Bài giảng: Ứng dụng đồ họa máy tính và phim hoạt hình

Chia sẻ: Hong Diep | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

938
lượt xem 124
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Gồm 3 phần : -ma trận của phản ạ đồng nhất, ma trận chuyển cơ. - Ma trận và phép biến đổi tuyến tín hợp. Ma trận của phép biến đổ tuyến tính nghịch đảo. -Mối quan hệ của cùng 1 ma trận từ phép biến đổi tuyến tính từ một không gian véc tơ vào chính nó.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng: Ứng dụng đồ họa máy tính và phim hoạt hình

TR N AN H I   TU N 10
ng d ng: h a máy tính và Phim ho t hình M t hình trên m t ph ng có th lưu tr trong máy tính như m t t p các nh. Sau ó nh ng nh có th ánh d u và n i l i b ng các ư ng t o ra hình. N u có n nh, chúng ư c lưu tr trong m t ma tr n 2×n. T a x và y c a nh l n lư t ư c lưu tr trong hàng th nh t và trong hàng th hai. M i c p i m li n k ư c n i v i nhau b i m t ư ng th ng. Ch ng h n t o m t tam giác v i các nh (0, 0), (1, 1), (1, -1) ta lưu tr chúng như nh ng c t c a m t ma tr n 0 1 1 0 G=   0 1 − 1 0 B n sao l i c a nh (0, 0) ư c lưu tr trong c t cu i cùng c a G i m (1, -1) ư c n i vòng l i (0,0) (Xem hình (a)) (a) Tam giác xác nh b i T (b) Phép dãn 1.5 l n (c) Phép l y i x ng qua tr c Oy (d) Phép quay m t góc 600 Ta có th bi n i m t hình b ng cách thay i v trí c a các nh và sau ó v l i hình. N u phép bi n i là tuy n tính nó có th th c hi n như m t phép nhân ma tr n. Nhìn m t dãy nh ng hình v như th ta s có c m giác v s di ng trong phim ho t hình. B n phép bi n i hình h c ơn gi n mà ư c s d ng trong h a máy tính là: 1. Phép co dãn. M t phép bi n i tuy n tính có d ng T(v) = cv là m t phép dãn n u c>1 và là m t phép co n u 0< c
1 0  A=   0 −1 Tương t , n u Ty là phép bi n i tuy n tính mà l y i x ng m t vectơ qua tr c Oy, thì Ty ư c bi u di n b i ma tr n − 1 0  0 1   Hình (c) cho th y nh c a tam giác G sau khi l y i x ng qua tr c Oy. 3. Phép quay. Cho T là m t phép bi n i mà quay m t vectơ xung quanh g c t a m t góc θ theo hư ng ngư c chi u kim ng h . Ta ã th y trong Ví d 2 r ng T là m t phép bi n i tuy n tính và T(v) = Av, trong ó cos θ − sin θ  A=    sin θ cos θ  Hình (d) cho th y k t qu c a phép quay tam giác m t góc 600 theo hư ng ngư c chi u kim ng h . 4. Phép t nh ti n. M t phép t nh ti n theo vectơ a là m t phép bi n i có d ng T(v) = v + a N u a ≠ 0, thì T không ph i là phép bi n i tuy n tính và do ó T không bi u di n ư c b i m t ma tr n 2×2. Tuy nhiên, trong h a máy tính òi h i th hi n t t c nh ng phép bi n i b ng phép nhân v i ma tr n. Ngư i ta x lý v n này như sau: ng nh t m i vectơ (x1, x2) trong R2 3 v i m t vectơ (x1, x2, 1) trong R . Khi mu n ánh d u m t i m ư c bi u di n b i vectơ (x1, x2, 1) ta ch vi c b t a th ba và ánh d u c p s (x1, x2). B ng phép ng nh t này ta có th tìm ư c m t ma tr n bi u di n phép t nh ti n theo vectơ a trong R2. Ch ng h n, phép t nh ti n theo vectơ a = (6, 2) t ư c b ng phép nhân v i ma tr n 1 0 6   x1   x1 + 6  Ax = 0 1 2  x2  =  x2 + 2 .      