zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng vật lý thống kê: Thống kê cổ điển, thống kê lượng tử

Chia sẻ: Day Ma | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:12

Báo xấu

114
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng với các nội dung: định lí Liouville và phương trình Liouville cân bằng thống kê; phân bố chính tắc Gibbs; phân bố chính tắc lớn Gibbs; các hàm nhiệt động và các đại lượng nhiệt động trong phân bố chính tắc; phân bố Maxwell – Boltzmann; phân bố chính tắc lớn lượng tử; phân bố Boltzmann lượng tử...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng vật lý thống kê: Thống kê cổ điển, thống kê lượng tử

Đại Học An Giang Khoa sư phạm PHẦN I. THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN 1. Định lí Liouville và phương trình Liouville cân bằng thống kê Định lí : Hàm phân bố thống kê của hệ không đổi dọc theo quỹ đạo pha của hệ. Chứng minh : Do các hạt của hệ chuyển động không ngừng nên các điểm pha mô tả trạng thái của hệ cũng chuyển động không ngừng trong không gian pha. Do tổng số các điểm pha không đổi nên chuyển động của các điểm pha giống như sự chảy dừng của một chất lỏng không nén được. Vì vậy ta có thể áp dụng phương trình liên tục cho quá trình này. Phương trình liên tục có dạng :  divj 0 (1) t    trong đó là hàm phân bố thống kê và j v với v (q 1 ,..., q s , p 1 ,..., p s ) là vận tốc của điểm pha trong không gian pha 2s chiều. Do đó ta có :  s s s q i p i divj ( q i ) ( p i ) q i p i (2) i 1 qi pi i 1 qi pi i 1 qi pi Mặt khác, khi di chuyển dọc theo quỹ đạo pha của hệ thì các qi và pi thỏa mãn phương H H trình chính tắc Hamilton : q i , p i với H H ( q, p ) là hàm Hamilton của hệ. pi qi s s H H Suy ra : q i p i (3) i 1 qi pi i 1 qi pi pi qi 2 2 q i s p i s H H 0 (4) i 1 qi pi i 1 qi pi pi qi Thay (3) và (4) vào (2), rồi thay vào (1) ta được : ,H 0 (5) t s H H trong đó ,H gọi là ngoặc Poisson giữa và H i 1 qi pi pi qi d Mặt khác, ta lại có : nếu (q, p, t ) thì ,H (6) dt t d Từ (5) và (6) ta có : 0 hay const (7) dt Vậy dọc theo quỹ đạo pha thì hàm phân bố của hệ là không đổi theo thời gian. Phương trình (5) được viết lại là : , H hay H, (8) t t (8) là phương trình định lí Liouville Trong trạng thái cân bằng thống kê thì giá trị các đại lượng nhiệt động sẽ không phụ thuộc thời gian. Do đó hàm phân bố thống kê sẽ không phụ thuộc tường minh vào thời gian. Khi đó ta có : 0 . Kết hợp với (8) suy ra : H , 0 . Theo cơ học lí thuyết, một đại lượng không phụ t thuộc tường minh vào thời gian và ngoặc Poisson giữa hàm Hamilton với đại lượng đó là bằng 0 SV: Đinh Văn đô Lớp Dh9l 1
Đại Học An Giang Khoa sư phạm thì đại lượng đó được gọi là tích phân chuyển động. Mặt khác ta lại biết rằng đối với một hệ cơ thì chỉ có 7 tích phân chuyển động độc lập, đó là : năng lượng E của hệ; 3 thành phần px, py và pz   của xung lượng p ; 3 thành Lx, Ly và Lz của mômen động lượng L . Đối với các hệ nhiệt động, ta thường không xét chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của toàn bộ hệ. Do đó ta chỉ cần chú ý đến năng lượng E của hệ. Mặt khác, ta lại biết rằng hàm Hamilton không phụ thuộc vào thời gian H(q,p) chính là năng lượng của hệ H(q,p)=E. Vậy đối với hệ cân bằng nhiệt động thì hàm phân bố thống kê của hệ chỉ phụ thuộc vào năng lượng của hệ : (X ) (E) H(X ) 2. Phân bố chính tắc Gibbs Xét hệ đẳng nhiệt tức là hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt. Chia hệ thành hai hệ con C1 và C2 sao cho C1 và C2 vẫn là hệ vĩ mô. Khi đó năng lượng của hệ bằng tổng năng lượng thành phần của mỗi hệ với năng lượng tương tác giữa hai hệ : H ( X ) H 1 ( X 1 ) H 2 ( X 2 ) U 12 Vì C1 và C2 vẫn là hệ vĩ mô nên năng lượng tương tác giữa hai hệ là U 12 rất bé so với năng lượng của từng hệ là H 1 ( X 1 ) và H 2 ( X 2 ) . Do đó năng lượng của hệ là : H ( X ) H1 ( X 1 ) H 2 ( X 2 ) Điều này có nghĩa là hai hệ con C1 và C2 là hai hệ độc lập với nhau nên áp dụng định lí nhân xác suất ta có : ( H )dX 1 .dX 2 ( H 1 )dX 1 . ( H 2 )dX 2 Suy ra (H ) ( H 1 ). ( H 2 ) Lấy lôgarit Nêpe hai vế ta được : ln ( H ) ln ( H 1 ) ln ( H 2 ) Lấy vi phân hai vế phương trình trên ta được : ' ' ' (H ) (H1 ) (H 2 ) dH dH 1 dH 2 (H ) (H1 ) (H 2 ) ' ' ' (H ) (H1 ) (H 2 ) Hay ( dH 1 dH 2 ) dH 1 dH 2 (H ) (H1 ) (H 2 ) Cho dH 1 và dH 2 tiến đến 0 một cách độc lập ta được : ' ' ' ' (H ) (H 2 ) (H ) (H 2 ) Khi dH 1 0 thì dH 2 dH 2 hay (H ) (H 2 ) (H ) (H 2 ) ' ' ' ' (H ) (H1 ) (H ) (H1 ) Khi dH 2 0 thì dH 1 dH 1 hay (H ) (H1 ) (H ) (H1 ) ' ' (H1 ) (H 2 ) 1 Suy ra với 0 (H1 ) (H 2 ) Vậy hàm phân bố ( X ) ( H ) thỏa phương trình : d (H ) d (H ) dH dH 1 hay (H ) (H ) Lấy tích phân hai vế phương trình trên ta được : H ( X , a) H ( X ,a ) ln ( H ) ln C hay (X ) ( H ) Ce SV: Đinh Văn đô Lớp Dh9l 2
Đại Học An Giang Khoa sư phạm Đây chính là phân bố chính tắc Gibbs, đại lượng gọi là môđun của phân bố. Hệ số C được xác định từ điều kiện chuẩn hóa : H ( X ,a ) ( X )dX 1 hay C e dX 1 (X ) (X ) H ( X ,a ) H ( X ,a ) 1 1 Đặt Z e dX 1 thì C và khi đó ta có : ( X ) e . (X ) Z Z Bằng cách so sánh với kết quả của nhiệt động lực học ta có : kT và kT ln Z trong đó k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối, là năng lượng tự do và Z là tích phân trạng thái Khi đó biểu thức của phân bố chính tắc Gibbs được viết lại là : H ( X ,a ) ( X ) e kT Đối với hệ gồm N hạt đồng nhất thì việc hoán vị các hạt không làm thay đổi trạng thái của hệ mặc dù chúng được biểu diễn bằng các điểm pha khác nhau trong không gian pha. Do đó, đối với hệ N hạt đồng nhất ta phải loại bỏ các điểm không gian pha ứng với phép hoán vị khác nhau của các hạt. Với hệ N hạt đồng nhất ta có N! hoán vị khác nhau nên khi đó phân bố chính tắc được viết lại là : H ( X ,a ) 1 (X ) e kT N! 3. Phân bố chính tắc lớn Gibbs Khảo sát hệ đẳng nhiệt có số hạt thay đổi. Tại mỗi thời điểm, số hạt của hệ là không đổi nên ta có thể áp dụng phân bố chính tắc Gibbs cho hệ và khi đó hàm phân bố của hệ à : ( ,a ) H ( X ,a ) 1 (X ) e kT (1) N! Đối với hệ có số hạt thay đổi, thay cho năng lượng tự do ( , a ) (với kT ) người ta dùng thế nhiệt động được xác định bởi công thức : N (2) trong đó là thế hóa học của hạt N T ,V N H ( X ,a ) 1 Từ (2) ta viết lại (1) là : (X ) e kT (3) N! Biểu thức (3) là hàm phân bố chính tắc lớn Gibbs. Điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố chính tắc lớn Gibbs là : N H ( X ,a ) N H ( X ,a ) 1 1 kT e kT dX 1 hay e kT e e kT dX 1 N 0 ( X ) N! N 0 N! (X ) N H ( X ,a ) 1 kT Đại lượng Z e e kT dX được gọi là tổng thống kê của hệ. N 0 N! (X ) Khi đó ta có : kT ln Z Đối với hệ có số hạt thay đổi, trị trung bình của một đại lượng bất kì F F ( N , X ) được xác định theo công thức : SV: Đinh Văn đô Lớp Dh9l 3
Đại Học An Giang Khoa sư phạm N H ( X ,a ) 1 F F ( N , X )e kT dX N 0 N! ( X ) 4. Các hàm nhiệt động và các đại lượng nhiệt động trong phân bố chính tắc H(X ) 1. Tích phân trạng thái : Z exp dX tính theo tất cả các trạng thái khả dĩ của (X ) kT không gian pha. Nếu là hệ hạt đồng nhất thì : N 1 H(X )   Z 3N exp dri dpi N !h ( X ) kT i 1 2. Năng lượng tự do : kT ln Z ln Z 3. Entropi : S k ln Z kT T V T V ln Z 4. Áp suất : p kT V T V T ln Z 5. Nội năng : U TS kT 2 T V 2 U ln Z ln Z 6. Nhiệt dung: CV 2kT kT 2 T V T V T2 V ln Z ln Z 7. Thế Gibbs : pV kT ln Z kTV kT ln Z V T ln V T 8. Entanpi : ln Z ln Z ln Z ln Z H U pV kT 2 kTV kT T V V T ln T V ln V T 5. Khí lí tưởng Xét hệ N hạt khí lí tưởng đồng nhất ở trong bình có thể tích V và ở nhiệt độ T. Khi đó hàm N N p i2 Hamilton của hệ là : H Hi i 1 i 1 2 mi Tích phân trạng thái của hệ có dạng : H pi2 N N 1 1  2 mi kT  1 Z e kT dX dri e dpi Zi N !h 3 N (X ) N !h 3 N i 1 V N !h 3 N i 1 SV: Đinh Văn đô Lớp Dh9l 4
Đại Học An Giang Khoa sư phạm pi2    trong đó Z i dri e 2 mi kT dpi là tích phân trạng thái của một hạt. Ta có dri V và V V pi2 p x2 p 2y p z2 pk2  e 2 mi kT dpi e 2 mi kT dp x e 2 mi kT dp y e 2 mi kT dp z e 2 mi kT dp k , (k x, y, z ) . Dùng tích phân k pk2 1 3 ax 2 Poisson e dx , ta có : e 2 mi kT dp k 2 mi kT (2 mi kT ) 2 . Suy ra Z i V (2 mi kT ) 2 . a Vậy ta tìm được tích phân trạng thái của hệ là : N 3 3N 3N 1 1 Z V (2 mi kT ) 2 V N (2 mkT ) 2 V TN 2 N N !h 3 N i 1 N !h 3N 3N 1 trong đó N ( 2 mk ) 2 và m là khối lượng của một hạt khí lí tưởng. N !h 3 N 3 Năng lượng tự do của hệ : kT ln Z NkT (ln V ln T ln ) 2 3 NkT Áp suất của hệ : p NkT (ln V ln T ln ) , suy ra phương V T V 2 V trình trạng thái của hệ là pV NkT . Entropi của hệ : 3 3 3 S NkT (ln V ln T ln ) Nk (ln V ln T ln ) Nk T V T 2 2 2 Nội năng của hệ : 3 3 3 3 U TS NkT (ln V ln T ln ) T Nk (ln V ln T ln ) Nk NkT 2 2 2 2 U 3 3 Nhiệt dung đẳng tích của hệ : CV NkT Nk T V T 2 2 6. Phân bố Maxwell – Boltzmann Xét hệ N hạt đồng nhất không tương tác với nhau và nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động ở nhiệt độ T. Khi đó hàm Hamilton H (X,a) của hệ trùng với năng lượng E(X) và có dạng N H i , với i là năng lượng của hạt thứ i. Khi đó xác suất để hệ ở trong trạng thái có năng i 1 lượng E(X) và ở trong yếu tố thể tích dX của không gian pha là : H H N 1 N   dW ( X ) e kT dX const.e dX const. exp kT i dri .dpi kT i 1 i 1 N N i     Hay dW ( X ) const. exp dri dpi dW (ri , pi ) (1) i 1 kT i 1   i   trong đó dW (ri , pi ) const. exp dri dpi (2) kT Biểu thức (2) chính là xác suất để hạt thứ i có năng lượng bằng i , có tọa độ nằm trong       khoảng từ ri đến ri dri và có xung lượng nằm trong khoảng từ pi đến pi dpi . SV: Đinh Văn đô Lớp Dh9l 5
Đại Học An Giang Khoa sư phạm Xét phân bố (2) trong không gian pha 6 chiều của một hạt (không gian µ) . Năng lượng i của một hạt riêng lẻ biểu thị qua động năng và thế năng phụ thuộc vào xung lượng và tọa độ của p x2 p 2y p z2 hạt là i U ( x, y, z ) . Do đó, phân bố (2) được viết lại là : 2m p x2 p 2y p z2 U ( x, y, z ) dW ( x, y, z , p x , p y , p z ) const. exp dxdydzdp x dp y dp z (3) 2mkT kT Đây chính là phân bố Maxwell – Boltzmann. Biểu thức (3) được viết lại dưới dạng : dW ( x, y , z , p x , p y , p z ) dW ( p x , p y , p z ).dW ( x, y, z ) (4) 2 2 2 p x p y p z Trong đó : dW ( p x , p y , p z ) A exp dp x dp y dp z (5) 2mkT (5) là phân bố Maxwell theo xung lượng U ( x, y , z ) dW ( x, y, z ) B exp dxdydz (6) kT (6) là phân bố Boltzmann trong trường lực Xét phân bố Maxwell theo xung lượng, sử dụng tích phân Poisson exp ax 2 dx để a chuẩn hóa hàm phân bố (5) : p x2 p 2y p z2 3 1 A exp dp x exp dp y exp dp z A 2 mkT 2 2mkT 2mkT 2mkT 3 hay A 2 mkT 2   Mà p mv nên dW ( p x , p y , p z ) dW (v x , v y , v z ) và p x2 p 2y p z2 (mv) 2 . Vậy phân bố Maxwell theo xung lượng ở (5) được viết thành phân bố Maxwell theo vận tốc : 3 m 2 mv 2 dW (v x , v y , v z ) exp dv x dv y dv z 2 kT 2kT Trong hệ tọa độ cầu thì dv x dv y dv z v 2 sin d d dv , lấy tích phân theo hai biến và , khi đó phân bố theo vận tốc trở thành : 3 m 2 mv 2 2 dW (v) 4 exp v dv (v)dv 2 kT 2kT 3 m 2 mv 2 2 là hàm phân bố vận tốc. với (v ) 4 exp v 2 kT 2kT Xét phân bố Boltzmann trong trường lực ở (5) cho khí lí tưởng ở trong trường trọng lực. Thế năng của hạt trong trường trọng lực là U ( x, y , z ) U ( z ) mgz nên phân bố Boltzmann ở (6) trở thành : mgz dW ( z ) B exp dz kT SV: Đinh Văn đô Lớp Dh9l 6
