 2 = 108 b, x : y : z = 3: 4 : 5 và 5z 2 − 3x2 − 2 y2 = 594 2 3 4 HD: a b c a 2 b2 c 2 a 2 − b2 + 2c 2 108 a, = = = = = = = =4 2 3 4 4 9 16 4 − 9 + 32 27 x y z x2 y 2 z 2 5z 2 − 3x 2 − 2 y 2 594 b, = = = = = = = =9 3 4 5 9 16 25 125 − 27 − 32 66 Bài 10: Tìm các số x, y, z biết: x3 y 3 z3 x3 y 3 z 3 a, = = và x2 + y2 + z 2 = 14 b, = = và x2 + 2 y2 − 3z 2 = −650 8 64 216 8 27 64 HD : x 2 + y 2 + z 2 14 1 3 3 3  x  y  z x y z x2 y 2 z 2 a, Từ GT ta có :   =   =   = = = = = = = = =  2  4 6 2 4 6 4 16 36 4 + 16 + 36 56 4 2 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
x y z x2 y 2 z 2 x2 + 2 y 2 − 3z 2 −650 b, = = = = = = = = = 25 2 3 4 4 9 16 −26 −26 x3 + y 3 x3 − 2 y 3 Bài 11: Tìm x, y biết: = và x6. y6 = 64 6 4 HD : Ta có : GT = ( x3 + y 3 ) − ( x3 − 2 y 3 ) = 2 ( x3 + y 3 ) + ( x3 − 2 y 3 ) = 3 y 3 = 3x3 6−4 12 + 4 2 16 x 3 x 6   x = 64k 6 = y3 = = = y 6 =  6 = k = 1 8 64 y = k  3x 3 y 3z Bài 12: Tìm x, y, z biết: = = và 2x2 + 2 y2 − z 2 = 1 8 64 216 HD : x y z x2 y2 z2 2x2 + 2 y 2 − z 2 1 Từ GT ta có : = = = = = = = ( Vô lý) 8 64 216 64 4096 46656 8320 − 46656 −38336 Vậy không tồn tại x, y, z thỏa mãn : Bài 13: Tìm x, y, z biết: 2x 3y 4z 6 9 18 a, = = và x+y+z=49 b, x = y = z và − x + y + z = −120 3 4 5 11 2 5 HD: x y z x y z x+ y+z a, = = = = = = = =1 3.6 4.4 5.3 18 16 15 49 x y z x y z − x + y + z −120 b, = = = = = = = = =5 11.3 2.2 5 33 4 5 −24 −24 Bài 14: Tìm x, y, z biết: 6 9 18 a, 2 x = 3 y = 5 z và x + y − z = 95 b, x = y = z và − x + z = −196 11 2 5 HD :  x + y − z = 95 a, Từ : x + y − z = 95 =   x + y − z = −95 x y z x+ y−z 95 Nên 2 x = 3 y = 5 z = = = = = 15 10 6 15 + 10 − 6 19 6 9 18 x y z − x + z −196 b, Từ : x = y = z => = = = = 11 2 5 33 4 5 −33 + 5 −28 x y z Bài 15: Tìm x,y,z biết: = = = x+ y+ z y + z +1 x + z + 2 x + y − 3 HD : x y z y + z +1 x + z + 2 x + y − 3 Từ : = = = = = y + z +1 x + z + 2 x + y − 3 x y z ( y + z + 1) + ( x + z + 2 ) + ( x + y − 3) 2 ( x + y + z ) = = =2= x+ y+ z x+ y+z x+ y+z = y + z + 1 = 2 x = x + y + z = 3x − 1 = 2 = x = 1 4 => x + z + 2 = 2 y = x + y + z = 3 y − 2 = 2 = y = 3 −1 => x + y − 3 = 2 z = x + y + z = 3z + 3 = 2 = z = 3 3 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
y + x +1 x + z + 2 z + y − 3 1 Bài 16: Tìm x, y, z biết : = = = x y z x+ y+z HD : 2( x + y + z) 1 1 Từ giả thiết => Cộng tử với tử ta được : GT = =2= = x + y + z = x+ y+z x+ y+z 2 1 5 Khi đó : x + z + 2 = 2 y = x + y + z = 3 y − 2 = = y = 2 6 5 −13 Và z + y − 3 = 2 z = z = y − 3 = − 3 = = x = … 6 6 y + z +1 x + z + 2 x + y − 3 1 Bài 17: Tìm x, y, z biết: = = = x y z x+ y+z HD : 2x + 2 y + 2z 1 1 Từ GT => Tử + Tử + Tử = GT = =2= = x + y + z = x+ y+z x+ y+z 2 1 3 1 Khi đó : y + z + 1 = 2 x = x + y + z = 3x − 1 = = 3x = = x = 2 2 2 Tượng tự để tìm ra y, z y + z + 2 x + z +3 x + y −5 1 Bài 18: Tìm x, y, z biết: = = = x y z x+ y+z HD : 2( x + y + z) 1 1 Từ GT=> Tử + Tử + Tử => GT = =2= = x + y + z = x+ y+z x+ y+z 2 1 5 Khi đó : y + z + 2 = 2 x = x + y + z = 3x − 2 = = x = . Làm tương tự cho y và z 2 6 x y z Bài 19: Tìm x, y, z biết: = = = x+ y+z y + z +1 z + x +1 x + y − 2 HD : x+ y+z 1 Ta có : GT = = = x+ y+z 2( x + y + z) 2 1 1 Khi đó : 2 x = y + z + 1 = x + y + z = 3x − 1 = = x = . Tương tự cho y và z 2 2 2x + 1 3 y − 2 2x + 3 y −1 Bài 20: Tìm x, y biết: = = 5 7 6x HD : ( 2 x + 1) + ( 3 y − 2) 2 x + 3 y − 1 5 3y − 2 Từ GT = = = x = 2 = = = y = 3 12 6x 5 7 2x +1 4 y − 5 2x + 4 y − 4 Bài 21: Tìm x, y biết: = = 5 9 7x HD : ( 2 x + 1) + ( 4 y − 5) 2 x + 4 y − 4 Từ GT = = = x = 2 , Thay vào tìm được y 5+9 7x 1+ 2 y 1+ 4 y 1+ 6 y Bài 22: Tìm x, biết: = = 18 24 6x HD : 2 (1 + 2 y ) − 1(1 + 4 y ) (1 + 2 y ) + (1 + 4 y ) − (1 + 6 y ) 1 1 Ta có : GT = = = = = x = 5 , 36 − 24 18 + 24 − 6 x 12 42 − 6 x Thay vào tìm được y 4 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
5x −1 7 y − 6 5x − 7 y − 7 Bài 23: Tìm x biết = = 3 5 4x HD: 5x − 1 7 y − 6 5x − 7 y − 7 5x − 7 y − 7 = = = => 3 5 8 4x 1 6 Nếu 5x-7y-7 # 0 thì x = 2 , Thay vào ta được y=3. Nếu 5x-7y-7=0=> 5x-1=0=> x = ; y = 5 7 1+ 3y 1+ 5y 1+ 7 y Bài 24: Tìm x, y biết: = = 12 5x 4x HD : Ta có : GT = (1 + 3 y ) − (1 + 5 y ) (1 + 5 y ) − (1 + 7 y ) = 12 − 5x 5x − 4 x −2 y −2 y = = = 12 − 5 x = x = 6 x = 12 = x = 2 . Thay vào tìm được y 12 − 5 x x 7x − 3y + 12 y + 2z x Bài 25: Tìm x,y,z biết : = = 2y z − 3y + 2 − y 3x + y x + y −2 − xz 2 − yz 2 Bài 26: Tìm x, y, z biết : 47 = = −17 x 2 = z2 + 1 ( x  0) a b c Bài 27: Cho = = và a + b + c  0, a = 2012 . Tính b, c b c a HD : a b c a+b+c Từ : = = = = 1 = a = b = c = 2012 b c a b+c+a a b c Bài 28: Cho = = và a + b + c  0, a = 2017 . Tính b, c b c a HD: a b c a+b+c Ta có: = = = = 1 = a = b = c = 2017 b c a a+b+c a b 10 Bài 29: Tìm a, b biết: = = , a + b  −10 b 10 a HD: a b 10 a + b + 10 Ta có: = = = = 1 = a = b = 10 b 10 a a + b + 10 x y z Bài 30: Tìm ba số thức x, y, z khác 0 biết : = = và x 2018 − y2019 = 0 y z x a b c Bài 31: Cho 3 số hữu tỉ bằng nhau: ; ; và a + b + c  0 , Tính giá trị của mỗi tỉ số đó b+c c+a a+b HD : a b c a +b+c 1 = = = = b + c c + a a + b 2(a + b + c) 2 a b c Bài 32: Tìm x biết : x = = = , và các tỉ số đều có nghĩa b+c c+a a +b HD : a b c Nếu a+b+c=0 thì b+c= -a, a+c= -b, a+b= -c khi đó x = = = = −1 −a −b −a a b c a +b+c 1 Nếu a+b+c  0 thì x = = = = = b + c c + a a + b 2(a + b + c) 2 5 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
x x Bài 33: Tìm x, biết: 2 = 2 , = 16 y y HD : x x 1 1 Ta có : 2 = 2 = . = 2 = 16. = 2 = y = 8 = x = 16.8 y y y y  x + y + z = 94 Bài 34: Tìm x, y, z biết:  3 x = 4 y = 5 z  a + b + c = 260 Bài 35: Tìm a, b, c biết:  a = 3b = 0,3(b + c) HD: a b a b + c a + b + c 260 60 Từ a = 3b = = , và = = = = 200 = a = 60, b = = 20 = c 3 1 0,3 1 1,3 1,3 3 Bài 36: Tìm a, b, c biết: (a+b) : ( 8 – c): (b+c) : (10 +c)=2:5:3:4 HD : a + b 8 − c b + c 10 + c Từ GT = = = = =t 2 5 3 4 a + b = 2t mà 4 (8 − c ) = 5 (10 + c ) = c = −2 = t = 2 =  = b = 8, a = −4 b + c = 3t a b c b c a Bài 37: Tìm các số a, b, c  Z biết : + + = + + = a+b+c = 3 b c a a b c HD : a b c b c a a c  b a  c b Ta có : GT =  + +  +  + +  = 6 =  +  +  +  +  +  = 6 b c a a b c b b c c a a  a+b+c a +b+c a +b+c 1 1 1 =  + +  = 9 , Vì a + b + c = 3 = a + b + c = 3  a   b   c  1 1 1 1 1 1 Do a,b,c nguyên nên  1.  1.  1 = + +  3 = a = b = c = 1 a b c a b c x− y x+ y xy Bài 38: Tìm x, y biết: = = 3 13 200 HD: x − y x + y ( x − y) + ( x + y) x x xy GT = = = = = = 3 13 16 8 8 200 x = 0 => 8 xy − 200 x = 0 = x (8 y − 200 ) = 0 =   y = 25 TH1: x = 0 = y = 0 TH2: y = 25 = x = 40 3a − 2b 2c − 5a 5b − 3c Bài 39: Tìm ba số a,b,c biết: = = và a+b+c=-50 5 3 2 HD : 5 ( 3a − 2b ) 3 ( 2c − 5a ) 6c −10b −5b + 3c 5b − 3c Ta có : GT = = = = = =0 25 9 34 17 2 3a = 2b  a b c a +b+c => 2c = 5a = = = = = −5 5b = 3c 2 3 5 10  6 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
4 z − 10 y 10 x − 3z 3 y − 4 x Bài 40: Tìm x,y,z biết : = = và 2x+3y-z=40 3 4 10 HD: 4 z − 10 y 10 x − 3z 3 ( 4 z − 10 y ) 4 (10 x − 3z ) Ta có: GT = = = = 3 4 9 16 4 z = 10 y 40 x − 30 y 30 y − 40 x  = = = 0 = 10 x = 3z 13 100 3 y = 4 x  x y z 2 x + 3 y − z 40 => = = = = =5 3 4 10 6 + 12 − 10 8 12 x − 15 y 20 z − 12 x 15 y − 20 z Bài 41: Tìm x, y, z biết: = = và x+ y+ z=48 7 9 11 HD: Ta có: GT = (12 x − 15 y ) + ( 20 z − 12 x ) + (15 y − 20 z ) =0 7 + 9 + 11 x y x y => 12 x − 15 y = 0 = 12 x = 15 y = = = = 15 12 5 4 x z x y z x + y + z 48 làm