Bài tập nguyên hàm tích phân đầy đủ

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

1.807
lượt xem 505
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập nguyên hàm tích phân đầy đủ mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập nguyên hàm tích phân đầy đủ

I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1 e 1 1 1.  ( x3  x  1)dx 2.  ( x    x 2 )dx 0 1 x x2 3 2 2.  x  2 dx 1 3.  1 x  1dx  2 1 4.  (2sin x  3cosx  x)dx 5.  (e x  x)dx  0 3 1 2 6.  ( x  x x )dx 3 7.  ( x  1)( x  x  1)dx 0 1  2 1 1 8.  (3sin x  2cosx  x )dx  9.  (e x  x 2  1)dx 0 3 2 2 10.  ( x  x x  x )dx 2 3 11.  ( x  1)( x  x  1)dx 1 1 3 2 x.dx 12.  (x  1).dx 13.  x2  2 3 1 -1 e2 7x  2 x  5 5 dx 14.  dx 15.  1 x 2 x2 x2  ( x  1).dx 2 2 cos3 x.dx 16.  2 17.  3 1 x  x ln x  sin x 6  e x  e x 4 1 tgx .dx 18.  0 cos2 x 19.  x 0 e  e x dx 1 2 e x .dx dx 20.  0 e x  e x 21.  1 4x 2  8x  ln 3 2 .dx dx 22.  0 e  e x x 22.  1  sin x 0 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:   2 2 1.  sin xcos xdx3 2 2.  sin 2 xcos 3 xdx   3 3   2 4 sin x 3.  1  3cosx dx 0 3.  tgxdx 0
  4 6 4.  cot gxdx 5.  1  4sin xcosxdx  0 6 1 1 6.  x x  1dx 7. x 1  x 2 dx 2 0 0 1 1 x2 8. x x  1dx 9.  3 2 dx 0 0 x3  1 1 2 1  x 1  x dx x 3 2 10. 11. dx 0 x3  1 1 1 1 1 1 12.  1 x 0 2 dx 13.  2 1 x  2x  2 dx 1 1 1 1 14.  0 x 12 dx 15.  (1  3x ) dx 0 2 2   2 2  e cosxdx 17.  ecosx sin xdx sin x 16.   4 4  1 2 18.  e x 2 19.  sin 3 xcos 2 xdx 2 xdx 0  3   2 2 20.  esin x cosxdx 21.  ecosx sin xdx   4 4  1 2 22.  e x 2 23.  sin 3 xcos 2 xdx 2 xdx 0  3   2 2 sin x 24.  sin 2 xcos 3 xdx 25.  1  3cosx dx  0 3   4 4 26.  tgxdx 27.  cot gxdx 0  6  6 1 28.  0 1  4sin xcosxdx 29. x 0 x 2  1dx 1 1 30. x 1  x 2 dx 31. x x 2  1dx 3 0 0 1 2 1 x 32.  33. x 1  x 2 dx 3 dx 0 x 13 0 1  ln x 2 e 1 34. x 1 x3  1 dx 35.  1 x dx
1  3ln x ln x e e sin(ln x) 36.  x dx 1 37.  1 x dx 2ln x 1 e2 1  ln 2 x e e 38.  dx 39.  dx 1 x e x ln x e2 2 1 x 40.  cos 2 (1  ln x) dx e 41.  1 1 x 1 dx 1 1 x 42.  0 2x 1 dx 43. x 0 x  1dx 1 1 1 1 44.  0 x 1  x dx 45.  0 x 1  x dx x 1 1  ln x 3 e 46.  1 x dx 46.  1 x dx 1  3ln x ln x e e sin(ln x) 47.  1 x dx 48.  1 x dx 2ln x 1 e2 1  ln 2 x e e 49.  1 x dx 50.  x ln x dx e 1  e2 51.  cos 1 dx 52. x 2 x 3  5dx e 2 (1  ln x) 0  2 4  sin x  1 cos xdx  4  x 2 dx 4 53. 54. 0 0 4 1   dx 55. 4  x 2 dx 56. 0 0 1  x2 II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Công thức tích phân từng phần :  u( x)v'(x)dx  u ( x)v( x) a   v( x)u '( x)dx b a a Tích phân các hàm số dễ phát hiê ̣n u và dv sin ax     @ Dạng 1  f ( x) cosax dx  e ax    u  f ( x) du  f '( x)dx    sin ax   sin ax        dv  cos ax  dx v   cosax  dx  e ax   eax       
 @ Dạng 2:  f ( x) ln(ax)dx   dx u  ln(ax) du  x Đặt   dv  f ( x)dx v  f ( x)dx    sin ax  @ Dạng 3:  eax .  dx  cosax  Ví dụ 1: tính các tích phân sau u  x 2 e x u  x5   1 2 x 3 8 xe x dx a/  dx đă ̣t  dx b/  4 đă ̣t  x3dx ( x  1) 2  dv  ( x  1) 3  dv  4 0  ( x  1) 2 2  ( x  1)3 1  x2  x2 1 1 1 1 dx dx x 2 dx c/   dx     I1  I 2 0 (1  x 2 )2 0 (1  x 2 )2 0 1  x 2 0 (1  x 2 ) 2 1 dx Tính I 1   bằ ng phương pháp đổ i biế n số 0 1  x2 u  x  1 x 2 dx Tính I 2 =  bằ ng phương pháp từng phầ n : đă ̣t  x 0 (1  x 2 )2 dv  (1  x 2 ) 2 dx  Bài tập e 3 e ln x 1. 1 x3 dx 2.  x ln xdx 1 1 e  x ln( x  1)dx x 2 2 3. 4. ln xdx 0 1 e e ln 3 x 5.  3 dx 6.  x ln xdx 1 x 1 1 e  x ln( x  1)dx x 2 2 7. 8. ln xdx 0 1  2 e 1 9.  ( x  cosx) s inxdx 0 10.  ( x  x ) ln xdx 1  2 3  ln( x  x)dx  x tan 2 2 11. 12. xdx 1  4  2 2   x cos xdx ln x 13. 5 dx 14. 1 x 0
 1 2   e x cos xdx x 15. xe dx 16. 0 0 III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 2x  1 5 b 1 1.  x 2  3x  2 dx 3 2.  ( x  a)( x  b) dx a x  x 1 x3  x  1 1 3 1 3.  x  1 dx 0 4.  x 2  1 dx 0 1 1 x2 1 5.  (3x  1) 3 dx 0 6.  ( x  2) 0 2 ( x  3) 2 dx 1 x 2x 3  6x 2  9x  9 2 2008 0 7.  dx 8.  x 2  3x  2 dx 1 x (1  x 2008 ) 1 x 2 n 3 3 1 x4 9.  ( x 2  1) 2 dx 2 10.  (1  x 2 ) n dx 0 x2  3 2 2 1 11.  dx 12.  x(1  x dx 1 x ( x  3 x  2) 4 2 4 1 ) 2 1 1 x 13.  4 x 0 2 dx 14. 1 x 0 4 dx 2 1 1 x 15.  x 2  2 x  2dx 0 16.  (1  x 0 2 3 ) dx 3x 2  3x  3 4 3 1 17.  3 dx 18.  x 3  3x  2 dx 2 x  2x  x 2 2 1 x2 2 1 1 19.  1  x 4 dx 1 20. 1 x 0 3 dx x6  x5  x4  2 2  x4 1 1 21.  dx 22.  dx 0 x6 1 0 1 x 2 1 4 x  11  1 x 1 4 23. 1 x 0 6 dx 24. x2  5x  6 dx 0 1  dx 25. 26. 0 x2  x  1 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
  2 2 1.  sin 2 x cos 4 xdx 2.  sin 2 x cos 3 xdx 0 0   2 2 3.  sin 4 x cos 5 xdx 4.  (sin 3 x  cos 3 )dx 0 0   2 2 5.  cos 2 x(sin 4 x  cos 4 x)dx 6.  (2 sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x)dx 0 0   2 2 1 7.  sin x dx  8.  (sin 10 x  cos 10 x  cos 4 x sin 4 x)dx 0 3   2 2 dx 1 9.  2  cos x 0 10.  2  sin x dx 0   2 sin 3 x 3 dx 11.  1  cos 2 x dx 0 12.   sin 4 x. cos x 6   4 2 dx cos x 13.  sin 2 x  2 sin x cos x  cos 2 x 0 14.  1  cos x dx 0   2 2 cos x sin x 15.  2  cos x dx 0 16.  2  sin x dx 0   2 cos 3 x 2 1 17.  1  cos x dx 0 18.  sin x  cos x  1 dx 0   2 cos xdx 2 sin x  cos x  1 19.  (1  cos x) 2  20.  sin x  2 cos x  3 dx  3 2   4 4 21.  tg 3 xdx 22.  cot g 3 xdx 0  6   3 4 1 23.  tg xdx 4 24.  1  tgx dx  0 4   4 dx 2 sin x  7 cos x  6 25.   26.  4 sin x  5 cos x  5 dx 0 cos x cos( x  ) 0 4  2 4 dx 27.  0 1  sin x dx 28.  2 sin x  3 cos x  0 13
  4 4 sin x 3 2 1  cos 2 x  sin 2 x 29.  1  cos 4 x dx 0 30.  0 sin x  cos x dx   2 2 sin 3 x dx 31.  1  cos x dx 0 32.   sin 2 x  sin x 4   4 sin 3 x 2 33.  cos 2 x dx 0 34.  sin 2 x(1  sin 2 x) 3 dx 0   3 3 sin 3 x  sin x 35.  cos x sin xdx 0 36.   sin 3 xtgx dx 4   2 2 dx dx 37.  1  sin x  cos x 0 38.  2 sin x  1 0   2 4 sin 4 xdx 39.  cos x sin xdx 3 5 40.  1  cos 2  0 x 4   2 6 dx dx 41.  0 5 sin x  3 2.   sin 4 x cos x 6   3 3 dx dx 43.   4.    sin x sin( x  )  sin x cos( x  ) 6 6 4 4   3 2 sin xdx 3  45.  cos 6 x  46.  tgxtg ( x  )dx  6 4 6  3 0 4 sin xdx sin 2 x 47.  (sin x  cos x) 3 0 48.  (2  sin x) 2  2   2 2 49.  sin 3 x dx 50. x 2 cos xdx 0 0   2 2 1  sin x 51.  sin 2 x.e 2 x 1 dx 52.  1  cos x e x dx 0 0   4 2 sin 3x sin 4 x sin 2 xdx 53.  tgx  cot g 2 x dx  54.  sin 0 2 x  5 sin x  6 6
 2 3 ln(sin x) 55.  cos(ln x)dx 1 56.   cos 2 x dx 6  2  57.  (2 x  1) cos 2 xdx 58.  x sin x cos 2 xdx 0 0  4   xtg 60.  e 2 x sin 2 xdx 2 59. xdx 0 0   2 4 61.  e sin x sin x cos 3 xdx  ln(1  tgx )dx 2 62. 0 0   4 dx 2 (1  sin x) cos x 63.  (sin x  2 cos x) 2 0 64.  (1  sin x)(2  cos 0 2 x) dx   2 2 65.    sin 2 x sin 7 xdx 66.  0 cos x(sin 4 x  cos 4 x)dx 2  2  4sin 3 x 67. dx 68. 0 1  cos x 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b  R( x, f ( x))dx a Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: ax  +) R(x, ) §Æt x = a cos2t, t  [0; ] ax 2 +) R(x, a 2  x 2 ) §Æt x = a sin t hoÆc x = a cos t ax  b ax  b +) R(x, n ) §Æt t = n cx  d cx  d 1 +) R(x, f(x)) = Víi (ax  b) x 2  x   ( x 2  x   )’ = k(ax+b) Khi ®ã ®Æt t = x 2  x   , hoÆc ®Æt t = 1 ax  b
  +) R(x, a 2  x 2 ) §Æt x = a tgt , t  [ ; ] 2 2 a  +) R(x, x 2  a 2 ) §Æt x = , t  [0;  ] \ { } cos x 2 +) R  n1 n2 ni x ; x ;...; x  Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni) §Æt x = tk 2 3 2 dx dx 1.  x x2  4 2.  2 x x2 1 5 3 1 2 2 dx dx 3.  (2 x  3) 1 4 x 2  12 x  5 4. x 1 x3  1  2 2 2 dx 5.  1 x 2  2008dx 6.  1 x 2  2008 1 1 7. x 1  x dx 8.  (1  x 2 ) 3 dx 2 2 0 0 2 x 1 1 x 3 2 2 9. x 1 2 x 1 2 dx 10.  0 1 x dx 2 1 2 dx dx 11.  0 (1  x ) 2 3 12.  0 (1  x 2 ) 3 2 1 2 x 2 dx 13.  0 1  x 2 dx 14.  0 1 x2   2 2 cos xdx 15.  0 7  cos 2 x 16.  sin x 0 cos x  cos 2 x dx   2 cos xdx 2 sin 2 x  sin x 17.  0 2  cos x 2 18.  0 1  3 cos x dx 7 3 x 3 dx 19.  20. x 10  x 2 dx 3 0 3 1 x 2 0 1 1 xdx x 3 dx 21.  0 2x  1 22.  x 0 x2 1 7 1 dx 23.  24. x 1  3x 8 dx 15 2 2x  1  1 0  2 ln 3 dx 25.  1  cos 3 x sin x cos 5 xdx 26.  6 0 0 ex 1
