Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của s+2 điểm béo không nằm trên một (s-1) phẳng trong P n , s

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

68
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trung v ch n trên cho ch s chính qui c a t p đi m béo là đúng cho t p s + 2 đi m béo không n m trên m t (s − 1)−ph ng trong Pn , v i 1 ≤ s ≤ n. K t qu g n đây c a B. Benedetti, G. Fatabbi và A. Lorenzini [1] v ch n trên cho ch s chính qui c a t p n + 2 đi m béo không suy bi n trong Pn là m t trư ng h p trong k t qu c a chúng tôi khi s = n. 1.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của s+2 điểm béo không nằm trên một (s-1) phẳng trong P n , s

T P CHÍ KHOA H C Đ I H C HU , S 50-2009 CH N TRÊN SEGRE CHO CH S CHÍNH QUI C A s + 2 ĐI M BÉO KHÔNG N M TRÊN M T (s − 1)−PH NG TRONG Pn , s ≤ n Phan Văn Thi n, Đ u Văn Lương Trư ng Đ i h c Sư ph m Hu , Đ i h c Hu Tóm t t: Chúng tôi s ch ng minh d đoán c a N.V. Trung v ch n trên cho ch s chính qui c a t p đi m béo là đúng cho t p s + 2 đi m béo không n m trên m t (s − 1)−ph ng trong Pn , v i 1 ≤ s ≤ n. K t qu g n đây c a B. Benedetti, G. Fatabbi và A. Lorenzini [1] v ch n trên cho ch s chính qui c a t p n + 2 đi m béo không suy bi n trong Pn là m t trư ng h p trong k t qu c a chúng tôi khi s = n. 1. Gi i thi u Cho P1 , . . . , Pr là các đi m phân bi t trong không gian x nh n-chi u Pn := Pn , k v i k là trư ng đóng đ i s , m1 , . . . , mr là m t dãy các s nguyên dương. Cho ℘1 , . . . , ℘r là các iđêan nguyên t thu n nh t trong vành đa th c R := k [X0 , . . . , Xn ] đư c xác đ nh b i các đi m P1 , . . . , Pr tương ng. Ký hi u m1 P1 + · · · + mr Pr là lư c đ chi u không đư c xác đ nh b i iđêan ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘mr và g i 1 r Z := m1 P1 + · · · + mr Pr là m t t p đi m béo trong Pn . Vành A := R/(℘m1 ∩ · · · ∩ ℘mr ) là vành to đ thu n nh t c a Z . Chúng ta bi t 1 r r ng A = ⊕ At là k -đ i s phân b c Cohen-Macaulay m t chi u có s b i là t≥0 r mi + n − 1 e := . n i=1 Hàm Hilbert HA (t) := dimk At tăng ch t cho đ n khi nó đ t đ n s b i, t i đó nó d ng. Ch s chính qui c a Z đư c đ nh nghĩa là s nguyên t bé nh t sao cho HA (t) = e và chúng tôi ký hi u nó là reg(Z ). V n đ tìm ch n trên cho ch s chính qui c a m t t p đi m béo là m t v n đ có tính th i s , đã và đang đư c nhi u nhà toán h c quan tâm. Vi c tìm ra đư c ch n trên t t cho ch s chính qui c a m t t p đi m béo tuỳ ý là v n đ khó, vì v y ngư i ta thư ng gi i bài toán ch n trên này cho nh ng t p đi m có nh ng đi u ki n nào đó (xem [1]-[4], [6]-[7]). 135
V i t p các đi m béo tuỳ ý Z = m1 P1 + · · · + mr Pr trong P2 , Fulton [6] đã tìm đư c ch n trên: reg(Z ) ≤ m1 + · · · + mr − 1. Ch n trên này sau đó đư c Davis và Geramita [4] m r ng cho t p các đi m béo tùy ý trong Pn . Các tác gi này cũng đã ch ra r ng d u b ng xãy ra khi các đi m n m trên m t đư ng th ng. V i t p các đi m béo h u kh p trong P2 , Segre [7] đã ch ng minh: m1 + · · · + mr reg(Z ) ≤ max m1 + m2 − 1, n u m1 ≥ · · · ≥ mr . 2 Nh ng t p đi m như trên luôn trong v trí t ng quát. M t t p đi m béo trong Pn đư c g i là v trí t ng quát n u không có j + 2 đi m trong chúng n m trên cùng m t j -ph ng v i m i j < n. V i m t t p đi m béo v trí t ng quát trong P2 , M.V Catalisano [2] đã ch ng minh: m1 + · · · + mr reg(Z ) ≤ max m1 + m2 − 1, n u m1 ≥ · · · ≥ mr . 2 K t qu trên sau đó đư c M.V. Catalisano, N.V. Trung và G. Valla [3] m r ng cho t p các đi m béo v trí t ng quát trong Pn : r mi + n − 2 i=1 reg(Z ) ≤ max m1 + m2 − 1, n u m1 ≥ · · · ≥ mr . n Chúng tôi s g i nó là ch n trên Segre. N.V. Trung đã đưa ra d đoán m t ch n trên t t cho t p các đi m béo tuỳ ý trong Pn , ch n này là m r ng cho t t c các ch n trên: reg(Z ) ≤ max{Tj | j = 1, . . . , n}, trong đó q mij + j − 2 j =1 | Pi1 , . . . , Piq n m trên m t j -ph ng Tj = max . j D đoán này đã đư c P.V. Thi n [8], [9] ch ng minh trong trư ng h p n = 2, 3. Các k t qu tương t cũng đư c đưa ra m t cách đ c l p b i G. Fatabbi và A. Lorenzini [5] v i phương pháp ch ng minh khác. Vào năm 2002 P.V. Thi n [10] cũng đã ch ng minh d đoán c a N.V. Trung là đúng cho t p các đi m kép tuỳ ý trong P4 . G n đây, B. Benedetti, G. Fatabbi và A. Lorenzini đã ch ng minh d đoán c a N.V. Trung là đúng cho t p n + 2 đi m béo Z = m1 P1 + · · · + mn+2 Pn+2 không suy bi n trong Pn [1, Theorem 4.8]. 136
Trong bài báo này, b ng m t phương pháp ch ng minh ng n g n hơn, chúng tôi s ch ra d đoán c a N.V. Trung là đúng cho t p g m (s + 2) đi m béo không n m trên m t (s − 1)-ph ng trong Pn , s ≤ n: Đ nh lý. Cho s ≤ n và P1 , . . . , Ps+2 là các đi m không n m trên cùng m t (s − 1)- ph ng trong Pn . Cho m1 , . . . , ms+2 là các s nguyên dương và Z = m1 P1 + · · · + ms+2 Ps+2 . V i j = 1, . . . , n đ t q mij + j − 2 j =1 | Pi1 , . . . , Piq n m trên m t j -ph ng Tj = max . j Khi đó reg(Z ) ≤ max{Tj | j = 1, . . . , n}. Rõ ràng là khi s = n, thì Z = m1 P1 + · · · + mn+2 Pn+2 là t p các đi m béo không suy bi n trong Pn và chúng ta nh n đư c k t qu c a B. Benedetti, G. Fatabbi và A. Lorenzini [1]. 2. Ch ng minh Đ nh lý Chúng tôi s c n đ n ba b đ sau đây, chúng đã đư c ch ng minh trong [3]. B đ đ u tiên cho phép ch ng minh qui n p trên s các đi m khi tính toán ch s chính qui c a t p các đi m béo tuỳ ý: B đ 0.1. [3, Lemma 1] Cho P1 , . . . , Pu , P là các đi m phân bi t trong Pn và cho ℘ là iđêan xác đ nh b i đi m P . N u m1 , . . . , mu và a là các s nguyên dương, J := ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘mu , và I = J ∩ ℘a , thì 1 u reg(R/I ) = max {a − 1, reg(R/J ), reg(R/(J + ℘a ))} . B đ th hai đưa ra m t tính ch t c a vành artin R/(J + ℘a ): B đ 0.2. [3, Lemma 3] Cho P1 , . . . , Pu là các đi m phân bi t trong Pn và m1 , . . . , mu , a là các s nguyên dương. Đ t J = ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘mu và ℘ = (X1 , . . . , Xn ). Khi đó 1 u reg(R/(J + ℘a )) ≤ b n u và ch n u X0−i M ∈ J + ℘i+1 v i m i đơn th c M b c i theo X1 , . . . , Xn , b i = 0, . . . , a − 1. B đ th ba mang tính ch t t h p: B đ 0.3. [3, Lemma 4] Cho P1 , . . . , Pu , P là các đi m phân bi t trong Pn , cho m1 ≥ · · · ≥ mu là các s nguyên dương và J = ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘mu . N u t là m t 1 u u s nguyên sao cho nt ≥ mi và t ≥ m1 , thì có th tìm đư c t siêu ph ng, g i là i=1 L1 , . . . , Lt , không đi qua P tho mãn L1 · · · Lt ∈ J . 137
m Ch ng minh Đ nh lý: Đ t X = {P1 , . . . , Ps+2 }, I = ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘s+2 . Khi đó s+2 1 reg(Z ) = reg(R/I ). N u X n m trong v trí t ng quát c a Pn , thì theo [3, Theorem 6] chúng ta có s+2 reg(Z ) ≤ max m1 + m2 − 1, ( mi + n − 2)/n . i=1 N u X không n m trong v trí t ng quát c a Pn , thì X n m trên m t s-ph ng. V i s = 1, thì các đi m P1 , P2 , P3 n m trên cùng m t đư ng th ng. Theo [4] chúng ta nh n đư c reg(Z ) = m1 + m2 + m3 − 1 = T1 . V y, chúng ta có th ch ng minh qui n p trên s. Chúng ta phân bi t hai trư ng h p sau: Trư ng h p 1: M i (s + 1) đi m c a X không n m trên cùng m t (s − 1)-ph ng. ms+1 Đ t J = ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘s+1 , theo B đ 0.1 chúng ta nh n đư c 1 m s+2 reg(Z ) = max{mj +2 − 1, reg(R/J ), reg(R/(J + ℘s+2 ))}. Cho Ps+2 = (1, 0, · · · , 0), P1 = (0, 1, . . . , 0), ..., Ps = (0, . . . , 0, 1 , 0 . . . , 0). Khi s+1 x c1 · · · x cn , c1 + · · · + cn = i, i = đó ℘s+2 = (x1 , ..., xn ). V i m i đơn th c M = 1 n 1, ..., ms+2 − 1, đ t ml = ml − i + cl ; l = 1, ..., s; ms+1 = ms+1 và s+1 ml + s − 1)/s t = max m1 , ( . l=1 Do X n m trên m t s-ph ng trong Pn nên v m t hình h c chúng ta có th xem như X n m trong Ps . Theo B đ 0.3 chúng ta có th tìm đư c t các (s − 1)-ph ng, g i là L1 , ..., Lt , không đi qua Ps+2 sao cho v i m i đi m Pl , l = 1, ..., s, thì luôn luôn có ml các (s − 1)-ph ng trong {L1 , ..., Lt } đi qua đi m Pl đó. Vì v y, chúng ta có th tìm đư c t các (n − 1)-ph ng, g i là H1 , ..., Ht , không đi qua Ps+2 tho mãn H1 · · · Ht M ∈ J . Theo B đ 0.2 chúng ta nh n đư c m s+2 reg(R/(J + ℘s+2 )) ≤ t + i ≤ max{Tj |j = 1, . . . , n}. M t khác, do Y = {P1 , ..., Ps+1 } n m trong v trí t ng quát c a Pn , nên theo [5, Theorem 6] chúng ta nh n đư c reg(R/J ) ≤ max{Tj |j = 1, . . . , n}. T các k t qu trên suy ra reg(Z ) ≤ max{Tj |j = 1, . . . , n}. Trư ng h p 2: Có s + 1 đi m c a X n m trên m t (s − 1)-ph ng, g i là K . Chúng ta có th gi s r ng Ps+2 ∈ K (chúng ta có th đánh s th t l i các đi m). Đ t / ms+1 m1 J = ℘1 ∩ · · · ∩ ℘s+1 , theo B đ 0.1 chúng ta có m s+2 reg(Z ) = max{ms+2 − 1, reg(R/J ), reg(R/(J + ℘s+2 ))}. 138
Đ t W = {P1 , ..., Ps+1 }. Do X không n m trên m t (s − 1)-ph ng, nên W không n m trên m t (s − 2)-ph ng. Cho j = 1, . . . , n, đ t q mij + j − 2 Pi1 , . . . , Piq n m trên m t j -ph ng; j =1 Tj = max . i1 , . . . , i q ≤ s + 1 j Theo gi thi t qui n p chúng ta có reg(R/J ) ≤ max{Tj |j = 1, . . . , n}. Rõ ràng là Tj ≤ Tj , j = 1, . . . , n. Do đó reg(R/J ) ≤ max{Tj |j = 1, . . . , n}. Bây gi chúng ta còn ph i ch ng minh: m s+2 reg(R/(J + ℘s+2 )) ≤ max{Tj |j = 1, . . . , n}. Cho Ps+2 = (1, 0, . . . , 0), khi đó ℘s+2 = (x1 , ..., xn ). Đ t η = max{m1 , ..., ms+1 }. Do Ps+2 ∈ K , nên có m t (n − 1)-ph ng, g i là H , ch a K và không đi qua Ps+2 . Khi / đó ms+1 H η ∈ ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘s+1 . 1 Vì v y m H η M ∈ ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘s+1 = J, s+1 1 v i m i đơn th c M b c i theo X1 , ..., Xn , i = 1, ..., ms+2 − 1. Theo B đ 0.2 chúng ta nh n đư c ms+2 reg(R/(J + ℘s+2 )) ≤ η + i ≤ T1 . Đ nh lý đã đư c ch ng minh xong. Tài li u tham kh o TÀI LI U THAM KH O [1] B. Benedetti, G. Fatabbi and A. Lorenzini Genericity of Segre bound and the case of n + 2 fat points of Pn (preprint, submit to Proc. Amer. Math. Soc). [2] M.V. Catalisano, Fat points on a conic, Comm. Algebra 19 (1991), 2153-2168. [3] M.V. Catalisano, N.V. Trung and G. Valla, A sharp bound for the regularity index of fat points in general position, Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993), 717-724. [4] E.D. Davis and A.V. Geramita, The Hilbert function of a special class of 1- dimensional Cohen-Macaulay graded algebras, The Curves Seminar at Queen’s, Queen’s Papers in Pure and Appl. Math. 67 (1984), 1-29. 139
[5] G. Fatabbi, A. Lorenzini On a sharp bound for the regularity index of any set of fat points, J. Pure and Appl. Algebra 161 (2001), 91-111. [6] W. Fulton, Algebraic Curves, Math. Lect. Note Series, Benjamin 1969. [7] B. Segre, Alcune questioni su insiemi finiti di punti in geometria algebrica, Atti. Convergno. Intern. di Torino 1961, 15-33. [8] P.V. Thien, On Segre bound for the regularity index of fat points in P2 , Acta Math. Vietnamica 24 (1999), 75-81. [9] P.V. Thien, Segre bound for the regularity index of fat points in P3 , J. Pure and Appl. Algebra 151 (2000), 197-214. [10] P.V. Thien, Sharp upper bound for the regularity of zero-schemes of double points in P4 , Comm. Algebra 30 (2002), 5825-5847. SEGRE’S BOUND FOR THE REGULARITY INDEX OF s + 2 FAT POINTS NOT IN A LINEAR (s − 1)-SPACE IN Pn , s ≤ n Phan Van Thien, Dau Van Luong College of Pedagogy, Hue University SUMMARY Let s ≤ n. We will prove the Trung’s Conjecture about a sharp bound for the regularity index of fat points in the case of s + 2 fat points not on a linear (s − 1)- space in Pn . Our result generalizes Benedetti, Fatabbi and Lorenzini’s result [1] for the upper bound for regularity index of a non degenerate set of n + 2 fat points in Pn . Keywords : Mathematics subject classification: 13C20; 13D40. 140