Bài tập đại số sơ cấp - Chương 6

Chia sẻ: Nguyễn Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

261
lượt xem 91
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập đại số sơ cấp - chương 6', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập đại số sơ cấp - Chương 6

4 x.4 y = 8.2 xy   2 2 3 + log 2 x + log 2 y = log 2 ( x + y + m).  V.21. Cho hệ phương trình  x + 2 lg y = 3m   2  x − 3lg y = 1  1) Giải hệ phương trình với m = 1; 2) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ); x ≥ 1. V.22. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất lg 2 x + lg 2 y = 1  x lg = m. y V.23. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất 22 x + 32 y = 1  x 2 + 3 = m. y  Tìm nghiệm đó. V.24. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm  22 x + 4 2 y = 2  x x+2 y 2 + 4 − 2 = 1 − m. y  V.25. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có ba nghiệm phân biệt 22 x + 22 y = 16   2x ( ) 2y x + y =1 = 2m2 . 2 + 2 + m 2 + 2 + 2 x y  V.26. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất log 3 x + log 2 y 2 = 4m 2  2  2 log 3 x + 2 log 2 y = 10  CHƯƠNG VI. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT I. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Ta quy ước các biểu thức trong các công thức sau đều có nghĩa. 1. Công thức cộng 1) cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b 64
2) cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b 3) sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b 4)sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b tan a + tan b 5) tan(a + b) = 1 − tan a tan b tan a − tan b 6) tan(a − b) = . 1 + tan a tan b 2. Công thức nhân 2.1. Công thức nhân đôi 1) cos 2a = cos 2 a − sin 2 a 2)sin 2a = 2sin a cos a 2 tan a 3) tan 2a = . 1 − tan 2 a 2.1.1. Công thức hạ bậc 1 + cos 2a 1) cos 2 a = 2 1 − cos 2a 2)sin 2 a = . 2 2.1.2. Công thức tính theo cos 2a 1 1) cos 2 a = (1 + cos 2a) 2 1 2) sin 2 a = (1 − cos 2a ) 2 1 − cos 2a 3) tan 2 a = . 1 + cos 2a a 2.1.3. Công thức tính theo tan =t 2 1− t2 1) cos a = 1+ t2 2t 2)sin a = 1+ t2 2t 3) tan a = . 1− t2 2.2. Công thức nhân ba 1) cos 3a = 4 cos 3 a − 3cos a 2)sin 3a = 3sin a − 4 sin 3 a 65
3 tan a − tan 3 a 3) tan 3a = . 1 − 3 tan 2 a 3. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 1) cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] 2 1 2)sin a sin b = − [cos(a + b) − cos(a − b)] 2 1 3) sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)]. 2 4. Công thức biến đổi tổng thành tích a +b a −b 1) cos a + cos b = 2 cos cos 2 2 a+b a −b 2) cos a − cos b = −2 sin sin 2 2 a +b a −b 3) sin a + sin b = 2 sin cos 2 2 a+b a−b 4)sin a − sin b = 2 cos sin . 2 2 Một số công thức quen thuộc π 1) cos a + sin a = 2 cos(a − ) 4 π 2) cos a + sin a = 2 sin(a + ) 4 π 3) cos a − sin a = 2 cos(a + ) 4 π 4) cos a − sin a = − 2 sin(a − ) 4 5) cos 4 a + sin 4 a = 1 − 2sin 2 a cos 2 a 6) cos 6 a + sin 6 a = 1 − 3sin 2 a cos 2 a. II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sin x = a (1) · Nếu a > 1 thì phương trình (1) vô nghiệm. · Nếu a ≤ 1 thì phương trình (1) có nghiệm. Gọi α là số đo của góc sao cho sin α = a 66
 x = α + k 2π , ( k ∈ ℤ ). Ta có (1) ⇔ sin x = sin α ⇔   x = π − α + k 2π  (nếu α cho bằng radian).  x = α + k .3600 Hay (1) ⇔  ,(k ∈ ℤ).  x = 1800 − α + k .3600  (nếu α cho bằng độ). Các trường hợp đặc biệt π + k 2π, ( k ∈ ℤ ) . · sin x = 1 ⇔ x = 2 π + k 2π, ( k ∈ ℤ ) . · sin x = −1 ⇔ x = − 2 · sin x = 0 ⇔ x = k π, ( k ∈ ℤ ) . 2. Phương trình cos x = a (2) · Nếu a > 1 thì phương trình (2) vô nghiệm. · Nếu a ≤ 1 thì phương trình (2) có nghiệm. Gọi α là số đo góc sao cho cos α = a Ta có ( 2 ) ⇔ cos x = cos α  x = α + k 2π ,(k ∈ ℤ). ⇔  x = −α + k 2π  (nếu α cho bằng radian).  x = α + k .3600 Hay ( 2 ) ⇔  ,(k ∈ ℤ).  x = −α + k .3600  (nếu α cho bằng độ). Các trường hợp đặc biệt · cos x = 1 ⇔ x = k 2π, ( k ∈ ℤ ) . · cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π, ( k ∈ ℤ ) . π + k π, ( k ∈ ℤ ) . · cos x = 0 ⇔ x = 2 3. Phương trình tan x = a ( 3) 67
π + k π, ( k ∈ ℤ ) . (3) xác định với mọ i x ≠ 2 Gọi α là số đo góc sao cho tan α = a, thì ( 3) ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + k π, ( k ∈ ℤ ) . (nếu α cho bằng radian). Hay (3) ⇔ x = α + k .1800 , ( k ∈ ℤ ) . (nếu α cho bằng độ). Chú ý. Nếu phương trình ban đầu dạng tan u = tan v (*) π π + k π , v ≠ + k π, ( k ∈ ℤ ) . Thì điều kiện là u ≠ 2 2 Khi đó (*) ⇔ u = v + k π, ( k ∈ ℤ ) . 4. Phương trình cot x = a ( 4 ) (4) xác định với mọ i x ≠ k π, ( k ∈ ℤ ) . Gọi α là số đo góc sao cho cot α = a, thì ( 4 ) ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + k π, ( k ∈ ℤ ) . (nếu α cho bằng radian). Hay (4) ⇔ x = α + k .1800 , ( k ∈ ℤ ) . (nếu α cho bằng độ). Chú ý. Nếu phương trình ban đầu dạng cot u = cot v ( **) thì điều kiện là u ≠ k π , v ≠ k π, ( k ∈ ℤ ) , khi đó (**) ⇔ u = v + k π, ( k ∈ ℤ ) . III. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác Cách giải. + Đối với các phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta biến đổi ngay về phương trình lượng giác cơ bản. + Đối với các phương trình bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác ta đặt ẩn phụ, sau đó giải phương trình theo ẩn phụ. Chú ý. Nếu đặt t = cos x hay t = sin x thì điều kiện t ≤ 1. 2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x 68
Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng a sin x + b cos x = c (1), a, b, c ∈ ℝ Cách giải. a 2 + b 2 , ta được Cách 1. Chia hai vế của (1) cho a b c ( 2) sin x + cos x = 2 2 2 2 a + b2 2 a +b a +b a b Đặt cos β = ,sin β = 2 2 a + b2 2 a +b c Khi đó (2) trở thành cos β sin x + sin β cos x = a + b2 2 c Hay sin ( x + β ) = ( 3) a + b2 2 c ≤ 1 ⇔ a 2 + b2 ≥ c2 (3) có nghiệm ⇔ 2 2 a +b b Cách 2. Chia hai vế của (1) cho a rồi đặt = tan α a c Ta được sin x + tan α cos x = a c cos α (*) ⇔ sin x cos α + sin α cos x = a c ⇔ sin ( x + α ) = cos α a Đây là phương trình đã xét trong §1. c Chú ý rằng (*) có nghiệm khi và chỉ khi cos x ≤ 1. a 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x Đó là phương trình dạng a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 ( 2 ) , a, b, c ∈ ℝ Cách giải. π · Xét x = + k π xem có phải là một nghiệm của phương trình không. 2 π + k π, khi đó cos2 x ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2 x ≠ 0 ta được · Xét x ≠ 2 a tan 2 x + b tan x + c = 0 . 69
Đây là phương trình bậc hai đố i với tan x ta đã biết cách giải. Chú ý. · Nếu phương trình với vế phải khác 0 a sin 2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d Ta viết phương trình dạng a sin 2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d ( cos 2 x + sin 2 x ) rồi chuyển vế phải sang vế trái. · Cũng có thể giải phương trình (2) bằng cách biến đổi về phương trình bậc nhất đối với sin 2 x và cos 2 x, nhờ các công thức 1 + cos 2 x cos 2 x = ; 2 1 − cos 2 x sin 2 x = ; 2 1 sin x cos x = sin 2 x. 2 · Đối với phương trình thuần nhất bậc ba đối với sin x và cos x a cos3 x + b cos 2 x sin x + c sin 2 x cos x + d sin 3 x = 0 Ta cũng biến đổi đưa về phương trình bậc ba đố i với tan x. 4. Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là phương trình dạng a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x + c = 0 ( 3) , a, b, c ∈ ℝ  π Cách giải. Đặt t = sin x + cos x = 2 sin  x +  , điều kiện: t ≤ 2. 4  Khi đó t 2 = 1 + 2sin x cos x t 2 −1 Suy ra sin x cos x = . Thay vào phương trình (3) ta được 2 b ( t 2 − 1) + c = 0 hay bt 2 + 2at + ( 2c − b ) = 0. (*) at + 2 Giải phương trình (*) tìm t và chọn nghiệm thỏa t ≤ 2 . Chú ý. Phương pháp giải đã trình bày ở trên cũng có thể áp dụng cho phương trình a ( sin x − cos x ) − b sin x cos x + c = 0  π bằng cách đặt t = sin x − cos x = 2 sin  x −  ; điều kiện: t ≤ 2. 4  70
1− t2 Khi đó sin x cos x = . 2 IV. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Có nhiều phương trình lượng giác mà để giải chúng, ta cần sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình đã xét ở trên. 1. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 2. Dạng phân thức Chú ý. Khi giải các phương trình có chứa ẩn dưới mẫu, ta phải đặt điều kiện cho mẫu khác không. 3. Dạng chứa tan x và cot x Chú ý. Đối với các phương trình chứa tan x và cot x, ta phải đặt điều kiện cho tan x và cot x xác định. 4. Một số phương trình giải bằng phương pháp đặc biệt Ngoài các phương pháp cơ bản giải phương trình lượng giác đã nêu ở các mục trên, chúng ta còn có một số cách giải đặc biệt, sử dụng các kết quả sau:  A ≤ A1 A ≤ m   A = 0    A = A1 A = m    · A2 + B 2 = 0 ⇔  · B ≥ m ⇔  ·  B ≤ B1 ⇔ B = 0 B = m    B = B1    A = B  A + B = A1 + B1   B. BÀI TẬP VI.1. Giải các phương trình 1) 3 sin x – cos x = 2; 2) cos x + 2cos2 x = 1; 3) cos4 x + 2cos2 x = 0; 4) 2cos 2 x + 4cos x = 3sin2 x; 5) cos x – sin x + 3sin2 x – 1 = 0; 6) 2sin2 x − 3 3 (sin x + cos x ) + 3 3 = 0; π 7) sin2 x + 2 sin( x – ) = 1; 4 1 8) sin2 x + 2sin x coss x – 2cos2 x = ; 2 cos2x 9) cos x + sin x = ; 1 − sin 2 x 10) sin3 x – cos3 x = 1 + sin x cos x. 71
VI.2. Giải các phương trình 1) 2cos2 x – 1 = sin3 x ; 1 + tan x = (sin x + cos x )2; 2) 1 − tan x 1 − sin 2 x 3) 1 + tan2 x = ; cos 2 2 x 4) tan3 x – tan x = sin2 x ; 5) (sin x – sin2 x )(sin x + sin2 x ) = sin23 x ; 6) sin x + sin3 x + 4cos3 x = 0; 7) sin2 x = 1 + 2 cos x + cos2 x ; 6 4 8) 2cos x + sin x + cos2 x = 0; 9) 2cos2 3 x cos2 x − cos 2 3 x + sin 2 x − 1 = 0 . VI.3. Giải các phương trình x 1) sin x + cot = 2; 2 2) sin2 x + cos2 x + tan x = 2; 3 (1 − tan 2 x ) 3) cos 4 x − + 2 = 0; 1+ tan 2 x tan x − 1 4) + cot 2 x = 0, (0 < x < π); tan x + 1 1 3π π 5) tan 3 x − 1 + − 3cot( − x ) = 3, (π < x < ); 2 cos x 2 2 2 6) cos3 x sin x – sin3 x cos x = ; 8 7) sin23 x – cos24 x = sin25 x – cos26 x ; 8) cos3 x – 4cos2 x + 3cos x – 4 = 0, x ∈ [0,14]; 1 xπ 9) sin4 x + sin4( + ) + cos4 x = sin22 x ; 28 2 1 10) 2 cos 2 x − 8cos x + 7 = . cos x VI.4. Giải các phương trình cos 3 x + sin 3x   1) 5  sin x +  = cos 2 x + 3, x ∈ (0; 2π); 1 + 2sin 2 x   72
π 2) sin 2 x.cos x = tan 3 x.sin( x + ) − cos 2 x.sin x ; 6 cos 2 x 1 + sin 2 x − sin 2 x ; 3) cot x − 1 = 1 + tan x 2 4) sin 4 x sin 2 x + sin 9 x sin 3 x = cos 2 x ; 5) cos2 x sin 4 x + cos 2 x = 2cos x(sin x + cos x ) − 1 ; 6) 3 cos 4 x + sin 4 x − 2cos 3 x = 0 ; 7) 4cos2 x − 2 cos2 2 x = 1 + cos 4 x ; π 8) 2sin 2 ( x − ) = 2sin 2 x − tan x ; 4 9) cos 3x + 2 cos 2 x = 1 − 2 sin x sin 2 x ; 10) (2sin x − 1)(2 cos x + sin x ) = sin 2 x − cos x; 11) 3 cos 5 x − 2 sin 3x cos 2 x − sin x = 0; 12) sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 ( cos 4 x + sin 3 x ) . VI.5. Giải các phương trình (2 − sin 2 2 x ) sin 3x 1) tan 4 x + 1 = ; cos4 x sin 4 x + cos4 x 1 1 2) = cot 2 x − ; 5sin 2 x 2 8sin 2 x 3) 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 ; π1 π 4) −2 cos 2 x sin 2 x + cos( x − ) sin(3 x − ) − = 0 ; 4 42 x 5) cot x + sin x(1 + tan x tan ) = 4 ; 2 2(cos6 x + sin 6 x) − sin x cos x 6) =0; 2 − 2sin x 7) cos 3x + cos 2 x − cos x − 1 = 0 ; 8) 13 − 18 tan x = 6 tan x − 3; 9) cos 4 x − sin 4 x = cos x + sin x ; 10) cos13 x + sin14 x = 1. VI.6. Giải các phương trình 1) tan x = cot x + 4 cos 2 2 x; 73
2  π  π 2) sin  2 x −  = sin  x −  + ; 4 4 2   3 ( 2cos2 x + cos x − 2 ) + ( 3 − 2cos x ) sin x = 0; 3)  π 4) (1 + 2cos 3 x ) sin x + sin 2 x = 2sin 2  2 x +  ; 4  π x x x 5) 1 + sin sin x − cos sin 2 x = 2 cos2  −  ; 2 2  4 2 1 π π 6) cos 2 ( x + ) + sin 2 ( x + ) = 2sin x − ; 3 6 4  π sin 3x − 4 cos  x −  − 3 6  7) = 0; sin 3x − 1 2+3 2 8) cos 3x cos3 x − sin 3x sin 3 x = ; 8  π  π  π 9) 4sin 3x sin x + 4 cos  3 x −  cos  x +  − cos2  2 x +  + 1 = 0; 4 4 4    10) sin 3x + 3 cos 3 x + cos 2 x − 3 sin 2 x = sin x + 3 cos x; 11) sin 2 x (1 + tan x ) = 3sin x ( cos x − sin x ) + 3; sin 2 x cos 2 x 12) = tan x − cot x; + cos x sin x 1 1  7π  13) = 4 sin  − x ; + 3π   sin x 4  sin  x −  2  14) sin 3 x − 3 cos 3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x; 15) 2sin x (1 + cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2 cos x; (1 − 2sin x ) cos x = 16) 3. (1 + 2sin x )(1 − sin x ) VI.7. Giải các phương trình  11π 5 x   7π x   3x π  1) cos  −  + sin  −  = 2 sin  +  ; 4 2  4 2  2 2 π  2 sin  − x  4  1 + sin 2 x = 1 + tan x; ( ) 2) cos x 74
3) sin 3 x + cos 3 x = cos 2 x ( 2 cos x − sin x ) ;  π 4) 2sin 2  x −  = 2sin 2 x − tan x ; 4  1 x1 x + cos 2 = sin 2 ; 5) 4 32 2 1 6) ; 3 sin + cos x = cos x 7) 3 tan 2 x + 4 tan x + 4cot x + 3cot 2 x + 2 = 0; 8) sin 2 x tan x + cos 2 x cot x − sin 2 x = 1 + tan x + cot x; 9) sin 4 2 x + cos4 2 x = (1 + cos2 4 x ) sin 6 x ; 10) 3 ( 2cos2 x + cos x − 2 ) + sin x ( 3 − 2 cos x ) = 0;  π  π 11) tan  x −  tan  x +  sin 3 x = sin x + sin 2 x; 6  6  12) (1 − tan x ) (1 + sin 2 x ) = 1 + tan x; sin 2 x cos 2 x 13) = tan x − cot x; − cos x sin x  5x π  3x x π 14) sin  −  − cos  −  = 2 cos ;  2 4 2 4 2 ( ) 15) 2cos2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3 sin x + 3 cos x . VI.8. Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình cho sau đây có nghiệm 1) tan 2 x + cot 2 x + m(tan x + cot x) + 2m = 0; 2) m(sin x + cos x ) + sin 2 x + m − 1 = 0; 3) 4(cos x − sin x ) + sin 2 x = m. π π VI.9. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm thỏa − < x< 2 2 cos 2 x − 2m cos x + 4 ( m − 1) = 0. VI.10. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m sin 2 x + 2sin x cos x − 2 cos2 x = m. VI.11. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: m cos2 2 x − 2sin 2 x + m − 2 = 0 có  π nghiệm trong khoảng  0;  .  4 75