Bài tập đại số sơ cấp - Chương 5

Chia sẻ: Nguyễn Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

319
lượt xem 106
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập đại số sơ cấp - chương 5', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập đại số sơ cấp - Chương 5

có nghiệm thực. 3 ( ) IV.29. Tìm các giá trị của m để bất phương trình x 3 + 3x 2 − 1 ≤ m x − x −1 có nghiệm. IV.30. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt 4 2 x + 2 x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m. IV.31. Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm x < −1 x 2 + mx − 1 > ( x + m ) x 2 − 1. IV.32. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm x 2 + mx − 4 = ( x + m ) x 2 − 4. CHƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT I. NHẮC LẠI LOGARIT 1. Định nghĩa. Cho a là một số dương khác 1 và b là một số dương. Số thực α sao cho a α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log a b tức là α = log a b ⇔ a α = b. Chú ý. · Khi viết log a b thì phải hiểu là a > 0, a ≠ 1; b > 0. · Trường hợp cơ số a = 10 thì logarit cơ số 10 của số dương b ta viết là lg b và đọc là logarit thập phân của b. · Với a = e thì logarit cơ số e của số dương b ta viết là ln b và đọc là logarit tự nhiên của 1 b, hay logarit Nêpe của b. (Số e là giới hạn lim (1 + ) x xấp xỉ bằng 2, 718281828...). x x →+∞ Từ định nghĩa ta có một số kết quả sau. · log a 1 = 0 , log a a = 1; · log a a b = b · a loga b = b 2. Các tính chất của logarit 2.1. Định lý. i ) log a (bc) = log a b + log a c;1 ≠ a > 0; b, c > 0 b ii ) log a   = log a b − log a c;1 ≠ a > 0; b, c > 0 c 51
iii ) log a b α = α log a b;1 ≠ a > 0; b > 0; α ∈ ℝ. Chú ý. Trong iii) nếu α = 2k , k ∈ ℕ* thì log a b 2 k = 2k log a b ;1 ≠ a > 0; b ≠ 0. Hệ q u ả 1 i ) log a   = − log a b;1 ≠ a > 0; b > 0 b 1 ii ) log a n b = log a b;1 ≠ a > 0; b > 0; n ∈ ℕ, n ≥ 2. n 2.2. Định lý log a c log b c = hay log a b.log b c = log a c;1 ≠ a > 0;1 ≠ b > 0; c > 0. log a b Hệ q u ả 1 i ) log a b = hay log a b.log b a = 1;1 ≠ a > 0;1 ≠ b > 0. . logb a 1 ii ) log a α c = log a c;1 ≠ a > 0; c > 0; α ≠ 0. α iii) a logb c = c logb a ;1 ≠ b > 0; a, c > 0. II. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Định nghĩa. Phương trình, bất phương trình mũ là phương trình, bất phương trình mà ẩn số có mặt ở số mũ của lũy thừa. Trong một số trường hợp ta xét thêm ẩn số có mặt ở cả cơ số của lũy thừa, khi đó ta phải xét hai trường hợp: cơ số a > 1 và 0 < a < 1. 2. Một số phương pháp giải phương trình mũ 2.1. Phương pháp logarit hóa Các dạng cơ bản a > 0   · a f ( x) = a g ( x) ⇔ a = 1   f ( x) = g ( x)  · a f ( x ) = b ⇔ f ( x) = log a b, 1 ≠ a > 0; b > 0. 2.2. Phương pháp đặt ẩn số phụ 2.3. Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình là cách giải khá quen thuộc. Ta có ba hướng áp dụng như sau. 1. Biến đổi phương trình về dạng 52
f ( x ) = k (1) với k là hằng số. Nếu hàm số f ( x ) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b) thì phương trình (1) có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng (a; b). Do đó nếu tìm được x0 thuộc khoảng (a; b) sao cho f ( x0 ) = k thì x0 là nghiệm duy nhất của phương trình. 2. Biến đổi phương trình về dạng f ( x) = g ( x ) (2) Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b), nhưng hàm số y = g ( x ) nghịch biến (đồng biến) cũng trên khoảng đó thì phương trình (2) có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng (a; b). Do đó, nếu tìm được x0 thuộc khoảng (a; b) sao cho f ( x0 ) = g ( x0 ) thì x0 là nghiệm duy nhất của phương trình. 3. Biến đổi phương trình về dạng f (u ) = f (v ) (3) Xét hàm số y = f ( x), nếu hàm số này đơn điệu trên khoảng (a; b) thì khi đó phương trình (3) tương đương với u = v; u , v ∈ (a; b). 2.4. Một số phương pháp khác 3. Một số phương pháp giải bất phương trình mũ 3.1. Phương pháp logarit hóa Các dạng cơ bản  a > 1   f ( x) < g ( x ) ⇔ · a f ( x) < a g ( x) .  0 < a < 1    f ( x ) > g ( x)   a >1   f ( x ) < log a b < b (b > 0) ⇔  · a f (x) .  0 < a < 1    f ( x) > log a b  · a f ( x ) > b (1). (0 < a ≠ 1) i) Nếu b ≤ 0 thì (1) ⇔ f ( x ) có nghĩa. ii) Nếu b > 0 thì: + Trường hợp 1: a > 1. Khi đó (1) ⇔ f ( x ) > log a b + Trường hợp 2: 0 < a < 1. Khi đó (1) ⇔ f ( x ) < log a b 3.2. Phương pháp đặt ẩn số phụ 53
3.3. Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số Có hai hướng áp dụng như sau: 1. Biến đổi bất phương trình về dạng f ( x) > k (1) ( k là hằng số) Nếu hàm số f ( x ) đơn điệu trên khoảng (a; b) (giả sử đồng biến). Khi đó ta có nhận xét: Giả sử x0 thuộc (a; b) là nghiệm của phương trình f ( x ) = 0, thì Với x ≤ x0 ⇔ f ( x) ≤ f ( x0 ) = k ⇒ (1) vô nghiệm. Với x > x0 ⇔ f ( x ) > f ( x0 ) = k ⇒ (1) nghiệm đúng. Vậy, nghiệm của bất phương trình là x > x0 . 2. Biến đổi bất phương trình về dạng f (u ) < f (v) (2) Xét hàm số y = f ( x), giả sử hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) , khi đó f (u ) < f (v ) ⇔ u < v; u, v ∈ (a, b). III. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Định nghĩa. Phương trình, bất phương trình logarit là phương trình, bất phương trình có ẩn chứa trong biểu thức dưới dấu logarit. Trong một số trường hợp có xét cả ẩn chứa ở cơ số của logarit, khi đó ta phải xét hai trường hợp của cơ số: a > 1 và 0 < a < 1. 2. Một số phương pháp giải phương trình logarit 2.1. Phương pháp mũ hóa Các dạng cơ bản a > 0, a ≠ 1  · log a f ( x ) = b ⇔   f ( x) = a b  a > 0, a ≠ 1   · log a f ( x ) = log a g ( x) ⇔  f ( x) > 0, ( g ( x ) > 0)   f ( x) = g ( x)  2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ 2.3. Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số 3. Một số phương pháp giải bất phương trình logarit 3.1. Phương pháp mũ hóa Các dạng cơ bản 54
a > 1 0 < a < 1   · log a f ( x ) < b ⇔  ∨ 0 < f ( x ) < a  f ( x ) > a b b    a > 1      f ( x) > ab  · log a f ( x) > b ⇔    0 < a 1  0 < a log a g ( x ) ⇔  f ( x ) > g ( x ) ∨  f ( x ) < g ( x)  g ( x) > 0  f ( x) > 0   3.2. Phương pháp đặt ẩn số phụ 3.3. Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số B. BÀI TẬP V.1. Giải các phương trình 1) 4 x − 10.2 x −1 = 24; 2) 4.22 x − 6 x = 18.32x ; 2 3) 3log3 x + x log 3 x =162; log 1 ( 2 x 2 +1) log 1 ( x +1) 5 4) 9 =5 ; 3 x2 −5 x 2 −5 − 12.2 x −1− 5) 4 x − + 8 = 0; 2 2 + x −1 + x−2 6) 9 x − 10.3x + 1 = 0; 7) 3.4 x + (3 x − 10).2 x + 3 − x = 0; 8) x 2 + (2 x − 3) x + 2(1 − 2 x ) = 0; 9) 4.33 x − 3x +1 = 1 − 9 x . 2 2 2 −3 x +2 +6 x +5 = 42x +3 x + 7 10) 4 x + 4x + 1;  π sin  x −   4 11) e = tan x. V.2. Giải các bất phương trình 1) 4 x − 2.52 x − 10x > 0; 9 x − 3x + 2 > 3x − 9; 2) 55
4x + 2 x − 4 3) ≤ 2; x −1 4) 15.2 x +1 + 1 ≥ 2 x − 1 + 2 x +1 ; 2 5) 2(log 2 x ) + x log 2 x ≤ 4; x +1 x−3 6) ( 10 − 3) − ( 10 + 3) ≥ 0; x+3 x −1 2 2 2 7) 4 x 2 + x.2 x +1 + 3.2 x > x 2 .2 x + 8 x + 12; 8 + 2 x +1 − 4 x + 2 x +1 > 5; 8) x+2  1  2− x 9)   > 9.  3 V.3. Giải và biện luận phương trình 2 2m x +6 − 24 x +3 m = (4 − m 2 ) x + 3m − 6. V.4. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm 4 x + 4− x = m(2 x + 2 − x + 1). V.5. Giải các hệ phương trình  4 x + y = 128 1)  3 x − 2 y −3 5 = 1;  8log 9 ( x − 4 y ) = 1 2)  x −2 y − 7.2 x −2 y = 8; 4 23 x = 5 y 2 − 4 y  3)  4 x + 2 x +1 = y; x  2 +2 9log 2 ( xy ) = 3 + 2( xy )log 2 3  4)   x 2 + y 2 = 3x + 3 y + 6;   ( x 2 + y )2 y − x = 1 2  5)  x2 − y 2 9( x + y ) = 6 ;  3x − 3 y = ( y − x )( xy + 8)  6)   x 2 + y 2 = 8;  56
3x + x = 3 + y  7)  3 y + y = 3 + x;   2 x +1 − 3.2 x = y 2 − 2 2 8)  2 y 2 − 3 y = 22 x − 2;  4log 3 ( xy ) = 2 + ( xy )log3 2  9)   x 2 + y 2 − 3 x − 3 y = 12;   22 x + 42 y = 2  10)  x+2 y x 2 + 4 + 2 = 3; y  x2 −1 y y 2 −1 2 − 2 = ln x 11)  2  y + 3 + 2 y = 3 + x; x + y = 1 12)  x 2 − 2 = 2; y 23 x +1 + 2 y − 2 = 3.23 x + y  13)  2  3 x + xy + 1 = x + 1;  32 x + 2 + 22 y + 2 = 17  14)  x +1 2.3 + 3.2 = 8. y  V.6. Giải các phương trình 1) log 3 ( 3x − 8 ) = 2 − x; 2) log x −1 3 = 2; log 2 ( 9 − 2 x ) 3) = 1; 3− x 1 1 log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 8)8 = log 2 (4 x); 4) 2 4 1 ( ) 5) log 2 4 x + 15.2 x + 27 + 2 log 2 = 0; 4.2 x − 3 6) log 7 ( 2 x − 1) + log 7 ( 2 x − 7 ) = 1; 1 ( ) 7) 2 log 2 x + 1 log 4 x + log 2 = 0; 4 57
8) 2log 3 ( 4 x − 3) + log 1 ( 2 x + 3) = 2; 3   9) log 3  log 2 x − 3log 1 x + 5  = 2; 1 2  2 10) log x 2 + 2 log 2 x 4 = log 8; 2x 3 x + 1 − log 1 ( 3 − x ) − log 8 ( x − 1) = 0; 11) log 2 2 12) log 3 ( 9 x + 9 ) = x + log 3 ( 28 − 2.3x ) ; 13) 16log 27 x3 x − 3log 3 x x 2 = 0; log 2 2 x 2 + log 4 16 x = log 4 x 3 ; 14) 15)  log 2 (2 x + 1)  .log 2 (2 x+1 + 2) = 6;   1 16) log 2 −2 x2 (2 − x 2 − x 4 ) = 2 − ; log 3 (2 − 2 x 2 ) 4 2 17) ( x +1) log 3 x + 4 x log 3 x − 16 = 0; x3 1 3  18)  log3  .log 2 x − log3 = + log 2 x ; 32  x 1 19) log 3−4 x2 (9 − 16 x 4 ) = 2 + ; log 2 (3 − 4 x 2 ) 1 20)  log 2 (4 x +1 + 4)  .log 2 (4 x + 1) = log ;   1 8 2 9 21)  log 2 (2 x 2 )  .log 2 (16 x ) = log 2 x; 2   2 22) lg x + 1 + 3lg 1 − x = lg 1 − x 2 ; 23) x + lg(1 + 2 x ) = x lg 5 + lg 6; 2x −1 24) log 2 = 1 + x − 2x ; x − x 2 + 3 x −1 1 2 25) log 3 ( x − 3 x + 2 + 2) +   = 2; 5 26) log 3 ( x + 2) = log 2 ( x + 1); 58
3 27) = 1; 2 + 1 + log 2 x x ( x 2 − 2 x − 2) = log 2 + 3 ( x 2 − 2 x − 3); 28) log 2 2+ 3 29) 2 − lg x = 1 − lg x − 1; 3 3 + log 2 ( x 2 − 4 x + 5) + 2 5 − log 2 ( x 2 − 4 x + 5) = 6; 30) 31) log 2 x + log 2 x + 1 = 1. 2 V.7. Giải các bất phương trình 1) log 1 x + 2 log 1 ( x − 1) + log 2 6 ≤ 0; 2 4 2) log x  log 3 (9 x − 72)  ≤ 1;   3) log 2 x +3 x 2 < 1; 1 4) log 9 x2 ( − x 2 + 2 x + 6) ≤ ; 2 5) log 1 (4 x + 4) ≥ log 1 (22 x +1 − 3.2 x ); 2 2 6) log x −3  2( x 2 − 10 x + 24)  ≥ log x −3 ( x 2 − 9);   1 1 7) ; < log 3 ( x + 1) 2log9 x 2 + 6 x + 9 (log 2 x) 2 + 3 8) > 2; log 2 x + 3 9)  log 2 (2 x − 1)  .log 1 (2 x +1 − 2) > −2;   2 18 − 2 x 10)  log 4 (18 − 2 x )  .log 2 ≤ −1;   8 3x − 1 3 11)  log 4 (3x − 1)  .log 1 ≤;   4 16 4 12) log x ( 9 − x 2 − x − 1) ≥ 1; log 2 x + 4log 2 x < 2(4 − log16 x 4 ); 13) 1 2 14) log x 2 x ≤ log x 2 x 3 ; 59
lg 2 x − 3lg x + 3 15) < 1; lg x − 1 log 1 ( x + 3) 2 − log 1 ( x + 3) 3 2 3 16) > 0; x +1 x (2 − log 3 x) log 5 x 17) log 5 x + log x ; < 3 log 3 x x2 − 4 18) < 0; log 1 ( x 2 − 1) 2 19) log x 2 x ≤ log x (2 x)3 ; 20) log 2 x + log 3 ( x + 1) < 2; 21) log 2 x + 1 + log 3 x + 9 > 1; V.8. Giải các hệ phương trình log 4 x − log 2 y = 0  1)   x 2 − 2 y 2 = 8;  1 2 2 x + y = 2 y + 4  2)  log 3 ( x + 2 y ) + log 1 ( x − 2 y ) = 1;   3  3x 2 y = 972  3)  log 3 ( x − y ) = 2;  2 x.8− y = 2 2  4)  111 log 9 + = log3 (9 y );  x22 log 4 x − log 2 y = 0 5)  2 2  x − 5 y + 4 = 0; 2log 2 x − 3 y = 15  6)  3 y.log 2 x = 2log 2 x + 3 y +1 ;  log 2 x + log 4 x = −2 log 1 4  7)  2 log x + log y = 5; 4 2 60
log x ( xy ) = log y x 2  8)   y 2log y x = 4 y + 3;  1   log 1 ( y − x) − log 4 = 1 9)  y 4  x 2 + y 2 = 25;  log 2 ( x 2 + y 2 ) = 5  10)  2log 4 x + log 2 y = 4;  log y xy = log x y  11)  2 x + 2 y = 3;  log x ( x 3 + 2 x 2 − 3x − 5 y ) = 3  12)  log y ( y 3 + 2 y 2 − 3 y − 5 x) = 3;  x − 4 y + 3 = 0  13)   log 4 x − log 2 y = 0;  7   log 4 x − log x y = 14)  6  xy = 16;   log 2 x + 2log 2 y = 3 15)  x 2 + y 4 = 16;   x −1 + 2 − y = 1  16)  3log 9 (9 x 2 ) − log 3 y 3 = 3;  ln(1 + x) − ln(1 + y ) = x − y  17)  2 2  x − 12 xy + 20 y = 0;   x log8 y + y log8 x = 4 18  log 4 x − log 4 y = 1; log 2 x + 3 = 1 + log 3 y  19)  log 2 y + 3 = 1 + log 3 x;  61
3lg x = 4lg y  20)  (4 x)lg 4 = (3 y )lg3 ;   x + log3 y = 3  21)  ( 2 y − y + 12 ) .3 = 81 y; 2 x  22)  x2 −2xy(+ y 2 log x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )  3 = 81;   x  1 1− y 4 =    2 23)  3log 9 x = y ;   3  3 4− x ( )  x + 1 − 1 3y = 24)  x  y + log x = 1;  3 log 4 ( x 2 + y 2 ) − log 4 ( 2 x ) + 1 = log 4 ( x + 3 y )  25)  x log 4 ( xy + 1) − log 4 ( 4 y + 2 y − 2 x + 4 ) = log 4 − 1. 2  y V.9. Cho phương trình 2 2 log 3 x + log3 x + 1 − 2m − 1 = 0 (1) 1) Giải phương trình khi m = 2; 2) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 [1; 3 ] . V.10. Tìm các giá trị của m để phương trình: 4(log 2 x ) 2 − log 1 x + m = 0 2 có nghiệm thuộc khoảng (0;1). 1− t 2 1−t 2 V.11. Tìm các giá trị của a để phương trình: 25 − (a + 2)5 + 2a + 1 = 0 có nghiệm. V.12. Tìm các giá trị của a để phương trình 2 2 log 3 x − log 3 x + a = 0 có bốn nghiệm phân biệt. V.13. Chứng minh rằng với mọ i giá trị của a > 0 hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất 62
e x − e y = ln(1 + x ) − ln(1 + y )    y − x = a.  V.14. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm.  22 x + 4 2 y = m   2 x + 4 y + 2 x + 2 y = m  V.15. Cho hệ phương trình 2 x +1 = y − y + 1 + m + 1    y + 1 = 22 x + 2 − 2 x +1 + m  1) Giải hệ phương trình khi m = 0; 2) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm; 3) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất. V.16. Cho hệ phương trình 2 x − 2 y = y − x   2 x 2 − 4mx − y 2 = 3m  1) Giải hệ phương trình khi m = −1; 2) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có đúng hai nghiệm. V.17. Cho hệ phương trình 3x + x = 3m + y   3 y + y = 3m + x  1) Giải hệ phương trình khi m = 1; 2) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm. V.18. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất  x 2 + y 2 = 17   log 2 x + log 2 y = m.  V.19. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm ( x; y ); x > 1, y < 4. x2 − y 4 = 0   x log 2 = m log y x.  y V.20. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có đúng bốn nghiệm 63
4 x.4 y = 8.2 xy   2 2 3 + log 2 x + log 2 y = log 2 ( x + y + m).  V.21. Cho hệ phương trình  x + 2 lg y = 3m   2  x − 3lg y = 1  1) Giải hệ phương trình với m = 1; 2) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ); x ≥ 1. V.22. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất lg 2 x + lg 2 y = 1  x lg = m. y V.23. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất 22 x + 32 y = 1  x 2 + 3 = m. y  Tìm nghiệm đó. V.24. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm  22 x + 4 2 y = 2  x x+2 y 2 + 4 − 2 = 1 − m. y  V.25. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có ba nghiệm phân biệt 22 x + 22 y = 16   2x ( ) 2y x + y =1 = 2m2 . 2 + 2 + m 2 + 2 + 2 x y  V.26. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất log 3 x + log 2 y 2 = 4m 2  2  2 log 3 x + 2 log 2 y = 10  CHƯƠNG VI. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT I. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Ta quy ước các biểu thức trong các công thức sau đều có nghĩa. 1. Công thức cộng 1) cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b 64