Bài tập về giới hạn dãy số

Chia sẻ: Trần Văn Thành | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

1.520
lượt xem 300
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đây là bài tập về giới hạn dãy số gửi đến các bạn học sinh tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập về giới hạn dãy số

Giới hạn dãy số a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó *Các giới hạn thường gặp: 6.Tìm các số hữu tỉ sau : limC = C ; lim= 0 α > 0 ; lim = 0 ; limqn = 0 |q| < 1 a) 2,1111111... b)1,030303030303... c)3,1515151515.... *Các phép toán giới hạn : 7.Tính lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – ) lim(un ± vn) = limun ± limvn ; lim(un.vn) = limun ; 8. Cho dãy (xn) thỏa 0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥ Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng. Tính limxn limvnlim = 9. Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 + xn – xn2 ∀n ∈ N *Các định lý về giới hạn: a)Chứng minh rằng: |xn – | < ()n ∀n ≥ 3 Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn b) Tính limxn Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn 10.Cho dãy số xác định bởi : u1 = ; un +1= Định lý 2: Cho 3 dãy số (un),(vn) và (wn) a) Chứng minh rằng: un < 1 ∀n b) Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên Nếu ∀n ta có un ≤ vn ≤ wn và limun = limwn = A thì limvn = A c) Tính limun Định lý 3: Nếu limun = 0 thì lim = ∞ 11.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = và un +1= Nếu limun = ∞ thì lim = 0 a) Chứng minh rằng un < 3 ∀ n *Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là S = b)Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên 1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau: c) Tính limun a) lim b) lim c) lim 2.Tính các giới hạn sau: Giới hạn hàm số a) lim b) lim c) lim *Các phép toán về giới hạn hàm số 2n − 3 lim [ f (x) ± g(x) ] = lim f (x) ± lim g(x) d) lim e) lim 3 3 n − 2n + 1 x →a x →a x →a lim [ f (x).g(x) ] = lim f (x).lim g(x) f)lim() g) lim x →a x →a 3.Tính các giới hạn sau: x →a a) lim b) lim() c) lim) lim f (x) f (x) d) lim) e) lim = x →a lim f (x) = lim f (x) lim x → a g(x) lim g(x) x →a x →a n + n + n + 3 n +1 3 3 2 2 x →a f) lim g) lim n 3 +1 *Các định lý về giới hạn hàm số : h) lim i) lim() Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất j) lim n() k) lim( 3 n 3 − 2n 2 − n ) Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K l) lim m) lim(1 + n2 – ) chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu lim g(x) = lim h(x) = L thì x →a x →a n) lim lim f (x) = L 4.Tính các giới hạn x →a a) lim b) lim c) lim 1 Định lý 3: Nếu lim f (x) = 0 thì lim =∞ d) lim e) lim f) lim f (x) x →a x →a g) lim với |a| < 1 ; |b| < 1 1 4.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 = Nếu lim f (x) = ∞ thì lim =0 x → a f (x) a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng x →a b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó s inx x =1 =1 lim lim Định lý 4: 5.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 = x x → 0 sinx x →0
sin kx kx x n − nx + n − 1 (1 − x )(1 − 3 x )(1 − 4 x )(1 − 5 x ) =1 =1 lim lim h) lim g) lim kx x → 0 sin kx (x − 1) 2 x →0 (1 − x) 4 x →1 x →1 *Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng ; ; 0.