Bài tập về Giới hạn dãy số- Giới hạn Hàm số- Hàm số liên tục

Chia sẻ: Van Tien Thanh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

2.454
lượt xem 550
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề về Giới hạn dãy số, Giới hạn Hàm số, Hàm số liên tục dành cho các ban củng cố lại kiến thức đã học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập về Giới hạn dãy số- Giới hạn Hàm số- Hàm số liên tục

(1)n + 2n Giôùi haïn daõy soá d) lim e) lim f) lim 1 + (3)n *Caùc giôùi haïn thöôøng gaëp: g) lim vôùi |a| < 1 ; |b| < 1 limC = C ; lim= 0 α > 0 ; lim = 0 ; limqn = 0 |q| 4.Cho daõy (un) xaùc ñònh bôûi u1 = ; un+1 =
lim f (x) 2x + 7 + x − 4 2x + 3 − x + 2 f (x) g) lim h) lim 3 = x →a lim f (x) = lim f (x) lim 3x + 3 x − 4x 2 + 3 x → −1 x →1 x → a g(x) lim g(x) x →a x →a x2 − x x+2−x x −1 x →a i) lim j) lim k) lim *Caùc ñònh lyù veà giôùi haïn haøm soá : x +3 −2 x −1 4x + 1 − 3 x →1 x →1 x →2 Ñònh lyù 1:Neáu haøm soá coù giôùi haïn thì giôùi haïn ñoù 2x + 7 − 3 x 3 − 3x − 2 x 2 −1 + x −1 l) lim m) lim n) lim laø duy nhaát x −1 2− x+3 x 2 −1 x →1+ x →1 x →1 Ñònh lyù 2:Cho 3 haøm soá g(x),f(x),h(x) cuøng xaùc ñònh x 2 + 3 + x 3 − 3x trong khoaûng K chöùa a vaø g(x) # f(x) # h(x). Neáu o) lim lim g(x) = lim h(x) = L thì lim f (x) = L x −1 x →1 x →a x →a x →a 3.Tính caùc giôùi haïn sau: 1 Ñònh lyù 3: Neáu lim f (x) = 0 thì lim =∞ x5 + x3 + 2 x lim 3 f (x) b) lim 3 a) x → 2 x →a x →a 8−x −3 8+ x x +1 x → −1 1 Neáu lim f (x) = ∞ thì lim =0 x x+4− x 1+ x2 −1 3 3 x →a f (x) c) lim 3 x →a d) lim e) lim 2 1+ x −1 x →0 x → 4 x − 5x + 4 2 x x →0 s inx x =1 =1 lim lim Ñònh lyù 4: 10 − x − x + 2 2 x + 10 + x − 5 3 3 x x →0 sinx x →0 f) lim g) lim x−2 x −9 2 sin kx kx x → −3 x→2 =1 =1 lim lim 8x + 11 − x + 7 3 x+6 − x+2 kx x → 0 sin kx 3 x →0 h) lim i) lim *Caùc daïng voâ ñònh: laø caùc giôùi haïn coù daïng ; ; x 2 − 3x + 2 x −4 2 x →2 x →2 0.∞ ; ∞ – ∞ x n − nx + n − 1 (1 − x )(1 − 3 x )(1 − 4 x )(1 − 5 x ) h) lim g) lim 1.Tính caùc giôùi haïn sau: (x − 1) 2 (1 − x) 4 x →1 x →1 x 3 − 3x 2 + 5x − 3 2 x 2 − 3x − 2 4.Tính caùc giôùi haïn sau: a) lim b) lim x−2 x2 −1 x →2 x →1 1 − cos 6 x 5x sin 3x sin 4x a) lim b) lim c) lim d) lim x3 − x2 − x + 1 x 2 + 2x x2 2x x → 0 sin 7 x sin 2x x →0 x →0 x →0 c) lim 2 d) lim 2 1 − cos 3x cos x − cos 3x x − 3x + 2 x → −2 x + 4 x + 4 1 − cos x x →1 e) lim f) lim g) lim x → 0 1 − cos x 2x 2 x4 −1 x − 5x + 3x + 9 3 2 x2 x →0 x →0 e) lim f) lim 3 cos 4 x − sin 4 x − 1 3 sin x − cos x sin x − cos x x 4 − 8x 2 − 9 x → −1 x − 2 x 2 + 3 x →3 lim lim lim h) π i) x → π sin 8x j) x →0 sin 6 x x 3 − 3x + 2 x 2 + 2x − 3 x2 +1 −1 x→ 4 g) lim 2 h) lim 6 1 + sin x − cos x π x →1 2 x − x − 1 4 − x2 1 1 x →−2 − ) m) lim( − x ) tgx k) lim l) lim( 4 x 6 − 5x 5 + x xm −1 x →0 1 − sin x − cos x x →0 sin x cos x x →0 2 m,n∈N i) lim k) lim n x2 −1 x →1 x − 1 2 − 1 + cos x 1 − cos x. cos 2 x x →1 n) lim o) lim p) 2.Tính caùc giôùi haïn sau: 2 x2 sin x x →0 x →0 x +5 −3 1+ x − 1− x 2− x −3 sin x − cos x cos 2 x − 1 1 + sin x − cos 2 x a) lim b) lim c) lim 2 q) lim 1 − tgx r) lim lim 4−x x →7 x − 49 x x →0 x →4 π x →0 2 1− 1− x2 tg x x →0 x→ 4 3− 5+ x x+2−x 4x + 1 − 3 4.Tính caùc giôùi haïn sau: d) lim e) lim f) lim 4x + 1 − 3 x2 − 4 1− 5 − x x →2 x →4 x→2 2
  tgx − s inx 1 3 1 1 − cosx g) lim(2x − 1 − 4x − 4x − 3) h) xlim  x + x + x − x ÷ 2 − a) lim  ÷. b) lim c) lim   3  sin 3x  x x → 0 s inx tg 2 x x →∞ →+∞ x x →0 x →0 ) ( 1 − tgx cosx i) lim(x + 3x − x ) x 2 + 1 − 3 x3 −1 lim(1 + cos2x)tgx 3 2 3 j) lim d) lim x-π/2 f) lim 1 − cot gx e) x → π x →∞ x →∞ π π x→ x→ 2 7.Tìm 2 soá a,b ñeå 2 4 tg x − 3tgx 3 s inx - cosx a) xlim∞( x + x + 1 − ax − b) = 0 2 π  lim g) lim i) lim  x.sin ÷ π →+ h) x → π 1 - tgx π 3 cos(x + )  x x2 +1 x →∞ x→ b) lim ( − ax − b) = 0 4 6 x +1 x →∞ 2 − 1 + cosx 1 + sin 2x − 1 − sin 2x 8. Tính caùc giôùi haïn sau: j) lim k) lim ) ) ( ( 2 tg x x x →0 x →0 x 2 + 2x − 2 x 2 + x + x x 3 + 3x 2 − x 2 − 2x 3 a) xlim x b) xlim l) lim(sin x + 1 − sin x ) m) lim(cos x+1 − cos x ) →+∞ →+∞ x →∞ x →∞ 5.Tính caùc giôùi haïn sau: Haøm soá lieân tuïc 1 4 1 3 Ñònh nghóa: +2 −3 ) a) lim( b) xlim2( ) →− x + 2 x →1 x − 1 x −4 x −1 *Haøm soá f(x) lieân tuïc taïi xo ⇔ xlimo f (x) = f (x o )   →x 1 1 +2 b) lim  2 ÷ *Haøm soá f(x) goïi laø lieân tuïc treân khoaûng (a;b) neáu noù x → 2 x − 3x + 2 x − 5x + 6   lieân tuïc taïi moïi ñieåm ( x − 1)( x 2 + 3x ) x 2 + x − 3x xo ∈ (a;b) c) lim d) lim x 3 + 4x 2x − 1 *Haøm soá f(x) goïi laø lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] neáu noù x →∞ x →∞ lieân tuïc treân khoaûng [a;b] f) lim ( 3 − x − 5 − x ) e) lim ( x − x + 3 + x ) 2 x →−∞ x →∞ vaø xlim+ f (x) = f (a) và x →b− f (x) = f (b) lim →a g) lim x ( x + 5 − x ) h) xlim∞ x ( x + 1 − x ) 2 2 Caùc ñònh lyù: →+ x →∞ Ñònh lyù 1:Caùc haøm soá ña thöùc,höõu tæ,löôïng giaùc laø x 2 + x + 2 + 3x i) xlim∞( x − 2 x − 1 − x − 7 x + 3 ) i) lim 2 2 caùc haøm soá lieân tuïc treân taäp xaùc ñònh cuûa chuùng →+ 4x 2 + 1 − x + 1 x →∞ Ñònh lyù 2:Toång,hieäu,tích,thöông cuûa nhöõng haøm lieân x 2 + 2x + 3 9x 2 + x + 1 − 4x 2 + 2x + 1 tuïc laø moät haøm lieân tuïc j) lim h) lim Ñònh lyù 3:Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] vaø x +1 x3 − x + 1 x →∞ 3 x →∞ f(a).f(b) < 0 thì toàn taïi ít nhaát moät soá c ∈ (a;b) sao cho f(c) 7x x2 + x +1 + x2 − x +1 lim =0 j) lim k) x →∞ 1 + 14x + 16 x 2 + x + 1 x→∞ x + x2 +1 Heä quaû:Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] vaø 6.Tính giôùi haïn caùc haøm soá sau f(a).f(b) < 0 thì phöông trình f(x) = 0 coù ít nhaát 1 nghieäm treân khoaûng (a;b) x 2 − 3x b) lim ( x − x − x + 1) 2 2 a) lim 1.Xeùt söï lieân tuïc cuûa caùc haøm soá sau: x →∞ x+2 x →∞ a) f(x) = x2 + x – 3 b)f(x) = b)f(x) = sin x + 3 cos 2x 1 c) lim x 2 sin d) x →∞ lim 2.Xeùt söï lieân tuïc cuûa caùc haøm soá sau: x 2 − 2x + 3 x x →0 x 2 − 3x + 4 khi x < 1 5 cos x + x 2 f) lim( x + x − x ) 2 e) lim a) f(x) =  taïi xo = 1 x3 −1 2x − 3 khi x ≥ 1 x →∞ x →+ ∞ 3
1 − cos4x  x3 − x − 6 khi x ≠ 2 khi x < 0 2  x − x − 2  x.sin 2x b) f(x) =  taïi xo = 2 c) f(x) =  taïi xo = 0 11 x + a khi x = 2 khi x ≥ 0 3   x +1   sin πx khi x ≠ 1   1− x − 1+ x c) f(x) =  x − 1 taïi xo = 1 khi x < 0   x  −π khi x = 1 d) f(x) =  taïi xo = 0  a + 4 − x khi x ≥ 0  x 2 − 3x + 2  x+2 khi x ≥ 1   x2 −1  4.Xeùt söï lieân tuïc cuûa caùc haøm soá sau: d) f(x) =  taïi xo = 1 − x x 2 − 3x − 7 khi x < −2 khi x < 1 2  a) f(x) =  1 − x khi x ≥ −2  4 − x2 khi x < 2  x 2 + 3x −10 e) f(x) =  x − 2 taïi xo = 2 khi x < 2   x −4 2 1 − 2x khix > 2  2x + 3 khi 2 ≤ x ≤ 5 b) f(x) =   3  x +2  x + 2 khi x ≤ 0  3x − 4 khi x > 5 f) f(x) =  taïi xo = 0   x + 1 − 1 khi x ≥ 0   3 1 + x −1 5.Tìm a ñeå caùc haøm soá sau lieân tuïc treân R   3 3x + 2 − 2 1 − cosx 3 khi x > 2 khi x ≠ 0    x−2  sin 2 x a) f(x) =  g) f(x) =  taïi xo = 0 ax + 1  1 khi x = 0 khi x ≤ 2  6  4  π  1 − 2x − 3  sin(x − 3 ) khi x ≠ 2  π h) f(x) =  2 − x taïi xo = 2 khi x ≠  b) f(x) =  1 − 2 cos x 3 1 khi x = 2   π khi x = a 3.Tìm a ñeå caùc haøm soá sau lieân tuïc taïi x0  3 3x 2 + 2x − 1 khi x < 1 5.Tìm a,b ñeå haøm soá sau lieân tuïc treân R a) f(x) =  taïi x0 = 1 2x + a khi x ≥ 1 π  − 2 sin x khi x < − 2  x 3 + 2x − 3 x 2 khi x < 1 khi x ≠ 1   b) f(x) =  x 2 − 1 taïi x0 = 1  π π  b) f(x) = ax + b khi 1 ≤ x ≤ 3 a) f(x) = asinx + b khi − ≤ x ≤ a khi x = 1  2 2  4 − x khi x > 3  π  khi x > cos x  2 6. Chöùng minh raèng caùc phöông trình sau coù nghieäm: 4
a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0 13.Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân [a;b] vaø α , β laø hai soá c) x + x + x + 2/3 = 0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0 3 2 döông baát kyø. Chöùng minh raèng: phöông trình f(x) = coù e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0 nghieäm treân [a;b] 7. Chöùng minh raèng phöông trình 14.Cho phöông trình x4 – x – 3 = 0. Chöùng minh raèng: a) x3 – 3x2 + 3 = 0 coù 3 nghieäm trong khoaûng (– 1;3) phöông trình coù nghieäm xo ∈ (1;2) vaø xo > b) 2x3 – 6x + 1 = 0 coù 3 nghieäm trong khoaûng (– 2;2) c) x3 + 3x2 – 3 = 0 coù 3 nghieäm trong khoaûng (– 3;1) d) x3 – 3x2 + 1 = 0 coù 3 nghieäm trong khoaûng (– 1;3) e) 2x2 + 3x – 4 = 0 coù 2 nghieäm trong khoaûng (– 3;1) f)* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 coù 3 nghieäm trong khoaûng (0;5) 8. Cho 3 soá a,b,c khaùc nhau .Chöùng minh raèng phöông trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 Coù 2 nghieäm phaân bieät 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoaû maõn : 2a + 6b + 19c = 0 Chöùng minh raèng phöông trình ax2 + bx + c = 0 coù nghieäm trong [0;] 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoaû maõn : 2a + 3b + 6c = 0 a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2) b)Chöùng minh raèng ba soá f(0), f(1) ,f(1/2) khoâng theå cuøng daáu c)Chöùng minh raèng phöông trình ax2 + bx + c = 0 coù nghieäm trong (0;1) 10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoaû maõn : = 0 a)Chöùng minh raèng af() < 0 vôùi a ≠ 0 b)Cho a > 0 , c < 0 ,chöùng minh raèng f(1) > 0 c)Chöùng minh raèng phöông trình ax2 + bx + c = 0 coù nghieäm trong (0;1) 11*.Cho haøm soá f(x ) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] thoaû f(x) ∈ [a;b] ∀ x ∈ [a;b] Chöùng minh raèng phöông trình: f(x) = x coù nghieäm x ∈ [a;b] 12. Chöùng minh raèng: caùc phöông trình sau luoân luoân coù nghieäm: a) cosx + m.cos2x = 0 b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0 c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0 5