Đại Học An Giang Khoa sư phạm Với N là tổng số hạt của hệ thì số hạt ở độ cao từ z đến z dz là : mgz dN ( z ) NdW ( z ) NB exp dz kT Gọi n(z) và n0 lần lượt là mật độ khí ở độ cao z và mặt đất thì từ biểu trên suy ra : mgz n( z ) n0 exp kT Khi nhiệt độ không đổi, áp suất của khí tỉ lệ với mật độ khí nên nếu gọi p(z) và p0 lần lượt là áp suất của khí ở độ cao z và ở mặt đất thì từ biểu thức trên suy ra : mgz p ( z ) p 0 exp kT 7. Định lí phân bố đều động năng theo các bậc tự do Hàm Hamilton của hệ có s bậc tự do biểu thị qua hàm Lagrange như sau : s H ( p, q ) pi q i L( p, q ) i 1 s Hay là T ( p ) U ( q) pi q i T ( p) U (q ) i 1 s 1 s 1 H Suy ra T ( p) pi q i pi i 1 2 i 1 2 pi 1 H Khi đó đại lượng pi được gọi là động năng ứng với bậc tự do thứ i. 2 pi kT Định lí : Giá trị trung bình của động năng ứng với bậc tự do thứ i bằng 2 Chứng minh : Giá trị trung bình của động năng ứng với bậc tự do thứ i có thể tính được nhờ phân bố chính tắc Gibbs : s s 1 H 1 H H ( p, q ) 1 H H ( p, q ) pi pi exp dX pi exp dpi dp j dqi 2 pi ( X ) 2 pi kT 2 pi kT j 1 i 1 j i 1 H H ( p, q ) Tích phân pi exp dp i được tính bằng phương pháp tích phân từng 2 pi kT phần : 1 H H ( p, q ) 1 H ( p, q ) H ( p, q ) 1 pi exp dpi pi kT exp ( kT ) exp dpi 2 pi kT 2 kT kT 2 H Khi pi thì H ( p, q ) nên lim pi e kT 0 . Do đó mà pi 1 H H ( p, q ) kT H ( p, q ) pi exp dpi exp dp i 2 pi kT 2 kT Vậy trị trung bình của động năng ứng với bậc tự do thứ i bằng : s s 1 H kT H ( p, q ) kT H ( p, q ) kT pi exp dp i dp j dq i exp dX 2 pi 2 kT j 1 i 1 2 (X ) kT 2 j i SV: Đinh Văn đô Lớp Dh9l 7
Đại Học An Giang Khoa sư phạm H ( p, q ) (tích phân exp dX 1 do điều kiện chuẩn hóa) (X ) kT 8. Định lí virian 1 H Đại lượng qi được gọi là virian ứng với bậc tự do thứ i. 2 qi Định lí : Nếu khi qi hàm Hamilton H ( p, q ) thì giá trị trung bình của virian kT ứng với bậc tự do thứ i bằng 2 Chứng minh : Giá trị trung bình của virian ứng với bậc tự do thứ i có thể tính được nhờ phân bố chính tắc Gibbs : s s 1 H 1 H H ( p, q ) 1 H H ( p, q ) qi qi exp dX qi exp dqi dq j dpi 2 qi ( X ) 2 qi kT 2 qi kT j 1 i 1 j i 1 H H ( p, q ) Tích phân qi exp dq i được tính bằng phương pháp tích phân từng 2 qi kT phần : 1 H H ( p, q ) 1 H ( p, q ) H ( p, q ) 1 qi exp dqi qi kT exp ( kT ) exp dqi 2 qi kT 2 kT kT 2 H Khi qi thì H ( p, q ) nên lim qi e kT 0 . Do đó mà qi 1 H H ( p, q ) kT H ( p, q ) qi exp dq i exp dq i 2 qi kT 2 kT Vậy trị trung bình của virian ứng với bậc tự do thứ i bằng : s s 1 H kT H ( p, q ) kT H ( p, q ) kT pi exp dq i dq j dp i exp dX 2 pi 2 kT j 1 i 1 2 (X ) kT 2 j i H ( p, q ) (tích phân exp dX 1 do điều kiện chuẩn hóa) (X ) kT PHẦN II. THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 1. Phân bố chính tắc lượng tử Xét hệ đẳng nhiệt, hàm phân bố chính tắc cổ điển có dạng : H (q, p) ( q, p ) e kT (1) trong đó là năng lượng tự do của hệ Lượng tử hóa ta có toán tử thống kê : Hˆ ˆ (2) e kT Kí hiệu n (q ) là hệ hàm riêng của toán tử Hamilton H ˆ . Ta có : Hˆ E suy ra ( Hˆ ) n n m n (E ) m n n n (3) SV: Đinh Văn đô Lớp Dh9l 8
Đại Học An Giang Khoa sư phạm * 1 khi n m và n (q ) m ( q)dq nm (4) 0 khi n m Khi đó các yếu tố ma trận chéo của ˆ bằng : * nn n (q ) ˆ n ( q)dq (5) Sử dụng khai triển Taylor của hàm mũ ta có thể viết (2) dưới dạng :  m 1 H ˆ e kT (6) m 0 m! kT Thay (6) vào (5), kết hợp với (3) và (4) và phép biến đổi Taylor, ta được :  m m * 1 H 1 1 * ˆ m (q )dq n ( q )e n ( q ) dq e n ( q )( H ) kT kT nn n m 0 m! kT m 0 m! kT m m En En 1 En * 1 En ekT n ( q ) n ( q ) dq e kT e kT e kT e kT m 0 m! kT m 0 m! kT Vậy hàm phân bố thống kê chính tắc lượng tử có dạng : En e kT (7) nn Điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố thống kê chính tắc lượng tử : En 1 nn (En ) e kT e kT e kT Z (8) n n n En Đại lượng Z e kT được gọi là tổng thống kê của hệ. Khi đó ta có : n kT ln Z (9) En Tổng thống kê lấy theo tất cả các trạng thái khả dĩ là Z e kT . Do đó nếu mức năng n lượng E n suy biến bội g ( E n ) thì tổng thống kê của hệ trở thành : En Z g ( E n )e kT (10) n 2. Phân bố chính tắc lớn lượng tử Xét hệ đẳng nhiệt và có số hạt N thay đổi, hàm phân bố chính tắc lớn cổ điển có dạng : N H (q, p,N ) ( q , p, N ) e kT (1) trong đó là thế nhiệt động, là thế hóa học của hạt Lượng tử hóa ta có toán tử thống kê : Nˆ Hˆ ˆ (2) e kT Vì có thể đo được đồng thời năng lượng và số hạt của hệ nên toán tử Hamilton Hˆ và toán tử số hạt Nˆ giao hoán với nhau. Do đó toán tử Hamilton Hˆ và toán tử số hạt Nˆ có chung hệ hàm riêng. Kí hiệu nN (q ) là hệ hàm riêng chung của toán tử Hˆ và Nˆ . Ta có : Hˆ nNE , NˆnN N nN , Nˆ nN N nN nN nN ( Nˆ Hˆ ) nN ( N E nN ) n suy ra ( Nˆ Hˆ ) m nN ( N E nN ) m n (3) SV: Đinh Văn đô Lớp Dh9l 9
Đại Học An Giang Khoa sư phạm * và nN (q) mM (q )dq nm NM (4) Khi đó các yếu tố ma trận chéo của ˆ bằng : * nN nN ( q ) ˆ nN (q )dq (5) Sử dụng khai triển Taylor của hàm mũ ta có thể viết (2) dưới dạng :  m 1 Nˆ H ˆ e kT (6) m 0 m! kT Thay (6) vào (5), kết hợp với (3) và (4) và phép biến đổi Taylor, ta được :  m 1 Nˆ H m 1 1 ˆ nN * nN ( q )e kT nN ( q ) dq e kT * nN ( q )( N Hˆ ) m nN (q )dq m 0 m! kT m 0 m! kT m m N E nN N E nN 1 N E nN * 1 N E nN ekT nN ( q ) nN ( q ) dq e kT e e kT kT e kT m 0 m! kT m 0 m! kT Vậy hàm phân bố thống kê chính tắc lớn lượng tử có dạng : N E nN ( E nN , N ) e kT (7) nN Điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố thống kê chính tắc lớn lượng tử : N EnN 1 nN ( E nN , N ) e kT e kT e kT Z (8) n, N n, N n, N N EnN Đại lượng Z e kT được gọi là tổng thống kê của hệ. Khi đó ta có : n,N kT ln Z (9) N EnN Tổng thống kê lấy theo tất cả các trạng thái khả dĩ là Z e kT . Do đó nếu mức năng n, N lượng E nN suy biến bội g ( E nN ) thì tổng thống kê của hệ trở thành : N E nN Z g ( E nN )e kT (10) n, N 3. Phân bố Boltzmann lượng tử Khảo sát hệ các hạt không tương tác. Năng lượng của hệ bằng tổng năng lượng của các hạt riêng lẻ : E i . Khi đó xác suất để hệ ở trong trạng thái với năng lượng E bằng : i E i i W (E) e kT exp Wi (1) kT i Trong đó Wi là xác suất để một hạt bất kì của hệ ở trong trạng thái với năng lượng i : i Wi ae kT (2) SV: Đinh Văn đô Lớp Dh9l 10
Đại Học An Giang Khoa sư phạm i i 1 Điều kiện chuẩn hóa : 1 Wi a e kT , đặt Z e kT , ta được a . Trong i i i Z i trường hợp mức năng lượng i suy biến bội g ( i ) thì Z g ( i )e . Khi đó (2) trở thành : kT i g( i ) i e Wi kT (3) Z Đây chính là phân bố Boltzmann lượng tử. 4. Thống kê Fermi – Dirac Khảo sát hệ các fermion (các hạt có spin bán nguyên) không tương tác. Gọi E và N là năng lượng và số hạt của cả hệ; i và ni là năng lượng một hạt và số hạt ở trạng thái i. Ta có : E ni i và N ni i i Tổng thống kê của hệ là : ni ( i ) N E nN i ni ( i ) ni ( i ) Z exp exp exp exp n, N kT n1 , n2 ,... kT n1 , n2 ,... i kT i ni kT Vì các fermion tuân theo nguyên lí Pauli nên số hạt ni chỉ có thể nhận hai giá trị 0 và 1. Do đó ta có : 1 n( i) exp i 1 exp i ni 0 kT kT Vậy tổng thống kê của hệ các fermion là : i Z 1 exp i kT Thế nhiệt động của hệ bằng : kT ln Z kT ln 1 exp i kT ln 1 exp i i kT i kT Số hạt trung bình của hệ : 1 i exp i kT kT 1 N kT ln 1 exp kT i kT i i i i T ,V 1 exp exp 1 kT kT Mặt khác từ N ni suy ra N ni , so sánh biểu thức này với biểu thức ở ngay trên i i ta có kết quả : 1 ni i exp 1 kT Đây chính là thống kê fermi – Dirac. 5. Thống kê Bose – Einstein SV: Đinh Văn đô Lớp Dh9l 11
Đại Học An Giang Khoa sư phạm Khảo sát hệ các boson (các hạt có spin nguyên) không tương tác. Gọi E và N là năng lượng và số hạt của cả hệ; i và ni là năng lượng một hạt và số hạt ở trạng thái i. Ta có : E ni i và N ni i i Tổng thống kê của hệ là : ni ( i ) N E nN i ni ( i ) ni ( i ) Z exp exp exp exp n, N kT n1 , n2 ,... kT n1 , n2 ,... i kT i ni kT Đối với các boson thì số hạt ni có thể nhận giá trị nguyên không âm bất kì. Khi đó ni ( i ) exp là tổng của cấp số nhân vô hạn với công bội q exp i 0 . Để cấp số ni 0 kT kT i nhân này hội tụ thì ta phải có q exp 1 i 0 0 . Tổng của cấp số nhân lùi vô kT ni ( i ) 1 1 exp hạn với công bội q thì có giá trị bằng nên suy ra ni 0 kT i . Vậy 1 q 1 exp kT 1 Z tổng thống kê của hệ các boson là : i i 1 exp kT Thế nhiệt động của hệ bằng : 1 1 kT ln Z kT ln kT ln i i i i 1 exp 1 exp kT kT 1 i i kT ln 1 exp kT ln 1 exp i kT i kT Số hạt trung bình của hệ : 1 i exp i kT kT 1 N kT ln 1 exp kT i kT i i i i T ,V 1 exp exp 1 kT kT Mặt khác từ N ni suy ra N ni , so sánh biểu thức này với biểu thức ở ngay trên i i ta có kết quả : 1 ni i exp 1 kT Đây chính là thống kê Boson –Einstein. SV: Đinh Văn đô Lớp Dh9l 12

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.