Bài tập Phần Tóan học 1. Tính giới hạn các dãy số

Chia sẻ: Tu Oanh04 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

92
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập phần tóan học 1. tính giới hạn các dãy số', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập Phần Tóan học 1. Tính giới hạn các dãy số

Bài tập Phần Tóan học 1. Tính giới hạn các dãy số sau ( ) n2 + 5 - n2 + 6 a) lim n® ¥ é ù ( ) b) lim ê 3 / 2 n 3 + 1 - n 3 + 2 ú n n® ¥ ë û æn ö sin 2 n ÷ ç n + 1 ( )ø c) lim ç 2 ÷ ç ÷ è (n + 2)!- (n + 1)! d) lim (n + 2)!- (n + 1)! é1 1ù 1 e) lim ê + ú + ... + ê n(n + 1) ú 1.2 2.3 ë û æ + 22 + ... + n 2 ö 1 ÷ f )lim ç ÷ ç ÷ ç ÷ 3 2n è ø 12 + 22 + 32 + ... + (2n - 1)2 g) lim 22 + 4 2 + ... + (2n)2 2. Tính giới hạn 1 phía các hàm số sau 6 1 a) lim d) lim 31- x ± x® 5 x - 5 ± x® 1 2x + 3 1 b) lim x e) lim x® ± ¥ 2 - 3 x x® ± ¥ ln(1 + e x ) x2 c) lim f ) lim± x ® 2 p cosx-1 x x® ± ¥ 3. Tính giới hạn các hàm số sau, nếu tồn tại x 2 - x + 12 x 2 - x - 12 a) lim e) lim x+ 3 x+ 3 x® - 3 x® - 3 x+ 2 2 x + x- 2 b) lim 2 f ) lim 2 x® - 3 x - x - 6 x ® 1 x - 3x + 2 4 x3 - 1 (1 + h ) - 1 c) lim g)lim 2 h x® 1 x - 1 h® 0 (2 + h)3 - 8 9- t d) lim h) lim t® 0 3 - t h h® 0 1
2- t - 2 x 4 - 16 k)lim o)lim t t® 0 x® 9 x - 2 2 x - 81 é1 2ù l)lim p)lim ê ú -2 x- 3 x® 9 x® 1 ê - 1 x - 1ú ëx û é1 1ù -1 -1 - ú q)lim (3 + h) - 3 m)lim ê t® 0 ê 1 + t tú ët û h h® 0 11 x - x2 - i) lim n)lim x 2 x® 1 1- x x® 2 x - 2 x2 + x - 6 4. Giải thích tại sao khi viết = x + 3 lại sai trong khi viết x- 2 x2 + x - 6 = lim (x + 3) lại đúng. lim x- 2 x® 2 x® 2 5. Tính giới hạn các hàm số sau, nếu tồn tại. Nếu không tồn tại giải thích tại sao 2x 2 - 3x d) lim a) lim x + 4 x ® 1.5 2x - 3 x® - 4 æ1 1ö x+ 4 ÷ e) lim ç - ÷ b) lim- ç ÷ x ® 0- ç x ÷ ç x® - 4 x + 4 xø è x- 2 æ1 1ö c) lim ÷ f ) lim ç - ÷ ç ÷ x® 2 x - 2 ç ÷ x ® 0+ ç x xø è 6. Tính giới hạn các hàm số sau , nếu tồn tại. Nếu không tồn tại giải thích tại sao ì x , khi x < 0 ï ï ï2 a)f (x) = í x , khi 0 < x £ 2 ï ï 8- x , khi x>2 ï ï î ì x 2 - 2x + 2, khi x < 1 ï b) f (x) = ï í ï 3- x , khi x ³ 1 ï î ì - 1 , khi x < 0 ï ï ï c) f (x) = sgn x = í 0 , khi x = 0 ï ï 1 , khi x > 0 ï ï î 2 x-1 d) f (x) = x- 1 7. Tính giới hạn các hàm số sau 2
æ x 3 - 7x 2 + 4x + 2 ö÷ k)lim ç 2 ÷ x-1 ç ÷ x® 1 ç- 5x 3 + 7x + x 2 - 3 ø ÷ a)lim è 2x 2 - x - 1 x® 0 æ x3 + 8 ö x2 - 1 ÷ l) lim ç 2 ÷ ç b) lim 2 ÷ x ® - 2 ç x - 3x - 10 ø ÷ è x ® ¥ 2x - x - 1 æ2 - x + 1 ÷ö (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) - 1 m) lim ç c) lim ÷ ç ÷ x ® 3 ç 2x - 5 - 1÷ x x® 0 ç è ø 5 (1 + x) - (1 + 5x) ( x - x + 2) d) lim 2 n) lim x + 3 - x2 + x5 x® 0 x® ¥ (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) o) lim (2x - 1 - 4x + x - 3 ) 2 e) lim (5x - 1)5 x® ¥ x® ¥ p) lim (x + x - x + 2 ) 2 (2x - 3)20 (3x + 2)30 f ) lim x® - ¥ (2x + 1)50 x® ¥ æx 3 + 3x 2 - 9x - 2 ö ÷ q)lim ç ÷ 2 20 ç (x - x - 2) ÷ x® 2 ç ÷ x3 - x - 6 è ø g) lim (x 3 - 12x + 16)10 x® 2 æ- xö 1 ÷ r)lim ç æ3x 2 - 5x - 2 ö ÷ ç ÷ ÷ h)lim ç 2 ç1 - ÷ ÷ 3 x® 1 ç ç xø è ÷ x® 2 ç - x - x + 6 ø÷ è æ 1 + 2x - 3ö ÷ s)lim ç æ ö ÷ ç ç x+ x+ x ÷ ÷ x® 4 ç ÷ ç ÷ ç x- 2 ÷ è ø t) lim ç ÷ x® + ¥ ç ÷ ç x+ 1 ÷ ç è ø 8. Tính giới hạn các hàm số sau 1 + x + x 2 - 7 + 2x - x 2 x- 2 a)lim f )lim x 2 - 2x x® 2 2 x ® 4 x - 5x + 4 x+ 3x+ 4x 3 x- 6 + 2 b) lim g) lim 2x + 1 x® + ¥ x3 + 8 x® - 2 æ ö ( x + 7 - x - 1) c) lim ç x + x + x - x ÷ 2 2 h) lim ÷ ç ÷ x® + ¥ çè ø x® + ¥ k) lim ( x + x - 1 - x ) 3 2 3 ( ) 3 3 d) lim x + 1- x x® ¥ x® ¥ 3 1 + cx - 1 1 + 2x - 3 l) lim e) lim x x® 0 x- 2 x® 4 9. Áp dụng VCB tính các giới hạn sau: 1 1  sin 4x  cos4x  2. lim  2  cot g 2 x  1. lim 1  sin 4x  cos4x x 0 sin x x 0   1  cos 2 4x  cos4x-cos5x.cos3x  4. lim  3. lim  2x.s inx x.tg2x x 0 x 0    tgx+1  sinx+1   sin 2x  tg2x  5. lim  6. lim    x 0   x3 x3 x 0     3
 ln(cos4x)   ln(1  6x)  ln(1  2x)  7. lim  8. lim    2x x 0 ln(cos2x) x 0     sin 5x sinx-sina 9. lim 10. lim x 0 tg8x x a x a  1  2x  1  11. lim   x  tgx 12. lim x  / 2 2 tg3x x 0   sin 2 3x e2x  1 13. lim 14. lim x 0 ln 2 (1  2x) x 0 ln(1  4x) ln(1  x  3x 2  2x 3 ) ln(1  cosx) 15. lim 16. lim x 1 ln(1  3x  4x 2  x 3 ) ln(1  x 2 ) x 0 (1  x)3  1 3 5 8  3x  2 17. lim 19. lim x 0 4 (1  x) 3 (1  x) 2  1 16  4x  2 x 0 3 e1 x  1 1  1  4x 2 20. lim 21. lim   x 1 ln cos(x-1) x 0 1  1  arctgx 3 1  2x  1 8  3x  2 22. lim 23. lim x 0 4 tg3x x 0 16  5x  2 x arcsin   4x 2  1 2  1-x  25. lim 24. lim x 1/ 2 arcsin(1  2x) ln(1  x) x 0 sin(ex 1  1) ln(cosx) 27. lim 26. lim x 0 ln(1  x 2 ) ln(x) x 1 arctg(2-x)+sin(x-2)2 4 1  x 2  x3 1 28. lim 29. lim x2  4 ln cosx x2 x 0 3 2sin x 2  x 3  ln(1  x) xarcsin x (e7 x  1) 30. lim 31. lim tg 3 x.ln(1  3x)   x 0 x 0 x x x 10. Áp dụng các VCB tính các giới hạn sau 4
