Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Phần 1 - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

Chia sẻ: Mucnang222 Mucnang222 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:113

Thêm vào BST

Báo xấu

44
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tập bài giảng Xử lý tín hiệu số được biên soạn cho đối tượng sinh viên cao đẳng và đại học các ngành thuộc lĩnh vực Công nghệ thông tin và Điện – Điện tử, trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Nam Định. Nội dung phần 1 bài giảng này giúp các bạn nắm được các nội dung chính như: Tín hiệu và hệ thống rời rạc; Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền Z. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Phần 1 - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

LỜI NÓI ĐẦU Hiện nay, số hóa trong lĩnh vực Công nghệ thông tin và Công nghệ kỹ thuật Điện - Điện tử đang được thực hiện trên toàn thế giới cũng như tại Việt Nam. Chính vì thế xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing) đã trở thành một lĩnh vực khoa học công nghệ quan trọng. Xử lý tín hiệu số được áp dụng rất hiệu quả trong các lĩnh vực truyền thông, truyền hình, đo lường, điều khiển, thông tin … dựa trên các phép phân tích, tổng hợp, mã hóa, biến đổi tín hiệu sang dạng tín hiệu số. Để tiếp cận với ngành khoa học hiện đại này, chúng ta cần được trang bị những kiến thức cơ bản về tín hiệu và hệ thống rời rạc, phân tích tín hiệu trong miền Z, miền tần số liên tục, miền tần số rời rạc và đặc biệt là phương pháp để tổng hợp một bộ lọc số đơn giản. Tập bài giảng Xử lý tín hiệu số được biên soạn cho đối tượng sinh viên cao đẳng và đại học các ngành thuộc lĩnh vực Công nghệ thông tin và Điện – Điện tử, trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Nam Định. Tập bài giảng được chia làm 4 chương: Chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc. Chương 2: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền Z. Chương 3: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền tần số. Chương 4: Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (FIR). Mỗi chương trong tập bài giảng đều hệ thống hóa các kiến thức cơ bản và cần thiết. Tương ứng với mỗi nội dung kiến thức đều có các ví dụ minh họa cụ thể. Đặc biệt, cuối mỗi chương có hệ thống các bài tập và hướng dẫn giải để giúp sinh viên dễ dàng trong việc tự học, tự nghiên cứu. Nhóm biên soạn xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp khoa Công nghệ thông tin và khoa Điện – Điện tử, cùng các đồng nghiệp trong trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định đã giúp chúng tôi hoàn thành tài liệu này. Trong lần biên soạn đầu tiên, tập bài giảng không tránh khỏi những sai sót, rất mong người đọc đóng góp ý kiến để tập bài giảng được hoàn thiện hơn. Mọi sự đóng góp ý kiến xin gửi về Văn phòng Khoa Công nghệ thông tin và Văn phòng Khoa Điện - Điện tử, trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn! Nam Định, tháng 11 năm 2013 Nhóm biên soạn Th.s Hoàng Thị Hồng Hà Th.s Nguyễn Thị Thu Hằng Th.s Cao Văn Thế i
MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU...................................................................................................................................... I MỤC LỤC........................................................................................................................................... II CHƯƠNG 1: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC .............................................................. 1 1.1. Tín hiệu và các hệ thống xử lý tín hiệu ................................................................. 1 1.1.1. Các định nghĩa................................................................................................................................1 1.1.2. Các hệ thống xử lý tín hiệu ..........................................................................................................3 1.2. Tín hiệu rời rạc ....................................................................................................... 5 1.2.1. Biểu diễn tín hiệu rời rạc...............................................................................................................5 1.2.2. Một số dãy rời rạc cơ bản .............................................................................................................7 1.2.3. Một số định nghĩa ........................................................................................................................12 1.3. Các hệ thống tuyến tính bất biến ........................................................................ 18 1.3.1. Các hệ thống tuyến tính ..............................................................................................................18 1.3.2. Các hệ thống tuyến tính bất biến ...............................................................................................20 1.3.3. Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả ...............................................................................28 1.3.4. Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định ......................................................................................31 1.4. Phƣơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng .................................................... 32 1.4.1. Khái niệm ......................................................................................................................................32 1.4.2. Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng .........................................33 1.5. Sơ đồ thực hiện hệ thống ...................................................................................... 38 1.5.1. Các phần tử thực hiện hệ thống.................................................................................................38 1.5.2. Sơ đồ thực hiện hệ thống đệ quy và không đệ quy...............................................................39 1.6. Tƣơng quan các các tín hiệu ................................................................................ 46 BÀI TẬP CHƢƠNG 1 ................................................................................................. 50 CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠCTRONG MIỀN Z... 56 2.1. Biến đổi Z ............................................................................................................... 56 2.2.1. Biến đổi Z hai phía và một phía.................................................................................................56 2.2.2 Sự tồn tại của biến đổi Z ..............................................................................................................63 2.2. Biến đổi Z ngƣợc ................................................................................................... 68 2.2.1. Định nghĩa biến đổi Z ngược .....................................................................................................68 2.2.2. Các phương pháp biến đổi Z ngược .........................................................................................69 2.3. Các tính chất của biến đổi Z ................................................................................ 79 2.3.1. Tính chất tuyến tính .....................................................................................................................79 2.3.2. Tính chất trễ ..................................................................................................................................80 2.3.3. Nhân với dãy hàm mũ an............................................................................................................80 2.3.4. Đạo hàm của biến đổi Z..............................................................................................................82 ii
2.3.5. Tích chập của hai dãy..................................................................................................................82 2.3.6. Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả ........................................................................................83 2.3.7. Tích của hai dãy ...........................................................................................................................84 2.3.8. Tương quan của hai tín hiệu.......................................................................................................84 2.4. Ứng dụng biến đổi Z trong xử lý tín hiệu và hệ thống rời rạc ......................... 85 2.4.1. Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc ........................................................................................85 2.4.2. Phân tích hệ thống trong miền Z ...............................................................................................87 2.4.3. Độ ổn định của hệ thống.............................................................................................................93 2.4.4. Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng dùng biến đổi Z ....................................98 BÀI TẬP CHƢƠNG 2 ............................................................................................... 104 CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ....................................................................................................................................................... 110 3.1. Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc ................................................................ 110 3.1.1. Định nghĩa biến đổi Fourier .................................................................................................... 110 3.1.2. Sự tồn tại của biến đổi Fourier................................................................................................ 116 3.1.3. Biến đổi Fourier ngược............................................................................................................ 117 3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier ...................................................................118 3.2.1. Tính chất tuyến tính .................................................................................................................. 118 3.2.2. Tính chất trễ ............................................................................................................................... 119 3.2.3. Tính chất đối xứng.................................................................................................................... 120 3.2.4. Tính chất biến đảo..................................................................................................................... 123 3.2.5. Biến đổi Fourier của tích chập hai dãy.................................................................................. 124 3.2.6. Biến đổi Fourier của tích hai dãy ........................................................................................... 124 3.2.7. Vi phân trong miền tần số ....................................................................................................... 124 3.2.8. Trễ tần số .................................................................................................................................... 125 3.2.9. Công thức Parseval................................................................................................................... 126 3.2.10. Phổ tần số của hàm tương quan và hàm tự tương quan .................................................. 127 3.3. So sánh biến đổi Fourier với biến đổi Z .......................................................... 128 3.4. Biểu diễn hệ thống rời rạc dùng biến đổi Fourier ..........................................129 3.5. Biến đổi Fourier rời rạc .....................................................................................132 3.5.1 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N. ............................... 133 3.5.1.1. Các định nghĩa ............................................................................................................... 133 3.5.1.2. Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy tuần hoàn có chu kỳ N.138 3.5.2. Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn...... 146 3.5.2.1. Các định nghĩa ................................................................................................................ 146 3.5.2.2. Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy có chiều dài hữu hạn 149 BÀI TẬP CHƢƠNG 3 ............................................................................................... 155 iii
CHƯƠNG 4. TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CHIỀU DÀI HỮU HẠN (FIR) ....................................................................................................................................... 162 4.1. Tổng quan về các bộ lọc số.................................................................................162 4.1.1. Khái niệm ................................................................................................................................... 162 4.1.2. Bộ lọc số lý tưởng ..................................................................................................................... 162 4.1.3. Bộ lọc số thực tế ........................................................................................................................ 173 4.2. Đặc tính xung của bộ lọc số FIR pha tuyến tính............................................174 4.3. Đặc tính tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính ..........................................180 4.3.1. Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 .......................................................... 180 4.3.2. Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 . ........................................................ 182 4.3.3. Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 .......................................................... 184 4.3.4. Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 .......................................................... 185 4.4. Tổng hợp bộ lọc số FIR bằng phƣơng pháp cửa sổ .........................................187 4.4.1. Giới thiệu .................................................................................................................................... 187 4.4.2. Các bước tổng hợp bộ lọc số theo phương pháp cửa sổ .................................................... 187 4.4.3. Một số cửa sổ thường dùng tổng hợp bộ lọc số FIR .......................................................... 188 BÀI TẬP CHƢƠNG 4 ............................................................................................... 201 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI............................................................................................. 205 Đáp án chƣơng 1 ........................................................................................................205 Đáp án chƣơng 2 ........................................................................................................216 Đáp án chƣơng 3 ........................................................................................................226 Đáp án chƣơng 4 ........................................................................................................242 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................................IV iv
CHƯƠNG 1: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 1.1. Tín hiệu và các hệ thống xử lý tín hiệu Chương này đề cập đến các vấn đề biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian rời rạc n. Đây là miền biểu diễn tín hiệu sau khi đã lấy mẫu tín hiệu. Để hiểu được kiến thức của chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số nội dung chính sau. 1.1.1. Các định nghĩa a. Định nghĩa tín hiệu Tín hiệu (signal) là biểu diễn vật lý của thông tin. Có nhiều loại tín hiệu khác nhau, ví dụ như các tín hiệu âm thanh, ánh sáng, sóng âm, sóng điện từ, tín hiệu điện ..... Mỗi lĩnh vực kỹ thuật thường sử dụng một số loại tín hiệu nhất định. Trong các lĩnh vực có ứng dụng kỹ thuật điện tử, người ta thường sử dụng tín hiệu điện và sóng điện từ, với đại lượng mang tin tức có thể là điện áp, dòng điện, tần số hoặc góc pha. Mỗi loại tín hiệu khác nhau có những tham số đặc trưng riêng, tuy nhiên tất cả các loại tín hiệu đều có các tham số cơ bản là độ lớn (giá trị), năng lượng và công suất. Chính các tham số đó nói lên bản chất vật chất của tín hiệu. Tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm của biến thời gian x(t), hoặc hàm của biến tần số X(f) hay X(). Về mặt toán học, ta có thể mô tả tín hiệu như là một hàm theo biến thời gian x(t), hàm của biến tần số X(f) hay X() hoặc hàm của nhiều biến số độc lập khác. Ví dụ hàm: x(t )  20t 2 mô tả tín hiệu biến thiên theo biến thời gian t. Hay một ví dụ khác, hàm: s( x, y)  3x  5xy  y 2 mô tả tín hiệu là hàm theo hai biến độc lập x và y, trong đó x và y biểu diễn cho hai tọa độ không gian trong mặt phẳng. b. Phân loại tín hiệu Các phương pháp ta sử dụng trong xử lý tín hiệu phụ thuộc chặt chẽ vào đặc điểm của tín hiệu. Có những phương pháp riêng áp dụng cho một số loại tín hiệu nào đó. Do vậy, trước tiên cần xem cách phân loại tín hiệu liên quan đến những ứng dụng cụ thể. Chúng ta chia tín hiệu ra làm 2 nhóm lớn: tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc. Định nghĩa tín hiệu liên tục: Nếu biến độc lập của biểu diễn toán học của một tín hiệu là liên tục thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu liên tục. Nhận xét: Theo định nghĩa tín hiệu liên tục thì từ liên tục ở đây được hiểu là liên tục theo biến số. 1
ia  x, y  ia  x0 , y0  y0 y 0 x0 x Hình 1.1. Tín hiệu liên tục Nếu dựa vào hàm số (hay biên độ) ta có thể phân loại tín hiệu liên tục thành hai loại: - Tín hiệu tương tự - Tín hiệu lượng tử hoá. Định nghĩa tín hiệu tƣơng tự: Nếu biên độ của tín hiệu liên tục là liên tục thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu tương tự. Nhận xét: Tín hiệu tương tự liên tục theo cả biến và hàm. xa  t  0 t Hình 1.2. Tín hiệu tương tự Định nghĩa tín hiệu lƣợng tử hoá: Nếu biên độ của tín hiệu liên tục là rời rạc thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu lượng tử hoá. Nhận xét: Tín hiệu lượng tử hoá liên tục theo biến và rời rạc theo hàm. xq  t  8q 7q q:mức lượng tử hóa 6q 5q 4q 3q 2q q 0 t Hình 1.3. Tín hiệu lượng tử hóa Định nghĩa tín hiệu rời rạc: Nếu biến độc lập của biểu diễn toán học của một tín hiệu là rời rạc thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu rời rạc. 2
Nhận xét: Theo định nghĩa tín hiệu rời rạc thì từ rời rạc ở đây được hiểu là rời rạc theo biến số. Nếu dựa vào hàm số (hay biên độ) ta có thể phân loại tín hiệu rời rạc ra làm hai loại: - Tín hiệu lấy mẫu - Tín hiệu số. Định nghĩa tín hiệu lấy mẫu: Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là liên tục và không bị lượng tử hoá thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu lấy mẫu. Nhận xét: Tín hiệu lấy mẫu rời rạc theo biến, liên tục theo hàm. xs  nTs  Ts : Thêi gian lÊy mÉu 0 Ts 2 Ts 3Ts 4 Ts 5Ts 6 Ts nTs Hình 1.4. Tín hiệu lấy mẫu Định nghĩa tín hiệu số: Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu số. Nhận xét: Tín hiệu số rời rạc theo cả biến và theo cả hàm. x d  nTs  8q 7q 6q 5q 4q 3q 2q q 0 Ts 2 Ts 3Ts 4 Ts 5Ts 6 Ts nTs Hình 1.5. Tín hiệu số Chú ý: Việc phân loại tín hiệu sẽ là cơ sở để phân loại hệ thống xử lý, chẳng hạn như ta có hệ thống rời rạc hay hệ thống tương tự được phân loại tương ứng với loại tín hiệu mà hệ thống đó xử lý là tín hiệu rời rạc hay tín hiệu tương tự. 1.1.2. Các hệ thống xử lý tín hiệu Trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, ta thường làm việc với các tín hiệu tương tự. Có thể xử lý trực tiếp các tín hiệu đó bằng một hệ thống tương tự thích hợp, như minh họa trên hình 1.6, tín hiệu đầu ra cũng là tương tự. 3
Vào Ra Tín hiệu tương tự Tín hiệu tương tự xa t ya  t Hệ thống tương tự Hình 1.6. Xử lý tín hiệu tương tự Xử lý số là một phương pháp khác để xử lý tín hiệu tương tự. Tín hiệu tương tự phải được chuyển đổi thành dạng số nhờ một bộ biến đổi tương tự/ số (ADC) trước khi xử lý. Tuy nhiên, quá trình chuyển đổi tương tự/ số này cho ra một tín hiệu số không phải là biểu diễn chính xác cho tín hiệu tương tự ban đầu. Khi tín hiệu tương tự được chuyển thành tín hiệu số gần đúng nhất, quá trình xử lý sẽ được thực hiện bằng một bộ xử lý tín hiệu số DSP (Digital Signal Processor), tạo ra một tín hiệu số mới. Trong hầu hết các ứng dụng, tín hiệu số cần được chuyển đổi ngược lại thành tín hiệu tương tự nhờ một bộ biến đổi ngược số/ tương tự/ (DAC) ở cuối quá trình xử lý. Hình 1.7 là sơ đồ khối một hệ thống xử lý tín hiệu bằng phương pháp số. Bộ xử lý tín hiệu số DSP có thể là một mạch logic, một máy tính số hoặc là một bộ vi xử lý lập trình được. Vào Ra ADC DSP DAC T.h tương tự T.h số T.h số T.h tương tự xa  t xd  t yd  t ya  t Hệ thống số Hình 1.7. Xử lý tín hiệu số Ƣu điểm của xử lý số so với xử lý tƣơng tự Có nhiều nguyên nhân khác nhau khiến cho xử lý số được ưa chuộng hơn là xử lý trực tiếp tín hiệu tương tự. Trước tiên, hệ thống số có thể lập trình được, tạo ta tính mềm dẻo trong việc cấu hình lại các hoạt động xử lý bằng cách đơn giản là thay đổi chương trình, trong khi đó để cấu hình lại hệ tương tự, ta phải thiết kế lại phần cứng, rồi kiểm tra và thẩm định xem các hoạt động đó có đúng không. Độ chính xác cũng đóng một vai trò qua trọng trong việc lựa chọn bộ xử lý tín hiệu. Độ sai lệch của các linh kiện tương tự khiến cho các nhà thiết kế hệ thống vô cùng khó khăn trong việc điều khiển độ chính xác của hệ thống tương tự. Trong khi đó, việc điều khiển độ chính xác của hệ thống số lại rất dễ dàng, chỉ cần ta xác định rõ yêu cầu về độ chính xác rồi quyết định lựa chọn các bộ chuyển đổi ADC và DSP có độ dài từ thích hợp, có kiểu định dạng dấu phẩy tĩnh hay dấu phẩy động. 4
Tín hiệu số dễ dàng lưu trữ trên các thiết bị băng đĩa từ mà không bị mất mát hay giảm chất lượng. Như vậy tín hiệu số có thể truyền đi xa và có thể được xử lý từ xa. Phương pháp xử lý số cũng cho phép thực hiện các thuật toán xử lý tín hiệu tinh vi phức tạp hơn nhiều so với xử lý tương tự, nhờ việc xử lý được thực hiện bằng phần mềm trên các máy tính số. Trong một vài trường hợp, xử lý số rẻ hơn xử lý tương tự. Giá thành thấp hơn là do các phần cứng số rẻ hơn, hoặc là do tính mềm dẻo trong xử lý số. Tuy nhiên, xử lý số cũng có một vài hạn chế. Trước tiên là sự hạn chế về tốc độ hoạt động của các bộ chuyển đổi ADC và bộ xử lý số DSP. Sau này ta sẽ thấy những tín hiệu băng thông cực lớn yêu cầu tốc độ lấy mẫu của bộ ADC cực nhanh và tốc độ xử lý của DSP cũng phải cực nhanh. Vì vậy, phương pháp xử lý số chưa áp dụng được cho các tín hiệu tương tự băng thông lớn. Nhờ sự phát triển nhanh chóng của công nghệ máy tính và công nghệ sản xuất vi mạch mà lĩnh vực xử lý tín hiệu số (DSP) phát triển rất mạnh trong vài thập niên gần đây. Ứng dụng của DSP ngày càng nhiều trong khoa học và công nghệ. DSP đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển của các lĩnh vực như viễn thông, đa phương tiện, y học, xử lý ảnh và tương tác người - máy... Tóm lại, DSP là một lĩnh vực dựa trên nguyên lý của toán học, vật lý và khoa học máy tính và có những ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực xử lý tín hiệu số là các hệ xử lý số, cũng như tín hiệu số và các dãy số liệu. 1.2. Tín hiệu rời rạc 1.2.1. Biểu diễn tín hiệu rời rạc Trong phần trên chúng ta đã định nghĩa tín hiệu rời rạc gồm 2 loại là tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số, với kí hiệu như sau: xs  nTs  : tín hiệu lấy mẫu xd  nTs  : tín hiệu số Ta thống nhất ký hiệu chung của tín hiệu rời rạc là x (nTs ) . Như vậy ở đây nTs là biến độc lập, n là số nguyên, Ts là chu kỳ lấy mẫu. Để tiện cho cách biểu diễn tín hiệu rời rạc chúng ta sẽ chuẩn hóa biến số độc lập nTs bởi chu kỳ lấy mẫu Ts như sau: nTs n Ts Như vậy sau khi chuẩn hoá ta có: chuÈn hãa x(nTs )  bëi T  x ( n) s 5
Chú ý: Nếu trong miền biến số chúng ta chuẩn hóa bởi chu kỳ lấy mẫu Ts thì 1 trong miền tần số chúng ta phải chuẩn hóa bởi tần số lấy mẫu Fs với Fs  Ts a. Biểu diễn toán học Một tín hiệu rời rạc được biểu diễn bởi một dãy các giá trị thực hoặc phức. Nếu tín hiệu được hình thành bởi các giá trị thực thì được gọi là tín hiệu thực. Còn nếu tín hiệu được hình thành bởi các giá trị phức thì được gọi là tín hiệu phức. Cách biểu diễn toán học của tín hiệu rời rạc x(n) như sau : biÓu thøc to¸n N1  n  N2 x ( n)   0 n cßn l¹i Ví dụ 1: Cho ví dụ về biểu diễn toán học của một tín hiệu rời rạc. Giải: Ví dụ về biểu diễn toán học của một tín hiệu rời rạc:  n 1  0n4 x ( n)   4  0 n cßn l¹i 3 1 Ở đây ta thấy: x(0) = 1; x(1) = ; x(3) = ; x(4) = 0. 4 4 b. Biểu diễn đồ thị Cách biểu diễn đồ thị minh họa một cách trực quan cho tín hiệu rời rạc. Ví dụ 2: Hãy biểu diễn đồ thị cho tín hiệu rời rạc trong ví dụ 1. Giải: Đồ thị của ví dụ 1 cho trên hình 1.8. x n ` 3 1 1 4 2 1 4 -2 -1 0 1 2 3 4 n Hình 1.8 Biểu diễn tín hiệu bằng đồ thị c. Biểu diễn bằng dãy số Trong cách biểu diễn tín hiệu bằng dãy số, chúng ta liệt kê các giá trị của x(n) thành một dãy số như sau: 6
   x (n)  ..., x(n  1), x(n), x(n  1),...     Chú ý: Để chỉ ra giá trị của x (n) tại thời điểm gốc ta dùng ký hiệu x (n) . Do cách biểu diễn này, ta còn gọi tín hiệu rời rạc là dãy x (n) . Chú ý: Tín hiệu rời rạc x(n) được định nghĩa chỉ với giá trị n nguyên, x(n) không được coi như bằng 0 đối với các giá trị n không nguyên, x(n) không được định nghĩa với các giá trị không nguyên này. Ví dụ 3: Hãy biểu diễn tín hiệu bằng dãy số trong ví dụ 1 và 2. Giải: Tín hiệu trong ví dụ 1 và 2 được biểu diễn bằng dãy số như sau:  3 1 1 x (n)  1, , ,   4 2 4 1.2.2. Một số dãy rời rạc cơ bản a. Dãy xung đơn vị Trong miền n, dãy xung đơn vị được định nghĩa như sau: 1 n0  ( n)   (1.1) 0 n cßn l¹i Đồ thị của  (n) cho trên hình 1.9.  n 1 -1 0 1 n Hình 1.9. Dãy xung đơn vị  (n) Ví dụ 1: Hãy biểu diễn toán học và đồ thị dãy   n  n0  với n0  0 . Giải: Biểu diễn toán học của dãy   n  n0  : 1 n  n0   n  n0    0 n  n0 7
Đồ thị của dãy   n  n0  cho trên hình 1.10.   n  n0  1 -1 0 1 2 ... n0 n Hình 1.10. Dãy   n  1 b. Dãy nhảy đơn vị Trong miền n, dãy nhảy đơn vị được định nghĩa như sau: 1 n0 u  n   (1.2) 0 n0 Đồ thị của u(n) cho trên hình 1.11. u n 1 -1 0 1 2 3 4 5 n Hình 1.11. Dãy nhảy đơn vị u(n). Ví dụ 2: Hãy biểu diễn toán học và đồ thị dãy u  n  n0  , với n0  0 . Giải: Biểu diễn toán học của dãy: 1 n  n0 u(n  n0 )   0 n  n0 Đồ thị của dãy u  n  n0  cho trên hình 1.12. u  n  n0  1 n0 -1 0 1 2 n Hình 1.12. Dãy nhảy u  n  n0  . 8
c. Dãy chữ nhật Trong miền n, dãy chữ nhật được định nghĩa như sau: 1 0  n  N 1 rectN (n)   (1.3) 0 n cßn l¹i Đồ thị của dãy chữ nhật rectN (n) cho trên hình 1.13. rect N  n  1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 N-2 N-1 N n Hình 1.13. Dãy chữ nhật rectN (n) . Ví dụ 3: Hãy biểu diễn toán học và đồ thị dãy rectN (n  n0 ) với n0  0 . Giải: Biểu diễn toán học của dãy: 1 n0  n  N  1  n0 rectN (n  n0 )   0 n cßn l¹i Đồ thị của dãy rectN (n  n0 ) cho trên hình 1.14 rect3  n  2  1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 N  1  n0 n Hình 1.14. Dãy chữ nhật rectN (n  n0 ) d. Dãy dốc đơn vị Trong miền n, dãy dốc đơn vị được định nghĩa như sau: n n0 r ( n)   (1.4) 0 n cßn l¹i Đồ thị của r(n) cho trên hình 1.15. 9
r n ` 3 2 1 -2 -1 0 1 2 3 4 n Hình 1.15. Dãy dốc đơn vị r(n) Ví dụ 4: Hãy biểu diễn toán học và đồ thị dãy r  n  n0  . Giải: Biểu diễn toán học của dãy: n  n0 n  n0 r(n  n0 )   0 n cßn l¹i Đồ thị của dãy r  n  n0  cho trên hình 1.16. r  n  n0  0 n0 n Hình 1.16. Dãy r  n  n0  . e. Dãy hàm mũ Trong miền n, dãy hàm mũ được định nghĩa như sau: a n n0 e(n)   (1.5) 0 n cßn l¹i Ở đây a là tham số. Dãy này tăng giảm phụ thuộc tham số a lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1, đồ thị được biểu diễn như trên hình 1.17. 10
en en ` 1 1 0 a 1 n 0 a 1 n Hình 1.17. Dãy hàm mũ e(n) Ví dụ 5: Hãy biểu diễn bằng đồ thị dãy hàm mũ e(n) với 0 ≤ a ≤ 1. Giải: Đồ thị của dãy hàm mũ e(n) với 0 ≤ a ≤ 1. en ` -2 -1 0 1 2 3 4 n Hình 1.18. Dãy hàm mũ e(n) f. Dãy sin Trong miền n, dãy sin được định nghĩa như sau: s(n) = sin(ω0n) (1.6) Đồ thị của s(n) cho trên hình 1.19 với ω0 = 2π/8  2  sin  n  8  4 8 n Hình 1.19. Dãy sin s(n) với ω0 = 2π/8 Ví dụ 6: Hãy biểu diễn bằng đồ thị dãy sau đây:  2  x (n)  2sin   n  1  10  Giải: Đồ thị của dãy x(n) cho trên hình 1.20. 11
x n  2sin    5    0 4 n  2 Hình 1.20. Đồ thị của tín hiệu x(n)  2sin   n  1  10  1.2.3. Một số định nghĩa a. Dãy tuần hoàn (dãy chu kỳ) Ta nói rằng một dãy x(n) là tuần hoàn với chu kỳ N nếu thỏa mãn điều kiện sau: x(n) = x (n + N)= x (n + lN) với l: số nguyên (1.7) Khi cần nhấn mạnh tính tuần hoàn, người ta ký hiệu dấu ~ phía trên. Ký hiệu: x% n  , x% n . N Ví dụ 1: n  n   1  với chu kỳ N = 4. Hãy biểu diễn đồ thị dãy tuần hoàn x% 4 Giải:  n  có N = 4 cho trên hình 1.21. Dãy x% x n ` N 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n Hình 1.21. Dãy tuần hoàn N =4 b. Dãy có chiều dài hữu hạn Một dãy được xác định với N mẫu hữu hạn thì ta gọi là dãy có chiều dài hữu hạn. Trong đó, N là chiều dài của dãy. Ta viết: L  x  n   0, N  1  N Với L là toán tử chiều dài. Ví dụ 2: Hãy vẽ một dãy có chiều dài hữu hạn N = 4. Giải: 12
Dãy x(n) có chiều dài: L[x(n)] = [0, 3] = 4 x n ` -2 -1 0 1 2 3 4 n Hình 1.22. Dãy có chiều dài hữu hạn N=4 c. Năng lƣợng của dãy Năng lượng của dãy x(n) được định nghĩa như sau:  Ex   2 x ( n) (1.8) n  Ví dụ 3: Hãy tính năng lượng của các dãy:  (n), u(n), rect N (n). Giải:  Ex    ( n) 1 2 Dãy có năng lượng hữu hạn n   Ex   rect ( n)  N 2 N Dãy có năng lượng hữu hạn n   Ex   u ( n)  2 Dãy có năng lượng vô hạn n  d. Công suất trung bình của dãy Công suất trung bình của dãy x(n) được định nghĩa như sau: N 1 Px  lim  2 x ( n) (1.9) N  2 N  1 n  N Nếu ta định nghĩa năng lượng của tín hiệu x(n) trong một khoảng hữu hạn N  n  N là: N EN   2 x ( n) (1.10) n  N thì có thể biễu diễn năng lượng tín hiệu như sau: Ex  lim EN (1.11) N  và công suất trung bình của tín hiệu x(n) là: 1 Px  lim EN (1.12) N  2 N  1 13
Như vậy, nếu Ex là hữu hạn thì Px  0 . Mặt khác, nếu Ex là vô hạn thì công suất trung bình Px có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Ví dụ 4: Hãy tính công suất trung bình của dãy u(n) và rectN(n). y  n   b0 x  n   b1x  n  1  b2 x  n  2  b4 x  n  4 Giải: 1 N 1 N N 1 1 Pu  lim    1  lim  2 2 u ( n ) lim N  2 N  1 N  2 N  1 N  2 N  1 2 n  N n0 1 N 1 2 ' N 1 N  lim    1  lim 0 2 PrectN rect ( n ) lim N  2 N  1 N  2 N  1 N  2 N  1 ' ' N ' ' ' ' n  N ' n 0 Nhận xét: Erect = N là hữu hạn, vì vậy Prect = 0. Dãy năng lƣợng Nếu năng lượng của dãy x(n) là hữu hạn (tức là 0  Ex   ) thì x(n) gọi là dãy năng lượng. Dãy công suất Nếu Px là hữu hạn (tức là 0  Px   ) thì x(n) gọi là dãy công suất. Từ các ví dụ trên ta thấy rằng rectN(n) là dãy năng lượng còn u(n) là dãy công suất. e. Tổng của 2 dãy Tổng của 2 dãy nhận được bằng cách cộng từng đôi một các giá trị mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập. Ví dụ 4: Cho hai dãy: x1  n   rect3  n  1 và x2  n   rect3  n  2  Hãy tính tổng của hai dãy x1  n  và x2  n  là dãy x3  n  : x3  n   x1  n   x2  n  Giải: Tổng của hai dãy x1  n  và x2  n  là dãy x3  n  được thể hiện trên hình 1.23. x1  n  1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n 14
x2  n  1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n x3  n  2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n Hình 1.23. x1  n  và x2  n  và dãy tổng x3  n  f. Tích của 2 dãy Tích của 2 dãy nhận được bằng cách nhân từng đôi một các giá trị mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập. Ví dụ 5: Cho hai dãy: x1  n   rect3  n  1 và x2  n   rect3  n  2  Hãy tính tích của hai dãy x1  n  và x2  n  là dãy x3  n  : x3  n   x1  n  x2  n  Giải: Tích của 2 dãy được thể hiện trên hình 1.24. x1  n  1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n x2  n  1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n 15
x3  n  1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n Hình 1.24. x1  n  và x2  n  và dãy tích x3  n  g. Tích của một dãy với hằng số Tích của một dãy với các hằng số nhận được bằng cách nhân tất cả các giá trị mẫu của dãy với hằng số đó. Ví dụ 6: Cho dãy x1  n   rect3  n  1 . Hãy tính: x2 (n)   x1 (n) víi  =2 Giải: Tích của dãy số với hằng số 2 được thể hiện trên hình 1.25. x1  n  1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n x2  n  2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n Hình 1.25. Tích của dãy với hằng số 2 h. Trễ (dịch) Ta nói rằng dãy x2(n) là dãy dịch trễ của dãy x1(n) đi n0 giá trị nếu có quan hệ sau đây: x2 (n)  x1 (n  n0 ) với mọi n, n0 là số nguyên Ví dụ 7: Cho tín hiệu x(n) được mô tả như sau: 3 1 1 x ( n )   ( n)    n     n  2     n  3  4 2 4 Hãy biểu diễn đồ thị tín hiệu x(n). 16