0 0 1   1   1       Hình (A) th hi n m t hình ngư i ư c t o t m t ma tr n S c 3×81. Khi ta nhân ma tr n A v i S, h a c a AS là hình ư c t nh ti n, cho b i (B). . (A) h a c a ma tr n S (B) h a c a hình t nh ti n AS Ma tr n c a ánh x ng nh t và Phép chuy n cơ s Nh c l i, khi V là m t không gian vectơ, thì ánh x I xác nh b i
I (v) = v i v i m i v∈V, ư c g i là ánh x ng nh t. Bây gi ta tìm hi u xem ma tr n c a I như th nào. Gi s không gian V có hai cơ s E = {v1, v2, ... , vn} và F = {w1, w2, ... , wm}. N u E là cơ s trong không gian ngu n, còn F là cơ s trong không gian ích, thì theo nh lý 7.2.1 I có ma tr n A theo các cơ s E và F v i c t th j là aj = [I (vj)]F = [vj]F j = 1, 2, ... , n Ví d 6 Cho hai cơ s c a R là E = {e1, e2} và F ={w1 = (3, 7), w2 = (2, 5)}. Tìm ma tr n c a I : 2 R2 → R2 a) theo các cơ s E và F. b) theo các cơ s F và E. Gi i a) (1, 0) = 5(3, 7) - 7(2, 5) và (0, 1) = -2(3, 7) + 3(2, 5), nên [e1]F = (5, -7), [e2]F = (-2, 3). Như v y ma tr n c a I là  5 − 2 − 7 3  .   b) w1 = 3(1, 0) + 7(0, 1) và w2 = 2(1, 0) + 5(0, 1), nên [w1]E = (3, 7) = w1, [w2]E = (2, 5) = w2. Như v y ma tr n c a I là  3 2 7 5 = [w1 w2]. ☺   Chú ý 1) N u Rn có hai cơ s E = {e1, e2, ... , en} (cơ s chính t c) và F = {w1, w2, ... , wm}. Do [wj]E = wj nên ma tr n c a ánh x ng nh t theo cơ s F và E là [w1 w2 ... wm] (xem Ví d 6b)). 2) N u E trùng F, thì do aj = [vj]F = ej nên ma tr n c a I theo cơ s E và F là ma tr n ơn v c n×n. Gi s không gian V có hai cơ s E và F. G i A là ma tr n c a ánh x ng nh t I : V → V theo các cơ s E và F. Cho vectơ v thu c V có t a theo cơ s E và F l n lư t là [v]E và [v]F. Theo nh lý 7.2.1 [v]F = A[v]E ây chính là công th c liên h t a c a cùng m t vectơ u theo hai cơ s E và F. Vì v y A còn ư c g i là ma tr n chuy n cơ s t F sang E. Chú ý Ma tr n chuy n cơ s A t F sang E là ma tr n kh ngh ch và A-1 là ma tr n chuy n cơ s t E sang F (Xem Ví d 6).
Ví d 7 Cho hai cơ s c a R2 là E = {e1, e2} và F ={w1 = (3, 7), w2 = (2, 5)}. Bi t u∈R2 có t a theo cơ s F là (1, -1). Tìm t a c a u theo cơ s E. Gi i Theo Ví d 6b), ma tr n chuy n cơ s t E sang F là 3 2 7 5 .   Do công th c liên h t a , ta có t a c a u theo cơ s E b ng 3 2  1  1  7 5 −1 = 2 . ☺      Ma tr n c a phép bi n bi n i tuy n tính h p Cho các phép bi n i tuy n tính S : U → V, T : V → W. Ta xác nh phép bi n i m i t U vào W, ký hi u là TS, b ng cách th c hi n liên ti p hai ánh x S và T, t c là TS xác nh b i (TS)(u) = T(S(u)). TS là phép bi n i tuy n tính. Th t v y, v i m i vectơ a và b thu c U, v i m i vô hư ng x và y, ta có (TS)(xa + yb) = T(S(xa + yb)) = T(xS(a) + yS(b)) = xT(S(a)) + yT(S(b)) = x(TS)(a) + y(TS)(b). TS