Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

Chia sẻ: Caphesua | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm nghiên cứu một cách có hệ thống và chi tiết về các bài toán tìm giới hạn dãy số để học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài toán này. Xây dựng, hệ thống và phân dạng các bài tập về “bài toán tìm giới hạn dãy số” phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Tác giả sáng kiến: TRẦN VĂN LONG Mã sáng kiến: 28.52.02 Vĩnh Phúc, năm 2021
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Tác giả sáng kiến: TRẦN VĂN LONG Mã sáng kiến: 28.52.02 Vĩnh Phúc, năm 2021
MỤC LỤC Trang 1. Lời giới thiệu............................................................................................... 2 2. Tên sáng 2 kiến............................................................................................... 3. Tác giả sáng 2 kiến.......................................................................................... 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng 2 kiến……….............................................................. 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến……………………………….. 2 …………....... 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng 2 thử………….…........ 7. Mô tả bản chất của sáng kiến……………………………….. 3 ……….….... 7.1 . Nội dung của sáng kiến……….. 3 …………………………........................ Phần I. Đặt vấn đề…………………………………………….................. 3 Phần II. Nội dung……….………………………………………..…….... 5 I. Cơ sở lý luận…………………………………………..…............ 5 1. Cơ sở lý luận của đề tài……………………………….……... 5 2. Cơ sở thực tiễn………………………………..………. 5 ……… II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu……….. 5 ………………........... 1. Khái quát về phạm vi nghiên cứu………..………………....... 5 2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu………. 5 ………………….. III. Biện pháp và giải pháp thực hiện……………..……………........ 5 1. Cơ sở đề suất giải 5 pháp…………………………………......... 2. Giải pháp chủ yếu……….………………………………….... 6 Chương 1. Khái niệm giới hạn của dãy số……….. 6 …………........ Chương 2. Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy 7 số………… I. Dùng định nghĩa tính giới hạn của dãy số……. 7 ………..... 1
II. Phương pháp sử dụng các giới hạn dặc biệt và 10 ……….... III. Phương pháp dùng nguyên lý kẹp….…….. 14 ……………. 16 Chương 3. Một số bài toán liên quan đến giới hạn dãy số………. IV. Kết quả sau khi thực hiện…………………………………........ 23 Phần III. Kết luận và kiến nghị………………………….. 24 ……………. 26 Tài liệu tham 27 khảo…………………………………………………….. 27 7.2. Về khả năng áp dụng của sáng 27 kiến......................................................... 27 8. Những thông tin cần được bảo mật……………………………….......... 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến………………………....... 10. Kết quả thu được sau khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy……............. 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp 28 dụng sáng kiến lần đầu. BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Trong chương trình toán trung học phổ thông, các bài toán giới hạn là vấn đề khó và trừu tượng đối với học sinh. Thường học sinh thấy lúng túng khi đứng trước các bài toán giới hạn, không biết lựa chọn phương án nào và bắt đầu từ đâu? Trong quá trình giảng dạy “Các bài toán tìm giới hạn dãy số ” trong sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao, tôi nhận thấy sách giáo khoa trình bày ngắn gọn và trừu tượng. Vì thế học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi 2
tiếp cận bài toán. Hơn nữa, sách giáo khoa và sách bài tập vẫn chưa hệ thống và phân dạng được về các bài toán tìm giới hạn dãy số. Trong các kì kiểm tra thường xuyên, thi TN THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi lại có xu hướng sử dụng các bài tập về tìm giới hạn dãy số, đòi hỏi học sinh phải có tư duy tốt và có sự phân dạng bài toán để giải quyết được bài toán. Vì vậy tôi sưu tầm một số tài liệu, bài tập về các bài toán tìm giới hạn dãy số và chia các bài tập thành từng dạng để học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài toán tìm giới hạn dãy số, từ đó có cách làm, cách giải bài toán phù hợp. Với mong muốn cho việc dạy và học về các bài toán đếm được tốt hơn, tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm. 2. Tên sáng kiến: Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 3. Tác giả sáng kiến: Họ và tên: Trần Văn Long Địa chỉ tác giả sáng kiên: Giáo viên trường THPT Yên Lạc 2 Số điện thoại: 0978097190. Email: longtv.yl2@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Cá nhân 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến được áp dụng để “Tìm giới hạn của dãy số” trong chương trình toán Đại số và Giải tích 11 ở trường THPT. Dạy học sinh ôn thi TN THPT Quốc gia và học sinh thi học sinh giỏi môn toán 11. 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/01/2021 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 7.1. Về nội dung của sáng kiến PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài 3
Trong chương trình toán trung học phổ thông, các bài toán tìm giới hạn dãy số là vấn đề khó và trừu tượng đối với học sinh. Thường học sinh thấy lúng túng khi đứng trước các bài toán tìm giới hạn dãy số, không biết lựa chọn cách nào và bắt đầu từ đâu? Trong quá trình giảng dạy, bài toán tìm giới hạn dãy số trong sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao, tôi nhận thấy sách giáo khoa trình bày ngắn gọn và trừu tượng. Vì thế học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi tiếp cận bài toán. Hơn nữa, sách giáo khoa và sách bài tập vẫn chưa hệ thống và phân dạng được về các bài toán tìm giới hạn dãy số. Trong các kì kiểm tra thường xuyên, thi TN THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi lại có xu hướng sử dụng các bài tập về bài toán đếm, đòi hỏi học sinh phải có tư duy tốt và có sự phân dạng bài toán để giải quyết được bài toán. Vì vậy tôi sưu tầm một số tài liệu, bài tập về các bài toán tìm giới hạn dãy số và chia các bài tập thành từng dạng để học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài toán tìm giới hạn dãy số, từ đó có cách làm, cách giải bài toán phù hợp. Với mong muốn cho việc dạy và học về các bài toán tìm giới hạn dãy số được tốt hơn, tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một cách có hệ thống và chi tiết về các bài toán tìm giới hạn dãy số để học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài toán này. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các khái niệm về giới hạn dãy số. Xây dựng, hệ thống và phân dạng các bài tập về “bài toán tìm giới hạn dãy số” phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh. 4. Đối tượng và khách thể nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: là các bài toán tìm giới hạn dãy số trong chương trình toán THPT, các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc gia của Bộ Giáo dục và Đào tạo hàng năm. 4
Khách thể nghiên cứu: là học sinh lớp 11 trường Trung học phổ thông Yên Lạc 2, huyện Yên Lạc, tỉnh Vĩnh Phúc. 5. Phạm vi nghiên cứu Các tài liệu sách báo, sách giáo khoa cơ bản và nâng cao môn toán lớp 11, các chuyên đề ôn thi TN THPT Quốc gia hàng năm về các bài toán tìm giới hạn dãy số. 6. Phương pháp nghiên cứu Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình giải bài toán tìm giới hạn dãy số. Tiến hành thực nghiệm sư phạm trên lớp giảng dạy trên cùng một lớp đối tượng. 7. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm gồm các phần sau: Phần I: Đặt vấn đề Phần II: Nội dung I. Cơ sở lý luận 1. Cơ sở lý luận của đề tài 2. Cơ sở thực tiễn II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 1. Khái quát về phạm vi nghiên cứu 2. Thực trạng của vấn đê nghiên cứu III. Biện pháp và giải pháp thực hiện 1. Cơ sở đề xuất giải pháp 2. Giải pháp chủ yếu Chương 1. Khái niềm về dãy số Chương 2. Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số I. Dùng định nghĩa tính giới hạn của dãy số 5
II. Phương pháp sử dụng các giới hạn dặc biệt và… III. Phương pháp dùng nguyên lý kẹp IV. Kết quả sau khi thực hiện Phần III: Kết luận và kiến nghị Tài liệu tham khảo PHẦN II. NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận 1. Cơ sở lý luận của đề tài Môn toán ở trường Trung học phổ thông là một môn khoa học tự nhiên, đòi hỏi sự tư duy sáng tạo và cần nhiều kiến thức về giải bài tập để tự hệ thống được kiến thức lý thuyết và hiểu thật sự được bản chất của bài toán. Từ đó hình thành hứng thú học tập cho học sinh học tập bộ môn toán ở trường Trung học phổ thông. 2. Cơ sở thực tiễn Các kiến thức trong sách giáo khoa và sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (ban cơ bản và nâng cao) do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành còn mang tính hàn lâm, lý thuyết và ít thực tế. Trong các bài kiểm tra thường xuyên về bài toán tìm giới hạn dãy số, học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của bài toán, dẫn tới hiểu sai và có nhiều sai lầm khi giải toán. Trong các đề thi học kì, thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia hàng năm có xu hướng sử dụng các bài toán tìm giới hạn dãy số. II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 1. Khái quát về phạm vi nghiên cứu 6
Các khái niệm và các bài tập về bài toán tìm giới hạn dãy số trong chương trình môn toán ở trường Trung học phổ thông. 2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu Các bài tập về bài toán tìm giới hạn dãy số trong sách giáo khoa và sách bài tập còn đơn điệu và chưa đưa ra được các dạng bài tập cụ thể. Học sinh khi học xong các bài toán tìm giới hạn dãy số và làm các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập một cách cẩn thận vẫn không thể tự mình phân dạng bài tập được. Vì thế khi gặp loại bài tập này học sinh thường bị lúng túng. III. Biện pháp và giải pháp thực hiện 1. Cơ sở đề suất giải pháp Theo yêu cầu cụ thể của việc dạy và học, phân phối chương trình bộ môn toán ở trường Trung học phổ thông (gồm các tiết dạy chính khóa và tự chọn) Theo các kiến thức về bài toán tìm giới hạn dãy số và các yêu cầu kỹ năng cần phải đạt được trong các đề kiểm tra thường xuyên, đề thi THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi môn toán ở trường Trung học phổ thông. 2. Giải pháp chủ yếu Hệ thống lại các kiến thức về bài toán tìm giới hạn dãy số mà học sinh cần sử dụng đến trong quá trình giải bài tập. Đưa ra các bài tập thường gặp về bài toán tìm giới hạn dãy số, các dạng và phương pháp giải bài toán tìm giới hạn dãy số để học sinh có thể tự tìm ra lời giải phù hợp với mỗi bài toán. Nội dung cụ thể của đề tài như sau: CHƯƠNG 1. KHÁI NIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ Trong toán học khái niệm giới hạn được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một 7
giá trị nào đó. Trong một khoảng không gian đầy đủ, khái niệm giới hạn cho phép ta xác định một điểm mới từ một dãy cauchy các điểm đã được xác định trước.giới hạn là khái niệm quan trọng về giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạo hàm và phép tính tích phân. Khái niệm giới hạn dãy số I. Giới hạn hữu hạn a) Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu u n có thể hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: nlim u n 0 hay u n 0 khi n b) Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi n , nếu nlim v n a 0 Kí hiệu: nlim v n a hay vn a khi n c) Một số giới hạn cơ bản 1 1.lim c = c 2.lim 3.lim q n = 0, với q < 1 n n n n II. Giới hạn vô cực a) Dãy số có giới hạn + Định nghĩa 3: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là + nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. 8
Kí hiệu: nlim un = + hay un + khi n + + b) Dãy số có giới hạn − Định nghĩa 4: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là − nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. Kí hiệu: nlim un = − hay un − khi n + + CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ I. Phương pháp Dùng định nghĩa để tìm giới hạn của một dãy 1. Phương pháp: ∗ lim n un=0 khi và chỉ khi |un | có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. lim v =a khi và chỉ khi lim (v a)=0 n n n n lim u =+∞ khi và chỉ khi u có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số n n n hạng nào đó trở đi lim u =∞ khi và chỉ khi lim (u ) = +∞ n n n n 2. Bài tập mẫu: Bài 1: Cho dãy( un) thỏa mãn un> n với mọi n.chứng minh rằng lim n un=+∞ Giải: Ta có : lim n =+∞ lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi. mặt khác un> n nên un lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó. 9
Vậy lim n un=+∞ 2n + 1 Bài 2: Cho dãy số ( un) có un= . Tìm lim n un n Giải: 2n + 1 1 Ta biến đổi: un = =2+ 2 n 1 lim lim Vậy n un =2 vì n n = 0 2n + 1 lim Bài 3: Biết dãy số un thỏa mãn |un | ≤ n với mọi n. Chứng minh rằng: n un=0 Giải: n +1 2 Đặt vn= n n +1 2 Ta có lim vn=lim n =0. Do đó |vn | có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1) Mặt khác theo giả thiết ta có |un |≤ vn≤ | vn | (2) Từ (1) và (2) suy ra un có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hàng nào đó trở đi nghĩa là lim un =0. 3. Bài tập áp dụng: Bài 1: Biết dãy số (un) thỏa mãn un >n2 với mọi n. Chứng minh rằng: lim n un=+∞ Giải: Vì lim n2=+ ∞ nên n2 có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. 10
Mặt khác theo giả thuyết mà un >n2 với mọi n, nên un có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hàng nào đó trở đi. Vậy lim n un=+∞ Bài 2: Cho biết lim n un=∞ và vnun lim (vn )=+∞ n n n Vậy lim n vn =∞ 3n + 2 Bài 3: Cho dãy (un) xác định bởi un= n +1 1 a, Tìm số n sao cho |un3|< 1000 b, Chứng minh rằng với mọi n > 999 thì các số hạng của dãy un đều nằm trong khoảng (2,999;3001) Hướng dẫn: 1 1 a, |un3|= < n>999 n + 1 1000 1 1 1 b, Khi n>999 |un3|< 3
Bài 6: Biết |un2| ≤ 3n , có kết luận gì về giới hạn dãy số (un)? Bài 7: Dùng định nghĩa giới hạn dãy số, chứng minh: 3n + 2 sin n a, lim =3 c, lim =0 n n +1 n n n+2 b, lim =+∞ d, lim 1 − n 2 = ∞ n n +1 n II. Phương pháp sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải bài toán tìm giới hạn dãy. 1. Các giới hạn đặc biệt: c c lim =0 ; nlim+ =0 ; lim n c=c ; lim n =+ n n n n lim nk=+∞ ,mọi k N* ; lim c =0 mọi k N* n n nk lim qn=0, |q|1 n n A A lim = lim lim lim n vn n n vn =0 n vn= ; v n=0 2. Định lý về giới hạn hữu hạn: Giả sử lim n un=a và lim n vn=b, khi đó: 1. lim n (un vn)=a b 2. lim n (un .vn)=a.b u a 3. lim n = ,b 0 n vn b 4. lim un = a (với un>0 với mọi n N*) n 3. Định lý về giới hạn un 1, Nếu lim n un=a và lim n vn= thì lim n v =0 n 12
u 2, Nếu lim un=a>0 và lim vn=0 và vn>0 thì lim n =+ n n n v n 3, Nếu lim n un=+ và lim n vn=a>0 thì lim n un .vn=+ Nếu giới hạn có dạng phân thức mà tử số và mẫu số chứa lũy thừa của n thì chia cả tử và mẫu cho nk với k là mũ cao nhất. Nếu giới hạn là biểu thức chứa dạng căn thức (dạng a b;3 a 3 b ) cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản. 4. Bài tập mẫu: 3n3 − 5n2 + 1 Bài 1: Tính lim n 2n 3 + 6n 2 + 4n + 5 Giải: Ta có 5 1 3− + 3 3n − 5n + 1 3 2 n n 3 lim 3 = lim 6 4 5 = n 2n + 6n + 4n + 5 2 n 2+ + 2 + 3 2 n n n Bài 2: Tính lim 2n + 1 2+ 5n 2 n 1 − 3n Giải: 1 1 5 2+ 2 + 2 n + 1 + 5n 2 n n n = 0 =0 lim = lim n 1 − 3n 2 n 1 −3 2 −3 n Bài 3: Tính lim n ( n 2 + 7 − n 2 + 5 ) Giải: n2 + 7 − n2 − 5 2 lim( n 2 + 7 − n 2 + 5) = lim = lim =0 n n n 2 + 7 + n2 + 5 n n2 + 7 + n2 + 5 5. Bài tập áp dụng Bài 1: tính các giới hạn sau: 13
4 n 2 − n − 1 �2 2 � a, lin m c, lim �n − � 3 + 2 n 2 n � n +1� n 2 − n − 1 2n 4 − n 2 + 1 b, lnim d, lim 2n 3 + 5 n ( 2n + 1) (3 − n) ( n 2 + 2 ) e, lim ( 2 − 3n ) ( n + 1) n 1 − 4n 4 Đáp số: 27 a,2 b,0 c,+ d,1 e, 4 Bài 2: Tính lim n ( −n 2 + n n + 1 ) � 1 1 � Giải: lim n ( −n2 + n n + 1 ) = lim n ( −n 2 ) � 1− � − �= − n n2 � � � Bài 3: Tính các giới hạn: a, lim 2n2 + n − 7 c, lim 3n + 142 + n 2 2 2 n 2n − n + 3 n 1 − 2n b, lim 3n + 1 − n − 1 d, lim 2n + n 2 2 3 3 n n n n+2 2 Đáp số: a, b, 3 − 1 c,0 d, 3 2 2 Bài 4: Tính các giới hạn sau 3n − 2 5n + 1 a, lim c, lim n 1 + 2n n 5n − 1 4.3n + 7n +1 b, lim n 2.5n + 7 n Đáp số: a,+ b,7 c,1 Bài 5: Tính các giới hạn sau 14
a, lim( n − 1 − n ) b, lim( n 2 + 3n − n + 2) n n c, lim n − 2n 2 − n d, lim n 2 − n + n 3 3 n n 4n 2 + 1 − n + 2 e, lim g, lim 3 n − n3 + n + 2 n n n + 2n − n 2 Đáp số: 7 −2 1 a.0 b, c, d, e,1 g,3 2 3 2 Bài 6: Tính các giới hạn sau: n 1 + 2 + 3 + ... + n 1 + 2 + 3 + ....n a, lim b, lim n n + n +1 2 n n2 n 1 + 3 + ... + 2n − 1 1 + a + a 2 + .... + a n c, lim d, lim n 2n 2 + n + 1 n 1 + b + b 2 + .... + b n �1 1 1 1 � e, lim � + + + ...... + � n �1.2 2.3 3.4 n(n + 1) � �1 1 1 1 � f, lim n � + � + 1.3 3.5 5.7 + ...... + ( 2n − 1) ( 2n + 1) � � � � 2.1 + 3.22 + ..... + ( n + 1) n 2 �1 3 5 2n − 1 � g, lim h, lim � + 2 + 3 + ... + � n n4 n �2 2 2 2n � Hướng dẫn và đáp số: 1+ n � � n 1 + 2 + 3 + ... + n n n� � a, lim = lim �2 � n n2 + n 1 n + n +1 2 = lim = ( n + n + 1) 2 2 n n n + n +1 2 n 2 1 b, 2 ( 1 + 2n − 1) n c, lim n 1 + 32+ ... + 2n − 1 = n 2 1 n 2n + n + 1 lim = n 2n + n + 1 2 2 15
1 1− a = 1− b d, S= lim 1 n 1− a 1− b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 e, Ta có 1.2 = 1 − 2 ; 2.3 = 2 − 3 ; 3.4 = 3 − 4 ;....; n n + 1 = n − n + 1 ( ) �1 1 1 1 � � 1 � suy ra: lim � + + + ...... + � = lim 1− � �= 1 n �1.2 2.3 3.4 n(n + 1) � n � n + 1 � 1� 1 � 1 f, Sn= �1− nên lim = 2 � 2n + 1 � � n 2 III. Phương pháp dùng nguyên lí kẹp 1. Phương pháp: Cho 3 dãy số (un), (vn) và (wn) Nếu (un) ≤ (vn) ≤ (wn) với mọi n và lim (un)=lim (wn)= L (L R) thì lim vn=L 2. Bài tập mẫu � 1 2 n � Tính lim �2 + 2 + .... + 2 � n � n + 1 n + 2 n + n � Giaỉ: Ta thấy: � 1 2 n � 1 + 2 + ... + n 1 �2 + 2 + .... + 2 � ≥ = � n + 1 n + 2 n + n � n 2 + n 2 � 1 2 n � � 1 2 n � n ( n + 1) và � 2 + 2 + .... + 2 � ≤ � n 2 + 1 + n2 + 1 + .... + n 2 + 1 �= 2 n 2 + 1 � n + 1 n + 2 n + n � � � ( ) 1 � 1 2 n � n ( n + 1) Vậy � 2 + 2 + .... + 2 � n + n � 2 ( n + 1) 2 2 � n + 1 n + 2 n ( n + 1) 1 Mà lim = n 2(n 2 + 1) 2 � 1 2 n � 1 Vậy lim �2 + 2 + .... + 2 � = n � n + 1 n + 2 n + n � 2 3. Bài tập áp dụng Bài 1: Tính giới hạn của các giới hạn sau: 16
�1 1 � 3sin n + 4 cos n a, lim �− � b, lim n �2 3n � n n +1 n + sin n sin 2n + cos2n c, lim d, lim n 3n + 4 n 3n + 1 � 1 1 1 � e, lim � + + ..... + � � n +1 n2 + 2 n2 + n � n 2 Đáp số: 1 a,0 b,0 c, d,0 f,1 3 Bài 2: Cho 2 dãy số (un) và (vn). cmr nếu lim vn=0 va u ≤ vn với mọi n thì lim un=0 Hướng dẫn: lim vn=0 suy ra |vn| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy y, kể từ số nào đó trở đi. (1) vì |un| ≤ vn và vn ≤ |vn| với mọi n, nên |un| ≤ | vn| với mọi n. (2) Từ (1) và (2) suy ra |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy y,kể từ số nào đó trở đi. Nghĩa là lim un=0 Áp dụng: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau: 2 − n ( −1) n ( −1) n 1 a, un= b, un= c, un= 2 ( n ) + 11 2 n! 2n − 1 d, un=(0,99)n cos n e, un=5ncos n Đáp số: a, 0 b, 0 c, 0 d, 0 e, + 17
CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI GIỚI HẠN DÃY SỐ I. Chứng minh một dãy số có giới hạn: 1. Phương pháp a, Áp dụng định lý Weierstrass; Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn. Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn. b, Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên (dãy số giảm và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M. c, Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau: Phương pháp 1: + Đặt lim n un =a + Từ lim n un+1= lim n f(un) ta được một phương trình theo ẩn a. + Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trong các nghiệm của phương trình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cần tìm, còn nếu phương trình có nhiều hơn 1 nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm.  Chú ý: Giới hạn của dãy số (nếu có) là duy nhất. Phương pháp 2: 18