Bài tập phương trình đối xứng theo sin và cos

Chia sẻ: Ngoclan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

174
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu này đã tổng hợp khá đầy đủ các công thức lượng giác cần dùng cho quá trình học của học sinh. Mong rằng với tài liệu này các bạn sẽ học phần lượng giác tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập phương trình đối xứng theo sin và cos

CHÖÔNGV PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG THEO SINX, COSX a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x = c (1) Caù c h giaû i Ñaët t = sin x + cos x vôùi ñieàu kieän t ≤ 2 ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ Thì t = 2 sin ⎜ x + ⎟ = 2 cos ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ Ta coù : t 2 = 1 + 2 sin x cos x neân (1) thaønh b 2 at + 2 ( ) t −1 = c ⇔ bt 2 + 2at − b − 2c = 0 Giaû i (2) tìm ñöôïc t, roà i so vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 ⎛ π⎞ giaû i phöông trình 2 sin ⎜ x + ⎟ = t ta tìm ñöôï c x ⎝ 4⎠ Baø i 106 : Giaû i phöông trình sin x + sin2 x + cos3 x = 0 ( *) ( (*) ⇔ sin x (1 + sin x ) + cos x 1 − sin2 x = 0 ) ⇔ (1 + sin x ) = 0 hay sin x + cos x (1 − sin x ) = 0 ⎡sin x = −1 (1 ) ⇔⎢ ⎢sin x + cos x − sin x cos x = 0 ( 2 ) ⎣ π • (1) ⇔ x = − + k2π ( k ∈ Z ) 2 ⎛ π⎞ •Xeùt ( 2 ) : ñaët t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ ñieàu kieän t ≤ 2 thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x t2 − 1 Vaä y (2) thaø n h t − =0 2 ⇔ t 2 − 2t − 1 = 0 ⎡t = 1 − 2 ⇔⎢ ⎢ t = 1 + 2 ( loaïi ) ⎣ ⎛ π⎞ Do ñoù ( 2 ) ⇔ 2 cos ⎜ x − ⎟ = 1 − 2 ⎝ 4⎠
⎛ π⎞ 2 ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = − 1 = cos ϕ vôùi 0 < ϕ < 2π ⎝ 4⎠ 2 π 2 ⇔ x− = ±ϕ + h2π, h ∈ , vôùi cos ϕ = −1 4 2 π 2 ⇔ x = ± ϕ + h2π, h ∈ , vôùi cos ϕ = −1 4 2 3 Baø i 107 : Giaû i phöông trình −1 + sin 3 x + cos3 x = sin 2x ( *) 2 3 ( *) ⇔ −1 + ( sin x + cos x )(1 − sin x cos x ) = sin 2x 2 ⎛ π⎞ Ñaët t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 Thì t2 = 1 + 2sin x cos x ⎛ t2 − 1 ⎞ 3 2 Vaä y (*) thaø n h : −1 + t ⎜ 1 − ⎜ 2 ⎟ 2 ⎟= ( t −1 ) ⎝ ⎠ ( ) ( ⇔ −2 + t 3 − t 2 = 3 t 2 − 1 ) ⇔ t 3 + 3t 2 − 3t − 1 = 0 ( ) ⇔ ( t − 1) t 2 + 4t + 1 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = −2 + 3 ∨ t = −2 − 3 ( loaïi ) ⎛ π⎞ 1 π vôùi t = 1 thì sin ⎜ x + ⎟ = = sin ⎝ 4⎠ 2 4 π π π 3π ⇔ x + = = k2π ∨ x + = + k2π, k ∈ 4 4 4 4 π ⇔ x = k2π ∨ x = + k2π , k ∈ 2 ⎛ π⎞ 3−2 vôù i t = 3 − 2 thì sin ⎜ x + ⎟ = = sin ϕ ⎝ 4⎠ 2 π π 3−2 ⇔ x+ = ϕ + m2π ∨ x + = π − ϕ + m2π, m ∈ , vôùi = sin ϕ 4 4 2 π 3π 3−2 ⇔ x =ϕ− + m2π ∨ x = − ϕ + m2π, m ∈ , vôùi = sin ϕ 4 4 2 Baø i 108 :Giaû i phöông trình 2 ( sin x + cos x ) = tgx + cot gx ( *) ⎧sin x ≠ 0 Ñieà u kieä n ⎨ ⇔ sin 2x ≠ 0 ⎩cos x ≠ 0 sin x cos x Luù c ñoù (*) ⇔ 2 ( sin x + cos x ) = + cos x sin x
sin2 x + cos2 x 1 ⇔ 2 ( sin x + cos x ) = = sin x cos x sin x cos x ⎛ π⎞ Ñaët t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x vôùi t ≤ 2 vaø t 2 ≠ 1 2 (*) thaøn h 2t = 2 t −1 3 ⇔ 2t − 2t − 2 = 0 (Hieå n nhieâ n t = ±1 khoâ n g laø nghieä m ) ( ⇔ t− 2 )( ) 2t 2 + 2t + 2 = 0 ⎡t = 2 ⇔⎢ 2 ⎢ t + 2t + 1 = 0 ( voâ nghieäm ) ⎣ ⎛ π⎞ Vaä y ( *) ⇔ 2 sin ⎜ x + ⎟ = 2 ⎝ 4⎠ ⎛ π⎞ ⇔ sin ⎜ x + ⎟ = 1 ⎝ 4⎠ π π ⇔ x + = + k2π, k ∈ 4 2 π ⇔ x = + k2π, k ∈ 4 Baø i 109 : Giaû i phöông trình 3 ( cot gx − cos x ) − 5 ( tgx − sin x ) = 2 ( *) Vôù i ñieà u kieä n sin 2x ≠ 0 , nhaâ n 2 veá phöông trình cho sinxcosx ≠ 0 thì : ( *) ⇔ 3 cos2 x (1 − sin x ) − 5 sin2 x (1 − cos x ) = 2 sin x cos x ⇔ 3 cos2 x (1 − sin x ) − 5 sin2 x (1 − cos x ) = 5 sin x cos x − 3 sin x cos x ⇔ 3 cos x ⎡cos x (1 − sin x ) + sin x ⎤ − 5 sin x ⎡sin x (1 − cos x ) + cos x ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⇔ 3 cos x ( cos x − sin x cos x + sin x ) − 5 sin x ( sin x − sin x cos x + cos x ) = 0 ⎡sin x + cos x − sin x cos x = 0 (1) ⇔⎢ ⎢3 cos x − 5 sin x = 0 ⎣ ( 2) ( Ghi chuù : A.B + A.C = A.D ⇔ A = 0 hay B + C = D ) ⎛ π⎞ Giaû i (1) Ñaë t t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ Thì t2 = 1 + 2sin x cos x vôù i ñieà u kieä n : t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 t2 − 1 (1) thaøn h : t − = 0 ⇔ t 2 − 2t − 1 = 0 2 ( ⎡ t = 1 + 2 loaïi do t ≤ 2 ⇔⎢ ) ⎢ t = 1 − 2 ( nhaän so vôùi ñieàu kieän ) ⎣
⎛ π⎞ 1− 2 Vaä y sin ⎜ x + ⎟ = = sin α ( 0 < α < 2π ) ⎝ 4⎠ 2 ⎡ π ⎡ π ⎢ x + = α + k2π ⎢ x = α − + k2π ⇔⎢ 4 ⇔⎢ 4 π ⎢ x + = π − α + k2π, k ∈ ⎢x = 3π − α + k2π, k ∈ ⎢ ⎣ 4 ⎢ ⎣ 4 3 ( 2) ⇔ tgx = = tgβ ⇔ x = β + hπ, h ∈ ( vôùi 0 < β < π ) 5 Baø i 110 : Giaû i phöông trình 3 (1 + sin x ) ⎛π x⎞ 3tg3 x − tgx + = 8 cos2 ⎜ − ⎟ ( *) cos x ⎝4 2⎠ 2 Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1 ⎡ ⎛π ⎞⎤ ( ) ( ) Luù c ñoù : (*) ⇔ tgx 3tg 2 x − 1 + 3 (1 + sin x ) 1 + tg 2 x = 4 ⎢1 + cos ⎜ − x ⎟ ⎥ ⎝2 ⎠⎦ ⎣ = 4 (1 + sin x ) ⇔ tgx ( 3tg2 x − 1) + (1 + sin x ) ⎡3 (1 + tg2 x ) − 4 ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ ( 3tg 2 x − 1) ( tgx + 1 + sin x ) = 0 ⇔ ( 3tg 2 x − 1) ( sin x + cos x + sin x cos x ) = 0 ⎡3tg 2 x = 1 (1) ⇔⎢ ⎢sin x + cos x + sin x cos x = 0 ⎣ (2) 1 3 π •(1) ⇔ tg 2 x = ⇔ tgx = ± ⇔ x = ± + kπ 3 3 6 ⎛ π⎞ • Giaûi ( 2 ) ñaët t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x t2 −1 (2) thaøn h : t + = 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0 2 ⇔⎢ ( ⎡ t = −1 − 2 loaïi do ñieàu kieän t ≤ 2 ) ⎢ t = −1 + 2 ( nhaän so vôùi ñieàu kieän ) ⎣ ⎛ π⎞ 2 −1 Vaä y sin ⎜ x + ⎟ = = sin ϕ ⎝ 4⎠ 2 ⎡ π ⎡ π ⎢ x + 4 = ϕ + k2π, k ∈ ¢ ⎢ x = ϕ − 4 + k2 π, k ∈ ¢ ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢ x + π = π − ϕ + k2π, k ∈ ¢ ⎢ x = 3π − ϕ + k2 π, k ∈ ¢ ⎢ ⎣ 4 ⎢ ⎣ 4
Baø i 111 : Giaû i phöông trình 2sin 3 x − sin x = 2 cos3 x − cos x + cos2x ( *) (*) ⇔ 2 ( sin 3 x − cos3 x ) − ( sin x − cos x ) + sin 2 x − cos2 x = 0 ⇔ sin x − cos x = 0 hay 2 (1 + sin x cos x ) − 1 + ( sin x + cos x ) = 0 ⎡sin x − cos x = 0 (1) ⇔⎢ ⎢sin x + cos x + sin 2x + 1 = 0 ( 2 ) ⎣ • (1) ⇔ tgx = 1 π ⇔x= + kπ, k ∈ ¢ 4 ⎛ π⎞ •xeùt ( 2 ) ñaët t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n : t ≤ 2 t 2 = 1 + sin 2x Vaäy ( 2 ) thaønh t + ( t 2 − 1) + 1 = 0 ⇔ t ( t + 1) = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = −1 ⎛ π⎞ Khi t = 0 thì cos ⎜ x − ⎟ = 0 ⎝ 4⎠ π π ⇔ x − = ( 2k + 1) , k ∈ ¢ 4 2 3π ⇔x= + kπ, k ∈ ¢ 4 ⎛ π⎞ 1 3π Khi t = −1 thì cos ⎜ x − ⎟ = − = cos ⎝ 4⎠ 2 4 π 3π ⇔ x− =± + k2 π, k ∈ ¢ 4 4 π ⇔ x = π + k2 π hay x = − + k2 π, k ∈ ¢ 2 Baø i 112 : Giaû i phöông trình sin x + sin 2 x + sin3 x + sin 4 x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x ( *) Ta coù : (*) ⇔ ( sin x − cos x ) + ( sin 2 x − cos2 x ) + ( sin 3 x − cos3 x ) + ( sin 4 x − cos4 x ) = 0 ⇔ ( sin x − cos x ) = 0 hay 1 + ( sin x + cos x ) + (1 + sin x.cos x ) + ( sin x + cos x ) = 0 ⎡sin x − cos x = 0 (1) ⇔⎢ ⎢2 ( sin x + cos x ) + sin x cos x + 2 = 0 ( 2 ) ⎣ Ta coù : (1) ⇔ tgx = 1 π ⇔ x = + kπ, k ∈ ¢ 4
⎛ π⎞ Xeù t (2) : ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x t2 −1 (2) thaø n h 2t + +2 = 0 2 ⇔ t 2 + 4t + 3 = 0 ⇔ t = −1 ∨ t = −3 ( loaïi ) ⎛ π⎞ 1 3π khi t = -1 thì cos ⎜ x − ⎟ = − = cos ⎝ 4⎠ 2 4 ⎡ π 3π ⎢ x− = + k2 π, k ∈ ¢ ⇔⎢ 4 4 ⎢ x − π = − 3π + k2 π, k ∈ ¢ ⎢ ⎣ 4 4 ⎡ x = π + k2 π, k ∈ ¢ ⇔⎢ ⎢ x = − π + k2 π, k ∈ ¢ ⎣ 2 ( ) Baø i 113 : Giaû i phöông trình tg 2 x 1 − sin 3 x + cos3 x − 1 = 0 ( *) Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1 sin 2 x Luù c ñoù (*) ⇔ cos x 2 (1 − sin3 x ) + cos3 x − 1 = 0 ⇔ (1 − cos x )(1 − sin 3 x ) − (1 − cos3 x )(1 − sin 2 x ) = 0 2 ⇔ (1 − cos x )(1 − sin x ) = 0 hay (1 + cos x ) (1 + sin x + sin 2 x ) − (1 + cos x + cos2 x ) (1 + sin x ) = 0 ⎡ cos x = 1 ( nhaän do ñieàu kieän ) ⎢ ⇔ ⎢sin x = 1 ( loaïi do ñieàu kieän ) ⎢ 2 ⎢sin x + sin x cos x − cos x − sin x cos x = 0 2 2 2 ⎣ ⎡ cos x = 1 ⇔⎢ 2 ⎣sin x − cos x + sin x cos x ( sin x − cos x ) = 0 2 ⎡ cos x = 1 ⇔⎢ ⎣sin x − cos x = 0 hay sin x + cos x + sin x cos x = 0 ⎡ cos x = 1 ∨ tgx = 1 ⇔⎢ ⎣sin x + cos x + sin x cos x = 0 ⎡ x = k2 π, k ∈ ¢ ⎢ π ⇔ ⎢ x = + kπ, k ∈ ¢ ⎢ 4 ⎢sin x + cos x + sin x cos x = 0 ⎣
xeù t pt sin x + cos x + sin x cos x = 0 ñaë t ⎛ ( π⎞ t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟ ñieàu kieän t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 ⎝ 4⎠ ) ⇒ t = 1 + 2 sin x cos x 2 t2 − 1 Ta ñöôï c phöông trình t + = 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0 2 ⎡ t = −1 − 2 ( loaïi ) ⇔⎢ ⎢ t = − 1 + 2 ( nhaän so vôùi ñk ) ⎣ ⎛ π⎞ 2 −1 Vaä y cos ⎜ x − ⎟ = = cos ϕ ⎝ 4⎠ 2 π π ⇔ x − = ±ϕ + k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = ± ϕ + k2 π, k ∈ ¢ 4 4 Baø i 114 : Cho phöông trình m ( sin x + cos x + 1) = 1 + sin 2x ( *) ⎡ π⎤ Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm thuoäc ñoaï n ⎢ 0, ⎥ ⎣ 2⎦ ⎛ π⎞ Ñaë t t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ , ñieà u kieä n t ≤ 2 ⎝ 4⎠ Thì t = 1 + sin 2 x 2 Vaä y (*) thaø n h : m ( t + 1) = t 2 π π π 3π Neá u 0 ≤ x ≤ thì ≤ x + ≤ 2 4 4 4 2 ⎛ π⎞ Do ñoù ≤ sin ⎜ x + ⎟ ≤ 1 2 ⎝ 4⎠ ⇔1≤ t ≤ 2 ta coù m ( t + 1) = t 2 t2 ⇔m= (do t = -1 khoâ n g laø nghieä m cuû a phöông trình) t +1 t2 Xeù t y = treân ⎡1, 2 ⎤ ⎣ ⎦ t +1 t 2 + 2t Thì y ' = > 0 ∀t ∈ ⎡1, 2 ⎤ ⎣ ⎦ ( t + 1) 2 Vaä y y taê n g treâ n ⎡1, 2 ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ π⎤ Vaä y (*) coù nghieä m treâ n ⎢1, ⎥ ⇔ y (1) ≤ m ≤ y ⎣ 2⎦ ( 2) 1 ⇔ ≤ m ≤ 2 2 −1 2 ( )
Baø i 115 : Cho phöông trình cos3 x + sin 3 x = m sin x cos x ( *) a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 b/ Tìm m ñeå (*) coù nghieä m Ta coù : (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = m sin x cos x ⎛ π⎞ Ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ ( Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 ) Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x ⎛ t2 − 1 ⎞ ⎛ t2 − 1 ⎞ Vaä y (*) thaø n h t ⎜ 1 − ⎟ = m⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⇔ t ( 3 − t 2 ) = m ( t 2 − 1) a/ Khi m = 2 ta coù phöông trình ( ) t ( 3 − t 2 ) = 2 ( t 2 − 1) ⇔ t 3 + 2t 2 − 3t − 2 = 0 ( )( ⇔ t − 2 t 2 + 2 2t + 1 = 0 ) ⇔ t = 2 hay t = − 2 + 1 hay t = − 2 − 1( loaïi ) ⎛ π⎞ π π Vaä y • cos x ⎜ x − ⎟ = 1 ⇔ x − = k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = + k2 π, k ∈ ¢ ⎝ 4⎠ 4 4 ⎛ π ⎞ 1− 2 • cos ⎜ x − ⎟ = = cos α ⎝ 4⎠ 2 π π ⇔ x − = ±α + k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = ± α + k2π, k ∈ ¢ 4 4 b/ Xeù t phöông trình t ( 3 − t ) = k ( t − 1) ( **) 2 2 Do t = ±1 khoâ n g laø nghieä m cuû a (**) neâ n 3t − t 3 ( * *) ⇔ m = 2 t −1 3t − t 3 Xeù t y = 2 ( C ) treân ⎡− 2, 2 ⎤ \ {±1} ⎣ ⎦ t −1 −t 4 − 3 Ta coù y ' = < 0∀t = ±1 ( t 2 − 1) 2 suy ra y giaûm treân ( −1,1 ) vaø lim y = + ∞ , lim− y = − ∞ x → − 1+ x→ 1 Do ñoù treân ( − 1,1 ) ⊂ ⎡ − 2, 2 ⎤ \ {±1} ta coù ⎣ ⎦ 3t − t 3 (d) y = m caét (C) y = 2 vôùi ∀m ∈ R t −1 Vaä y (*) coù nghieä m ∀m ∈ R
Baø i 116 : Cho phöông trình 1⎛ 1 1 ⎞ m ( sin x + cos x ) + 1 + ⎜ tgx + cot gx + + = 0 ( *) 2⎝ sin x cos x ⎟⎠ 1 a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 ⎛ π⎞ b/ Tìm m ñeå (*) coù nghieä m treâ n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ Vôùi ñ ieàu kieän sin 2x ≠ 0 ta coù 1 ⎛ sin x cos x 1 1 ⎞ (*) ⇔ m ( sin x + cos x ) + 1 + ⎜ + + + =0 2 ⎝ cos x sin x sin x cos x ⎟ ⎠ ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + (1 + cos x + sin x ) = 0 ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + 1 + cos x + sin x = 0 ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = 0 2 ⎡sin x + cos x = 0 (1) ⇔⎢ ⎢ m sin 2x + sin x + cos x + 1 = 0 ( 2 ) ⎣ ⎛ π⎞ Xeù t (2) ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Thì t = 1 + sin 2 x 2 Do sin 2x ≠ 0 neân t ≤ 2 vaø t = ±1 ⎡t = 0 Vaä y (*) thaø n h : ⎢ ⎢ m ( t − 1) + t + 1 = 0 2 ⎣ ⎡ t = 0 ( nhaän so ñieàu kieän ) ⇔⎢ ⎢ m ( t − 1) + 1 = 0 ⎣ ( do t ≠ −1) 1 a/ Khi m = thì ta ñöôï c : 2 ⎡t = 0 ⎢ ⎢ t = − 1 ( loaïi do ñieàu kieän ) ⎣ Vaä y sinx + cosx = 0 ⇔ tgx = −1 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ ¢ 4 π π π π b/ Ta coù : 0 < x < ⇔ − < x − < 2 4 4 4 Luù c ñoù 2 ⎛ π⎞ < cos ⎜ x − ⎟ ≤ 1 ⇒ 1 < t ≤ 2 2 ⎝ 4⎠ ( Do t = 0 ∉ 1, 2 ⎤ ⎦
Neâ n ta xeù t phöôn g trình : m ( t − 1) + 1 = 0 ( **) (**) ⇔ mt = m − 1 1 ⇔ t = 1− (do m = 0 thì (**) voâ nghieä m ) m 1 Do ñoù : yeâ u caà u baø i toaùn ⇔ 1 < 1 − ≤ 2 m ⎧ 1 ⎧m < 0 ⎪− m > 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ 1 ⎪1 − 2 ≤ 1 ⎪m ≤ 1 − 2 = − 2 − 1 ⎪ ⎩ m ⎩ ⇔ m ≤ − 2 −1 Baø i 117 : Cho f ( x ) = cos2 2x + 2 ( sin x + cos x ) − 3sin 2x + m 3 a/ Giaû i phöông trình f(x) = 0 khi m = -3 b/ Tính theo m giaù trò lôù n nhaá t vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa f(x) 2 Tìm m cho ⎡ f ( x ) ⎤ ≤ 36 ∀x ∈ R ⎣ ⎦ ⎛ π⎞ ( Ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ ñieàu kieän t ≤ 2 ⎝ 4⎠ ) Thì t = 1 + sin 2 x 2 Vaø cos2 2x = 1 − sin 2 2x = 1 − ( t 2 − 1) = −t 4 + 2t 2 2 Vaä y f ( x ) thaønh g ( t ) = − t 4 + 2t 2 + 2t 3 − 3 ( t 2 − 1) + m a/ Khi m = -3 thì g(t) = 0 ( ⇔ −t 2 t 2 − 2t + 1 = 0) ⇔ t = 0∨ t =1 vaäy khi m = -3 thì f( x) = 0 ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 1 ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = 0 hay cos ⎜ x − ⎟ = ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 2 π π π π ⇔ x − = ( 2k + 1) hay x − = ± + k2π, k ∈ ¢ 4 2 4 4 3π π ⇔x= + kπ hay x = + k2 π ∨ x = k2 π, k ∈ ¢ 4 2 b/ Ta coù g ' ( t ) = −4t + 6t − 2t = −2t ( 2t 2 − 3t + 1) 3 2 ⎧g ' ( t ) = 0 1 ⎪ Vaä y ⎨ ⇔ t = 0 ∨ t = 1∨ t = ⎪t ∈ ⎡ − 2, 2 ⎤ ⎩ ⎣ ⎦ 2 ⎛ 1 ⎞ 47 Ta coù : g ( 0 ) = 3 + m = g (1) , g⎜ ⎟ = +m ⎝ 2 ⎠ 16 g ( 2) = 4 2 − 3 + m, g ( 2) = m −3−4 2
Vaä y : Maxf ( x ) = Max g ( t ) = m + 3 x∈ ¡ t∈ ⎡ − 2 , 2 ⎤ ⎣ ⎦ Minf ( x ) = Min g ( t ) = m − 3 − 4 2 x∈ R t ∈ ⎡− 2 , 2 ⎤ ⎣ ⎦ 2 Do ñoù : ⎡ f ( x ) ⎤ ≤ 36, ∀x ∈ R ⇔ −6 ≤ f ( x ) ≤ 6, ∀x ∈ R ⎣ ⎦ ⎧Max f ( x ) ≤ 6 ⎪ ⇔⎨ R ⎪Min f ( x ) ≥ − 6 ⎩ R ⎧m + 3 ≤ 6 ⎪ ⇔⎨ ⎪m − 3 − 4 2 ≥ −6 ⎩ ⇔ 4 2 −3 ≤ m ≤ 3 ( ) 2 Caù c h khaù c : Ta coù g ( t ) = −t 2 t 2 − 2t + 1 + 3 + m = − ⎡ t ( t − 1) ⎤ + 3 + m ⎣ ⎦ Ñaë t u = t 2 − t ⎡ 1 ⎤ Khi t ∈ ⎡ − 2, 2 ⎤ thì u ∈ ⎢ − ,2 + 2 ⎥ = D ⎣ ⎦ ⎣ 4 ⎦ Vaä y g ( t ) = h ( u ) = − u + 3 + m 2 Max f ( x ) = Max g ( t ) = Max h ( u ) = m + 3 R t ∈ ⎡− 2 , 2 ⎤ u∈D ⎣ ⎦ Min f ( x ) = Min g ( t ) = Min h ( u ) = m − 3 − 4 2 R ⎡ ⎤ t ∈ ⎣− 2 , 2 ⎦ u∈D Chuù yù 1 : Phöông trình giaû ñoá i xöù n g a ( sin x − cos x ) + b ( sin x cos x ) = 0 ñaë t t = sinx – cosx ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ thì t = 2 sin ⎜ x − ⎟ = − 2 cos ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 thì t = 1 − 2 sin x cos x 2 Baø i 118 : Giaû i phöông trình 2sin x + cot gx = 2sin 2x + 1 ( *) Ñieà u kieä n : sin x ≠ 0 ⇔ cos x = ±1 cos x Luù c ñoù (*) ⇔ 2 sin x + = 4 sin x cos x + 1 sin x ⇔ 2 sin2 x + cos x = 4 sin2 x cos x + sin x ⇔ 2 sin2 x − sin x − cos x 4 sin2 x − 1 = 0 ( ) ⇔ sin x ( 2 sin x − 1) − cos x ( 2 sin x − 1) ( 2 sin x + 1) = 0 ⇔ 2 sin x − 1 = 0 hay sin x − cos x ( 2 sin x + 1) = 0 ⎡2 sin x − 1 = 0 (1 ) ⇔⎢ ⎢sin x − cos x − sin 2x = 0 ⎣ ( 2)
1 • Ta coù (1) ⇔ sin x = ( nhaän do sin x ≠ 0) 2 π 5π ⇔x= + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ 6 6 ⎛ π⎞ • Xeùt ( 2 ) Ñaët t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 vaø t ≠ ± 1 Thì t2 = 1 − sin 2x ( ) Vaä y (2) thaø n h : t − 1 − t 2 = 0 ⇔ t2 + t − 1 = 0 −1 + 5 −1 − 5 ⇔t= ∨t= ( loaïi ) 2 2 π ⎞ −1 + 5 ⎛ Do ñoù : 2 sin ⎜ x − ⎟ = ⎝ 4⎠ 2 ( nhaän do t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 ) ⎛ π⎞ 5 −1 ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin ϕ ⎝ 4⎠ 2 2 ⎡ π ⎢ x − 4 = ϕ + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⎢ x − π = π − ϕ + k2π, k ∈ ⎢ ⎣ 4 ⎡ π ⎢ x = ϕ + 4 + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⎢ x = 5π − ϕ + k2π, k ∈ ⎢ ⎣ 4 Baø i 119 : Giaû i phöông trình cos 2x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x )( *) ( ) Ta coù : ( *) ⇔ cos2 x − sin2 x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x ) ⇔ ( sin x − cos x ) ⎡ 2 ( 2 − cos x ) + ( sin x + cos x ) ⎤ − 5 = 0 ⎣ ⎦ ⇔ ( sin x − cos x ) [sin x − cos x + 4] − 5 = 0 ⎛ π⎞ Ñaë t t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 (*) thaøn h : t ( t + 4 ) − 5 = 0 ⇔ t 2 + 4t − 5 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = −5 ( loaïi ) ⎛ π⎞ 1 π Vaä y ( *) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin ⎝ 4⎠ 2 4
π π π 3π ⇔ x− = + k2π ∨ x − = + k2π, k ∈ 4 4 4 4 π ⇔ x = + k2π ∨ x = π + k2π, k ∈ 2 Baø i 120 : Giaû i phöông trình cos3 x + sin 3 x = cos 2x ( *) Ta coù (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = cos2 x − sin2 x ⇔ cos x + sin x = 0 hay 1 − sin x cos x = cosx − sin x ⎡sin x + cos x = 0 (1 ) ⇔⎢ ⎢sin x − cos x − sin x cos x + 1 = 0 ⎣ ( 2) Ta coù : (1) ⇔ tgx = −1 π ⇔x=− + kπ, k ∈ 4 ⎛ π⎞ Xeù t (2) ñaë t t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 Thì t2 = 1 − 2sin x cos x 1 − t2 (2) thaøn h t − + 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t + 1 = 0 2 ⇔ t = −1 ⎛ π⎞ 1 ⎛ π⎞ vaä y (2) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = − = sin ⎜ − ⎟ ⎝ 4⎠ 2 ⎝ 4⎠ ⎡ π π ⎢ x − = − + k2π, k ∈ ⎡ x = k2π, k ∈ ⇔⎢ 4 4 ⇔⎢ π 5π ⎢x − = ⎢ x = 3π + k2π, k ∈ + k2π, k ∈ ⎣ 2 ⎢ ⎣ 4 4 Baø i 121 : Cho phöông trình cos3 x − sin 3 x = m (1 ) a/ Giaû i phöông trình (1) khi m = 1 baè n g caù c h ñaë t aå n phuï t = cos x − sin x ⎡ π π⎤ b/ Tìm m sao cho (1) coù ñuù n g hai nghieä m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4 4⎦ Ta coù (1) ⇔ ( cos x − sin x )(1 + sin x cos x ) = m ⎛ π⎞ Ñaë t t = cos x − sin x = 2 cos ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 Thì t2 = 1 − 2sin x cos x ⎛ 1 − t2 ⎞ Vaä y (1) thaø n h : t ⎜ 1 + ⎜ ⎟=m ⎝ 2 ⎟ ⎠ ( ) ⇔ t 3 − t 2 = 2m ( 2)
a/ Khi m = 1 thì (2) thaø nh t3 − 3t + 2 = 0 ( ) ⇔ ( t − 1) t 2 + t − 2 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = −2 ( loaïi ) ⎛ π⎞ 2 π π Vaä y cos ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = ± + k2π, k ∈ ⎝ 4⎠ 2 4 4 π ⇔ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈ 2 ⎡ π π⎤ π π b/ Neá u x ∈ ⎢ − , ⎥ thì 0 ≤ x + ≤ ⎣ 4 4⎦ 4 2 ⎛ π⎞ neâ n 0 ≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤ 1 ⎝ 4⎠ ⎛ π⎞ ⇔ 0 ≤ t = 2 cos ⎜ x + ⎟ ≤ 2 ⎝ 4⎠ nhaä n xeù t raè n g vôù i moãi t tìm ñöôï c treâ n ⎡0, 2 ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ π π⎤ ta tìm duy nhaá t moä t x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4 4⎦ xeù t f ( t ) = −t + 3t treân ⎡0, 2 ⎤ 3 ⎣ ⎦ ⇒ f ' ( t ) = −3t + 3 2 ⎡ π π⎤ vaä y (1) coù ñuù n g hai nghieä m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4 4⎦ ⇔ ( d ) y = 2m caét ( C ) y = −t 3 + 3t treân ⎡0, 2 ⎤ taï i 2 ñieå m phaâ n bieä t ⎣ ⎦ ⇔ 2 ≤ 2m < 2 2 ⇔ ≤ m
⎛ π⎞ Ñaë t t = cos x − sin x = 2 cos ⎜ x + ⎟ (ñieà u kieä n t ≤ 2 ) ⎝ 4⎠ Thì t = 1 − 2 sin x cos x 2 Ta coù : (1) ⇔ sin x = − cos x π ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 1 − t2 Ta coù : (2) thaø nh 2t + =m 2 ⇔ −t 2 + 4t + 1 = 2m ( * *) a/ Khi m = 2 thì (**) thaø n h t 2 − 4t + 3 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 3 ( loaïi ) ⎛ π⎞ 2 π π vaä y cos ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = ± + k2π, k ∈ ⎝ 4⎠ 2 4 4 π ⇔ x = k2π ∨ x = − + kπ, k ∈ 2 Do ñoù : π π ( *) ⇔ x = − + kπ ∨ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈ 4 2 ⎡ π⎤ π ⎡ π 3π ⎤ b/ Ta coù x ∈ ⎢0, ⎥ ⇔ x + ∈ ⎢ , ⎥ ⎣ 2⎦ 4 ⎣4 4 ⎦ 2 ⎛ π⎞ 2 vaä y − ≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤ 2 ⎝ 4⎠ 2 ⇒ −1 ≤ t ≤ 1 π ⎡ π⎤ Do nghieä m x = − + kπ ∉ ⎢0, ⎥ , ∀ k ∈ 4 ⎣ 2⎦ Neâ n yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ ( * *) coù nghieä m treâ n [ −1,1] Xeù t y = −t 2 + 4t + 1 thì y ' = −2t + 4 > 0 ∀t ∈ [ −1,1] ⇒ y taêng treân [ −1,1] Do ñoù : yeâ u caà u baø i toaùn ⇔ −4 = y ( −1) ≤ 2m ≤ y (1) = 4 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2 * Chuù yù 2 : Phöông trình löôï n g giaù c daï n g a ( tgx ± cot gx ) + b ( tg 2 x + cot g 2 x ) = 0 ta ñaët t = tgx ± cot gx thì t 2 = tg 2 x + cot g 2 x ± 2 2 khi t = tgx + cot gx = thì t ≥ 2 ( do sin 2x ≤ 1) sin 2x Baø i 123 : Giaû i phöông trình 3tg 2 x + 4tgx + 4 cot gx + 3cot g 2 x + 2 = 0 ( *)
2 Ñaë t t = tgx + cot gx = sin 2x Vôù i ñieà u kieä n t ≥ 2 Thì t 2 = tg 2 x + cot g 2 x + 2 (*) thaøn h : 3 ( t 2 − 2 ) + 4t + 2 = 0 ⇔ 3t 2 + 4t − 4 = 0 ⎡ 2 ⇔ ⎢ t = 3 ( loaïi do ñieàu kieän ) ⎢ ⎣ t = −2 2 Ta coù : t = −2 ⇔ = −2 ⇔ sin 2x = −1 2 sin x π ⇔ 2x = − + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 Baø i 124 : Giaû i phöông trình tgx + tg 2 x + tg 3 x + cotgx + cotg 2 x + cotg 3 x = 6 ( *) Ta coù (*) ⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tg 2 x + cot g 2 x ) + ( tg 3 x + cot g 3 x ) = 6 2 ( ⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) − 2 + ( tgx + cot gx ) tg 2 x + cot g 2 x − 1 = 6 ) 2 2 ⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) ⎡( tgx + cot gx ) − 3⎤ = 8 ⎣ ⎦ 2 Ñaë t t = tgx + cot gx = sin 2x ( ñieàu kieän t ≥ 2) Vaä y (*) thaø n h : t + t 2 + t ( t 2 − 3) = 8 ⇔ t 3 + t 2 − 2t − 8 = 0 ⎡t = 2 ( ) ⇔ ( t − 2 ) t 2 + 3t + 4 = 0 ⇔ ⎢ 2 ⎣ t + 3t + 4 = 0 ( voâ nghieäm ) ⇔t=2 2 Vaä y = 2 ⇔ sin 2x = 1 sin 2x π ⇔ 2x = + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = + kπ, k ∈ 4 Baø i 125 : Giaû i phöông trình 2 + 2tg 2 x + 5tgx + 5 cot gx + 4 = 0 ( *) sin x 2 ( ) Caù c h 1 : (*) ⇔ 2 1 + cot g 2 x + 2tg 2 x + 5 ( tgx + cot gx ) + 4 = 0
( ) ⇔ 2 tg 2 x + cot g 2 x + 5 ( tgx + cot gx ) + 6 = 0 2 ⇔ 2 ⎡( tgx + cot gx ) − 2⎤ + 5 ( tgx + cot gx ) + 6 = 0 ⎣ ⎦ 2 Ñaë t t = tgx + cot gx = , vôùi t ≥ 2 sin 2x Ta ñöôï c phöông trình : 2t 2 + 5t + 2 = 0 1 ⇔ t = −2 ∨ t = − ( loaïi ) 2 2 Vaä y ( *) ⇔ = −2 ⇔ sin 2x = −1 sin 2x π ⇔ 2x = − + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 Caù c h 2 : Ñaë t u = tgx (vôù i ñieà u kieä n u ≠ 0 ) 2 5 Vaä y (*) thaø n h : 2 + + 2u 2 + 5u + + 4 = 0 u 2 u ⇔ 2 + 2u 4 + 5u 3 + 5u + 6u 2 = 0 ( ⇔ ( u + 1) 2u 3 + 3u 2 + 3u + 2 = 0 ) ⇔ ( u + 1) 2 ( 2u 2 ) +u+2 =0 ⎡u = −1 ( nhaän ) ⇔⎢ 2 ⎢2u + u + 2 = 0 ( voâ nghieäm ) ⎣ Vaä y (*) ⇔ tgx = -1 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 Baø i 126 : Cho phöông trình 1 + cot g 2 x + m ( tgx + cot gx ) + 2 = 0 (1 ) cos x 2 5 a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 b/ Tìm m ñeå phöông trình coù nghieä m Ta coù : (1) ⇔ tg 2 x + cot g 2 x + m ( tgx + cot gx ) + 3 = 0 2 Ñaë t t = tgx + cot gx = sin 2x ( ñieàu kieän t ≥ 2) ⇒ t 2 = tg 2 x + cot g 2 x + 2 Vaä y (1) thaø n h : t 2 + mt + 1 = 0 ( 2) 5 a/ Khi m = ta ñöôï c phöông trình 2t 2 + 5t + 2 = 0 2
1 ⇔ t = −2 ∨ t = − ( loaïi ) 2 2 Do ñoù = −2 ⇔ sin 2x = −1 sin 2x π ⇔ 2x = − + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 b/ Caù c h 1 : Ta coù : (2) ⇔ mt = −1 − t 2 1 ⇔ m = − − t (do t = 0 khoâ n g laø nghieä m cuû a (2)) t 1 Xeù t y = − − t vôùi t ≥ 2 t 1 1 − t2 Thì y ' = 2 − 1 = t t2 Ta coù : y ' = 0 ⇔ t = ±1 Do ñoù (1) coù nghieäm ⇔ (d) caét ( C ) treân ( −∞, −2] U [ 2, +∞ ) 5 5 ⇔m≤− ∨m≥ 2 2 5 ⇔ m ≥ 2 Caù c h 2 : Yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ f ( t ) = t 2 + mt + 1 = 0 coù nghieä m t thoû a t ≥ 2 Nhaä n xeù t raè n g do P = 1 neâ n neá u f(t) coù hai nghieäm t1 , t 2 ( vôùi t1 ≤ t2 ) vaø coù ⎧ t1 ≤ 1 ⎧ t1 ≥ 1 ⎪ ⎪ nghieäm thì ta coù ⎨ ∨⎨ ⎪ t2 ≥ 1 ⎪ t2 ≤ 1 ⎩ ⎩ Do ñoù : Yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ t1 ≤ −2 < t1 < 2 ∨ −2 < t1 < 2 ≤ t 2 ⎪1f ( −2) ≤ 0 ⎪1f ( 2 ) ≤ 0 ⎧ ⎧ ⎧−2m + 5 ≤ 0 ⎧−2m + 5 > 0 ⇔⎨ ∨⎨ ⇔ ⎨ ∨⎨ ⎪1f ( 2 ) > 0 ⎩ ⎪1f ( −2 ) > 0 ⎩ ⎩2m + 5 > 0 ⎩2m + 5 ≤ 0 5 5 ⇔m≥ ∨m≤− 2 2
BAØI TAÄP 1. Giaû i caù c phöông trình : a/ 1 + cos3 x − sin 3 x = sin x b/ cos3 x + cos2 x + 2 sin x − 2 = 0 c/ cos 2x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x ) d/ cot gx − tgx = sin x + cos x e/ sin 3 x − cos3 x = sin x − cos x f/ 1 + tgx = sin x + cos x ⎛ π⎞ g/ sin 2x + 2 sin ⎜ x − ⎟ = 1 ⎝ 4⎠ k/ sin 2x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = 0 sin x + cos x l/ =1 sin 2x + 1 1 − cos 2x 1 − cos3 x m/ = 1 + cos 2x 1 − sin3 x n/ 5 ( sin x + cos x ) + sin 3x − cos 3x = 2 2 ( 2 + sin 2x ) o/ 1 + sin x + cos x + sin 2x + 2 cos 2x = 0 p/ sin 2 x cos x − cos 2x + sin x = cos2 x sin x + cos x r/ cos 2x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x ) s/ cos2 x + sin 3 x + cos x = 0 t/ 4 sin3 x − 1 = 3sin x − 3 cos 3x 2. Cho phöông trình sin 2x ( sin x + cos x ) = m (1) a/ Chöù n g minh neá u m > 2 thì (1) voâ nghieä m b/ Giaû i phöông trình khi m = 2 3. Cho phöông trình sin 2x + 4 ( cos x − sin x ) = m a/ Giaû i phöông trình khi m = 4 b/ Tìm m ñeå phöông trình coù nghieä m 4. Cho phöông trình : sin x cos x − m ( sin x + cos x ) + 1 = 0 a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 b/ Tìm m ñeå phöông trình coù nghieä m ( ÑS : m ≥ 1) 3 5. Cho phöông trình + 3tg 2 x = m ( tgx + cot gx ) = 1 sin x 2 Tìm m ñeå phöông trình coù nghieä m ( ÑS : m ≥ 4 ) Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi ĐH CLC Vĩnh Viễn