ư c g i là phép bi n i tuy n tính h p c a S v i T. Ví d 8 Các phép bi n i tuy n tính S : R2 → R3, T : R3 → R1 cho b i S((x1, x2)) = (x1-x2, x1-x2, 2x1) T((x1,x2, x3)) = x1 + x2 - x3. Ta có (TS)((x1, x2)) = T(S((x1, x2))) = T((x1-x2, x1-x2, 2x1)) = x1-x2 + x1-x2 - 2x1 = - 2x2. nh nghĩa Phép bi n i tuy n tính T : V → W ư c g i là phép bi n i tuy n tính kh ngh ch n u t n t i m t phép bi n i tuy n tính L : W → V th a i u ki n (TL)(w) = w và (LT)(v) = v v i m i w ∈W và v i m i v ∈V . (T c là TL và LT là nh ng ánh x ng nh t). Ta g i L là phép bi n i ngh ch o c a T, ký hi u là T-1. V i hai phép bi n i tuy n tính T và S cho trư c mà có phép bi n i h p TS, câu h i t ra là ma tr n c a TS liên h v i ma tr n c a T và S như th nào? Ngoài ra, n u T kh ngh ch, thì ma tr n c a phép bi n i T-1 và ma tr n c a T liên h v i nhau th nào? nh lý dư i ây tr l i cho các câu h i này. nh lý 7.2.2 Cho H, E, F l n lư t là cơ s c a các không gian vectơ U, V, W. Gi s A là ma tr n c a phép bi n i tuy n tính S : U → V theo các cơ s H và E, B là ma tr n c a phép bi n i tuy n tính T : V → W theo các cơ s E và F. Ta có ma tr n c a TS theo các cơ s H và F là BA. Ví d 9 Các phép bi n i tuy n tính S : R2 → R3, T : R3 → R1 cho b i S((x1, x2)) = (x1-x2, x1-x2, 2x1) T((x1,x2, x3)) = x1 + x2 - x3. Tìm ma tr n chính t c c a TS.
Gi i Cách 1: Theo Ví d 8 x  (TS)((x1, x2)) = - 2x2 = [0 − 2]  1   x2  nên ma tr n chính t c c a TS là [0 -2]. Cách 2: 1 − 1 x  S((x1, x2)) = (x1-x2, x1-x2, 2x1) = 1 − 1  1    x 2 0   2     x1  T((x1,x2, x3)) = x1 + x2 - x3 = [1 1 -1]  x2     x3    nên ma tr n chính t c c a S và T tương ng là 1 − 1 A = 1 − 1   và B = [1 1 -1]. 2 0    Ma tr n chính t c c a TS là BA = [0 -2]. ☺ H qu 7.2.3 Cho E, F l n lư t là cơ s c a các không gian vectơ V, W. Gi s A là ma tr n c a phép bi n i tuy n tính T : V → W theo các cơ s E và F. Khi y, T kh ngh ch n u và ch n u A kh ngh ch. Ngoài ra T-1 : W → V có ma tr n theo các cơ s F và E là A-1. Ch ng minh Gi s T kh ngh ch và B là ma tr n c a T-1 : W → V theo các cơ s F và E. Theo nh lý 7.2.2 T-1T có ma tr n theo cơ s E là BA. M t khác, T-1T là ánh x ng nh t và nó có ma -1 tr n theo cơ s E là I. Như v y, BA = I. Suy ra A kh ngh ch và B = A . Ngư c l i, gi s A kh ngh ch. Ta xác nh L : W → V là phép bi n i có ma tr n là A-1 theo cơ s F. Theo nh lý 7.2.2 LT có ma tr n theo cơ s E là A-1A = I. Vì v y, v i m i v∈V [LT(v)]E = I[v]E = [v]E . Suy ra, LT(v) = v v i m i v∈V. Ch ng minh tương t , ta có (TL)(w) = w v i m i w∈W. Do ó, T là phép bi n i tuy n tính kh ngh ch. ☺ Các ma tr n ng d ng N u T là m t phép bi n i tuy n tính t không gian vectơ n- chi u V vào chính nó, ma tr n bi u di n T s ph thu c vào cơ s ư c ch n c a V. N u cơ s thay i thì ma tr n bi u di n T cũng thay i. Bây gi ta tìm hi u m i quan h gi a các ma tr n này.
nh lý 7.2.4 Cho E và F là hai cơ s c a không gian vectơ V và T : V → V là phép bi n i tuy n tính. Cho M là ma tr n chuy n cơ s t E sang F. N u A là ma tr n c a T theo cơ s E và B là ma tr n c a T theo cơ s F, thì B = M-1AM. Ch ng minh V i m i v∈V ta có [T(v)]E = A[v]E nên M-1[T(v)]E = M-1A[v]E. Do [v]E = M[v]F và [T(v)]F = M-1[T(v)]E nên [T(v)]F = M-1AM[v]F. M t khác, [T(v)]F = B[v]F, nên B = M-1AM. ☺ Ví d 10 Cho phép bi n i tuy n tính T : R2 → R2 xác nh b i T(v) = (2x1, x1 + x2). v i m i v = (x1,x2). Tìm ma tr n c a T theo cơ s F = {w1 = (1, 1), w2 = (-1, 1)}. Gi i Ma tr n chính t c c a T (chính là ma tr n theo cơ s chính t c E = {e1, e2}) là  2 0 A=  . 1 1 Ma tr n chuy n cơ s t E sang F là 1 − 1 M = [w1 w2] =  . 1 1  Như v y, ma tr n c a T theo cơ s F là 1  1 1 2 0 1 − 1 2 − 1 M-1AM = = . ☺ 2 − 1 1 1 1 1 1  0 1        nh nghĩa Cho A và B là hai ma tr n n×n. B ư c g i là ng d ng v i A n u t n t i ma tr n -1 kh ngh ch M sao cho B = M AM. Chú ý 1) N u B ng d ng v i A, thì A = MBM-1 = (M-1)-1BM-1 là ng d ng v i B. Vì v y ta có th nói A và B là các ma tr n ng d ng. 2) M t phép bi n i tuy n tính t không gian vectơ V vào chính nó có ma tr n theo nh ng cơ s khác nhau ng d ng.
3) N u A và B là các ma tr n ng d ng, thì a th c c trưng c a chúng trùng nhau.Th t v y det(B - tI) = det(M-1AM - t(M-1IM)) = det(M-1(A - tI)M) = det(A - tI). Như v y, hai ma tr n ng d ng thì các giá tr riêng (k c b i) trùng nhau. NH NG Ý CHÍNH TRONG BÀI GI NG TU N 10 1. Ma tr n c a ánh x ng nh t. Ma tr n chuy n cơ s . 2. Ma tr n c a phép bi n i tuy n tính h p. Ma tr n c a phép bi n i tuy n tính ngh ch o. 3. M i quan h gi a các ma tr n c a cùng m t phép bi n i tuy n tính t m t không gian vectơ vào chính nó. N I DUNG ÔN T P TÍN CH 2 I. Không gian vectơ * T p sinh c a m t không gian vectơ. * Khái ni m c l p tuy n tính, ph thu c tuy n tính. Phương pháp ki m tra s cl p n tuy n tính hay ph thu c tuy n tính c a m t dãy vectơ trong R . * Cơ s và s chi u c a m t không gian vectơ. * nh lý cơ b n c a i s tuy n tính (Ph n 1) v chi u và cơ s c a C(A), C(AT), N(A), N(AT). II. Giá tr riêng và Vectơ riêng * nh nghĩa giá tr riêng và vectơ riêng. * Phương pháp tìm giá tr riêng và vectơ riêng. * nh nghĩa ma tr n chéo hóa ư c, ma tr n vectơ riêng, ma tr n giá tr riêng. * Nh ng i u ki n m t ma tr n chéo hóa ư c. III. Tính tr c giao * Tích vô hư ng trong Rn. dài c a vectơ. * Hai vectơ tr c giao. Hai không gian con tr c giao. Ph n bù tr c giao c a m t không gian con. nh lý cơ b n c a STT (Ph n 2). * T h p nh ng cơ s t C(AT) và N(A). Phân tích m t vectơ thành xr + xn.
