Bài tập: Lý thuyết dao động

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

241
lượt xem 50
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do 1. Xác định chu kỳ dao động của tải trọng Q gắn vμo các lò xo vμ tìm hệ số cứng tương đương của hệ mô tả trên hình vẽ. Các tải trọng dịch chuyển theo phương thẳng đứng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập: Lý thuyết dao động

Bài tập Lý thuyết dao động
Bμi tËp ch−¬ng I Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ mét bËc tù do 1. X¸c ®Þnh chu kú dao ®éng cña t¶i träng Q g¾n vµo c¸c lß xo vµ t×m hÖ sè cøng t−¬ng ®−¬ng cña hÖ m« t¶ trªn h×nh vÏ. C¸c t¶i träng dÞch chuyÓn theo ph−¬ng th¼ng ®øng. M Q Tr¶ lêi: 1a) T = 2π = 2π ; C = C1 + C 2 g( C 1 + C 2 ) C Q 1b) T = 2π ; C = C1 + C 2 g( C 1 + C 2 ) Q( C 1 + C 2 ) C .C 1c) T = 2π ; C= 1 2 C1 + C 2 g(C 1 .C 2 ) Q(CL3 + 48EJ ) C .C 1d) T = 2π ; C= 1 2 C1 + C 2 48gCEJ QL3 48EJ 1e) T = 2π ; C = C1 + 3 g(CL + 48EJ ) 3 L L L C1 C1 C1 C1 C2 EJ EJ Q Q C1 C2 C2 L L Q Q Q a) b) c) d) c) H×nh vÏ bt 1 2. Mét t¶i träng khèi l−îng m ®−îc g¾n vµo thanh kh«ng träng l−îng cøng tuyÖt ®èi, dµi 3L. Thanh ®−îc g¾n vµo mÆt ph¼ng cè ®Þnh b»ng hai lß xo cã cïng ®é cøng C. TÝnh tÇn sè dao ®éng riªng cña con l¾c khi: a) Thanh th¼ng ®øng (h×nh 2a). b) Thanh n»m ngang (h×nh 2b). 5C 1g 5C Tr¶ lêi: a) k = + b) k = 9m 3L 9m 143
L C L L L L C m C C L m a) b) H×nh vÏ bt 2 3. T×m tÇn sè dao ®éng riªng cña con l¾c th¼ng ®øng, gi¶ thiÕt thanh tuyÖt ®èi cøng. C g Tr¶ lêi: k = m 2m 2L m C C m L L C C C C L L L m H×nh vÏ bt 3 H×nh vÏ bt 4 4. H·y x¸c ®Þnh chu kú dao ®éng nhá cña con l¾c dïng trong mét sè m¸y ghi ®éng ®Êt. Con l¾c gåm thanh cøng chiÒu dµi L, mét ®Çu mang khèi l−îng m bÞ Ðp gi÷a hai lß xo n»m ngang cã ®é cøng C, ®Çu ngoµi lß xo g¾n chÆt. Bá qua khèi l−îng thanh vµ coi lß xo ë vÞ trÝ c©n b»ng ch−a bÞ d·n. 2π Tr¶ lêi: T = 2C g − mL 5. Ng−êi ta g¾n t¶i träng khèi l−îng m lªn cét chèng mÒm b»ng thÐp ®é cøng C1, tiÕt diÖn ngang h×nh ch÷ nhËt. Cét ®−îc gi÷ th¼ng ®øng nhê hai lß xo víi ®é cøng C2. T×m tÇn sè dao ®éng riªng cña t¶i träng, biÕt khèi l−îng cña cét chèng vµ lß xo lµ nhá so víi khèi l−îng cña t¶i träng; ¶nh h−ëng cña träng l−îng cña t¶i träng lªn ®é uèn cña cét chèng bá qua. 144
2C 2 a 2 − mgL Tr¶ lêi: k = a 2 (L − a ) 2 ⎤ ⎡ mL ⎢L + 2C 2 3EJ ⎥ ⎣ ⎦ 6. Trong bé ghi rung dïng ®Ó ghi c¸c dao ®éng cña mãng, c¸c bé phËn m¸y,..., lß xo xo¾n cã ®é cøng C gi÷ con l¾c träng l−îng Q lÖch khái ®−êng th¼ng ®øng gãc α. M« men qu¸n tÝnh cña con l¾c ®èi víi trôc quay b»ng J. H·y x¸c ®Þnh chu kú dao ®éng tù do cña bé ghi rung. J Tr¶ lêi: T = 2π Qs cos α + C m EJ L C2 C2 α s a Q h×nh vÏ bt 5 h×nh vÏ bt 6 7. H·y x¸c ®Þnh chu kú dao ®éng tù do cña mãng m¸y ®Æt trªn nÒn ®Êt ®µn håi vµ bÞ lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng. Träng l−îng cña mãng vµ m¸y Q =1470KN, diÖn tÝch ®Õ mãng S = 50m2; ®é cøng riªng cña ®Êt λ = 30 N / cm 3 (HÖ sè cøng cña ®Êt b»ng C = λS ). Q = 6,28.10 − 2 rad / s Tr¶ lêi: T = 2π gC x Q Q x h×nh vÏ bt 7 h×nh vÏ bt 8 8. Lång thang m¸y cã träng l−îng Q = 30KN h¹ xuèng giÕng má víi vËn tèc u = 3m/s, ®ét nhiªn h·m chÆt ®Çu trªn cña d©y c¸p l¹i, lång kh«ng h¹ xuèng n÷a. H·y x¸c ®Þnh chuyÓn 145