tương tự ta được: = = = = = = 5 3 5 4 3 5 + 4 + 3 12 5z − 6 y 6 x − 4 z 4 y − 5x Bài 42: Tìm x, y, z biết: = = và 3x − 2 y + 5z = 96 4 5 6 x + 3y 3y + 9z 5z + 15x Bài 43: Tìm x, y,z biết: = = và x+y+2z= -31 19 114 115 3b 1 − 125a − 3b Bài 44: Tìm các cặp số a, b thỏa mãn: 2 = = 1 − 125a a −4 6a + 13 HD: −13 ĐKXĐ: a  2, a  6 3b 1 − 125a − 3b 1 − 125a 1 − 125a = = = 2 a −4 2 6a + 13 1 a + 6a + 9  1  Suy ra: a2 + 6a + 8 = 0,  a   125  a = −2(l), a = −4 , Với a = −4 = b = 2004 Bài 45: Tìm x,y,z biết : xy = z ; yz = 9 x ; xz = 16 y HD: x z x 16 z 16 Ta có: GT = = và = = = = z 2 = 9.16 = 144 = z = 2 y 9 y z 9 z x 12 4  x = 4k TH1: z = 12 = = = =  = 4k.3k = 12 = k =  1 y 9 3  y = 3k TH2: z = −12 làm tương tự a − 1 a2 − 2 a − 100 Bài 46: Tìm các số: a1; a2 ;...a100 , biết: 1 = = .. = 100 và a1 + a2 + a3 + ... + a100 = 10100 100 99 1 HD: Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có: ( a1 + a2 + ... + a100 ) − (1 + 2 + ... + 100) = ( a1 + a2 + ... + a100 ) −1 = 10100 −1 = 1 100 + 99 + ... + 1 100 + 99 + ... + 1 5050 7 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
a1 − 1 a2 − 2 a3 − 3 a −9 Bài 47: Tìm a1, a2 , a3,...., a9 , biết rằng : = = = ... = 9 , và 9 8 7 1 a1 + a2 + a3 + ... + a9 = 90 Bài 48: Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c + d = e + f biết: a, b, a 14 c 11 e 13 c, d, e, f thuộc N * và = ; = ; = b 22 d 13 f 17 HD: a 7 c 11 e 13 a b a+b M Từ gt=> = ; = ; = => = = = b 11 d 13 f 17 7 11 7 + 11 18 c d c+d M e f e+ f M Tương tự ta có: = = = và = = = khi đó M  BC (18; 24;30) , và M 11 13 24 24 13 17 13 + 17 30 là số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số nên M=1080 x+4 4 Bài 49: Tìm x,y biết: = và x+y=22 7+ y 7 HD : x y x+ y Ta có : GT = 7 x + 28 = 28 + 4 y = = = =2 4 7 11 3 2 Bài 50: Tìm x, y biết: x = y và x2 − y2 = 38 5 3 HD: x y x2 y 2 x2 − y 2 Ta có: Gt = = = = = = 72 5 3 25 9 19 3 2 9 4 36 Khi đó: x = 200 = x =  200 và y2 = 162 = y =  162 2 Bài 51: Tìm số hữu tỉ a,b biết : a-b=a :b và a-b=3(a+b) HD: a Ta có: a − b = 3 ( a + b ) = 2a = −4b = a = −2b = = −2 b a Mà = a − b = a − b = −2 = a = b − 2 thay vào b a − b = 3( a + b ) = −2 = 3 ( 2b − 2) = 6b − 6 = b =.. Bài 52: Hãy tìm tất cả các số có hai chữ số biết rằng tổng, hiệu, tích của các chữ số của số đó là ba số nguyên dương và tỉ lệ với 35: 210: 12 HD: Gọi số cần tìm là: ab ( a  0, a, b 0;1;2;...;9) , Giả sử : a>b Theo bài ra ta có : a + b a − b ab = = = ( a + b ) 6 = a − b = a.b 35 210 12 35.6 6.35 12 = 6a + 6b = a − b = 5a = −7b , Vô lý vì a, b cùng dấu. Bài 53: Tìm hai số hữu tỉ a,b biết hiệu a và b bằng thương của a và b và bằng 2 lần tổng của a và b, HD: a a Theo bài ra ta có: a − b = = 2 ( a + b ) = a − b = 2 ( a + b ) = = −3 b b  −9 a − b = −3  a=   4 =  −3 =  a + b = 2 b = −3  4 8 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
2x − y 3y − 2z Bài 54: Tìm x,y,z biết: = , x + z = 2y 5 15 HD : Từ x+y=2z ta có : x-2y+z=0 hay 2x-4y+2z=0 hay 2x-y-3y+2z=0 hay 2x-y=3y-2z 2x − y 3y − 2z 1 Mà = nên 2x-y=3y-2z=0. Từ 2x-y=0=> x = y 5 15 2 1 3 2 Từ 3y-2z=0 và x+z=2y=> x+z+y-2z=0 hay y + y − z = 0 hay y − z = 0 hay y = z 2 2 3 1  1 2  => x = z . Vậy các giá trị x,y,z cần tìm là  x = z, y = z, z  R  3  3 3  1 Bài 55: Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng 1 , các tử của chúng tỉ lệ với 3:4:5 và các mẫu số tương 70 ứng của chúng tỉ lệ với 5:1:2 HD : a b c a b c 1 a b c x y z Gọi 3 phân số cần tìm là ; ; thì ta có: + + = 1 , = = và = = x y z x y z 70 3 4 5 5 1 2 a b c a+b+c 1 1 a x b y c z y x y z 1 = : = : = : = x = = z = = 70 = 3 5 4 1 5 2 3 4 5 3 4 5 71 7 + + 5 1 2 5 1 2 10 a 3 b 4 c 5 => = ; = ; = đó là ba phân số cần tìm x 35 y 7 z 14 2 1 Bài 56: Số M được chia làm 3 số tỉ lệ với 0,5;1 ;2 , tìm số M biết rẳng tổng bình phương của ba số đó 3 4 bằng 4660 HD : 2 5 1 9 1 5 9 6 20 27 Ta có : 0,5 : 1 = : 2 = nên ta có : : : = : : = 6 : 20 : 27 3 3 4 4 2 3 4 12 12 12 Giả sử M được chia thành 3 số là x ;y ;z. Theo bài ra ta có : x y z x2 y2 z2 x2 + y 2 + z2 4660 = = = 2 = 2 = 2 = 2 = = 4 = 22 6 20 27 6 20 27 6 + 20 + 27 1165 2 2 => x = 12 = x = 12, y2 = 402 = y = 40, z2 = 542 = z = 54 2 2 Vậy M=12+40+54=106 hoặc M=-106 9 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d Bài 1: Cho dãy tỉ số bằng nhau: = = = a b c d a+b b+c c+d d +a Tính giá trị biểu thức: M = + + + c+d d +a a+b b+c HD: Từ GT trừ đi 1 vào mỗi vế của tỉ số ta có: a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d = = = a b c d TH1: Nếu a + b + c + d  0 = a = b = c = d = M = 4 TH2: Nếu a + b + c + d = 0 = a + b = − ( c + d ) = M = −4 y+z−x z+x− y x+ y−z  x   y  z  Bài 2: Cho 3 số x, y, z khác 0 thỏa mãn: = = .Tính B = 1 + 1 + 1 +  x y z  y   z  x  HD: Từ GT cộng thêm 2 vào mỗi vế của của tỉ số ta được:  y+z−x   z+x− y   x+ y−z  x+ y+z x+ y+z x+ y+z  + 2 =  + 2 =  + 2  = = =  x   y   z  x y z TH1: x + y + z  0 = x = y = z = B = 8 TH2: x + y + z = 0 = x + y = − z, y + z = − x.x + z = − y = B = −1 a+b+c−d b+c+d −a c+d +a−b d +a+b−c Bài 2: Cho = = = , (a + b + c + d )  0 d a b c  b + c  c + d  d + a  a + b  Tính giá trị của biểu thức: P = 1 + 1+ 1+ 1+  a  b  c   d  2 b + c − a 2c − b + a 2 a + b − c Bài 3: Cho a, b, c  0 và dãy tỉ số: = = . a b c Tính: P = (3a − 2b)(3b − 2c)(3c − 2a) (3a − c)(3b − a)(3c − b) 2012a + b + c + d a + 2012b + c + d a + b + 2012c + d a + b + c + 2012d Bài 4: Cho dãy tỉ số : = = = a b c d a+b b+c c+d d +a Tính giá trị biểu thức: M = + + + c+d d +a a+b b+c HD: Trừ 2011 vào mỗi vế của tỉ số trong tỉ lệ thức ta được: a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d = = = a b c d TH1: a + b + c + d  0 = a = b = c = d = M = 8 Th2: a + b + c + d = 0 = a + b = − ( c + d ) = M = −4 a +b−c b+c −a c + a −b Bài 5: Cho a, b, c thỏa mãn: = = c a b Tính giá trị của biểu thức: A = 1 +    b c a 1 + 1 +   a  b  c HD : a+b+c a+b+c a+b+c Từ GT ta cộng thêm 2 vào mỗi tỉ số trong dãy tỉ số bằng nhau có: = = c a b TH1 : a + b + c  0 = a = b = c = A = 8 TH2 : a + b + c = 0 = a + b = −c, b + c = −a, a + c = −b = A = −1 10 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
a b c d Bài 6: Cho a +b +c +d  0, và = = = b+c+d a +c +d a +b+d a +b+c a+b b+c c+d d +a Tính giá trị biểu thức: A = + + + c+d a+d a+b b+c HD : b+c+d a +c +d a +b+d a +b+c Từ GT nghịch đảo ta có => = = = a b c d Cộng 1 vào các tỉ số ta được : a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d = = = vì a + b + c + d  0 a b c d nên a = b = c = d = A = 4 1 a + 4b − c b + 4c − a c + 4 a − b Bài 7: Cho a, b, c thỏa mãn : = = = , a+b+c c a b  a  b  c Tính P =  2 +  3 +  4 +   b  c  a a + 2b − c b + 2c − a c + 2a − b , Tính P =  2 +  a b  c Bài 8: Cho a, b, c  0 và a + b + c = = =  2 +  2 +  c a b  b  c  a HD: Từ GT ta có : GT = ( a + 2b − c ) + (b + 2c − a ) + ( c + 2a − b ) = 2 ( a + b + c ) a +b+c a +b +c  a + 2 b − c = 0  a + 2b = c   TH1 : a + b + c = 0 = b + 2c − a = 0 = b + 2c = a = P = 1 c + 2a − b = 0 c + 2a = b   a + 2b − c = 2c a + 2b = 3c   TH2 : a + b + c  0 = GT = 2 = b + 2c − a = 2a = b + 2c = 3a => P=27 c + 2a − b = 2b c + 2a = 3b   a+b b+c c+a  a  b  c Bài 9: Cho a,b,c dôi 1 khác nhau và = = .Tính P = 1 +  a +  1 +  c a b  b  c  a  a b c Bài 10: Cho a, b, c khác nhau và khác 0, t/m: = = . Tính giá trị của biểu thức: b+c a+c a+b b+c a+c a +b A= + + a b c HD: b+c a +c a +b Từ GT ta nghịch đảo => = = a b c a+b+c a+b+c a+b+c Cộng 1 vào các tỉ số ta được : = = a b c TH1 : a + b + c  0 = a = b = c = A = 6 TH2 : a + b + c = 0 = b + c = −a, a + c = −b, a + b = −c = A = −3 y + z + t − nx z + t + x − ny t + x + y − nz x + y + z − nt Bài 11: Cho 3 số x,y,z,t thỏa mãn: = = = x y z t Và x+ y+ z+ t = 2012. Tính giá trị P= x+2y – 3z +t HD: Từ GT ta có: Cộng (n+1) vào mỗi tỉ số trong dãy tỉ số bằng nhau ta được: x+ y + z +t x+ y + z +t x + y + z +t x + y + z +t = = = = x y z t 11 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
2012 2012 2012 2012 2012 = = = = = x = y = z = t = = 503 x y z t 4 Thay vào ta tính được P = x + 2x − 3x + x = x = 503  z  x  y  Bài 12: Cho x, y, z  0 & x − y − z = 0 , Tính giá trị của biểu thức: B = 1 −  1 −  1 +   x  y  z  HD :  x − z   y − x   y + z  y.(− z).x Ta có : B =    = = −1  x  y  z  x. y.z a b c d Bài 13: Cho = = = ( a, b, c, d  0 ) 2b 2c 2d 2a 2011a − 2010b 2011b − 2010c 2011c − 2010d 2011d − 2010a Tính A = + + + c+d a+d a+b b+c HD : a b c d a+b+c+d 1 Từ GT ta có : = = = = = => a = b = c = d 2b 2c 2d 2a 2a + 2b + 2c + 2d 2 Thay vào A ta được A = 2 a + b − c a − b + c −a + b + c Bài 14: Cho a,b,c là các số hữu tỉ khác 0, sao cho: = = c b a Tính M = ( a + b )(b + c )( c + a ) abc HD : a+b+c a+b+c a+b+c Cộng thêm 2 vào GT ta được : = = a b c TH1 : a + b + c  0 = a = b = c = M = 8 TH2 : a + b + c = 0 = a + b = −c, b + c = −a, c + a = −b = M = −1 x y z t x + y y + z z +t t + x Bài 15: Cho = = = ,Tính M = + + + y + z +t z +t + x t + x+ y x+ y + z z +t t + x x+ y y + z HD : Từ GT nghịch đảo ta được : y + z +t z +t + x t + x+ y x+ y + z = = = x y z t y + z +t z +t + x t +x+ y x+ y+z Cộng thêm 1 vào các tỉ số ta được : +1 = +1 = +1 = +1 x y z t x + y + z +t x + y + z +t x + y + z +t x + y + z +t = = = = x y z t TH1 : x + y + z + t  0 = x = y = z = t = M = 8 x + y = − ( z + t )   y + z = − (t + x ) TH2 : x + y + z + t = 0 =  = M = −4 z + t = − ( x + y ) t + x = − y + z  ( ) a c b Bài 16: Tính A biết A= = = b+c a+b c+a HD: a c b a +b+c 1 1 Ta có : A = = = = = = A = b + c a + b c + a 2(a + b + c) 2 2 12 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
a b c d 2a − b 2b − c 2c − d 2d − a Bài 17: Cho = = = và a + b + c + d  0 .Tính: A = + + + b c d a c+d d +a a+b b+c HD: Từ GT ta lấy Tử + Tử + Tử + Tử ta được : a b c d a +b+c+d = = = = = 1 = a = b = c = d b c d a a +b+c+d 1 1 1 1 Thay vào A ta được : A = + + + = 2 2 2 2 2 ab bc ca ab2 + bc2 + ca 2 Bài 18: Cho a,b,c khác 0, thỏa mãn : = = , Tính P = a+b b+c c+a a3 + b3 + c3 HD: Với a, b, c khác 0 , nghịch đảo giả thiết ta được : a+b b+c c+a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = = + = + = + = = = = a = b = c ab bc ca a b b c c a a b c a +a +a 3 3 3 khi đó : P = =1 3a3 x y x+ y x Bài 19: Cho x,y,z là 3 số dương phân biết, Tìm tỉ số , biết: = = y x−z z y HD: y x+ y x y+x+ y+x x Từ GT ta có : = = = = 2 = = 2 x−z z y x−z+z+ y y a+b+c a+b−7 b+c+3 a+c+4 Bài 20: Cho = = = , Tính A = 20a + 11b + 2018c 2 4c 4a 4b a 5 3a − 2b Bài 21: Cho = , Tính giá trị của biểu thức: A = b 6 2a − 3b HD : Từ GT ta có : 2 2 ( 3a − 2b ) 6a − 4b 5b − 4b b −1 6a = 5b = A = = = = = 3 3 ( 2a − 3b ) 6a − 9b 5b − 9b −4b 4 3a − b 3b − a Bài 22: Cho a-b=13, Tính giá trị của biểu thức: B = − 2a + 13 2b − 13 HD : Từ GT ta có : a = b + 13 thay vào B ta được : B= ( 3b + 39 ) − b − 3b − b − 13 = 2b + 39 − 2b − 13 = 0 ( 2b + 26 ) + 13 2b − 13 2b + 39 2b −13 3 2 1 Bài 23: Cho 3 số a,b,c có tổng khác 0 và thỏa mãn: = = , a+b b+c c+a a + b + 3c Tính giá trị của biểu thức: A = ( Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) a + b − 2c x + 2 y − 3z Bài 24: Cho x: y: z = 5: 4: 3, Tính P = x − 2 y + 3z HD : Từ GT ta có : x y z x + 2 y − 3 z ( x + 2 y − 3 z ) x − 2 y + 3z ( x − 2 y + 3 z ) = = = = = = 5 4 3 5+8−9 4 5 −8 + 9 6 x + 2 y − 3z 4 2 Khi đó : = = =P x − 2 y + 3z 6 3 13 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
x y y z 2x + 3 y + 4z Bài 25: Cho = & = , Tính M = 3 4 5 6 3x + 4 y + 5 z HD : x y z Từ GT => = = (1) 15 20 24 2x 3y 4z 2x + 3y + 4z 3x 4 y 5 z 3x + 4 y + 5 z (1)=> = = = Và ( 1)=> = = = 30 60 96 30 + 60 + 96 45 80 120 45 + 80 + 120 2 x + 3 y + 4 z 3x + 4 y + 5 z 2 x 3x 2x + 3 y + 4z 245 186 Nên : = : =1=> . = 1 = M = 30 + 60 + 96 45 + 80 + 120 30 45 186 3x + 4 y + 5 z 245 x + 2 y − 3z Bài 26: Cho P = , Tính P biết x,y,z tỉ lệ với 5 :4 :3 x − 2 y + 3z HD: 4 3 x y z 4 3 x + 2. x − 3. x Từ GT : = = = y = x, z = x thay vào ta được : P = 5 5 =2 5 4 3 5 5 4 3 x − 2. x + 3. x 3 5 5 x z a x − 3 y + 2a Bài 27: Cho = = Hãy tính: A = y t b y − 3t + 2b HD: x − 3z + 2a x − 3z + 2a x z a Từ GT ta có : GT = = A = = = = y − 3t + 2b y − 3t + 2b y t b a b c a − 3b + 2c Bài 28: Cho = = = 4 , Tính A = a' b' c' a '− 3b '+ 2c ' HD : a b c a − 3b + 2c Từ GT ta có : = = = = 4 = A = 4 a ' b ' c ' a '− 3b'+ 2c' x y y z 2x + 3 y + 4z Bài 29: Cho = & = Tính A = 3 4 5 6 3x + 4 y + 2 z HD : x y z 2 x + 3 y + 4 z 3x + 4 y + 2 z 2 x + 3 y + 4 z 186 Từ GT ta có : = = = = = => A = = 15 20 24 30 + 60 + 96 45 + 80 + 48 3x + 4 y + 2 z 173 2 x + 3 y − 5z Bài 30: Cho x:y:z=5:4:3 và 2x-3y+5z khác ) Tính giá trị A = 2 x − 3 y + 5z HD : x y z 2 x + 3 y − 5z 2 x − 3 y + 5z 2 x + 3 y − 5z 7 Từ GT ta có : = = = = = A = = 5 4 3 10 + 12 −15 10 −12 + 15 2 x − 3 y + 5 z 13 2a − 5b 4a + b a 3 Bài 31: Tính giá trị của các biểu thức sau: A = − biết: = a − 3b 8a − 2b b 4 HD : 1 2 ( 2a − 5b ) 4a + b Từ GT = 4a = 3b = A = − 2 4 ( a − 3b ) 2 (8a − 2b ) 1 4a − 10b 4a + b 3b − 10b 3b + b −7b 4b 5 = A = − = − = − = 2 4a − 12b 16a − 4b 3b − 12b 12b − 4b −9b 8b 18 2 a 4 + 54 Bài 32: Cho 2a − b = ( a + b ) , Tính M = 4 3 b + 44 HD: 14 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
2 2 4a 5b a 5 a 4 54 625 Từ 2a − b = a + b = = = = = 4 = 4 = M = 3 3 3 3 b 4 b 4 256 abc Bài 33: Tính A = , biết a,b, c có quan hệ: ( a + b) : (8 − c ) : ( b + c ) : (10 + c ) = 2 : 5: 3: 4 a+b+c HD: a + b = 2t 8 − c = 5t a = −4 a + b 8 − c b + c 10 + c   Từ GT ta có: = = = = t =  = t = 2 = b = 8 2 5 3 4 b + c = 3t  10 + c = 4t c = −2 3x − y 3 x Bài 34: Cho = , Tính x+ y 4 y x+ y x Bài 35: Tính P = biết: = a( x, y  0) x− y y HD : x ay + y a + 1 Vì = a = x = ay = P = = y ay − y a − 1 x + 16 y − 25 z + 9 Bài 36: Cho = = và 2 x3 − 1 = 15 .Tính A= x+y+z 9 16 16 HD : 18 y − 25 Từ GT=> 2 x3 − 1 = 15 = 2 x3 = 16 = x = 2 = = = y = 57 = z = 23 9 16 Thay vào A ta được : A = 2 + 57 + 23 = 82 a+b b c Bài 37: Tính A = biết: = 2, = 3 b+c a b HD : Từ GT => b = 2a, c = 3b Thay vào A ta được : a + 2a 3a 3 a 3 1 3 A= = = . = . = b + 3b 4b 4 b 4 2 8 1 1 1 Bài 38: Cho x = by +cz, y = ax +cz, z = ax +by và x +y +z  0. Tính giá trị : Q = + + 1+ a 1+ b 1+ c HD : Cộng theo vế của GT ta được : x + y + z = 2 ( ax + by + cz ) , Thay x, y , z trở lại ta có : 1 2z = x + y + z = 2 ( z + cz ) = 2 z (1 + c ) = = c +1 x + y + z 1 2x 1 2y Tương tự ta có : = , = , Khi đó ta có : Q = 2 a +1 x + y + z b +1 x + y + z 1 1 1 1 a b c Bài 39: Cho a+b+c=2015 và + + = , Tính Q = + + a+b b+c c+a 5 b+c c+a a+b HD : Ta có : Q =    b   c  a + 1 +  + 1 +  + 1 − 3  b+c   c +a   a +b   1 1 1  1 Q = (a + b + c)  + +  − 3 = 2015. − 3  b+c c+a a +b  5 15 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
a b c Bài 40: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: = = 2009 2010 2011 Tính giá trị của biểu thức: M = 4(a − b)(b − c) − (c − a)2 HD: a − b = −k a −b b−c c −a  Từ GT ta có: GT = = = = k = b − c = −k => −1 −1 2 c − a = 2 k  = M = 4. ( −k ) . ( −k ) − ( 2k ) = 4k 2 − 4k 2 = 0 2 a b c Bài 41: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: = = , Tính giá trị của biểu thức: 2014 2015 2016 M = 4 ( a − b )( b − c ) − ( c − a ) 2 HD : a − b = −k a −b b−c c −a  Từ GT ta có: GT = = = = k = b − c = −k −1 −1 2 c − a = 2 k  = M = 4. ( −k ) . ( −k ) − ( 2k ) = 4k 2 − 4k 2 = 0 2 Bài 42: Tính giá trị của: B = ( x + y )( y + z )( z + x ) , biết: xyz = 2 & x + y + z = 0 HD : x + y = −z  Từ GT ta có :  y + z = − x = B = − x. y.z = −2 z + x = − y  Bài 43: Tính biểu thức: C = (1 + 2 3 3 + 33 + ... + 103 ) . ( x 2 + y 2 )( x3 + y 3 )( x 4 + y 4 ) Với x = −0, ( 3) ; y = 1 1 + 2 + 3 + ... + 10 2 2 2 2 3 HD : −1 3 1 Từ GT ta có : x3 = ,y = = x3 + y 3 = 0 = C = 0 27 27 Bài 44: Cho a, b,c khác 0 và đôi 1 khác nhau thỏa mãn : a2 ( b + c ) = b2 ( a + c ) = 2013 , Tính A = c2 (a + b) 16 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 3: CHỨNG MINH RẰNG a c Bài 1: Cho = . Chứng minh rằng: b d a+b c+d a−c b−d a −b c −d a, = b, = c, = b d c d a c HD: a c a  c  a, = =  + a  =  + 1 b d b  d  a c a b a  b  a −c b−d b, = = = =  − 1 =  − 1 = = b d c d c  d  c d a c b d  b  d  c, = = = = 1 −  = 1 −  b d a c  a  c  a c Bài 2: Cho = . Chứng minh rằng: b d a a+c a+b c+d a+b c+a a, = b, = c, Với a2=b.c thì = b b+d a −b c −d a −b c −a HD: a c a+c a, = = b d b+d a c a b a +b a −b a +b c +d b, = = = = = = = b d c d c+d c−d a −b c −d a c a +b a −b a +b c+a c, GT = = = = = = b a c+a c−a a −b c −a a c Bài 3: Cho = . Chứng minh rằng: b d 7a + 3ab 7c2 + 3cd 2 a 2 + b2 a a 3a + 2c a, = b, với b 2 = ac thì = c, = 11a − 8b 11c − 8d 2 2 2 2 b +c 2 2 c b 3b + 2d HD: a c a b a 2 b2 a.b 7a 2 + 3ab 11a 2 − 8b2 a, = = = = 2 = 2 = = = b d c d c d c.d 7c 2 + 3cd 11c 2 − 8d 2 a b a 2 b2 a b a 2 + b2 a b, = = 2 = 2 = . = 2 2 = b c b c b c b +c c a c 3a + 2c a 3a + 2c c, GT = = = = = b d 3b + 2d b 3b + 2d a c Bài 4: Cho = , Chứng minh rằng: b d a c 2a + 5b 2c + 5d 2018a − 2019b 2018c − 2019d a, = b, = c, = a+b c+d 3a − 4b 3c − 4d 2019c + 2020d 2019a + 2020b a c a 2 + c 2 ac Bài 5: Cho = . Chứng minh rằng: 2 = b d b + d 2 bd HD: a c a 2 c2 a.c a 2 + c 2 Ta có: = = 2 = 2 = = b d b d b.d b2 + d 2 a c 5a + 3b 5c + 3d Bài 6: Cho = , Chứng minh rằng: = b d 5a − 3b 5c − 3d HD: a c 5a + 3b 5a − 3b 5a + 3b 5c + 3d Ta có: = = = = = b d 5c + 3d 5c − 3d 5a − 3b 5c − 3d 17 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
a c a2 + c2 a Bài 7: Cho = . Chứng minh rằng: 2 2 = c b b +c b HD: a c a2 c2 a c a2 + c2 a Từ: = = 2 = 2 = . = 2 = c b c b c b c + b2 b a b a 2 + b2 a Bài 8: Chứng minh rằng : nếu = Thì 2 = b d b + d2 d HD : a b a 2 b2 a 2 + b2 a b a Từ GT = = = 2 = 2 = 2 = . = b d b d b + d2 b d d a c xa + yb xc + yd Bài 9: Cho = , Các số x, y, z, t thỏa mãn : xa + yb  0, zc + td  0 . CMR : = b d za + tb zc + td HD : a b ax by ax + by az tb az + tb Từ GT = = = = = = = = = ĐPCM c d cx dy cx + dy cz td cz + td  a+b  a +b 2 a c a.d a 2 − b2 2 2 Bài 10: Cho tỉ lệ thức: = , Chứng minh rằng: = 2 và   = c.d c − d 2 c+d  c +d 2 2 b d HD: a c a b a.b a 2 b2 a 2 − b2 Từ = = = = = = = b d c d c.d c 2 d 2 c 2 − d 2 a 2 b2 ( a + b ) 2 a b a +b a 2 + b2 và = = = 2 = 2 = = c d c+d ( c + d ) c2 + d 2 2 c d a (a + 2012b)2 Bài 11: Cho a, b, c  R, và a, b, c  0, thỏa mãn: b2 = a.c . Chứng minh rằng: = c (b + 2012c)2 HD: a b ( a + 2012b ) 2 a b a + 2012b a b = a.c = = = 2 = . = = b c b + 2012c b c ( b + 2012c ) 2 c  a+b+c  a 3 a b c Bài 12: Cho: = = , Chứng minh rằng:   = b c d b+c+d  d HD: a b c a +b+c  a +b+c  a b c a 3 Ta có: = = = =  = . . = b c d b+c+d b+c+d  b c d d a c a2 + ac b2 + bd Bài 13: Cho = , CMR: 2 = b d c − ac d 2 − bd a13 + a23 + a33 a1 Bài 14: Cho 4 số a1, a2 , a3 , a4 thỏa mãn: a22 = a1.a3 , a32 = a2.a4 , Chứng minh : = a23 + a33 + a43 a4 HD: a1 a2 a2 a3 a a a a3 a3 a3 a3 + a3 + a3 a a a a Từ GT => = , = = 1 = 2 = 3 = 13 = 23 = 33 = 13 23 33 = 1 . 2 . 3 = 1 a2 a3 a3 a4 a2 a3 a4 a2 a3 a4 a2 + a3 + a4 a2 a3 a4 a4 2018 a a a a a  a + a + ... + a2018  Bài 15: Cho 1 = 2 = 3 = .... = 2018 , CMR : = 1 2  a2 a3 a4 a2019 a2019  a2 + a3 + ... + a2019  HD : 18 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
2018 2018 a a a  a   a + a + a + ... + a2018  Từ GT ta có : 1 . 2 ..... 2018 =  1  = 1 2 3  a2 a3 a2019  a2018   a2 + a3 + a4 + ... + a2019   a + 2014b  n a Bài 16: Cho a,b,c  0, t/m b2 = a.c khi đó   = , Khi đó n = ?  b + 2014c  c HD: a b a + 2014b n n a b a Từ: b = ac = = = 2 =   =   = b c b + 2014c b c c 2 a a b a Mà = . =   = n = 2 c b c b a c b a 3 + c 3 − b3 a Bài 17: Cho = = , CMR: 3 3 = c d d c + b − d3 d HD : a c b a 3 c 3 b3 a Ta có : = = = 3 = 3 = 3 = c b d c b d d a3 c3 b3 a a3 + c3 − b3 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau : 3 = 3 = 3 = = 3 3 c b d d c + b − d3 a1994 + c1994 ( a + c ) 1994 a c Bài 18: Cho = , CMR : 1994 = b d b + d 1994 ( b + d )1994 HD : a1994 + c1994 ( k.b ) + ( k.d ) 1994 1994 a c Đặt = = k = 1994 = = k 1994 b d b + d 1994 b1994 + d 1994 ( a + c) ( kb + kd ) 1994 1994 và = = k 1994 (b + d ) (b + d ) 1994 1994 a c 2a2 − 3ab + 5b2 2c2 − 3cd + 5d 2 Bài 19: Cho tỉ lệ thức: = ,CMR: = ,Với điều kiện mẫu thức xác định b d 2b2 + 3ab 2d 2 + 3cd HD: a c  a = k.b Đặt = = k =  , Thay vào biểu thức ta có: b d c = kd 2a2 − 3ab + 5b2 k 2 − 3k + 5 2c2 − 3cd + 5d 2 k 2 − 3k + 5 = và = 2b2 + 3ab 2 + 3k 2d 2 + 3cd 2 + 3k x y z bz − cy cx − az ay − bx Bài 20: Cho các số a, b, c, x, y, z t/m = = , Chứng minh rằng: = = a b c a b c HD:  x = ak x y z  Đặt: = = = k =  y = bk a b c  z = ck  bz − cy bck − bck cx − az ay − bx = = = 0, và = 0, và = 0 => đpcm a a b c a c ac 2009a2 + 2010c2 Bài 21: Cho = , CMR : = b d bd 2009b2 + 2010d 2 HD : 2 2 a c a c a  c  a.c a 2 c 2 a.c 2010c2 2009a 2 = = . =   =   = = 2 = 2 => = = b d b d b d  b.d b d b.d 2010d 2 2009b2 19 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
 a −b  a +b 4 4 4 a c Bài 22: CMR : nếu = thì   = c−d  c +d 4 4 b d HD: a b a −b a 4 b4  a − b  a 4 + b4 4 a c Ta có: = = = = = 4 = 4 =   = 4 b d c d c−d c d c−d  c +d 4 ab ( a + b ) 2 a c Bài 23: Cho = ( b, c, d , c + d  0 ) , CMR : = b d cd ( c + d )2 HD : a b a + b a + b (a + b) 2 a b a+b Ta có : = = = . = . = c d c+d c d c + d c + d ( c + d )2 Bài 24: Cho b2 = a.c, c 2 = b.d , Chứng minh rằng: a 3 + b3 − c 3  a + b − c  3 a a 3 + 8b3 + 125c3 a, 3 3 =   b, = b + c − d3  b + c − d  d b3 + 8c3 + 125d 3 HD: a b c a+b−c a, Từ GT ta có: = = = = ... b c d b+c−d a c Bài 25: Cho a,b,c,d là các số hữu tỉ dương và = , CMR : ( a + 2c )( b + d ) = ( a + c )(b + 2d ) b d HD : a c a+c a 2c a + 2c Từ GT = = (1) và = = (2) b d b+d b 2d b + 2d a + c a + 2c Từ (1) và (2) = = = Nhân chéo b + d b + 2d a c b2 − a 2 b − a Bài 26: Cho = , cmr: 2 2 = c b a +c a HD: a 2 + c 2 a 2 + ab a ( a + b ) a Từ gt=> c = a.b , Khi đó: 2 2 = 2 2 = = b +c b + ab b ( a + b ) b b2 + c 2 b b2 + c 2 b b2 + c 2 − a 2 − c 2 b − a => = = − 1 = − 1 hay = a2 + c2 a a2 + c2 a a2 + c2 a a c a + ac b + bd 2 2 Bài 27: Cho = , CMR: 2 = b d c − ac d 2 − bd HD: a c a+c c−a a+c a c−a c Từ gt=> = = = = . = . b d b+ d d −b b + d b d −b d a 2 + ac c2 − ac a 2 + ac b2 + bd => 2 = = 2 = b + bd d 2 − ad c − ac d 2 − ad a x b y a2 x Bài 28: Cho = , = , CMR : 2 = k a k b b y HD : a 2 kx x Từ GT = a 2 = kx, b2 = ky = 2 = = b ky y 20 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức