intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

bài tập toán cao cấp (tập 3: phép tính tích phân, lý thuyết chuỗi, phương trình vi phân): phần 2

Chia sẻ: Hấp Hấp | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:152

Thêm vào BST
Báo xấu
110
lượt xem 15
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách giới thiệu tới người đọc các nội dung: lý thuyết chuỗi, phương trình vi phân, khái niệm về phương trình vi phân đạo hàm riêng. mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: bài tập toán cao cấp (tập 3: phép tính tích phân, lý thuyết chuỗi, phương trình vi phân): phần 2

  1. MATH-EDUCARE Chu.o.ng 13 L´ y thuyˆ ˜i e´t chuˆ o ˜ 13.1 Chuˆ o´ du.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . 178 o i sˆ ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . 178 13.1.1 C´ 13.1.2 Chuˆ o o´ du.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . 179 ˜ i sˆ 13.2 Chuˆ ˜ o i hˆ o´i v` e.t d ˆ o.i tu. tuyˆ a hˆ o.i tu. khˆ ong o´i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 e.t d ˆ tuyˆ ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . 191 13.2.1 C´ ˜ i dan dˆ 13.2.2 Chuˆ o a´u v` a´u hiˆe.u Leibnitz . . . . 192 a dˆ ˜ 13.3 Chuˆ o i l˜ u.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 uy th` ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . 199 13.3.1 C´ - iˆ 13.3.2 D a phu.o.ng ph´ `eu kiˆe.n khai triˆe’n v` ap khai ’ triˆen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 ˜ 13.4 Chuˆ o i Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . 211 13.4.1 C´ 13.4.2 Dˆ `e su.. hˆ a´u hiˆe.u du’ vˆ ˜ o.i tu. cu’a chuˆ o i Fourier 212 www.matheducare.com
  2. MATH-EDUCARE 178 Chu.o.ng 13. L´ y thuyˆe´t chuˆ˜o i 13.1 ˜ Chuˆ o´ du.o.ng o i sˆ 13.1.1 ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n C´ Gia’ su’. cho d˜ay sˆo´ (an ). Biˆe’u th´ u.c da.ng X ∞ X a1 + a2 + · · · + an + · · · = an = an (13.1) n=1 n>1 du.o..c go.i l`a chuˆ˜ o´ (hay do.n gia’n l`a chuˆ˜o i). C´ac sˆo´ a1, . . . , an , . . . o i sˆ du.o..c go.i l`a c´ o´ ha.ng cu’a chuˆo˜ i, sˆo´ ha.ng an go.i l`a sˆ ac sˆ o´ ha.ng tˆ o’ng qu´ at cu’a chuˆo˜ i. Tˆo’ng n sˆo´ ha.ng dˆ . . o’ng riˆeng `au tiˆen cu’a chuˆo˜ i du o. c go.i l`a tˆ th´ . u n cu’a chuˆo˜ i v`a k´ y hiˆe.u l`a sn , t´ . u c l`a sn = a1 + a2 + · · · + an . V`ı sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a chuˆo˜ i l`a vˆo ha.n nˆen c´ac tˆo’ng riˆeng cu’a chuˆo˜ i lˆa.p th`anh d˜ay vˆo ha.n c´ac tˆo’ng riˆeng s1 , s2 , . . . , sn , . . . - i.nh ngh˜ıa 13.1.1. Chuˆ˜o i (13.1) du.o..c go.i l`a chuˆ D ˜ o i hˆ o.i tu. nˆe´u d˜ay c´ac tˆo’ng riˆeng (sn ) cu’a n´o c´ o gi´ . u u ha.n v`a gi´o i ha.n d´o du.o..c o i ha.n h˜. . o’ng cu’a chuˆ˜o i hˆo.i tu.. Nˆe´u d˜ay (sn ) khˆong c´o gi´o.i ha.n h˜ go.i l`a tˆ u.u ha.n th`ı chuˆ˜o i (13.1) phˆ an k`y. - i.nh l´ D y 13.1.1. Diˆ `eu kiˆe.n cˆ`an dˆe’ chuˆ ˜ i (13.1) hˆ o o.i tu. l` a sˆ o’ng o´ ha.ng tˆ qu´at cu’a n´ `an dˆe´n 0 khi n → ∞, t´ o dˆ . u c l` a lim an = 0. n→∞ Di.nh l´ y 13.1.1 chı’ l` a diˆ `eu kiˆe.n cˆ `an ch´ u. khˆong l`a diˆ `eu kiˆe.n du’. Nhu.ng t` u. d´o c´o thˆe’ r´ ut ra diˆ `eu kiˆe.n du’ dˆe’ chuˆ˜o i phˆan k` y: Nˆe´u P lim an 6= 0 th`ı chuˆ ˜ oi an phˆ an k`y. n→∞ n>1 P P Chuˆ˜o i an thu du.o..c t` u. chuˆ˜o i an sau khi c˘´at bo’ m sˆo´ ha.ng n>m+1 n>1 P `au tiˆen du.o..c go.i l`a phˆ dˆ `an du. th´ u. m cu’a chuˆo˜ i an . Nˆe´u chuˆ˜o i (13.1) n>1 hˆo.i tu. th`ı mo.i phˆ `an du. cu’a n´o dˆ `an du. n`ao d´o `eu hˆo.i tu., v`a mˆo.t phˆ hˆo.i tu. th`ı ba’n thˆan chuˆ˜o i c˜ ung hˆo.i tu.. Nˆe´u phˆ`an du. th´ u. m cu’a chuˆo˜ i www.matheducare.com
  3. MATH-EDUCARE 13.1. Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng 179 (13.1) hˆo.i tu. v`a tˆo’ng cu’a n´o b˘`ang Rm th`ı s = sm + Rm . Chuˆ˜o i hˆo.i tu. c´o c´ac t´ınh chˆa´t quan tro.ng l`a (i) V´o.i sˆo´ m cˆo´ di.nh bˆa´t k`y chuˆ˜o i (13.1) v`a chuˆ˜o i phˆ`an du. th´ u. m cu’a n´o dˆ `ong th`o.i hˆo.i tu. ho˘a.c dˆ `ong th`o.i phˆan k` y. (ii) Nˆe´u chuˆ˜o i (13.1) hˆo.i tu. th`ı Rm → 0 khi m → ∞ P P (iii) Nˆe´u c´ac chuˆ˜o i an v`a bn hˆo.i tu. v`a α, β l`a h˘`ang sˆo´ th`ı n>1 n>1 X X X (αan + βbn ) = α an + β bn . n>1 n>1 n>1 13.1.2 ˜ Chuˆ o´ du.o.ng o i sˆ P Chuˆ˜o i sˆo´ an du.o..c go.i l`a chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng nˆe´u an > 0 ∀ n ∈ N. Nˆe´u n>1 an > 0 ∀ n th`ı chuˆ˜o i du.o..c go.i l`a chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng thu..c su... Tiˆeu chuˆ a’n hˆ o.i tu.. Chuˆo˜ i sˆo´ du.o.ng hˆo.i tu. khi v`a chı’ khi d˜ay tˆo’ng riˆeng cu’a n´o bi. ch˘a.n trˆen. Nh`o. diˆ `eu kiˆe.n n`ay, ta c´o thˆe’ thu du.o..c nh˜ u.ng dˆa´u hiˆe.u du’ sau dˆay: a´u hiˆe.u so s´ Dˆ anh I. Gia’ su’. cho hai chuˆ˜o i sˆo´ X X A: an , an > 0 ∀ n ∈ N v`a B : bn , bn > 0 ∀ n ∈ N n>1 n>1 v`a an 6 bn ∀ n ∈ N. Khi d´o: (i) Nˆe´u chuˆo˜ i sˆo´ B hˆo.i tu. th`ı chuˆ˜o i sˆo´ A hˆo.i tu., (ii) Nˆe´u chuˆ˜o i sˆo´ A phˆan k` y th`ı chuˆ˜o i sˆo´ B phˆan k` y. Dˆa´u hiˆe.u so s´ . anh II. Gia’ su’ c´ac chuˆo˜ i sˆo´ A v`a B l`a nh˜ u.ng chuˆ˜o i a sˆo´ du.o.ng thu..c su.. v`a ∃ lim n = λ (r˜o r`ang l`a 0 6 λ 6 +∞). Khi n→∞ bn d´o: (i) Nˆe´u λ < ∞ th`ı t` u. su.. hˆo.i tu. cu’a chuˆ˜o i sˆo´ B k´eo theo su.. hˆo.i tu. cu’a chuˆo˜ i sˆo´ A (ii) Nˆe´u λ > 0 th`ı t` u. su.. hˆo.i tu. cu’a chuˆo˜ i sˆo´ A k´eo theo su.. hˆo.i tu. cu’a chuˆo˜ i sˆo´ B www.matheducare.com
  4. MATH-EDUCARE 180 Chu.o.ng 13. L´ y thuyˆe´t chuˆ˜o i (iii) Nˆe´u 0 < λ < +∞ th`ı hai chuˆ˜o i A v`a B dˆ `ong th`o.i hˆo.i tu. ho˘a.c `ong th`o.i phˆan k` dˆ y. Trong thu..c h`anh dˆa´u hiˆe.u so s´anh thu.`o.ng du.o..c su’. du.ng du.´o.i da.ng “ thu..c h`anh” sau dˆay: Dˆa´u hiˆe.u thu..c h`anh. Nˆe´u dˆo´i v´o.i d˜ay sˆo´ du.o.ng (an ) tˆ`on ta.i c´ac sˆo´ C P p v`a C > 0 sao cho an ∼ p , n → ∞ th`ı chuˆ˜o i an hˆo.i tu. nˆe´u p > 1 n n>1 v`a phˆan k` y nˆe´u p 6 1. C´ac chuˆ˜o i thu.`o.ng du.o..c d` ung dˆe’ so s´anh l`a P n 1) Chuˆ˜o i cˆa´p sˆo´ nhˆan aq , a 6= 0 hˆo.i tu. khi 0 6 q < 1 v`a phˆan n>0 k` y khi q > 1. P 1 2) Chuˆo˜ i Dirichlet: α hˆo.i tu. khi α > 1 v`a phˆan k` y khi α 6 1. n>1 n P 1 Chuˆ˜o i phˆan k` y go.i l`a chuˆ˜o i diˆ `eu h`oa. n>1 n T`u. dˆa´u hiˆe.u so s´anh I v`a chuˆ˜o i so s´anh 1) ta r´ut ra: Dˆ ˜ a´u hiˆe.u D’Alembert. Nˆe´u chuˆo i a1 + a2 + · · · + an + . . . , an > 0 ∀ n c´o an+1 lim =D n→∞ an th`ı chuˆ˜o i hˆo.i tu. khi D < 1 v`a phˆan k` y khi D > 1. Dˆa´u hiˆe.u Cauchy. Nˆe´u chuˆ˜o i a1 + a2 + · · · + an + . . . , an > 0 ∀ n c´o √ lim n an = C n→∞ th`ı chuˆ˜o i hˆo.i tu. khi C < 1 v`a phˆan k`y khi C > 1. Trong tru.`o.ng ho..p khi D = C = 1 th`ı ca’ hai dˆa´u hiˆe.u n`ay dˆ `eu khˆong cho cˆau tra’ l`o.i kh˘a’ng di.nh v`ı tˆ `on ta.i chuˆ˜o i hˆo.i tu. lˆa˜ n chuˆo˜ i phˆan k` . y v´o i D ho˘a.c C b˘a`ng 1. Dˆa´u hiˆe.u t´ıch phˆ an. Nˆe´u h`am f (x) x´ac di.nh ∀ x > 1 khˆong ˆam P v`a gia’m th`ı chuˆo˜ i f(n) hˆo.i tu. khi v`a chı’ khi t´ıch phˆan suy rˆo.ng n>1 www.matheducare.com
  5. MATH-EDUCARE 13.1. Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng 181 Z∞ f (x)dx hˆo.i tu.. 0 P 1 u. dˆa´u hiˆe.u t´ıch phˆan suy ra chuˆ˜o i T` α hˆo.i tu. khi α > 1 v`a n>1 n 1 y khi 0 < α 6 1. Nˆe´u α 6 0 th`ı do an = α 6→ 0 khi α 6 0 v`a phˆan k` n n → ∞ nˆen chuˆ˜o i d˜a cho c˜ ung phˆan k` y. ´ V´I DU CAC . V´ı du. 1. Kha’o s´at su.. hˆo.i tu. cu’a c´ac chuˆ˜o i X 1 X 1 1) p ; 2) ln n · n>1 n(n + 1) n>7 n Gia’i. 1) Su’. du.ng bˆa´t d˘a’ng th´ u.c hiˆe’n nhiˆen 1 1 p > · n(n + 1) n+1 P 1 V`ı chuˆo˜ i `an du. sau sˆo´ ha.ng th´ l`a phˆ u. nhˆa´t cu’a chuˆo˜ i diˆ `eu n>1 n + 1 h`oa nˆen n´o phˆan k` y. Do d´o theo dˆa´u hiˆe.u so s´anh I chuˆo˜ i d˜a cho phˆan k` y. 1 1 2) V`ı ln n > 2 ∀ n > 7 nˆen ln n < 2 ∀ n > 7. n n P 1 Do chuˆo˜ i Dirichlet 2 hˆo.i tu. nˆen suy ra r˘`ang chuˆo˜ i d˜a cho hˆo.i n>7 n tu.. N V´ı du. 2. Kha’o s´at su.. hˆo.i tu. cu’a c´ac chuˆo˜ i: X (n − 1)n X √ 1) n+1 , 2) n2 e− n . n>1 n n>1 Gia’i. 1) Ta viˆe´t sˆo´ ha.ng tˆo’ng qu´at cu’a c´ac chuˆo˜ i du.´o.i da.ng: (n − 1)n 1 1 n = 1− . nn+1 n n www.matheducare.com
  6. MATH-EDUCARE 182 Chu.o.ng 13. L´ y thuyˆe´t chuˆ˜o i  1 n 1 1 Ta biˆe´t r˘a`ng lim 1 − = nˆen an ∼ . n→∞ n e n→∞ ne P 1 Nhu.ng chuˆo˜ i phˆan k`y, do d´o chuˆo˜ i d˜a cho phˆan k` y. n→∞ ne 2) R˜o r`ang l`a dˆa´u hiˆe.u D’Alembert v`a Cauchy khˆong gia’i quyˆe´t √ du o..c vˆa´n dˆ . `e su.. hˆo.i tu.. Ta nhˆa.n x´et r˘a`ng e− n = 0(n− 2 ) khi n → ∞ α `e vˆ (α > 0). T` u. d´o X X 1 an = a0 −2 n>1 n>1 n 2 P √ hˆo.i tu. nˆe´u a0 > 6. Do vˆa.y theo dˆa´u hiˆe.u so s´anh I chuˆ˜o i n2 e− n n>1 hˆo.i tu.. N V´ı du. 3. Kha’o s´at su.. hˆo.i tu. cu’a chuˆ˜o i X 2n + n2 X (n!)2 1) , 2) · n>1 3n + n n>1 (2n)! Gia’i. 1) Ta c´o:  (n + 1)2  n an+1 2 n+1 + (n + 1) 2 3 +n 2 n + 1+ = n+1 × n = 2n × 3n , an 3 + (n + 1) 2 + n2 n+1 n2 3+ n 1+ 3 2n v u u n2 √ 2uu 1 + n an = t n 2n · 3 1+ n 3n an+1 2 √ 2 u. d´o suy ra lim T` = v`a lim n an = . V`a ca’ hai dˆa´u hiˆe.u n→∞ an 3 n→∞ 3 Cauchy, D’Alembert dˆ `eu cho kˆe´t luˆa.n chuˆ˜o i hˆo.i tu.. ´ du.ng dˆa´u hiˆe.u D’Alembert ta c´o: 2) Ap an+1 (n + 1)2 1 D = lim = lim = < 1. n→∞ an n→∞ (2n + 2)(2n + 1) 4 Do d´o chuˆ˜o i d˜a cho hˆo.i tu.. www.matheducare.com
  7. MATH-EDUCARE 13.1. Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng 183 u.c a.n x´et. Nˆe´u ´ap du.ng bˆa´t d˘a’ng th´ Nhˆ  n n  n n < n! < e e 2 th`ı 2  n 2 (n!) 2 n en 2 e2+ n 2 <  2 = 2 ,  n1 2n 4 (2n)! e √  e 2 do d´o lim an 0. n>1 n2 + 1 n>2 n lnp n 2n Gia’i. 1) Ta c´o an = 2 = f(n). Trong biˆe’u th´ u.c cu’a sˆo´ ha.ng n +1 2n tˆo’ng qu´at cu’a an = 2 ta thay n bo’.i biˆe´n liˆen tu.c x v`a ch´ u.ng to’ n +1 r˘a`ng h`am f (x) thu du.o..c liˆen tu.c do.n diˆe.u gia’m trˆen nu’.a tru.c du.o.ng. Ta c´o: Z+∞ ZA 2x 2x
  8. A dx = lim dx = lim ln(x 2 + 1)
  9. 2 x +1 A→+∞ x2 + 1 A→+∞ 1 1 1 = ln(+∞) − ln 2 = ∞. Do d´o chuˆ˜o i 1) phˆan k` y. 1 2) Nhu. trˆen, ta d˘a.t f(x) = , p > 0, x > 2. H`am f (x) tho’a x lnp x Z+∞ dx m˜an mo.i diˆ`eu kiˆe.n cu’a dˆa´u hiˆe.u t´ıch phˆan. V`ı t´ıch phˆan hˆoi x lnp x . 2 y khi p 6 1 nˆen chuˆ˜o i d˜a cho hˆo.i tu. khi p > 1 tu. khi p > 1 v`a phˆan k` v`a phˆan k` y khi 0 < p 6 1- N www.matheducare.com
  10. MATH-EDUCARE 184 Chu.o.ng 13. L´ y thuyˆe´t chuˆ˜o i P n+2 u.ng minh r˘a`ng chuˆ˜o i V´ı du. 5. Ch´ `eu kiˆe.n √ tho’a m˜an diˆ n>1 (n + 1) n `an hˆo.i tu. nhu.ng chuˆ˜o i phˆan k` cˆ y. Gia’i. Ta c´o n+2 1 an = √ ∼ √ ⇒ lim an = 0. (n + 1) n (n→∞) n n→∞ Tiˆe´p theo ∀ k = 1, 2, . . . , n ta c´o k+2 1 1 ak = √ >√ >√ (k + 1) k k n v`a do d´o X n 1 √ sn = ak > n · √ = n → +∞ khi n → ∞ k=1 n v`a do d´o chuˆ˜o i phˆan k` y. N ` TA BAI ˆP . Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay, b˘a`ng c´ach kha’o s´at gi´o.i ha.n cu’a tˆo’ng riˆeng, h˜ay x´ac lˆa.p t´ınh hˆo.i tu. (v`a t´ınh tˆo’ng S) hay phˆan k` y cu’a chuˆo˜ i X 1 3 1. n−1 . (DS. S = ) n>1 3 2 X (−1)n 2 2. . (DS. ) n>0 2n 3 X 3. (−1)n−1 . (DS. Phˆan k` y) n>1 X 1 4. ln2n 2. (DS. ) n>0 1 − ln2 2 X 1 137 5. . (DS. ) n>1 n(n + 5) 300 www.matheducare.com
  11. MATH-EDUCARE 13.1. Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng 185 X 1 1 6. , α > 0. (DS. ) n>1 (α + n)(α + n + 1) α+1 X 1 25 7. . (DS. ) n>3 n2 −4 48 X 2n + 1 8. 2 (n + 1)2 . (DS. 1) n>1 n X √ √ √ √ 9. ( 3 n + 2 − 1 3 n + 1 + 3 n). (DS. 1 − 3 2) n>1 X 1 73 10. . (DS. ) n>1 n(n + 3)(n + 6) 1080 Su’. du.ng diˆ `an 2) dˆe’ x´ac di.nh xem c´ac chuˆ˜o i sau dˆay chuˆ˜o i `eu kiˆe.n cˆ n`ao phˆan k`y. X 11. (−1)n−1 . (DS. Phˆan k` y) n>1 X 2n − 1 12. . (DS. Phˆan k` y) n>1 3n + 2 Xp n 13. 0, 001. (DS. Phˆan k` y) n>1 X 1 14. √ . `an khˆong cho cˆau tra’ l`o.i) (DS. Dˆa´u hiˆe.u cˆ n>1 2n X 2n 15. . `an khˆong cho cˆau tra’ l`o.i) (DS. Dˆa´u hiˆe.u cˆ n>1 3n X 1 16. √ n . (DS. Phˆan k` y) n>1 0, 3 X 1 17. √ n . (DS. Phˆan k` y) n>1 n! X 1 18. n2 sin . (DS. Phˆan k` y) n>1 n2 +n+1 www.matheducare.com
  12. MATH-EDUCARE 186 Chu.o.ng 13. L´ y thuyˆe´t chuˆ˜o i  1 n2 X 1 + 19. n . (DS. Phˆan k` y) en n>1 X 2n2 + 1 n2 20. . (DS. Phˆan k` y) n>1 2n2 + 3 X nn+ n 1 21.  . (DS. Phˆan k` y) 1 n n>1 n + n X n+2 22. `an khˆong cho cˆau tra’ l`o.i) √ . (DS. Dˆa´u hiˆe.u cˆ n>1 (n + 1) n X 1 23. (n + 1)arctg . (DS. Phˆan k` y) n>1 n+2 Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay, h˜ay d` ung dˆa´u hiˆe.u so s´anh dˆe’ kha’o s´at su.. hˆo.i tu. cu’a c´ac chuˆ˜o i d˜a cho X 1 24 √ . (DS. Phˆan k` y) n>1 n X1 25. . ˜ a n. nn > 2n ∀ n > 3. (DS. Hˆo.i tu.). Chı’ dˆ n n n>1 X 1 26. . a n. So s´anh v´o.i chuˆ˜o i diˆ ˜ y). Chı’ dˆ (DS. Phˆan k` `eu h`oa. n>1 ln n X 1 27. n−1 . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 n3 X 1 28. √ 3 . (DS. Phˆan k` y) n>1 n + 1 X 1 29. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 2n +1 X n 30. n . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 (n + 2)2 www.matheducare.com
  13. MATH-EDUCARE 13.1. Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng 187 X 1 31. p . (DS. Hˆo.i tu.) (n + 2)(n 2 + 1) n>1 X 5n2 − 3n + 10 32. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 3n5 + 2n + 17 X 5 + 3(−1)n 33. ˜ a n. 2 6 5 + 3(−1)n 6 8. . (DS. Hˆo.i tu.). Chı’ dˆ n>1 2n+3 X ln n 34. . (DS. Phˆan k` ˜ y). Chı’ dˆ a n. ln n > 1 ∀ n > 2. n>1 n X ln n 35. 2 . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 n a n. Su’. du.ng hˆe. th´ ˜ Chı’ dˆ u.c ln n < nα ∀ α > 0 v`a n du’ l´o.n. X ln n 36. √3 . (DS. Phˆan k` y) n>1 n X n5 37. √ . n (DS. Hˆo.i tu.) n>1 5 X 1 1 38. √ sin . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 n n X n4 + 4n2 + 1 39. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 2n X √ √ 40. n2 ( n a − n+1 a), a > 0. (DS. Phˆan k` y ∀ a 6= 1) n>1 X √ n √ n+1 41. ( 2− 2). (DS. Hˆo.i tu.) n>1 X 1 42. , a > 0. (DS. Hˆo.i tu. khi a > 1. Phˆan k` y khi 0 < a 6 1) n>1 1 + an X πn 43. sin √ . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 n2 n+n+1 u.ng gi´a tri. cu’a tham Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay, h˜ay x´ac di.nh nh˜ sˆo´ p dˆe’ chuˆo˜ i d˜a cho hˆo.i tu. ho˘a.c phˆan k` y: www.matheducare.com
  14. MATH-EDUCARE 188 Chu.o.ng 13. L´ y thuyˆe´t chuˆ˜o i X π p 44. sin , p > 0. (DS. Hˆo.i tu. nˆe´u p > 1, phˆan k` y nˆe´u p 6 1) n>1 n X π 45. tgp , p > 0. (DS. Hˆo.i tu. khi p > 1, phˆan k` y khi p 6 1) n>1 n+2 X 1 1 46. sin · tg , p > 0, q > 0. n>1 np nq (DS. Hˆo.i tu. khi p + q > 1, phˆan k` y khi p + q 6 1) X 1 47. 1 − cos p , p > 0. n>1 n 1 1 (DS. Hˆo.i tu. khi p > , phˆan k`y khi p 6 ) 2 2 X√ √ 2n + 1 48. ( n + 1 − n)p ln . n>1 2n + 3 (DS. Hˆo.i tu. khi p > 0, phˆan k` y khi p 6 0) Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay, h˜ay kha’o s´at su.. hˆo.i tu. cu’a chuˆ˜o i d˜a cho nh`o. dˆa´u hiˆe.u du’ D’Alembert Xn 49. n . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 2 X 2n−1 50. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 nn X 2n−1 51. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 (n − 1)! X n! 52. . (DS. Phˆan k` y) n>1 2n + 1 X 4n n! 53. . (DS. Phˆan k` y) n>1 nn X 3n 54. n . (DS. Phˆan k` y) n>1 n2 www.matheducare.com
  15. MATH-EDUCARE 13.1. Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng 189 X 1 · 3 · · · (2n − 1) 55. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 3n n! X π 56. n2 sin . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 2n X n(n + 1) 57. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 3n X 73n 58. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 (2n − 5)! X (n + 1)! 59. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 2n n! X (2n − 1)!! 60. . (DS. Phˆan k` y) n>1 n! X n!(2n + 1)! 61. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 (3n)! n π X n sin 62. 2n . (DS. Phˆan k` y) n>1 n! X nn 63. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 n!3n X n!an 64. , a 6= e, a > 0. (DS. Hˆo.i tu. khi a < e, phˆan k` y khi a > e) n>1 nn Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay, h˜ay kha’o s´at su.. hˆo.i tu. cu’a chuˆo˜ i d˜a cho nh`o. dˆa´u hiˆe.u du’ Cauchy X n n 65. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 2n + 1 X 1 n 66. arc sin . (DS. hˆo.i tu.) n>1 n X 1  n + 1 n2 67. n . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 3 n www.matheducare.com
  16. MATH-EDUCARE 190 Chu.o.ng 13. L´ y thuyˆe´t chuˆ˜o i X  3n + 2 n 68. n5 . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 4n + 3 X 3n n  n + 2 n2 69. . (DS. Phˆan k` y) n>1 n + 5 n + 3 X n! 70. √ . n (DS. Phˆan k` y) n>1 n  n n √ an. Su’. du.ng cˆong th´ Chı’ dˆ u.c Stirling n! ∼ 2πn, n → ∞ e X n − 1 n(n−1) 71. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 n+1 X n2 + 3 n3 +1 72. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 n2 + 4 X  n n 2 73. 3n . (DS. Phˆan k` y) n>1 n + 1 √ X 3n + 2 74. arctgn √ . (DS. Phˆan k`y) n>10 n+1 X an n 75. , a > 0. n>1 n + 2 (DS. Hˆo.i tu. khi 0 < a < 1, phˆan k` y khi a > 1) X n α 76.  n/2 , α > 0. (DS. Hˆo.i tu. ∀ α) n>1 ln(n + 1) X 5 + (−1)n 77. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 4n+1 X n +n 78. 2(−1) . (DS. Phˆan k` y) n>1 X n −n 79. 2(−1) . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 X [5 − (−1)n ]n 80. . (DS. Phˆan k` y) n>1 n2 4n www.matheducare.com
  17. MATH-EDUCARE 13.2. Chuˆ˜o i hˆo.i tu. tuyˆe.t d ˆo´i v`a hˆo.i tu. khˆong tuyˆe.t d ˆo´i 191 X [5 + (−1)n ]n 81. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 n2 7n X [3 + (−1)n ] 82. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 3n √ X n4 [ 5 + (−1)n ]n 83. . (DS. Hˆo.i tu.) n>1 4n X 2 + (−1)n 84. n+1 · (DS. Hˆo.i tu.) n>1 5 + (−1) 13.2 Chuˆ˜ o i hˆ o.i tu. tuyˆ o´i v` e.t dˆ a hˆ o.i tu. khˆ ong tuyˆ o´i e.t dˆ 13.2.1 ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n C´ Chuˆ˜o i v´o.i c´ac sˆo´ ha.ng c´o dˆa´u kh´ac nhau X a1 + a2 + · · · + an + · · · = an (13.2) n>1 du.o..c go.i l`a chuˆ ˜ i hˆ o o´i nˆe´u chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng o.i tu. tuyˆe.t dˆ X |a1| + |a2| + · · · + |an | + · · · = |an | (13.3) n>1 hˆo.i tu.. Chuˆo˜ i (13.2) du.o..c go.i l`a chuˆo˜ i hˆ o.i tu. c´ `eu kiˆe.n (khˆ o diˆ ong tuyˆe.t o´i) nˆe´u n´o hˆo.i tu. c`on chuˆ˜o i (13.3) phˆan k` dˆ y. - i.nh l´ D y 13.2.1. Mo.i chuˆ ˜ i hˆ o o.i tu. tuyˆe.t dˆ `eu hˆ o´i dˆ o.i tu., t´u.c l` a su.. hˆ o.i tu. cu’a chuˆ o i (13.3) k´eo theo su.. hˆ ˜ o.i tu. cu’a chuˆ ˜ o i (13.2). `eu kiˆe.n c´o t´ınh chˆa´t rˆa´t d˘a.c biˆe.t l`a: nˆe´u chuˆ˜o i Chuˆo˜ i hˆo.i tu. c´o diˆ (13.2) hˆo.i tu. c´o diˆ `eu kiˆe.n th`ı v´o.i sˆo´ A ⊂ R bˆa´t k` y luˆon luˆon c´o thˆe’ ho´an vi. c´ac sˆo´ ha.ng cu’a chuˆ˜o i d´o dˆe’ chuˆ˜o i thu du.o..c c´o tˆo’ng b˘`ang A. www.matheducare.com
  18. MATH-EDUCARE 192 Chu.o.ng 13. L´ y thuyˆe´t chuˆ˜o i 13.2.2 ˜ Chuˆ a´u v` o i dan dˆ a´u hiˆ a dˆ e.u Leibnitz Chuˆo˜ i da.ng X (−1)n−1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · · + (−1)n−1 an + . . . , n>1 an > 0 ∀ n ∈ N (13.4) du.o..c go.i l`a chuˆ˜ i dan dˆ o a´u. Dˆ a´u hiˆe.u Leibnitz. Nˆe´u lim an = 0 v`a an > an+1 > 0 ∀ n ∈ N th`ı n→∞ chuˆo˜ i dan dˆa´u (13.4) hˆo.i tu. v`a |S − Sn | 6 an+1 (13.5) trong d´o S l`a tˆo’ng cu’a chuˆ˜o i (13.4), Sn l`a tˆo’ng riˆeng th´ u. n cu’a n´o. Nhu. vˆa.y dˆe’ kha’o s´at su.. hˆo.i tu. cu’a chuˆ˜o i dan dˆa´u ta cˆ `an kiˆe’m tra hai diˆ `eu kiˆe.n i) an > an+1 > 0 ∀ n ∈ N, ii) lim an = 0. n→∞ Hˆe. th´ u.c (13.5) ch´ u.ng to’ r˘`ang sai sˆo´ g˘a.p pha’i khi thay tˆo’ng S cu’a chuˆ˜o i dan dˆa´u hˆo.i tu. bo’.i tˆo’ng cu’a mˆo.t sˆo´ sˆo´ ha.ng dˆ `au tiˆen cu’a n´o l`a . . khˆong vu o. t qu´a gi´a tri. tuyˆe.t dˆo´i cu’a sˆo´ ha.ng th´ u nhˆa´t cu’a chuˆo˜ i du. . bi. c˘a´t bo’. Dˆe’ x´ac lˆ a.p su.. hˆ o.i tu. cu’a chuˆo˜ i v´o.i c´ac sˆo´ ha.ng c´o dˆa´u kh´ac nhau ta c´o thˆe’ su’. du.ng c´ac dˆa´u hiˆe.u hˆo.i tu. cu’a chuˆo˜ i du.o.ng v`a di.nh l´ y 13.1.1. P P Nˆe´u chuˆ˜o i |an | phˆan k` y th`ı su.. hˆo.i tu. cu’a chuˆo˜ i an tro’. th`anh n>1 n>1 `e dˆe’ mo’. ngoa. i tr` vˆa´n dˆ u. tru.`o.ng ho..p su’. du.ng dˆa´u hiˆe.u D’Alembert v`a dˆa´u hiˆe.u Cauchy v`ı c´ac dˆa´u hiˆe.u n`ay x´ac lˆa.p su.. phˆan k` y cu’a chuˆ˜o i chı’ du..a trˆen su.. ph´a v˜o. diˆ `eu kiˆe.n cˆ`an. Nhˆ a.n x´et. Chuˆo˜ i dan dˆa´u tho’a m˜an dˆa´u hiˆe.u Leibnitz go.i l`a chuˆ˜o i Leibnitz. ´ V´I DU CAC . www.matheducare.com
  19. MATH-EDUCARE 13.2. Chuˆ˜o i hˆo.i tu. tuyˆe.t d ˆo´i v`a hˆo.i tu. khˆong tuyˆe.t d ˆo´i 193 . P (−1)n−1 ’ ’ ˜ V´ı du. 1. Khao s´at su. hˆo.i tu. v`a d˘a.c t´ınh hˆo.i tu. cua chuˆo i √ . n>1 n  1  Gia’i. D˜ay sˆo´ √ do.n diˆe.u gia’m dˆ `an dˆe´n 0 khi n → ∞. Do d´o n theo dˆa´u hiˆe.u Leibnitz n´o hˆo.i tu.. Dˆe’ kha’o s´at d˘a.c t´ınh hˆo.i tu. (tuyˆe.t P 1 dˆo´i hay khˆong tuyˆe.t dˆo´i) ta x´et chuˆ˜o i du.o.ng √ . Chuˆ˜o i n`ay phˆan n>1 n k` y. Do vˆa.y chuˆo˜ i d˜a cho hˆo.i tu. c´o diˆ `eu kiˆe.n. N V´ı du. 2. Kha’o s´at su.. hˆo.i tu. v`a d˘a.c t´ınh hˆo.i tu. cu’a chuˆ˜o i X ln2 n (−1)n−1 · n>1 n  ln2 n  Gia’i. Dˆe’ kha’o s´at d´ang diˆe.u cu’a d˜ay ta x´et h`am ϕ(x) = n 2 ln x ln x . R˜o r`ang l`a lim ϕ(x) = 0 v`a ϕ0 (x) = 2 (2 − ln x). T` u. d´o suy x x→∞ x 2 0 ln2 n ra khi x > e th`ı ϕ (x) < 0. Do d´o d˜ay (an ) = tho’a m˜an dˆa´u n hiˆe.u Leibnitz v´o.i n > e2 . V`ı vˆa.y chuˆ˜o i d˜a cho hˆo.i tu.. Dˆ˜e d`ang thˆa´y 2 P ln n r˘`ang chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng y nˆen chuˆ˜o i dan dˆa´u d˜a cho hˆo.i phˆan k` n>1 n `eu kiˆe.n. N tu. c´o diˆ ung ho’i nhu. trˆen v´o.i chuˆ˜o i V´ı du. 3. C˜ X cos nα · n>1 2n Gia’i. Dˆay l`a chuˆ˜o i dˆo’i dˆa´u. X´et chuˆ˜o i du.o.ng X | cos nα| (*) n>1 2n | cos αn| 1 V`ı n 6 n ∀ n ∈ N nˆen theo dˆa´u hiˆe.u so s´anh chuˆ˜o i (*) hˆo.i tu. 2 2 v`a do vˆa.y chuˆ˜o i d˜a cho hˆo.i tu. tuyˆe.t dˆo´i. N www.matheducare.com
  20. MATH-EDUCARE 194 Chu.o.ng 13. L´ y thuyˆe´t chuˆ˜o i ung ho’i nhu. trˆen dˆo´i v´o.i chuˆ˜o i V´ı du. 4. C˜ X (−1)n · n>1 n(n + 1) 1 ˜e d`ang thˆa´y r˘`ang d˜ay Gia’i. Dˆ do.n diˆe.u gia’m dˆ `an dˆe´n 0 n(n + 1) khi n → ∞. Do d´o theo dˆa´u hiˆe.u Leibnitz n´o hˆo.i tu.. Ta x´et su.. hˆo.i tu. P 1 cu’a chuˆ˜o i du.o.ng . Chuˆ˜o i n`ay hˆo.i tu., ch˘a’ng ha.n theo dˆa´u n>1 n(n + 1) hiˆe.u t´ıch phˆan  1 Z∞ ZA dx d x+ 2 x
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
27=>0