®éng tiÕp sau cña lång, nÕu hÖ sè cøng cña d©y lµ C = 27,5 KN/cm. Bá qua khèi l−îng d©y c¸p. Tr¶ lêi: x =0,1sin(30t) cm. 9. Mét ®Üa khèi l−îng m, m«men qu¸n tÝnh cña khèi l−îng b»ng Jo, ®−îc g¾n vµo may ¬ b¸n kÝnh r. May ¬ cña ®Üa ®−îc ®Æt lªn mét thiÕt bÞ dÉn h−íng cong trßn b¸n kÝnh R. LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá tù do cña ®Üa víi gi¶ thiÕt khi ®Üa chuyÓn ®éng may ¬ kh«ng tr−ît trªn c¬ cÊu dÉn h−íng. ( ) r2 •• Tr¶ lêi: mr + J o ϕ+ mg sin ϕ = 0 2 R−r ( ) r2 •• Dao ®éng nhá: mr + J o ϕ+ mg ϕ=0 2 R−r C R r R α h×nh vÏ bt 9 h×nh vÏ bt 10 10. Mét xe goßng khèi l−îng m ®−îc ®Æt trªn mét mÆt nh¸m n»m nghiªng, xe goßng ®−îc gi÷ trªn mÆt nghiªng bëi lß xo cã ®é cøng C. LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá cña xe goßng, biÕt mçi cÆp b¸nh xe goßng cã m« men qu¸n tÝnh cña khèi l−îng b»ng J; b¸n kÝnh b¸nh xe b»ng R vµ b¸nh xe l¨n kh«ng tr−ît trªn mÆt nghiªng. •• Tr¶ lêi: (mR 2 + 2J ) ϕ+ CR 2 ϕ = 0; ϕ - gãc quay cña b¸nh xe. 11. LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá tù do cña khèi l−îng m ë hÖ m« t¶ trªn • h×nh vÏ, biÕt lùc c¶n dao ®éng tû lÖ thuËn víi vËn tèc chuyÓn ®éng: F = α y . ⎧ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ •• • y = δ11 ⎜ − m y ⎟ + δ12 ⎜ − α y k ⎟ ⎪ ⎪ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Tr¶ lêi: ⎨ ⎪y = δ ⎛ − m y ⎞ + δ ⎛ − α y ⎞ •• • k⎟ 22 ⎜ ⎟ 21 ⎜ ⎪ k ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎩ 12. Ng−êi ta g¾n t¶i träng cã träng l−îng P vµo mét thanh cøng tuyÖt ®èi kh«ng qu¸n tÝnh dµi L. Thanh ®−îc gi÷ ë vÞ trÝ c©n b»ng nhê lß xo vµ mét bé gi¶m chÊn. Bé gi¶m chÊn • cã ®Æc tr−ng ma s¸t tuyÕn tÝnh F = α x . 146
TÝnh tÇn sè dao ®éng riªng cña hÖ vµ ®é suy gi¶m t¾t dÇn LogarÝt Λ cña dao ®éng. BiÕt P = 100N; L = 50cm; a = 20cm; ®−êng kÝnh lß xo D = 5cm; ®−êng kÝnh d©y lß xo d = 0,5cm; sè vßng lß xo i = 5; m«®un ®µn håi G = 8.106N/cm2; hÖ sè c¶n chuyÓn ®éng cña bé gi¶m chÊn α = 3NS/cm. Tr¶ lêi: K 1 = 11,5 rad / s ; Λ = 1,29. P y L EJ C K α m a L/2 L/2 h×nh vÏ bt 11 h×nh vÏ bt 12 13. G¾n mét khèi l−îng m vµo ®Çu thanh. G¾n vµo thanh c¸c phÇn tö c¶n ®µn håi. Bá qua khèi l−îng thanh. a) Ph¶i chän ®é lín hÖ sè c¶n b thÕ nµo ®Ó hÖ cã thÓ dao ®éng nhá; 1 b) X¸c ®Þnh ®é c¶n Lehr D cÇn thiÕt ®Ó sau 10 dao ®éng biªn ®é gi¶m cßn biªn ®é 10 cña chu kú ®Çu; sau ®ã x¸c ®Þnh chu kú dao ®éng. n b D (§é c¶n Lehr: D = = ; §é suy gi¶m t¾t dÇn Logarit: Λ = δT = 2π ) k 2 mC 1− D2 gm 2 2am Tr¶ lêi: a) b < Cm + b) D = 0,037; T = 2π 2aC + gm 2a 14. HÖ cho trªn h×nh vÏ n»m trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng. VÞ trÝ c©n b»ng tÜnh cña hÖ øng víi vÞ trÝ c©n b»ng tÜnh OM. ë thêi ®iÓm ®Çu thanh lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng tÜnh ng−îc chiÒu kim ®ång hå mét gãc ϕ0 vµ kh«ng cã vËn tèc ban ®Çu. X¸c ®Þnh dao ®éng nhá cña hÖ. Khèi l−îng lß xo, thanh, bé gi¶m chÊn ma s¸t ë b¶n lÒ bá qua. LÊy träng l−îng cña t¶i träng M lµ P = 200N, L = 90cm, L1 = 40cm, L2 = 20cm, ϕ0 = 60, C = 20N/cm, μ = 15NS/cm. Tr¶ lêi: ϕ = 0,12e −7, 25 t sin (8,7t + 0,28π) 147
O L1 μ a A ϕ b L2 L C C B a m C M h×nh vÏ bt 13 h×nh vÏ bt 14 15. Cho biÕt c¬ cÊu gåm t¶i träng khèi l−îng m ®−îc g¾n vµo hai lß xo cïng ®é cøng C. T¶i träng ®−îc ng©m trong èng ®Çy chÊt láng. Lùc c¶n chuyÓn ®éng cña t¶i träng trong èng cã thÓ ®−îc ®iÒu chØnh nhê thay ®æi khe hë gi÷a t¶i träng vµ èng hoÆc ®é nhít chÊt láng. a) LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá tù do cña t¶i träng. b) TÝnh thêi gian ®Ó biªn ®é dao ®éng tù do cña t¶i träng gi¶m ®i 100 lÇn, biÕt khi t • = 0: x(0) = x0, x(0) = 0 . Khi gi¶i gi¶ thiÕt lùc c¶n chuyÓn ®éng cña t¶i träng tû lÖ thuËn víi vËn tèc chuyÓn ®éng; m = 0,5NS 2 / cm; C = 10 N / cm; α = 5NS / cm . [ ] α ⎧ 2C x = x 0 e − nt cos k 2 − n 2 .t , n = , k2 = ⎪ ⎪ 2m m Tr¶ lêi : ⎨ 1 ⎪t = Ln100 = 0,92s ⎪1 n ⎩ C m C H d m C D h×nh vÏ bt 15 h×nh vÏ bt 16 148
16. Bé phËn c¶n thuû lùc (hoµn xung hay gi¶m chÊn thuû lùc) lµ mét pÝtt«ng khèi l−îng m chuyÓn ®éng trong chÊt láng. H·y kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña pÝtt«ng biÕt t¹i t = 0 pÝtt«ng lÖch víi vÞ trÝ c©n b»ng mét kho¶ng y0 = 0,5cm. T×m thêi gian ®Ó ®é lÖch cña pÝtt«ng ®èi víi vÞ trÝ c©n b»ng gi¶m ®i hai lÇn. Cho biÕt: ®é cøng lß xo C=30N/cm; ®−êng kÝnh h×nh trô D = 10cm; ®−êng kÝnh lç hë pÝtt«ng d = 1cm; sè lç hë z = 25; träng l−îng pitt«ng Q = 27,3N; chiÒu cao pÝtt«ng H = 5cm. HÖ sè nhít ®éng lùc chÊt láng μ = 6.108NS/cm; khi tÝnh lùc c¶n nhít lÊy β theo c«ng thøc: 128μHσ 2 πD 2 β= ; σ= diÖn tÝch ngang pÝtt«ng. πd 4 z 4 [ ] β ⎧ ⎪ y = y 0 e cos k − n .t , n = 2m = 5,42 − nt 2 2 ⎪ Tr¶ lêi: ⎨ ⎪k 2 = C = 1080 rad / s; t = 0,03s ⎪ ⎩ 1 m 17. T×m biÓu thøc phô thuéc gi÷a tÇn sè dao ®éng xo¾n riªng cña trôc m¸y trén vµ ®é nhít chÊt láng ®em trén còng nh− thêi gian ®Ó biªn ®é trôc m¸y trén gi¶m ®i 10 lÇn sau khi m«t¬ dõng l¹i ®ét ngét, biÕt vËn tèc quay tr−íc lóc m«t¬ dõng l¹i ®Òu b»ng Ω. Khi tÝnh gi¶ thiÕt khèi l−îng trôc nhá so víi khèi l−îng c¸c c¸nh, m«men qu¸n tÝnh khèi l−îng c¸nh J = 50 Ncms2, ®−êng kÝnh trôc d = 5mm; ®é dµi trôc L = 0,5m; hÖ sè c¶n nhít α =120N cms; m«®un tr−ît vËt liÖu trôc G = 8.106 N/cm2. αΩ −1, 2 t Tr¶ lêi: ϕ = − cos 4,25t; t 1 = 1,9s. e C d L Q Q O1 O2 C h×nh vÏ bt 17 h×nh vÏ bt 18 18. M¸y rung dïng ®Ó t¹o ra c¸c dao ®éng gåm hai ®Üa m¾c lÖch t©m trªn hai trôc song song, träng l−îng mçi ®Üa lµ Q, träng l−îng toµn m¸y b»ng P, t©m sai c¶ hai ®Üa b»ng nhau vµ b»ng r. Khi l¾p r¸p ban ®Çu c¸c ®Üa t¹o víi ph−¬ng n»m ngang nh÷ng gãc α1, α2. 149
Hai ®Üa quay ng−îc chiÒu nhau víi vËn tèc gãc ω. M¸y g¾n bu l«ng trªn bÖ ®µn håi ®é cøng C. H·y x¸c ®Þnh biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc cña m¸y, bá qua träng l−îng cña nã. α1 + α 2 2Qr Tr¶ lêi: A = sin Cg 2 − ( P + Q) ω2 19. HÖ t¹o tõ t¶i träng M träng l−îng P1 = 80 N, c¸c thanh kh«ng träng l−îng vµ lß xo cã ®é cøng C = 5N/cm n»m trong mÆt ph¼ng ®øng. Thanh OA chuyÓn ®éng theo r·nh th¼ng ®øng víi quy luËt y0 = Lsinpt (L = 1,6 cm; p = 8 rad/s). VÞ trÝ n»m ngang cña BM t−¬ng øng víi vÞ trÝ c©n b»ng tÜnh khi y = 0. X¸c ®Þnh dao ®éng nhá cña t¶i träng ë h−íng th¼ng ®øng. BiÕt L1 = 90 cm; L2 = 60 cm. T¹i thêi ®iÓm ®Çu (t = 0) hÖ ë vÞ trÝ c©n b»ng tÜnh, vËn tèc gãc cña BM còng nh− vËn tèc cña t¶i träng M b»ng 0; y = 0; bá qua ma s¸t. Tr¶ lêi: ϕ = 0,0785sin5,2t − 0,0505sin8t 20. C¬ cÊu dÉn ®éng cho van cã s¬ ®å ho¸ d−íi d¹ng khèi l−îng m m¾c gi÷a hai lß xo: Lß xo trªn cã ®é cøng C g¾n vµo mét ®iÓm cè ®Þnh, Lß xo d−íi cã ®é cøng C1 g¾n vµo cam chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn. Trªn mÆt c¾t cña cam ph¶i ®Þnh tr−íc ®Ó cho chuyÓn ®éng th¼ng ®øng x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc: 2π x1 = a(1 − cosωt) khi 0 ≤ t ≤ ω 2π x1 = 0 khi t> ω H·y x¸c ®Þnh chuyÓn ®éng cña khèi l−îng m. 2π C1 a ⎡ 1 ⎤ 1 Tr¶ lêi: x = ⎢ k 2 (1 − cos kt ) + k 2 − ω 2 (cos kt − cos ωt )⎥ khi 0 ≤ t ≤ ω m⎣ ⎦ π⎤ 2π 1 ⎤⎡ C 1a ⎡ 1 ⎢ k 2 − ω 2 − k 2 ⎥.⎢cos kt − cos k(t − 2ω )⎥ x= khi t > ω ⎦ ⎦⎣ m⎣ C M y0 x B m O C1 C A L2 L1 h×nh vÏ bt 19 h×nh vÏ bt 20 150
21. Mét ®éng c¬ cã träng l−îng Q ®Æt th¼ng ®øng trªn bÖ m¸y cã diÖn tÝch ®¸y b»ng S; ®é cøng cña ®Êt b»ng λ; ®é dµi tay quay ®éng c¬ lµ L; vËn tèc gãc cña trôc lµ ω. PÝtt«ng vµ c¸c phÇn kh«ng c©n b»ng thùc hiÖn c¸c chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn qua l¹i cã träng l−îng P. Träng l−îng cña mãng m¸y b»ng G tay quay coi nh− c©n b»ng nhê ®èi träng. H·y x¸c ®Þnh dao ®éng c−ìng bøc cña mãng m¸y, bá qua khèi l−îng cña thanh truyÒn. Pr ω 2 Pr ω 2 r cos 2ωt cos ωt + Tr¶ lêi: ξ = L (Q + G )( k 2 − 4ω 2 ) (Q + G )( k 2 − ω 2 ) P η Q m L x1(t) α C ξ ω r ζ G O h×nh vÏ bt 21 h×nh vÏ bt 22 22. B¸nh xe l¨n trªn ®−êng gå ghÒ cã vËn tèc cña trôc b¸nh xe kh«ng ®æi vµ b»ng V. T¶i träng khèi l−îng m g¾n víi trôc b¸nh xe b»ng lß xo ®é cøng C. Trong lß xo cã ma s¸t nhít, hÖ sè c¶n α vµ lùc c¶n tØ lÖ víi vËn tèc t−¬ng ®èi. Bá qua biÕn d¹ng cña b¸nh xe vµ mÆt ®−êng. ViÕt ph−¬ng tr×nh dao ®éng t−¬ng ®èi th¼ng ®øng cña t¶i träng. BiÕt ph−¬ng ⎛ πξ ⎞ tr×nh mÆt ®−êng: η = η max sin 2 ⎜ ⎟ víi L - chiÒu dµi sãng. ⎜L⎟ ⎝⎠ 1 Tr¶ lêi: y = Be − nt [cos ε. cos k 1 t + ( n cos ε + p sin ε) sin k 1 t ] − B cos(pt − ε) k1 2πV P0 2np p2 p= ; ε = arctg 2 ; B= ; P0 = η max k − p2 L 2 ( k 2 − p 2 ) − 4n 2 p 2 23. Cho biÕt ë thêi ®iÓm ban ®Çu khèi l−îng m lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng mét kho¶ng x0. Nã ®−îc th¶ tù do kh«ng cã vËn tèc ban ®Çu. Khi khèi l−îng tr−ît trªn mÆt, gi÷a chóng • xuÊt hiÖn lùc ma s¸t kh« (ma s¸t Cul«ng). Sù phô thuéc gi÷a lùc ma s¸t Ft víi vËn tèc x cña khèi l−îng m ®−îc m« t¶ trong h×nh vÏ. T×m quy luËt chuyÓn ®éng cña khèi l−îng m. (2n − 1)Ft ⎤ ⎡ F C cos kt + (−1) n −1 t 2 , k = Tr¶ lêi: x m = ⎢ x 0 − ⎥ mk 2 mk m ⎣ ⎦ 151
24. Gi¶ sö lùc kÝch ®éng biÕn ®æi theo quy luËt: F(t) = F0⏐sinωt⏐ t¸c dông lªn khèi l−îng m. LËp ph−¬ng tr×nh dao ®éng c−ìng bøc cña t¶i träng vµ cho biÕt víi tÇn sè ω nµo cña lùc kÝch ®éng trong hÖ sÏ x¶y ra céng h−ëng (bá qua ma s¸t). cos 2nωt 2F0 4F0 ∞ k ∑ (2n − 1)(2n + 1)(k 2 − 4n 2 ω2 ) ; ω = 2n ; n = 1, 2, 3 ... Tr¶ lêi: x = − πC πm n =1 x m m C/2 C C F(t) Ft F(t) • x t F0 π/ω 2π/ω h×nh vÏ bt 23 h×nh vÏ bt 24 25. H·y kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña khèi l−îng m khi cã lùc ngoµi kh«ng ®æi Q ®ét ngét t¸c dông lªn nã (tøc gi¶ thiÕt F(t) = Q). Q (1 – cos pt); ymax = 2δt. Tr¶ lêi: y(t) = mp 2 ω F(t) r m L α F(t) m C C t δt h×nh vÏ bt 25 h×nh vÏ bt 26 26. Ng−êi ta ®Æt khèi l−îng m lªn hai lß xo, mçi lß xo cã ®é cøng C vµ nèi víi c¬ cÊu tay quay then truyÒn qua bé gi¶n chÊn cã hÖ sè c¶n nhít α. ViÕt ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña khèi l−îng m. T×m øng suÊt xuÊt hiÖn trong lß xo, biÕt ®−êng kÝnh lß xo D, ®−êng kÝnh d©y thÐp lß xo d, vËn tèc gãc cña tay quay ω b»ng tÇn sè dao ®éng riªng t¾t dÇn cña khèi l−îng m trªn lß xo. 152
α ⎧ •• 2C • x 2 + 2n x 2 + k 2 x 2 = 2nωr cos ωt; 2n = ; k 2 = ⎪ m m ⎪ Tr¶ lêi: ⎨ ⎛ mg ⎞ 8⎜ Cr + ⎟D ⎪ ⎪τ max = 2⎠ ⎝ πd 3 ⎩ 27. §Ó gi¶m ¶nh h−ëng dao ®éng cña nÒn (hoÆc dÇm) tíi chÕ ®é lµm viÖc cña m¸y ng−êi ta th−êng dïng ph−¬ng ph¸p c¸ch ly rung thô ®éng. §ã lµ viÖc ®Æt (hoÆc treo) c¸c m¸y trªn c¸c bé gi¶m rung mÒm. TÝnh hÖ sè ®éng lùc (tû sè gi÷a biªn ®é dao ®éng a cña khèi l−îng m víi biªn ®é dao ®éng cña nÒn (hoÆc dÇm) x0) ®èi víi c¸c s¬ ®å m« t¶ trªn h×nh vÏ. 1 1 a 1 Tr¶ lêi: K dl = = ; a) K dl = ; b) K dl = ; x0 2 2 2 ⎛ ω⎞ mω 4 mω 1− ⎜ ⎟ 1− 1− ⎝k⎠ 3C C L L m m C C x0sinωt x0sinωt a) b) h×nh vÏ bt 27 28. §Ó gi¶m t¸c dông cña lùc qu¸n tÝnh g©y ra bëi chi tiÕt mÊt c©n b»ng trong m¸y xuèng nÒn (mãng), ng−êi ta dïng ph−¬ng ph¸p c¸ch ly rung ®éng c¬. §ã lµ viÖc ®Æt hoÆc treo ®éng c¬ lªn nh÷ng gèi mÒm ®µn håi. TÝnh hÖ sè truyÒn ®éng lùc cña lùc qu¸n tÝnh xuèng nÒn ë nh÷ng chç g¾n gèi ®µn håi víi ®é cøng C. DÇm trªn ®ã ®Æt ®éng c¬ ®−îc xem nh− cøng tuyÖt ®èi. R dl 1 1 1 1 ; a) K dl = ; c) K dl = ; b) K dl = Tr¶ lêi: K dl = = 4mω mω 9mω2 ω Rt 2 2 2 1− 1− 1− 1− 2 C C 20C k P0sinωt P0sinωt P0sinωt L1 C m m m L1 C C L L C L L a) b) c) h×nh vÏ bt 28 153
29. §Ó c¸ch ly rung ®éng cña m¸y vµ thiÕt bÞ tíi gi¸ ®ì ®µn håi ng−êi ta th−êng ®−a vµo c¸c yÕu tè hao t¸n. §ã lµ bé gi¶m chÊn cã ma s¸t nhít. H·y tÝnh hÖ sè ®éng lùc ®èi víi s¬ ®å m« t¶ trªn h×nh vÏ. Khi tÝnh lÊy c¸c gi¸ trÞ nh− sau: m = 1NS 2 / cm ; ω = 100rad / s ; EJ = 200 N / cm α = 60 NS / cm ; L 1 Tr¶ lêi: η = ; η = 0,316 2 2 ⎛ ω 2 ⎞ ⎛ 2 nω ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ ⎜ k⎟ ⎠ ⎝k ⎠ ⎝ 30. Kh¶o s¸t dao ®éng c−ìng bøc cña khèi l−îng m khi cã xung lùc tuÇn hoµn cïng dÊu trong kho¶ng h÷u h¹n t1 vµ ®é cao h t¸c dông lªn nã. ⎡ ⎤ ⎛ T − t1 ⎞ ⎢ cos p 0 ⎜ t + 2 ⎟ ⎥ ⎛ p 0 t 1 ⎞⎢ ⎠ + 2 sin p ⎛ t − t 1 ⎞⎥ ⎝ Tr¶ lêi: y( t ) = h sin ⎜ ⎟ 0⎜ ⎟ T ⎝ 2 ⎠⎢ 2 ⎠⎥ ⎝ sin p 0 ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦ Trong kho¶ng: T ≤ t < ∞ nghiÖm nµy ®−îc th¸c triÓn tuÇn hoµn víi chu kú T. m F(t) C P0sinωt m EJ EJ F(t) α h t L L T T T H×nh vÏ bt 29 H×nh vÏ bt 30 154
Bμi tËp ch−¬ng II Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ nhiÒu bËc tù do. 31. Hai t¶i träng khèi l−îng m1, m2 treo vµo c¸c lß xo cã ®é cøng C1, C2 t−¬ng øng. X¸c ®Þnh c¸c tÇn sè dao ®éng chÝnh cña hÖ khi: a) C1 = C2 = C vµ b) C1 = C2 = C vµ m1 = m2 = m. 2(m1 + m 2 )C ( 2m 2 + m 1 ) 2 C 2 C2 Tr¶ lêi: a) k 1, 2 = − m 4m 1 m 2 2 2m 1 m 2 m1 m 2 2 ( ) 1C b) k 1, 2 = 3m 5 2m C1 m1 C2 m2 h×nh vÏ bt 31 h×nh vÏ bt 32 32. Mét mãng m¸y nÆng Q = 1000KN ®Æt trªn nÒn ®Êt ®µn håi. DiÖn tÝch ®¸y mãng S =17m2; ®é cøng riªng cña ®Êt b»ng: Λ = 60000KN/cm3. §Ó khö c¸c dao ®éng céng h−ëng ph¸t sinh khi m¸y lµm viÖc ng−êi ta ®Æt m¸y trªn mét bÖ nÆng liªn kÕt víi mãng b»ng c¸c lß xo ®µn håi cã ®é cøng tæng céng lµ: C = 50.000KN / m . Träng l−îng cña m¸y vµ bÖ P = 49 KN. H·y x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng cña hÖ (mãng vµ bé gi¶m rung). Tr¶ lêi: k 1 = 89,5rad / s; k 2 = 111,7rad / s 33. H·y x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng xo¾n chÝnh cña hÖ gåm mét trôc vµ ba ®Üa ®ång chÊt nh− nhau l¾p trªn trôc. Hai ®Üa l¾p chÆt vµo hai ®Çu, cßn ®Üa thø ba l¾p chÆt vµo gi÷a. M«men qu¸n tÝnh cña mçi ®Üa ®èi víi ®−êng t©m cña trôc b»ng J; ®é cøng khi xo¾n cña c¸c phÇn trôc C1 = C2 = C. Bá qua khèi l−îng cña trôc. 3C C Tr¶ lêi: k 1 = , k2 = J J 34. Hai con l¾c nh− nhau cã ®é dµi L vµ khèi l−îng m nèi víi nhau ë kho¶ng h b»ng lß xo cã ®éng cøng C. C¸c ®Çu lß xo g¾n chÆt vµo c¸c thanh cña chóng. H·y x¸c ®Þnh dao ®éng nhá cña hÖ trong mÆt ph¼ng chøa vÞ trÝ c©n b»ng cña con l¾c, sau khi lµm cho mét con l¾c lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng mét gãc α. VËn tèc ban ®Çu cña chóng b»ng 0. Bá qua khèi l−îng cña c¸c thanh vµ lß xo. ⎛ k + k 2 ⎞ ⎛ k1 − k 2 ⎞ ⎛ k + k 2 ⎞ ⎛ k1 − k 2 ⎞ Tr¶ lêi: ϕ1 = α cos⎜ 1 t ⎟ ; ϕ2 = α sin⎜ 1 t⎟ t ⎟ cos⎜ t ⎟ sin⎜ ⎝2 ⎠⎝2 ⎝2 ⎠⎝2 ⎠ ⎠ 155
g 2Ch 2 g ; k2 = + Trong ®ã: k1 = L mL2 L h C M C L ϕ m m m h×nh vÏ bt 34 h×nh vÏ bt 35 35. Con l¾c gåm con ch¹y khèi l−îng M tr−ît kh«ng ma s¸t trªn mÆt ph¼ng n»m ngang vµ qu¶ cÇu nhá cã khèi l−îng m nèi víi con ch¹y b»ng mét thanh dµi L, thanh nµy cã thÓ quay quanh mét trôc g¾n liÒn víi con ch¹y. Lß xo cã ®é cøng C, mét ®Çu g¾n víi con ch¹y cßn ®Çu kia g¾n cè ®Þnh. H·y x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng nhá cña hÖ. Tr¶ lêi: TÇn sè ph¶i t×m lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: ⎛ C g( M + m) ⎞ 2 Cg ⎟k + =0 k4 − ⎜ + ML ⎠ ⎝M ML 36. Thanh ®ång chÊt cã ®é dµi L treo vµo mét ®iÓm cè ®Þnh nhê sîi d©y dµi l = 0,5 L. H·y x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng chÝnh cña hÖ vµ t×m tû sè c¸c ®é lÖch khái ®−êng th¼ng ®øng cña thanh vµ d©y øng víi dao ®éng chÝnh thø nhÊt vµ thø hai. Bá qua khèi l−îng d©y. g g Tr¶ lêi: k 1 = 0,677 ; k 2 = 2,558 l l ϕ1 = 0,847ϕ2 trong dao ®éng chÝnh thø nhÊt. ϕ1 = −1,180ϕ2 trong dao ®éng chÝnh thø hai. l l b ϕ1 C a L L ϕ2 m=P/g m=P/g h×nh vÏ bt 36 h×nh vÏ bt 37 156
37. Hai con l¾c vËt lý nh− nhau treo vµo hai trôc song song ®Æt trong mÆt ph¼ng n»m ngang vµ nèi víi nhau b»ng mét lß xo cã ®é dµi ë tr¹ng th¸i ch−a bÞ c¨ng b»ng kho¶ng c¸ch gi÷a hai trôc cña con l¾c. H·y x¸c ®Þnh tÇn sè, tû sè biªn ®é c¸c dao ®éng chÝnh cña hÖ khi c¸c gãc lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng lµ nhá. Träng l−îng cña mçi con l¾c b»ng P, b¸n kÝnh qu¸n tÝnh cña nã ®èi víi trôc ®i qua träng t©m song song víi trôc treo b»ng ρ, ®é cøng cña lß xo b»ng C, kho¶ng c¸ch tõ träng t©m cña con l¾c vµ tõ ®iÓm g¾n lß xo vµo con l¾c ®Õn trôc treo t−¬ng øng b»ng a vµ b. Bá qua søc c¶n chuyÓn ®éng vµ khèi l−îng cña lß xo. (1) A (12) ( Pa + 2Cb 2 )g A 1 ga Tr¶ lêi: k 1 = ; k2 = ; (1) = +1; ( 2) = −1 2 2 P(ρ 2 + a 2 ) ρ2 + a 2 A2 A2 38. H·y nghiªn cøu dao ®éng cña toa xe löa trong mÆt ph¼ng gi÷a th¼ng ®øng cña nã, nÕu träng l−îng cña phÇn trªn lß xo cña toa xe b»ng Q. Kho¶ng c¸ch tõ träng t©m ®Õn c¸c mÆt ph¼ng th¼ng ®øng ®i qua c¸c trôc lµ L1 = L2 = L, b¸n kÝnh qu¸n tÝnh ®èi víi trôc trung t©m song song víi c¸c trôc cña toa xe b»ng ρ, ®é cøng cña c¸c lß xo ë c¶ hai trôc lµ nh− nhau C1 = C2 = C. Tr¶ lêi: x = Asin(k1t+α); ϕ = Bsin(k2t+β). Trong ®ã: x lµ dÞch chuyÓn th¼ng ®øng cña träng t©m toa xe; ϕ lµ gãc t¹o bëi sµn toa xe víi mÆt ph¼ng n»m ngang; A, B, α, β lµ c¸c 2CgL2 2Cg h»ng sè tÝch ph©n; k 1 = ; k2 = Qρ 2 Q O L C L1 L2 R A m h×nh vÏ bt 38 h×nh vÏ bt 39 39. Mét ®Üa trßn ®ång chÊt b¸n kÝnh R khèi l−îng M nèi khíp víi thanh OA = L, thanh nµy cã thÓ quay quanh trôc cè ®Þnh n»m ngang. ChÊt ®iÓm khèi l−îng m g¾n chÆt vµo vµnh ®Üa. H·y x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng tù do cña hÖ, bá qua khèi l−îng thanh. §Üa cã thÓ quay trong mÆt ph¼ng dao ®éng cña thanh OA. Tr¶ lêi: TÇn sè dao ®éng tù do lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: M + m ⎛ 2m(R + L ) ⎞ g 2 2mg 2 ( M + m) k4 − ⎜1 + ⎟ k+ =0 M + 3m ⎝ MRL ( M − 3m) ⎠L MR 157
40. H·y x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng xo¾n tù do cña hÖ gåm hai trôc liªn kÕt víi nhau b»ng c¸c b¸nh r¨ng truyÒn ®éng. M«men qu¸n tÝnh cña c¸c khèi l−îng l¾p trªn trôc vµ m«men qu¸n tÝnh cña c¸c b¸nh r¨ng ®èi víi ®−êng t©m c¸c trôc b»ng: J1 = 87500 kgcms2; J2 = 56000 kgcms2; J1z = 302 kgcms2; J2z = 10,5 kgcms2; Tû sè truyÒn λ = Z1/Z2 = 5; §é cøng cña c¸c trôc khi xo¾n: C1 = 316.106 Kgcm; C2 = 115.106 Kgcm. Bá qua khèi l−îng cña c¸c trôc. Tr¶ lêi: k1 = 54,8 rad/s; k2 = 2,38.103 rad/s. 41. Mét c¬ hÖ gåm khèi l−îng m1 vµ pitt«ng cña bé gi¶m chÊn g¾n cøng víi nhau t¹i ®iÓm B. Nhê lß xo cã ®é cøng C1, hÖ treo vµo tÊm ph¼ng A ®ang chuyÓn ®éng theo quy luËt: ξ = ξ(t). Hép cña bé gi¶m chÊn cã khèi l−îng m2 tùa trªn lß xo cã ®é cøng C2, ®Çu kia cña lß xo tùa trªn pitt«ng. Ma s¸t nhít trong bé gi¶m chÊn tû lÖ víi vËn tèc t−¬ng ®èi cña pitt«ng so víi hép, hÖ sè c¶n lµ β. H·y thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ. ⎧ •• • • m 1 x 1 + β x 1 − β x 2 − ( C 1 + C 2 ) x 1 − C 2 x 2 = C 1 ξ( t ) ⎪ Tr¶ lêi: ⎨ •• • • ⎪m 2 x 2 − β x 1 + β x 2 − C 2 x 1 + C 2 x 2 = 0 ⎩ O ξ(t) A O1 C 1 II II m1 C2 I I m2 B h×nh vÏ bt 40 h×nh vÏ bt 41 42. H·y t×m tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng chÝnh cña hai t¶i träng nh− nhau vµ b»ng Q, g¾n vµo hai ®Çu cña mét dÇm c«ng x«n n»m ngang. DÇm cã ®é dµi 3L n»m tù do trªn hai gèi ®ì c¸nh nhau mét kho¶ng L, ®iÓm g¾n t¶i träng c¸ch gèi nh÷ng kho¶ng L nh− nhau. M«men qu¸n tÝnh cña tiÕt diÖn ngang dÇm b»ng J; M«®un ®µn håi cña vËt liÖu dÇm b»ng E. Bá qua khèi l−îng cña dÇm. 6EJg 2EJg Tr¶ lêi: k 1 = ; k2 = 5QL3 QL3 158
43. §éng c¬ ®iÖn träng l−îng Q1 g¾n trªn mãng bª t«ng ®µn håi (d¹ng h×nh hép ®Æc) cã träng l−îng Q2 vµ hÖ sè cøng C2. Mãng ®Æt trªn nÒn ®Êt cøng. R«to cã träng l−îng P l¾p trªn trôc ®µn håi n»m ngang cã hÖ sè cøng khi uèn b»ng C1, t©m sai R«to ®èi víi trôc b»ng r, vËn tèc gãc cña trôc b»ng ω. H·y x¸c ®Þnh dao ®éng c−ìng bøc th¼ng ®øng cña Stato cña ®éng c¬ cã tÝnh ®Õn ¶nh h−ëng khèi l−îng mãng b»ng c¸ch céng thªm 1/3 khèi l−îng cña nã vµo khèi l−îng cña Stato. Tr¶ lêi: §é lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng cña Stato: C 1 Pgrω 2 sin(ωt ) y= ⎤ ⎡ 1 1 C 1C 2 g 2 − ⎢(C 1 + C 2 )P + C 1 (Q 1 + Q 2 )⎥ gω 2 + (Q 1 + Q 2 )ω 4 3 3 ⎦ ⎣ ωt rP C1 Q Q1 Q C2 L L L Q2 h×nh vÏ bt 42 h×nh vÏ bt 43 44. Ba toa tÇu chë hµng mãc víi nhau, ®é cøng c¸c mãc nèi toa b»ng C1, C2. Träng l−îng c¸c toa lµ Q1, Q2, Q3. T¹i thêi ®iÓm ban ®Çu hai toa ë vÞ trÝ c©n b»ng, cßn toa cuèi cïng bªn ph¶i lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng mét kho¶ng x0. a) T×m tÇn sè dao ®éng chÝnh cña hÖ. b) X¸c ®Þnh chuyÓn ®éng cña c¸c toa xe vµ vÏ c¸c dao ®éng chÝnh trong tr−êng hîp: C¸c toa xe cã träng l−îng b»ng nhau (Q1 = Q2 = Q3 = Q) vµ c¸c mãc nèi cã ®é cøng nh− nhau (C1 = C2 = C3 = C). Tr¶ lêi: a) k1 = 0, k2 vµ k3 lµ nghiÖn cña ph−¬ng tr×nh: ⎛C C + C2 C3 ⎞ 2 ⎛C C CC ⎞ CC k 4 − g⎜ 1 + 1 ⎟k + g 2 ⎜ 1 2 + 2 3 + 1 3 ⎟ = 0 + ⎜Q ⎟ ⎜Q Q ⎟ ⎝1 Q3 ⎠ ⎝ 1 2 Q 2 Q 3 Q 1Q 3 ⎠ Q2 x0 x0 x b) x 1 = − cos k 2 t + 0 cos k 3 t ; 3 2 6 x0 x0 x2 = − cos k 3 t 3 2 159
3Cg x0 x0 x gC cos k 2 t + 0 cos k 3 t ; k 2 = ; k3 = x3 = + 3 2 6 Q Q C¸c dao ®éng chÝnh biÓu diÔn nh− sau: 1 1 1 1 2 45. a) X¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng riªng cña dÇm tiÕt diÖn kh«ng ®æi cã hai khèi l−îng tËp trung m1 = m, m2 = 2m (H×nh vÏ 45a) b) §Æt lùc tøc thêi P(t) =P0 lªn khèi l−îng m1. T×m quy luËt dao ®éng cña c¸c t¶i träng vµ m«men uèn ë dÇm (H×nh vÏ 45b). EJ FJ Tr¶ lêi: a) k 1 = 5,6117 ; k 2 = 17,10 3 mL3 mL P0 L3 b) x 1 = ( 25 − 20 cos k 1 t − 4 cos k 2 t − cos k 3 t ) 3888EJ P0 L3 x2 = (39 − 40 cos k 1 t + cos k 3 t ) 3888EJ P0 L3 x3 = (17 − 20 cos k 1 t + 4 cos k 2 t − cos k 3 t ) 3888EJ EJ EJ EJ k1 = 5,643 ; k 2 = 22,4045 ; k 2 = 36 3 3 mL3 mL mL P0 m1 m2 m2 m3 m1 C1 C2 EJ EJ m2 m1 m3 L/6 L/3 L/3 L/6 L/4 L/4 L L a) b h×nh vÏ bt 44 h×nh vÏ bt 45 46. Ng−êi ta g¾n trªn trôc chung cña mét ®éng c¬ bèn nhÞp víi ba xi lanh. R«to cña m¸y ph¸t ®iÖn mét chiÒu cã m«men qu¸n tÝnh J1 = 1,78.103 kgcms2. R«to cña m¸y ph¸t ®iÖn xoay chiÒu cã m«men qu¸n tÝnh J2 = 5J1 vµ b¸nh ®µ cã m«men qu¸n tÝnh J3 = 50J1. §é dµi thu gän cña c¸c phÇn trôc L1 = 373 cm; L2 = 239 cm; M«®un tr−ît cña vËt liÖu trôc b»ng G; 160
m«men qu¸n tÝnh ®éc cùc cña tiÕt diÖn trôc b»ng JP; tÝch GJP = 1010 kgcm2. H·y x¸c ®Þnh: TÇn sè dao ®éng chÝnh cña hÖ, vËn tèc tíi h¹n cña trôc. Bá qua ¶nh h−ëng khèi l−îng cña pitt«ng, thanh truyÒn, tay quay vµ trôc. Tr¶ lêi: k1 = 0; k2 = 6,43 s-1; k3 = 138 s-1; ω(1)th = 42,6 s-1; ω(2)th = 92 s-1. L1 L2 J1 J2 J3 h×nh vÏ bt 46 161