x3 3x + 4 æx + 2ö æ3x - x + 1 ö 2 1- x ÷ a) lim ç ÷ e) lim ç 2 ÷ ç ÷ ç ÷ x® ¥ ç x - ÷ è 3ø x ® ¥ ç 2x + x + 1ø ÷ è x2 + 1 æx 2 + 1 ö x- 1 ÷ b) lim ç 2 æx 2 - 1 ö1- x ÷ ç ÷ ÷ f ) lim ç 2 x® ¥ ç x + 9 ø÷ ÷ ç è ÷ x ® ¥ ç x + 1ø ÷ è æx - 5a öx+ c ÷ c) lim ç g)lim x 1 - 2x ÷ ç ÷ x ® ¥ ç x + 2b ø è x® 0 1 h)lim x cos( x ) æs in2x öx- a x® 0 ÷ d) lim ç ÷ ç ÷ x ® a + çsin 2a ø k) lim(sinx) tgx è p x® 2 sin 2 3 x 1 2x 1 l. lim m. lim x  0 ln 2 1  2 x  tg 3 x x 0 ln 1  x  3 x 2  2 x3  e2 x  1 o. lim n. lim ln 1  3 x  4 x 2  x3  x  0 ln 1  4 x  x 1 ln cos x k. lim ln 1  x 2  x 0 3 1  x   1 5 3 8  3x  2 p. q. lim lim x 0 4 2 16  4 x  2 x 0 1  x  3 1  x   1 3 e1 x  1 1  1  4x2 y. lim x. lim x 1 ln  cos  x  1  x 0 1  1  arctgx   11. Xét tính liên tục của các hàm số sau ì x2 - 4 ï ï , khi x ¹ 2 a)f (x) = ï x-2 í ï ïa ìx , khi x = 2 ï , khi x £ 1 ï î e)f (x) = ï 2 í ï x + ax+b ,khi x > 1 ì x- 1 , khi x £ 1 ï ï î b)f (x) = ï 2 í ï ax - 2 , khi x > 1 ì ï (x - 1)2 ï î ï , khi x ¹ 1 ï ï x2 - 1 ì p ï ï ï ax + 1 , khi x £ f ) f (x) = í ï ïa ,khi x = - 1 ï 2 ï c) f (x) = í ï ï ïb p , khi x = 1 ï sinx + b ï î , khi x > ï ï 2 ï î ì ï xcos x ï ï ì (x - 1)3 , khi x £ 0 é p 3p ù ï ï 2 ï , x Î ê , ú\ { p } - 0, ï ï ï s inx d) f (x) = ï ax+b , khi 0
12. Hãy phân lọai điểm gián đọan của các hàm số sau x 1- x a)y = d)y = 2 x + x- 6 1+ x 3 1 1 1 b)y = - x- 1 e)y = x x + 1 1 1 1 - c)y = 3 x- 1 x x - 3x 2 - 4x 13. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số 1 a) y = x2 b) y = x c) y = e x ì x 2 + 2x , khi x ³ 0 ï d)y = f (x) = ï í ïx , khi x < 0 ï î 14. a) Cho f (x) = x 2 s in(x-2). Tính f’(2) x b) Cho f (x) = x + (x - 1)arcsin . Tính f’(1) x+1 15. Tính đạo h àm của các hàm số sau x2 + 1 12.y = 3 1.y = x - 3x + 1 x2 - 1 2.y = x 3 + 3x + 5 13.y = (3 + 2x 2 )(x 2 - 1) 3.y = x 4 - 2x 3 + 3 14.y = (x 2 + 1)ln x 2 4.y = x - 3x + 2 15.y = x 3sìnx 3x + 1 5.y = x+ 1 1- x 16.y = 2x + 1 x 2 - 2x 6.y = sin x x- 1 17.y = 2x + 1 1 7.y = x + 3x - 1 x 18.y = sin x 2x 8.y = x e ex + x 9.y = (x 2 + 1)sin x 19.y = 2 x +1 10.y = sin x.tgx 20.y = (e x + sin x )(x + 1) 2 11.y = (x 2 + 5x + 1)(x - 1) 21.y = sin 4 (5 - x 2 ) 16. Tính đạo h àm của hàm số 6
