Bài tập đại số sơ cấp - Chương 4

Chia sẻ: Nguyễn Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

356
lượt xem 121
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập đại số sơ cấp - chương 4', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập đại số sơ cấp - Chương 4

2cos 2 x + 3mcosx +1 ≥ 0. Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; π ]. III.28. Cho bất phương trình 1 1 x2 + + (2m + 3)( x + ) + 2(m + 2) > 0. 2 x x Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀x ≠ 0. III.29. Cho bất phương trình x 3 − (2m + 1) x 2 + 3(m + 4) x − m − 12 > 0. Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀x > 1. III.30. Cho bất phương trình ( x − 1)( x + 1)( x + 3)( x + 5) > m. Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀x > −1. III.31. Cho bất phương trình x( x − 2)( x + 2)( x + 4) < 2m. Tìm các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm x > 0. III.32. Chứng minh rằng phương trình 4 x ( 4 x 2 + 1) = 1 có đúng ba nghiệm phân biệt. CHƯƠNG IV. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT I. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 1. Định nghĩa và các định lý 1.1. Định nghĩa Ta gọ i phương trình vô tỉ, mọ i phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn hay nói khác đi đó là phương trình dạng f ( x ) = 0, trong đó f ( x ) là một hàm số có chứa căn thức của biến số. 1.2. Các định lý. (Các định lý sau làm cơ sở cho việc giải phương trình vô tỉ). 2 k +1 = [ g ( x)]2k +1 1.2.1. Định lý. f ( x) = g ( x ) ⇔ [ f ( x)] f ( x) = g ( x ) ⇔ f ( x) = [ g ( x )]2 k +1 1.2.2. Định lý. 2 k +1 1.2.3. Định lý. f ( x) = 2 k +1 g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x) 2 k +1  g ( x) ≥ 0 1.2.4. Định lý. f ( x ) = g ( x) ⇔  2k 2k  f ( x) = [ g ( x)] 43
 f ( x ) ≥ 0 ∨ g ( x) ≥ 0 1.2.5. Định lý. f ( x) = 2k g ( x) ⇔  2k  f ( x) = g ( x) (Với k là số tự nhiên khác 0). 2. Các phương pháp giải phương trình vô tỉ 2.1. Phương pháp nâng lên lũy thừa 2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ 2.3. Phương pháp lượng giác hóa Trong một số trường hợp, nếu chúng ta đặt ẩn phụ bởi các hàm số lượng giác, thì việc giải quyết bài toán trở nên dễ dàng hơn. Kiến thức cần nhớ như sau. + Nếu trong phương trình, điều kiện của ẩn x là − k ≤ x ≤ k , k > 0 hay phương trình có chứa ππ k 2 − x 2 thì đặt x = k sin t , t ∈ [− ; ]; hoặc đặt x = k cos t , t ∈ [0; π]. 22 + Nếu trong phương trình, điều kiện của ẩn x là x ≥ k , k > 0 hay phương trình có chứa 3π π π π k k x 2 − k 2 thì đặt x = ; t ∈ [0; ) ∪ [π; ); hoặc đặt x = , t ∈ [− ; 0) ∪ (0; ]. cos t 2 2 sin t 2 2 x2 + k 2 + Nếu trong phương trình, ẩn x nhận mọi giá trị thuộc ℝ hay phương trình có chứa  π π thì đặt x = k tan t , t ∈  − ;  .  2 2 Ngoài ra, tùy từng trường hợp, cũng có thể đặt x = cos 2 t; x = sin 2 t ,... 2.4. Một số phương pháp khác II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 1. Định nghĩa và các định lý 1.1. Định nghĩa Bất phương trình vô tỉ là một bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức. Nói khác đi đó là một bất phương trình có dạng f ( x ) > 0, (hoặc f ( x) < 0, f ( x ) ≥ 0, f ( x) ≤ 0 ), trong đó f ( x ) là hàm số có chứa căn thức của biến số. 1.2. Các định lý f ( x) ≥ g ( x ) ⇔ f ( x ) ≥ g 2 k +1 ( x) . 1.2.1. Định lý. 2 k +1 f ( x) ≤ g ( x ) ⇔ f ( x ) ≤ g 2 k +1 ( x) . 1.2.2. Định lý. 2 k +1   g ( x) ≤ 0   f ( x) ≥ 0 f ( x) ≥ g ( x ) ⇔  1.2.3. Định lý. 2k   g ( x) ≥ 0    f ( x) ≥ g 2 k ( x)  44
 f ( x) ≥ 0  1.2.4. Định lý. f ( x ) ≤ g ( x) ⇔  g ( x) ≥ 0 2k  f ( x) ≤ [ g ( x )]2 k  2. Các phương pháp giải bất phương trình vô tỉ 2.1. Phương pháp nâng lũy thừa 2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ 2.3. Một số phương pháp khác B. BÀI TẬP IV.1. Giải các phương trình 1) (16 − x 2 ) 3 − x = 0; 2) (9 − x 2 ) 2 − x = 0; 4 + 2 x − x 2 = x − 2; 3) 4) 1 + 4 x − x 2 = x − 1; 5) 2x +1 + x − 3 = 2 x; 6) x + 1 + 4 x + 13 = 3 x + 12; 7) ( x + 3) 10 − x 2 = x 2 − x − 12; 8) x + 4 − 1 − x = 1 − 2x. IV.2. Giải các phương trình 1) 3 x 2 + 15 x + 2 x 2 + 5 x + 1 = 2; x 2 − 3x + 3 + x 2 − 3x + 6 = 3; 2) 3) x + 2 + 5 − x + ( x + 2)(5 − x) = 4; x + 4 + x − 4 = 2 x − 12 + 2 x 2 − 16; 4) 2 x − x2 = x + 1 − x ; 5) 1 + 3 6) 1 + 1 + x x 2 − 24 = x; 7) x + x + 11 + x − x + 11 = 4; 8) x 3 35 − x3 ( x + 3 35 − x 3 ) = 30; 9) x 3 + 2 = 3 3 3 x − 2; 45
10) 2 3 (1 + x) 2 + 3 3 1 − x 2 + 3 (1 − x )2 = 0; 11) 2 x + 6 3 1 − x + 2 = 0; 12) 3 x + 1 = 3 x 2 − 8 x + 3; x + 3 x + 1 = x 2 + x + 1. 13) IV.3. Giải các phương trình 1) x x 2 + 15 − x 4 x 2 + 15 = 2; 4 2− x + = 2; 2) 2− x +3 6 9 − 5x = 3 − x + ; 3) 3− x 4 1 3 4) =; − x + x2 + x x − x2 + x x x 2 + 2 x + 1 + x 2 − 2 x + 1 = 2; 5) 6) (2 x 2 + 6 x + 10) x 2 + 3 x − 11x 2 − 33 x + 8 = 0. 2 x 2 + 4 x − 3 x + 2 − 2 x + 3 2 x = 0; 7) 8) 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0; ( ) 4 x + 1 = 32 4 x − 4 x + 1 x; 9) 3 10) 2 − x = 1 − x − 1; 3 11) 9 − x = 2 − x − 1; 12) 2 3 1 − x 2 + 4 − x 2 = 4. IV.4. Giải các phương trình x+3 1) x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = ; 2 2) 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4; 2( x 2 − 2 x + 4) = 2 x + 2 + 3 x 2 − 2 x + 4; 3) x+2 4) 2( x 2 − 3x + 2) = 3 x3 + 8; 5) x 3 + (1 − x 2 )3 = x 2(1 − x 2 ) ; 46
6) 1 + 1 − x 2  (1 − x ) −  = 2 + 1 − x2 ; 3 3 (1 + x )     7) 1 − x − 2 x 1 − x 2 − 2 x 2 + 1 = 0; x 2 + 1 ( x 2 + 1)2 x2 + 1 + 8) ; = 2 x (1 − x 2 ) 2x 2 ( 2 x − 1) 9) 2x +1 + 3 − 2x = . 2 IV.5. Giải các bất phương trình 1) ( x − 1) x 2 − x − 2 ≥ 0; 2) ( x 2 − 1) x 2 − x − 2 ≥ 0; 2 x − x 2 < 5 − x; 3) x 2 − 3x + 2 − x − 3 > 0; 4) 5) x + 3 + x + 2 − 2 x + 4 > 0; 3x 2 + 5 x + 7 − 3 x 2 + 5 x + 2 > 1; 6) 7) x + x + 9 ≥ x + 1 + x + 4; 8) 5 x − 1 − x − 1 > 2 x − 4; x 2 + 3 x + 2 + x 2 + 6 x + 5 ≤ 2 x 2 + 9 x + 7; 9) x 2 + x − 2 + x 2 + 2 x − 3 ≤ x 2 + 4 x − 5; 10) 1 − 1 − 4 x2 11) < 3. x IV.6. Giải các bất phương trình 1) 2 x 2 − 4 x + 3 ≥ − x 2 + 4 x − 5; 5 1 2) 5 x + ≤ 2x + + 4; 2x 2x ( x − 1)( x + 3) > 4 − 2 x; 3) x −1 + x + 3 + 2 4) x 3 + x 2 + 3 x x + 1 + 2 > 0; 7 x + 7 + 7 x − 6 + 2 49 x 2 + 7 x − 42 < 181 − 14 x; 5) 6) 2( x − 2)2 + 2 x ≤ x − 2 + x ; 47
2( x + 2)2 + 2(2 x − 1) > x + 2 + 2 x − 1; 7) 8) x 2 + 4 x ≥ ( x + 4) x 2 − 2 x + 4; 9) x 2 − 1 ≤ 2 x x 2 + 2 x ; 10) ( x − 1) 2 x − 1 ≤ 3( x − 1); ( ) 11) ( x 2 − 1) x 2 − 1 − 1 + x 2 − 1 − 6 > 0; 12) x 2 x − 1 ≤ 5 − 4 x; x3 − 2 x 2 + x < x x + x 2 − 2 x . 13) IV.7. Giải các bất phương trình 16 2 1) 41 − ≥ + 3; xx 2) x 2 ≥ x (2 + 12 − 2 x − x 2 ); x 4 − x2 + 3) ≥ 0; x x 2 − 13x + 40 4) ≤ 0; 19 x − x 2 − 78 5) x − 1 − x < 0; 2( x 2 − 16) 7 6) + x −3 > ; x−3 x−3 x 2 + 4 x + 4 x + 4 − 2 x − 8 x > 0; 7) 1 3x 8) +1 > ; 2 1− x 1 − x2 x > 1 + 3 x − 1; 9) 2x 10) x + > 3 5. x2 − 4 IV.8. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt x −5−2 x −6 + x − 4 x −6 − 2 = m . IV.9. Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm 1) x + 4 − x 2 + x 4 − x 2 = m; 48
1 4 1 + 4 x = 4( + 2 x ) + m. 2) + 2 x x x IV.10. Cho phương trình 5 x 2 + ( m 2 − ) x 2 + 4 + 2 − m3 = 0. 3 Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọ i m > 0. IV.11. Cho phương trình x + 1 + x + 4 + x 2 + 5 x + 4 + x + 2m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm không âm. IV.12. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( 5 + x )( 7 − x ) = 2m + 1. 5+ x + 7− x + m IV.13. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x2 − 1 . IV.14. Tìm các giá trị của m để bất phương trình m( x 2 − 2 x + 2 + 1) ≥ x 2 − 2 x + 6 + x 2 − 2 x + 2 có nghiệm thuộc đoạn [0; 2]. IV.15. Tìm các giá trị của m để phương trình x4 + 4 x + m + 4 x4 + 4 x + m = 6 có hai nghiệm. IV.16. Chứng minh rằng với mọ i m > −1, phương trình sau luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x 2 − 2 x − 3 = ( m + 1)( x − 3). IV.17. Cho phương trình ( x − 1)3 + mx = m + 1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có một nghiệm duy nhất với mọ i m. IV.18. Tìm các giá trị của m để bất phương trình (4 + x )(6 − x ) ≤ x 2 − 2 x + m nghiệm đúng với mọ i x ∈ [ −4; 6] . IV.19. Tìm các giá trị của m để bất phương trình 49
mx − x − 3 ≤ m + 1 có nghiệm. IV.20. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt x 2 + mx + 2 = 2 x + 1. IV.21. Cho bất phương trình ( x + 1)( x + 3) ≤ m x 2 + 4 x + 5 1) Giải bất phương trình khi m = −1; 2) Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọ i x ∈ [ −2; −2 + 3]. IV.22. Cho bất phương trình (3 + x )(7 − x ) ≤ x 2 − 4 x + m. Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọ i x ∈ [−3; 7]. IV.23. Cho bất phương trình 4 x − 2 + 16 − 4 x ≤ m. Tìm các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm. IV.24. Cho bất phương trình 1 − x 2 ≥ m − x. Tìm các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm. IV.25. Cho bất phương trình 12 − 3 x 2 ≤ x − m. Tìm các giá trị của m để bất phương trình có một nghiệm duy nhất. IV.26. Cho bất phương trình m 2 x 2 + 7 < x + m. 1 1) Giải bất phương trình khi m = ; 2 2) Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọ i x ∈ ℝ. IV.27. Cho bất phương trình x 2 − 2mx > 1 − x. 1 Tìm các giá trị của m để tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho chứa đoạn [ ;1]. 4 ( ) x − 2 + 2 4 x2 − 4 − x + 2 = 2 4 x2 − 4 IV.28. Tìm các giá trị của m để phương trình m 50
có nghiệm thực. 3 ( ) IV.29. Tìm các giá trị của m để bất phương trình x 3 + 3x 2 − 1 ≤ m x − x −1 có nghiệm. IV.30. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt 4 2 x + 2 x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m. IV.31. Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm x < −1 x 2 + mx − 1 > ( x + m ) x 2 − 1. IV.32. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm x 2 + mx − 4 = ( x + m ) x 2 − 4. CHƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT I. NHẮC LẠI LOGARIT 1. Định nghĩa. Cho a là một số dương khác 1 và b là một số dương. Số thực α sao cho a α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log a b tức là α = log a b ⇔ a α = b. Chú ý. · Khi viết log a b thì phải hiểu là a > 0, a ≠ 1; b > 0. · Trường hợp cơ số a = 10 thì logarit cơ số 10 của số dương b ta viết là lg b và đọc là logarit thập phân của b. · Với a = e thì logarit cơ số e của số dương b ta viết là ln b và đọc là logarit tự nhiên của 1 b, hay logarit Nêpe của b. (Số e là giới hạn lim (1 + ) x xấp xỉ bằng 2, 718281828...). x x →+∞ Từ định nghĩa ta có một số kết quả sau. · log a 1 = 0 , log a a = 1; · log a a b = b · a loga b = b 2. Các tính chất của logarit 2.1. Định lý. i ) log a (bc) = log a b + log a c;1 ≠ a > 0; b, c > 0 b ii ) log a   = log a b − log a c;1 ≠ a > 0; b, c > 0 c 51