∞ ; ∞ – ∞ 4.Tính các giới hạn sau: 1.Tính các giới hạn sau: 1 − cos 6 x 5x sin 4x sin 3x a) lim b) lim c) lim d) lim x 3 − 3x 2 + 5x − 3 2 x 2 − 3x − 2 x2 2x x → 0 sin 7 x sin 2 x x →0 x →0 x →0 a) lim b) lim 1 − cos 3x cos x − cos 3x x−2 x2 −1 1 − cos x x →2 x →1 e) lim f) lim g) lim x →0 1 − cos x 2 2x x3 − x2 − x + 1 x 2 + 2x x2 x →0 x →0 c) lim 2 d) lim 2 cos 4 x − sin 4 x − 1 3 sin x − cos x sin x − cos x x → −2 x + 4 x + 4 x − 3x + 2 x →1 i) lim sin 8x j) lim h) lim π sin 6x π x4 −1 x →0 x − 5 x + 3x + 9 x2 +1 −1 x→ 3 2 x→ 4 6 e) lim f) lim 3 1 + sin x − cos x π x 4 − 8x 2 − 9 1 1 x → −1 x − 2 x 2 + 3 x →3 − ) m) lim( − x ) tgx k) lim l) lim( 1 − sin x − cos x x 3 − 3x + 2 x 2 + 2x − 3 x →0 sin x cos x x →0 2 x →0 g) lim 2 h) lim 2 − 1 + cos x 1 − cos x. cos 2 x x →1 2 x − x − 1 4 − x2 x → −2 n) lim o) lim p) xm −1 4 x 6 − 5x 5 + x 2 x2 sin x x →0 x →0 m,n∈N i) lim k) lim n sin x − cos x cos 2 x − 1 x 2 −1 x →1 x − 1 1 + sin x − cos 2 x x →1 q) lim 1 − tgx r) lim lim 2.Tính các giới hạn sau: π x →0 tg 2 x 1− 1− x2 x →0 x→ 4 x +5 −3 1+ x − 1− x 2− x −3 4.Tính các giới hạn sau: a) lim b) lim c) lim 2 4−x x →7 x − 49 x x →0 x →4 tgx − s inx 1 3 1 1 − cosx − a) lim  . b) lim c) lim 3− 5+ x x+2−x 4x + 1 − 3 3  sin 3x  x x → 0 s inx tg 2 x x d) lim e) lim f) lim x →0 x →0 x2 − 4 4x + 1 − 3 1− 5 − x x →2 x →4 x→2 1 − tgx cosx lim(1 + cos2x)tgx d) lim x-π/2 f) lim 1 − cot gx 2x + 7 + x − 4 2x + 3 − x + 2 e) x → π π π g) lim h) lim 3 x→ x→ 2 3x + 3 x − 4x 2 + 3 2 4 x → −1 x →1 tg x − 3tgx 3 s inx - cosx π x2 − x x+2−x x −1  lim g) lim i) lim  x.sin  π i) lim k) lim j) lim h) π 1 - tgx π x→ 3 cos(x + )  x x +3 −2 x −1 4x + 1 − 3 x →∞ x →1 x →1 x →2 x→ 4 6 2x + 7 − 3 x − 3x − 2 3 x −1 + x −1 2 2 − 1 + cosx 1 + sin 2x − 1 − sin 2x l) lim m) lim n) lim j) lim k) lim x2 −1 x −1 2− x +3 x →1+ x →1 x →1 2 tg x x x →0 x →0 x + 3 + x − 3x 2 3 l) lim(sin x + 1 − sin x ) m) lim(cos x+1 − cos x ) o) lim x →∞ x →∞ x −1 x →1 5.Tính các giới hạn sau: 3.Tính các giới hạn sau: 1 4 1 3 +2 −3 ) x5 + x3 + 2 x b) xlim2( ) a) lim( x −1 x −1 x+2 x −4 lim 3 lim 3 a) x → 2 b) x →1 →− 8−x −3 8+ x x +1 x → −1   1 1 +2 b) lim  2  x x+4− x 1 + x −1 3 2 3 x → 2 x − 3x + 2 x − 5x + 6   c) lim 3 d) lim e) lim 2 1+ x −1 x →0 x → 4 x − 5x + 4 2 x x →0 ( x − 1)( x 2 + 3x ) x 2 + x − 3x c) lim d) lim 10 − x − x + 2 2x + 10 + 3 x − 5 3 x 3 + 4x 2x − 1 x →∞ x →∞ f) lim g) lim x−2 x2 − 9 x → −3 x→2 f) lim ( 3 − x − 5 − x ) e) lim( x − x + 3 + x ) 2 8x + 11 − x + 7 x →−∞ x+6− x+2 x →∞ 3 3 h) lim i) lim x 2 − 3x + 2 x2 − 4 x →2 x →2
Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục g) lim x ( x + 5 − x ) h) xlim x ( x + 1 − x ) 2 2 trên tập xác định của chúng x →∞ → +∞ Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên x 2 + x + 2 + 3x i) xlim ( x − 2 x − 1 − x − 7 x + 3 ) i) lim 2 2 tục →+∞ 4x 2 + 1 − x + 1 x →∞ Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn x 2 + 2x + 3 9x 2 + x + 1 − 4x 2 + 2x + 1 tại ít nhất một số c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0 h) lim j) lim Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì x +1 x3 − x + 1 x →∞ 3 x →∞ phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b) 7x x2 + x +1 + x2 − x +1 lim 1.Xét sự liên tục của các hàm số sau: j) lim k) x →∞ 1 + 14x + 16x 2 + x + 1 x →∞ x + x +1 2 a) f(x) = x2 + x – 3 b)f(x) = b)f(x) = 6.Tính giới hạn các hàm số sau 2.Xét sự liên tục của các hàm số sau: x 2 − 3x + 4 khi x < 1 x 2 − 3x b) lim ( x − x − x + 1) 2 2 a) lim a) f(x) =  tại xo = 1 x →∞ x+2 2x − 3 khi x ≥ 1 x →∞ sin x + 3 cos 2x 1 c) lim x 2 sin d) lim x3 − x − 6 x 2 − 2x + 3 khi x ≠ 2 x x →0 x →∞ 2 x − x − 2 5 cos x + x 2 tại xo = 2 b) f(x) =  f) lim( x + x − x ) 2 e) lim 11 khi x = 2 x3 −1 x →∞ x → +∞ 3     sin πx g) lim(2x − 1 − 4x − 4x − 3) h) xlim  x + x + x − x  2 khi x ≠ 1    x →∞ →+∞ c) f(x) =  x − 1 tại xo = 1 ) (  −π i) lim(x + 3x − x ) x 2 + 1 − 3 x3 −1 3 2 3 khi x = 1 j) lim  x →∞ x →∞  x 2 − 3x + 2 7.Tìm 2 số a,b để khi x ≥ 1  x2 −1  a) xlim ( x + x + 1 − ax − b) = 0 2 d) f(x) =  tại xo = 1 →+∞ − x khi x < 1 x2 +1 − ax − b) = 0 2 b) lim (  x +1 x →∞  4 − x2 8. Tính các giới hạn sau: khi x < 2  ) ) ( ( e) f(x) =  x − 2 tại xo = 2 x 2 + 2x − 2 x 2 + x + x x 3 + 3x 2 − x 2 − 2x 3 a) xlim x b) xlim 1 − 2x khix > 2 →+∞ →+∞   3  x + 2 khi x ≤ 0 Hàm số liên tục  Định nghĩa: f) f(x) =  tại xo = 0  x + 1 − 1 khi x ≥ 0 *Hàm số f(x) liên tục tại xo ⇔ xlimo f (x) = f (x o ) →x  3 1 + x −1  *Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi 1 − 3 cosx điểm khi x ≠ 0  xo ∈ (a;b)  sin 2 x g) f(x) =  tại xo = 0 *Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng  1 khi x = 0 [a;b] 6  và xlim+ f (x) = f (a) và xlim− f (x) = f (b) →a →b Các định lý:
5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R 1 − 2x − 3 khi x ≠ 2  π  h) f(x) =  2 − x tại xo = 2 − 2 sin x khi x < − 2 1 khi x = 2 x 2 khi x < 1    π π  b) f(x) = ax + b khi 1 ≤ x ≤ 3 a) f(x) = asinx + b khi − ≤ x ≤ 3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0 2 2  4 − x khi x > 3 3x 2 + 2x − 1 khi x < 1  π  a) f(x) =  tại x0 = 1 khi x > cos x 2x + a khi x ≥ 1  2  x 3 + 2x − 3 6. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm: khi x ≠ 1  a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0 tại x0 = 1 b) f(x) =  x 2 − 1 a 3 2 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0 c) x + x + x + 2/3 = 0 khi x = 1  e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0 1 − cos4x 7. Chứng minh rằng phương trình khi x < 0   x.sin 2x a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) c) f(x) =  tại xo = 0 x + a b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2) khi x ≥ 0  x +1 c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)  d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)  1− x − 1+ x khi x < 0 e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1)   x f)* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5) d) f(x) =  tại xo = 0 a + 4 − x 8. Cho 3 số a,b,c khác nhau .Chứng minh rằng phương trình khi x ≥ 0  x+2  (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 Có 2 nghiệm phân biệt 4.Xét sự liên tục của các hàm số sau: 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0 x 2 − 3x − 7 khi x < −2 a) f(x) =  Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0;] 1 − x khi x ≥ −2 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0 x 2 + 3x −10 a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2) khi x < 2  b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu  x −4 2 c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 2x + 3 khi 2 ≤ x ≤ 5 b) f(x) =  10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : = 0  x +2 a)Chứng minh rằng af() < 0 với a ≠ 0 3x − 4 khi x > 5 b)Cho a > 0 , c < 0 ,chứng minh rằng f(1) > 0   c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R 11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) ∈ [a;b] ∀ x ∈  3 3x + 2 − 2 [a;b] khi x > 2   x−2 Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x ∈ [a;b] a) f(x) =  12. Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm: ax + 1 khi x ≤ 2 a) cosx + m.cos2x = 0   4 b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0 π  sin(x − ) c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0  3 khi x ≠ π d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0  b) f(x) =  1 − 2 cos x 3 13.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và α , β là hai số dương bất kỳ.  π Chứng minh rằng: phương trình f(x) = có nghiệm trên [a;b] khi x = a  3
14.Cho phương trình x4 – x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo ∈ (1;2) và xo >