* Cơ s tr c giao, cơ s tr c chu n. Phương pháp tr c giao hóa Gram-Schmidt. * Ma tr n tr c giao. Vectơ riêng, giá tr riêng c a ma tr n th c i x ng. IV. Phép bi n i tuy n tính * Khái ni m phép bi n i tuy n tính. * nh và h t nhân c a m t phép bi n i tuy n tính. * Ma tr n bi u di n m t phép bi n i tuy n tính. * Ma tr n chuy n cơ s và m i liên h v t a c a cùng m t vectơ theo hai cơ s . * Ma tr n c a phép bi n i tuy n tính h p. Ma tr n c a phép bi n i tuy n tính ngh ch o. * M i quan h gi a các ma tr n c a cùng m t phép bi n i tuy n tính t m t không gian vectơ vào chính nó. M TS BÀI T P I N HÌNH C NG C LÝ THUY T 1. Nh ng t p nào sau ây là t p sinh c a R2? 1  0  1  0 4  1 − 1  (a)  ,    (b)  ,  ,    (c)  ,    0 1   0 1  7   1 − 1  2. Xác nh xem các vectơ trong R3 sau ây ph thu c tuy n tính hay c l p tuy n tính 1  2 3 2 , v =  8  , v = v 1=   2   3 10 .   3   10   13   3. Gi s w1, w2, w3 ph thu c tuy n tính, hãy ch ng minh r ng v1 = w2 - w3, v2 = w1 - w3,v3 = w1 - w2 cũng ph thu c tuy n tính. Tìm m t t h p tuy n tính c a ba vectơ v1, v2, v3 mà cho vectơ-không 4. Xác nh xem các vectơ trong P2 sau ây ph thu c tuy n tính hay c l p tuy n tính 2 2 p1(x) = x - 2x + 3 p2(x) = 2x + x + 8 p3(x) = x2 + 8x + 7 5. Ch ng minh t p vectơ E = {(1, 2, 1), (2, 3, 3), (3, 2, 1)} là cơ s c a không gian R3? 6. Tìm cơ s và s chi u c a 4 không gian con ch y u liên quan n ma tr n 1 3 0 5  A = 2 6 1 16  .   5 15 0 25   Hãy phân tích vectơ b t kỳ v = (a, b, c, d)∈ R4 thành xr + xn. 7. Tìm m t cơ s cho không gian con W sau ây c a R4 W = {(x, y, x + y, x - y) ∈R4| x và y ∈R}.
8. Tìm m t cơ s cho không gian con W sau ây c a P2 W = {ax2 + bx + c ∈P2 | a, b, c∈R, a - b + 2c = 0 }. 9. Tìm m t cơ s cho không gian con W sau ây c a M(2×2, R)  a b   W =   a, b, c ∈ R  .  b c   10. Cho m t cơ s c a R3 g m các vectơ {v1 = (1, -1, 0), v2 = (2, 0, -2), v3 = (3, -3, 3)}. Dùng phương pháp Gram- Schmidt, hãy xây d ng m t cơ s tr c giao c a R3 t cơ s này. 11. Xét xem ma tr n sau có chéo hóa ư c không 1 − 1 A=  . 1 − 1 12. Cho ma tr n 1 3 0 A=  3 − 2 − 1  0 − 1 1    Tìm m t ma tr n vuông S sao cho S-1AS là ma tr n ư ng chéo. T ó tính A10. 13. Cho ma tr n  5 − 2 A=  . − 2 8  Tìm m t ma tr n vuông tr c giao Q sao cho QTAQ là ma tr n ư ng chéo. 14. Cho E = {(1, 2), (2, 3)} và F = {(1, 1), (2, 1)}là hai cơ s c a không gian R2. Tìm các ma tr n chuy n cơ s t E sang F và t F sang E. Bi t t a c a v theo cơ s E là (1, -1), tìm t a c av theo cơ s F. 15. Cho F = {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1), v3 = (0, 1, 1)} và cho phép bi n i tuy n tính T : R2 → R3 xác nh b i T(v) = x1v1 + x2v2 + (x1+x2)v3 v i v = (x1, x2). 1) Tìm ma tr n chính t c c a T. 2) Tìm ma tr n c a T theo cơ s {e1, e2} và F. 3) Tìm h t nhân c a T. 16. Cho phép bi n i tuy n tính T : R2 → R2 xác nh b i T(v) = (2x1, x1 + x2). v i m i v = (x1,x2). 1) Tìm ma tr n chính t c c a T. 2) Ch ng minh r ng T là phép bi n i tuy n tính kh ngh ch. Tìm ma tr n chính t c c a T-1. 3) Tìm ma tr n c a T theo cơ s F = {w1 = (1, 2), w2 = (2, 3)}. 4) Cho phép bi n i tuy n tính S((x1, x2)) = (x1-x2, x1-x2, 2x1). Tìm ma tr n c a ST trong cơ s F và {e1, e2, e3}.