1 ln 2 dx e 2 x dx 27. 1 x  1 x2 1 28.  0 ex 1 1  3 ln x ln x 1 e 29.  12 x  4 x  8dx 30.  2 dx 5 1 x 4 x5  x3 3 4 31. 0 1 x 2 dx 32.  0 x 3  2 x 2  x dx 0 ln 3 ln 2 x 33.  x(e  x  1)dx 34.  2x 3 dx 1 ln 2 x ln x  1  cos 2 x  2 3tgx ln 2 3 cos 2 x e x dx 35.  0 cos 2 x dx 36.  0 (e x  1) 3   3 2 cos xdx cos xdx 37.  0 2  cos 2 x 38.  0 1  cos 2 x x2 7 2a 39.  0 3 x3 dx 40.  0 x 2  a 2 dx VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi a a ®ã:  a f ( x)dx   [ f ( x)  f ( x)]dx 0 3 3 VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [- ; ] tháa m·n 2 2 f(x) + f(-x) = 2  2 cos 2 x , 3 2 TÝnh:  f ( x)dx 3  2 x 4  sin x 1 +) TÝnh  1 1  x 2 dx Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], a khi ®ã:  f ( x)dx a = 0.  1 2 VÝ dô: TÝnh:  ln( x  1  x )dx  cos x ln( x  1  x 2 )dx 2 1  2 Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a a a], khi ®ã:  a f ( x)dx = 2  f ( x)dx 0
 2 x  cos x  1 x dx VÝ dô: TÝnh x 1 4  x2 1 4  sin 2 x dx   2 Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a a f ( x) a], khi ®ã:  dx   f ( x)dx (1  b>0,  a)  a1  b x 0  x 1 3 2 2 sin x sin 3x cos 5 x VÝ dô: TÝnh:  3 1  2 x dx  1 ex dx  2  Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; ], th× 2   2 2  0 f (sin x)   f (cos x)dx 0   2 2009 2 sin x sin x VÝ dô: TÝnh  sin 2009 x  cos 2009 x dx 0  0 sin x  cos x dx Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã:     xf (sin x)dx  2  f (sin x)dx 0 0   x x sin x VÝ dô: TÝnh  1  sin x dx 0  2  cos x dx 0 b b b b Bµi to¸n 6:  f (a  b  x)dx   f ( x)dx a a   f (b  x)dx   f ( x)dx 0 0   4 x sin x VÝ dô: TÝnh  0 1  cos x 2 dx  sin 4 x ln(1  tgx )dx 0 Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: a T T nT T  a f ( x)dx   f ( x)dx 0   0 f ( x)dx  n  f ( x)dx 0  2008 VÝ dô: TÝnh 0 1  cos 2 x dx C¸c bµi tËp ¸p dông:  1 x2 x7  x5  x3  x  1 1 4 1.  1 1 2x dx 2.  cos 4 x dx  4  x  cos x 1 2 dx 3.  1 (1  e )(1  x ) x 2 4.  4  sin 2 x dx  2
1 2 2 1 x 5.  cos 2 x ln( 1 1 x )dx 6.  sin(sin x  nx)dx 0  2  tga cot ga 2 sin 5 x xdx dx 7.   1  cos x dx 8.  1 x2   x(1  x 2 )  1 (tga>0)  1 1 2 e e VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 3 2  x 2  1dx 2. x  4 x  3 dx 2 1. 3 0  2 1 2 3.  0 x 2  x dx  x x  m dx 0 4.  sin x dx  2   3 5.   1  sin x dx 6.   tg 2 x  cot g 2 x  2dx 6 3 4 2 7.  sin 2 x dx  8.  0 1  cos x dx 4 5 3 9.  ( x  2  x  2 )dx 10. 2  4 dx x 2 0  3 11.  cos x cos x  cos 3 x dx 12.  2 VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2  Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY