intTypePromotion=1

Bài tập toán ánh xạ tuyến tính

Chia sẻ: Nguyen Dang Khanh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

1
713
lượt xem
132
download

Bài tập toán ánh xạ tuyến tính

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu toán tuyến tính cho các bạn sinh viên ôn thi toán tốt

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập toán ánh xạ tuyến tính

  1. NỘI DUNG 1. Định nghĩa: Cho V và W là hai không gian vec-tơ. Ánh xạ f: V-> W gọi là 1 ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn hai tính chất sau đây: (L1): f(u + v ) = f(u) + f(v), mọi u,v thuộc V (tính bảo toàn phép cộng) (L2): f(λu) = λf(u), mọi λ thuộc R , mọi u thuộc V (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng) - Nhận xét: Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng: f : V -.> W là ánh xạ tuyến tính: f ( λ1u1 + λ2u2) = λ1f(u1) + λ2f(u2) , λ1, λ2 thuộc R , u1 , u2 Є V 2. Các phép toán về ánh xạ tuyến tính: Cho f : V-> W và g: V-> W là hai ánh xạ tuyến tính: a. Tổng của hai ánh xạ tuyến tính: mọi u Є V , ( f + g )( u ) = f ( u ) + g ( u ) Є W. b. Tích của ánh xạ f và số thực λ , kí hiệu là λf , là ánh xạ xác định bởi : mọi u Є V , ( λf ) (u) = λf (u) Є W. c. Gỉa sữ V, W, U là ba không gian veto f: V->W và g: W-> V, là hai ạnh xạ tuyến tính. Khi đó , ánh xạ hợp dược xác định bởi: mọi u Є V , ( g0 f ) (u) = g ( f(u) ) Є U là một ánh xạ từ V tới U. Như thế hợp của hai ánh xạ là một ánh xạ tuyến tính
  2. 3. Tính chất: là ánh xạ tuyến tính V, W là hai không gian vec-tơ trên trường số Cho K. Khi đó: 1. 2. Chứng minh: 1. Ta có: Suy ra: (*) Mặt khác: (**) Do đó, từ (*), (**) ta có: f(0V) = 0w 2. Ta có: 4. Các ví dụ áp dụng: . 1anh xạ hằng giá trị không: là một ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không. 2Ánh xạ đồng nhất , là một phép biến đổi tuyến tính trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất (hay toán tử đồng nhất) trên V. 3. Phép lấy đạo hàm là một phép biến đổi tuyến tính trên không gian R[x] các đa thức thực một biến x. 4.hép lấy tích phân xác định: là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b] đến không gian R. 5: Cho điểm . Phép lấy đối xứng qua trục Oy là một phép biến đổi tuyến tính. Nghĩa là: là một phép biến đổi tuyến tính.
  3. 6 Các ánh xạ sau co phải ánh xạ tuyến tính không? a. f: R3 -> R3 f ( x1, x2 , x3 ) = (x1 – x3 , x2 , 5) b.f : R3 -> R3 f ( x1 , x2 , x3 ) = (x2 – x3 , x1 , x2 ) Giải: a. x = ( x1 , x2 , x3 ) Є R3 y = ( y1 y2, y3) Є R3 x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) f ( x +y) = ( x1+ y1– x3 –y3 , x2+ y2 , 5) f ( x) = f ( x1, x2, x3) = ( x1 – x3 , x2 , 5 ) f ( y ) = f ( y1, y2, y3) = ( y1-y3, y2, 5) vậy f ( x+y ) khác f(x) + f(y) mọi x y Є R3 Vậy f không phải là ánh xạ tuyến tính. b. * x= ( x1,x2, x3) Є R3 y = (y1, y2 ,y3 ) Є R3 x + y = ( x1 + y1, x2 + y2 , x3 +y3 ) f (x+y) = (x2 + y2 – x3 – y3 , x1 + y1, x2 + y2 ) f(x) = f ( x1, x2, x3) = ( x2 – y3, x1 , x2 ) f (y) = f ( y1, y2,y3 ) = ( y2 – y3, y1, y2 ) Như vậy f ( x + y ) = f(x) + f(y) mọi x,y Є R3
  4. • λx = (λx1, λx2 , λx3 ) f ( λx) = ( λx2 – λx3 , λx1 , λx2 ) = λ ( x2 – x3 , x1 , x2 ) = λ . f(x) Vậy f là một ánh xạ tuyến tính. 7 . Cho ánh xa tuyến tính sau: a. f: V-> R ,f(v1) = 2 , f(v2) = -3 tính f ( 5v1+ 9v2 ) b. f: V-> R f( x+ 2) =1, f(1) = 5 f ( x2 + x) =0 Tính f ( 2-x+3x2 ) Giải a. f(5v1 + 9v2) = f (5v1 ) + f(9v2) = 5f (v1) + 9f(v2) = 5 .2 + 9. (-3) = -17 b. f (1) = 5 => f(2) = 2f(1) = 2.5= 10 f( x+2) = 1 => f(x) + f(2) = 1 => f(x) = -9 f(x2 + x) =0 => f(x2) + f(x) =0  f(x2) = 9 f( 2-x+3x2 ) = 10 + 9 +27 = 46.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản