Khái niệm về ánh xạ tuyến tính
1. Định nghĩa:
Cho V và V’ là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Ánh xạ gọi là 1 ánh xạ tuyến
tính (linear transformations) hay đồng cấu tuyến tính (homomorphism) nếu f thỏa mãn hai tính
chất sau đây:
(L1): (tính bảo toàn phép cộng)
(L2) (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng)
Một ánh xạ tuyến tính đi từ V vào chính nó còn gọi là phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến
tính trên V.
- Nhận xét: Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng:
là ánh xạ tuyến tính
2. Tính chất:
Cho là ánh xạ tuyến tính, V, W là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Khi đó:
1.
2.
Chứng minh:
1. Ta có:
Suy ra: (*)
Mặt khác: (**)
Do đó, từ (*), (**) ta có:
2. Ta có:
3. Các ví dụ:
3.1: Ánh xạ hằng giá trị không: là một ánh xạ tuyến tính và gọi là
ánh xạ không.
3.2: Ánh xạ đồng nhất , là một phép biến đổi tuyến tính trên V
và gọi là phép biến đổi đồng nhất (hay toán tử đồng nhất) trên V.
3.3 Phép lấy đạo hàm là một phép biến đổi tuyến tính trên không
gian R[x] các đa thức thực một biến x.
3.4 Phép lấy tích phân xác định:
là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b] đến không gian
R.
3.5: Cho điểm . Phép lấy đối xứng qua trục Oy là một phép biến đổi tuyến tính.
Nghĩa là: là một phép biến đổi tuyến tính.
4. Tính chất:
4.1 Ánh xạ tích của 2 ánh xạ tuyến tính và lại là 1 ánh xạ
tuyến tính.
4.2 Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính lại biến thành 1 hệ vec-tơ phụ
thuộc tuyến tính.
Nghĩa là: là 1 ánh xạ tuyến tính và là 1 hệ n vec-tơ phụ thuộc tuyến
tính trong V thì hệ cũng là hệ phụ thuộc tuyến tính trong W.
Ngược lại, nếu hệ là hệ độc lập tuyến tính trong W thì hệ
độc lập tuyến tính trong V.
Chứng minh: Do phụ thuộc tuyến tính nên: tồn tại ít nhất một sao cho:
Suy ra:
Hay: (*)
Vậy tồn tại ít nhất một sao cho (*) xảy ra nên hệ phụ thuộc
tuyến tính.
Chú ý: Ánh xạ tuyến tính có thể biến 1 hệ độc lập tuyến tính thành một hệ phụ thuộc tuyến tính.
5.Định lý cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính:
5.1 Ví dụ mở đầu:
Cho là một ánh xạ tuyến tính với:
L(1,1) = (-1,1,2,3)
L(-1,1)=(2,0,2,3)
Tìm f(5,3)? Tổng quát, hãy xác định công thức f(x,y)?
Giải: Ta biểu thị tuyến tính vec-tơ (5,3) theo hai vec-tơ (1,1) và (-1,1).
Ta có: (5, 3) = 4(1, 1) – 1.(-1, 1)
Khi đó, do L là ánh xạ tuyến tính nên: L(5, 3) = L(4.(1, 1) – 1.(-1, 1)) = 4L(1, 1) – L(-1,1)
Vậy: L(5, 3) = 4.(-1, 1, 2, 3) – (2, 0, 2, 3) = (-6, 4, 6, 9)
Tương tự:
Từ đó, dễ dàng tìm được công thức của L(x,y).
Nhận xét: ta chỉ có thể biểu thị tuyến tính mọi vec-tơ (x,y) theo 2 vec-tơ (1, 1) và (-1, 1) nếu hệ
{(1, 1) , (-1, 1)} là cơ sở của
5.2 Định lý:
Cho một cơ sở của không gian vec-tơ n chiều V và là n
vec-tơ tùy ý của không gian vec-tơ W. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính
sao cho
Ta bảo: ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở.
Chứng minh:
- Sự tồn tại: Giả sử x là 1 vec-tơ bất kỳ của V. Khi đó:
Ta đặt:
Vậy: f là 1 ánh xạ đi từ V vào W và hiển nhiên
Ta cần chứng minh: f là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy vơi mọi vec-tơ x, y thuộc V. Ta có: .
Ta cần chứng minh:
Thật vậy, ta có:
Do đó:
Vậy f là ánh xạ tuyến tinh.
- Sự duy nhất:
Giả sử còn tồn tại ánh xạ tuyến tính mà
Khi đó: với mọi ta có:
Vậy f = g, hay f duy nhất.◊
5.3 Các ví dụ:
5.3.1 Trong xét cơ sở chính tắc và trong
cho 3 vec-tơ v1= (1, 1) ; v2 = (2, 3) ; v3 = (4, 5). Hãy xác định ánh xạ tuyến tính
sao cho:
5.3.2 Trong không gian cho hai hệ vec-tơ:
Hỏi có tồn tại duy nhất hay không toán tử tuyến tính f (g) trên sao cho
( ). Nếu có, hãy xác định f (g)?
6. Nhân (Kernel) và ảnh (Image) của ánh xạ tuyến tính:
6.1 Định nghĩa:
Cho là ánh xạ tuyến tính.
Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:
Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:
Số chiều của Imf và kerf tương ứng gọi là hạng và số khuyết của f, ký hiệu lần lượt là rank(f) và
def(f). (nghĩa la dim(imf) ≡ rank(f); dim(kerf) ≡ def(f) )
6.2 Ví dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính:
Xác định kerf và imf?