1- x 1+ x f )y = e a) y = (acosx+bsinx)a b) y = Ae- k x sin(wx+a ) g)y = ln 1 - s inx 2 1+cosx ax+b c)y = n h)y = cos(2arcosx) cx+d i)y=ln(ln(lnx 2 )) 2 2 d)y = 2x + x + 1 æ p s inx ö ÷ k)y = ln tg ç + ÷ ç cos(8x-3p )-1 ÷ ç4 è 2ø e)y = tg2x - cot g2x 17. Tính đạo h àm của hàm số sau 7 a)y = x ln x 2 2 1+ log x e log x e 1+ ln x ln x b)y = x - 2x .e +e arctgx c)y = (arcsinsin 2 x ) d)y = x s inx e)y = (cosx)sinx x æ 1ö f )y = ç1 + ÷ ÷ ç ÷ ç xø è 18. Tính đạo h àm f '(0+ ), f '(0- ) các hàm số sau ìx , khi x £ 0 ï a)f (x) = ï 3 4 í ï x , khi x > 0 ï î ì 2x , khi x < 0 ï b) f (x) = ïí ï ln(1 + 5 x 7 ) , khi x ³ 0 ï î ì 1 ï ï 1+ ex , khi x < 0 c) f (x) = ï í ï ï 1 + 3 x 4 , khi x ³ 0 ï ï î 19. Tính đạo h àm một phía của h àm số tại điểm gián đọan của nó ìx ï ï ( - x2 ) 1 , khi x ¹ 0 ï a)f (x) = í x ï ï1 ï , khi x = 0 ï î 7
ì1 ï ï , khi x ¹ 0 ï 1 b)f (x) = ï 1 + e x í ï ï ï0 , khi x = 0 ï î ì æö ï ï arctg ç1+x ÷ , khi x ¹ 1 ÷ ï ç ÷ ç 1-x ø ï è ï c) f (x) = í ïp ï ï , khi x = 1 ï2 ï î ì æö ï ï arctg ç 1 ÷ , khi x ¹ 0 çx ÷ ï çø è÷ ï d) f (x) = ï í ïp ï- ï , khi x = 0 ï2 ï î ì ex + 1 - x - 2 ï ï , khi x ¹ - 1 20. Cho hàm số f (x) = ï í x+ 1 ï ïm , khi x = 1 ï ï î a) Xác định m để f liên tục tại x =-1 b ) Tìm f’(-1) ứng với m vừa tìm được trong câu a ì e2 x - 2x - 1 ï ï , khi x ¹ 0 21. Cho hàm số f (x) = ï í x ï ïm , khi x = 0 ï î a) Xác đ ịnh m để f liên tục tại x =0 b) Tìm f’(0) ứng với m vừa tìm được trong câu a ì 2x + 1 - cosx ï ï , khi x ¹ 0 22. Cho hàm số f (x) = ï í x ï ïm , khi x = 0 ï ï î a) Xác đ ịnh m để f liên tục tại x =0 b) Tìm f’(0) ứng với m vừa tìm được trong câu a ì (x + a)e- bx , khi x ¹ 0 ï 23. Cho hàm số f (x) = ï 2 í ï ax + bx + 1 , khi x = 0 ï î Tìm a, b để h àm số có đạo hàm tại x=0. 24. Tìm vi phân của các hàm số sau 8
a) y = x 4 + 5x b)y = cosp x c) y=x 2 t anx d) y= 1+t 2 u+ 1 e) y = u- 1 f )y = (1 + 2r)- 4 25. a) Tìm vi phân dy của các hàm số sau; b) Tính giá trị của dy ứng với x và dx đư ợc cho sau đây 1 1. y = x 2 + 2x , x = 3, dx = 2 3 2 2.y = x - 6x + 5x - 7, x = - 2,dx = 0.1 3 3. y = (x 2 + 5x ) , x = 1, dx = 0.05 4.y = 1 - x , x = 0,dx = 0.02 5. y = cosx ,x=p /6,dx=0.05 6.y=sinx ,x=p /6,dx=-0.1 26. Tìm hàm tuyến tính L(x) của các h àm số sau tại a 1.f (x) = x 3 ,a = 1 2.f (x) = 1/ 2 + x , a = 0 3.f (x) = 1/ x ,a = 4 3 4.f (x) = x ,a = - 8 27. Tính D y, dy ứng với giá trị của x và dx = D x . Sau đó rút ra nh ận xét gì 1.y = x 2 , x = 1, D x = 0.5 2.y = x , x = 1, D x = 1 2 3.y = 6 - x , x = - 2, D x = 0.4 4.y = 16 / x , x = 4, D x = - 1 28. Sử dụng vi phân tính gần đúng các giá trị sau 9
1. 36.1 2. 1.02 + 4 1.02 1 3. 10.1 6 4.(1.97 ) 5.sin 590 6.cos31.50 29. Tìm vi phân tại các điểm đã ch ỉ ra æ1 öö æx - 1÷÷ a)d ç + ln ç ;x = - 1 ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç x øø çx è è æ lnx ö 1 ÷ b) d çarctg ; x1 = , x2 = e ÷ ç ÷ ç è xø e æ(2x - 1)3 2 + 3x ö ÷ c)d ç ÷ ç (5x + 4) 2 3 1 - x ø; x = 0 ç ÷ ÷ ç è æx 2 2 x ö d) d ç x ÷ ÷ ç ÷ çx ø ÷ è 30. Cho biết các câu phát biểu sau là đúng hay sai a) Nếu f liên tục tại a thì f có vi phân tại a d  f (x)  g(x)  f '(x)  g '(x) b) Nếu f và g có vi phân tại a, th ì dx d  f (x).g(x)  f '(x).g '(x) c) Nếu f và g có vi phân thì dx d  f (g(x))   f '(g(x)).g '(x) d) Nếu f và g có vi phân thì dx d f '(x) f (x)  e) Nếu f có vi phân thì dx 2 f (x) d f '(x)   (x)  f) Nếu f có vi phân th ì f dx 2x d2 x  x  2x  1 g) dx h) Nếu f’(x) tồn tại th ì lim f (x)  f (r) x r 31. Tìm ,  để các hàm số sau đây: i) liên tục trên ; ii) khả vi trên 10
 x  , x  1 a) y  f (x)   2 x 1 x ,   x 2 , x 1  b) y  f (x)   1 , x 1 x    2x  2 ,x 1  c) y  f (x)   (x  1)(x  2)(x  ) ,1  x  2  x  1 ,x  2  2 x 3  x , x  2  d) y  f (x)   1 1  arcsin , x  2  x  (x  )ex , x  0 e) y  f (x)   2 x   x  1 , x  0 x   ,x  0 f) y  f (x)   cosx+sinx ,x  0 32. Tìm đạo hàm và vi phân cấp hai của hàm số sau x(1  3 1  x 2 ) a)y  1 x2 b)y  cos 2 x   c)y  ln x  x 2  1   d)y  arctg x+ x 2  1 x2 1 e) y  arcsin x2 1 1-x f ) y  arccotg 2x-x 2 dy d 2 y 33.Tính , với y=y(x) là hàm số cho bưởi phương trình tham số , dx dx 2 a) x  1  cos 2 t  sin t , y  sin 2 t cos t ; b) x   t 2  1 et , y  t 2e2 t ; 2t  t 2 t2 c) x  , ; y t 1 t 1 11
d) x  ln 1  sin t  , y  ln 1  cos 2t  ; 34. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau đây 1  x2 x a) y  2 ; b) y  ; 1  x2 x  4 x  12 3  2 x2 d) y   x  1 2 x 1 ; c) y  2 ; 2 x  3x  2 3 x e) y  x cos x ; f) y  x ln . 3 x 35. Viết khai triển Taylor tại lân cận điểm x0 của hàm số b) y  x 2 e2 x , x0  1 ; a) y  sin  2 x  3  , x0  1 ; 1 c) y   x 2  1 e 2 x , x0  1 ; d) y  ln  2 x  1 , x0  ; 2 x 2  3x  3 2x 1 f) y  , x0  3 . e) y  , x0  2 ; x2 x 1 36. Áp dụng khai triển Maclaurin của các hàm số sơ cấp, tính các giới hạn sau đây ln 1  x   x ex 1 x a) lim ; b) lim ; x2 x2 x 0 x 0 x2 cos x  1  tgx  x 2; c) lim d) lim ; 4 x3 x x 0 x 0 arctgx  arc sin x tgx  x e) lim ; f) lim 2 x  0 sin x  x x x 0 38. Áp dụng quy tắc L’Hospital, tính các giới hạn sau đây x2  1 x2 1 1. 1) lim 2 2) lim 2 x 0 2 x  x  1 x  2 x  x  1 1  x  1  2 x  1  3x   1 2. lim x x 0 2 1  x   1  5x  3. lim x 2  x5 x 0  x  1  x  2   x  3  x  4   x  5 4. lim 5  5 x  1 x  20 x  x  2 20 20 2  2 x  3  3x  2  5. 6. lim lim 10 50  2 x  1 x  12 x  16  x 2 x  3 x  13  2 x  1 1  2x  3 7. lim 8. lim x2  9 x 4 x 2 x3 1  x  x2  7  2x  x2 9. lim x2  2x x 2 1  x sin x  1   11. lim  x  x  x  x  10. lim x2 x  x 0   1  cos 5 x   3 x 1  3 x 12. lim 13. lim x 0 1  cos 3 x x  12
tgx  sin x 1  2 cos x 14. lim 15. lim x2   3x  x 0 x 3 x  cos  ln  2  e3 x   2 lim 16. lim 17. ln  3  e 2 x  x 1 1 x x  1  5x lim x ln 1  x   ln x  18. 19. lim x    x 0 1  e x 8x  7 x sin 2 x 20. lim 21. lim x 0 6 x  5 x x  0 ln(1  x ) a x  h  a x  h  2a 2 22. lim (a>0) h2 h0 1 sin 3 x  sin x lim 10 x 5 23. lim 24. ln 1  x  x 5  x 0 2 x 1 x c  x2  1   xa 25. lim  2  26. lim   x  x  b x  x    1  sin x  x a 28. lim x 1  2 x 27. lim    x  a  sin a  x 0 1 x2 1  x x 2 29. lim   30. lim x 2 2 x ln x x 1  1 31. lim 1  sin  x 2  x   x x 0   39. Áp dụng quy tác L’Hospital, tính các giới hạn sau đây 3x 2  4 x  7 ln cos x a) lim 2 ; b) lim ; x 1 2 x  3 x  5 x  0 ln cos 3 x   ln  x   ln x 2 d) lim  c) lim ; ;  tgx x  0  ln sin x x  2 1 1   e) lim   2arctg x  2 ; x ; f) lim  x  0 xarctgx x x   1 2 x ln x h) lim 1  x  ; g) lim  arccos x  ; x 0  x0    cos x tgx k) lim  tgx  i) lim  arcsin x  ; .  x0  x  2 39. Tìm các giới hạn sau x  1 xa  a x    0 ;  a  0, a  1 a) lim b) lim x x 1 x   1 xa a  a a xa  a x x  sin x a a  0, a  1 ; d) lim c) lim a x 0 tg  x xa x  a 2  e) lim sin x ln cot gx ; f) lim x ln  arctgx   x  x 0  13
1 1 1 1 g) lim  2  2  ; h) lim    x 0 x sin x  x 0 x arcsin x    x 1 2  i) lim x x 1 ; j) lim  arctgx  x   x 1   sin x 1 cos x k) lim  tgx  ; l) lim    x 0  x  x  2 14