intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Chia sẻ: Trần Đình Hoàng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:69

Thêm vào BST
Báo xấu
60
lượt xem 6
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức trình bày đầy đủ các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trọ nhỏ nhất của biểu thức để các em có thêm tài liệu ôn tập, luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

  1. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC MỤC LỤC  I.LÝ THUYẾT                                                                                                                                      ..................................................................................................................................      2  II.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN                                                                                             .........................................................................................      3  Phương pháp 1. Sử dụng phép biến đổi đồng nhất                                                                        ....................................................................     3  Phương pháp 2. Phương pháp chọn điểm rơi                                                                                ............................................................................       49  Phương pháp 3.Sử dụng phương pháp đặt biến phụ                                                                    ...............................................................       55  Phương pháp 4.Sử dụng biểu thức phụ                                                                                         .....................................................................................       58  Phương pháp 5.Phương pháp miền giá trị                                                                                     .................................................................................      61  Phương pháp 6.Phương pháp xét từng khoảng giá trị                                                                 ..............................................................         63  Phương pháp 7. Phương pháp hình học                                                                                         ....................................................................................      66 Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 1
  2. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 I.  LÝ THUYẾT  1.  Định nghĩa   M. được gọi là GTLN của f(x,y,...) trên miền xác định D nếu 2 điều kiện sau đồng thời   thoả mãn : 1. f(x,y,...)   M  (x,y,..)   D 2.  (x0, y0,...)   D sao cho f(x0, y0...) = M. Ký hiệu : M = Max f(x,y,..) = fmax với (x,y,...)   D  M. được gọi là GTNN của f(x,y,...) trên miền D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn : 1. f(x,y,...)   M  (x,y,..)   D 2.  (x0, y0,...)   D sao cho f(x0, y0...) = M. Ký hiệu : M = Min f(x,y,..) = fmin với (x,y,...)   D 2.  Các kiến thức thường dùng  2.1. Luỹ thừa: a) x2   0   x   R    x2k   0  x   R, k   z       − x2k   0 Tổng quát :  f (x) 2k   0   x   R, k   z    −   f (x) 2k   0 Từ đó suy ra :  f (x) 2k + m   m  x   R, k   z    M  −   f (x)     M  2k b)  x  0  x   0    ( x )2k   0  x   0 ; k  z Tổng quát : ( A )2k   0  A   0  (A là 1 biểu thức) 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: a) |x|   0    x R b) |x + y|   |x| + |y|  ; nếu "=" xảy ra   x.y   0 c) |x  −  y|   |x|  −  |y| ; nếu "=" xảy ra   x.y   0 và |x|   |y| 2.3. Bất đẳng thức côsi: a1 a2 .... a n   ai   0 ;  i = 1, n  :   n a1 . a 2 .....a n    n N, n   2. n dấu "=" xảy ra   a1  = a2 = ... = an 2.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số bất kỳ a1, a2,..., an ; b1, b2, ...,bn ta có : 2 (a1b1 +  a2b2 +...+ anbn)2    ( a1 a 22 .... a n2 ).(b12 b22 .... bn2 ) a1 a 2 a Dấu "=" xảy ra    = = ... = n = Const  = Const b1 b 2 bn Nếu bi = 0 xem như ai = 0 2.5. Bất đẳng thức Bernonlly :  Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 2
  3. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 Với a   0 : (1 + a)n    1 + na n  N. Dấu "=" xảy ra   a = 0. II.  MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN  Phương pháp 1.           Sử dụng phép biến đổi đồng nhất Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho   về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và những hằng số . Từ đó : 1.  Để tìm Max f(x,y,...) trên miền D ta chỉ ra : f (x, y...) M sao cho f(x0,y0,...) = M  ∃ (x 0 , y 0 ....) ﾡ 2.  Để tìm Min f(x,y,...) trên miền D ta chỉ ra : f (x, y...) m sao cho f(x0,y0,...) = m  ∃ (x 0 , y 0 ....) ﾡ  Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại   số bằng cách đưa về dạng A(x)  0 { hoặc A(x)   0 } −  Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A(x) ta cần:     + Chứng minh rằng A(x)   k với k là hằng số.     + Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra. −  Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x) ta cần:     + Chứng minh rằng A(x)   k với k là hằng số.     + Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra. Dạng 1.  Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc hai đơn giản Phương pháp:  Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng và hiệu Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau: a) A = x2 + 4x + 7 b) R = 3x2 – 5x + 3 c) M = x2 + x + 1 d) A = x2 + 2x + y2 + 1 e) A(x) = x 2 − 4x + 24 f) B(x) = 2x 2 − 8x + 1 h) A = ( 2x + 1) − ( 3x − 2 ) + x − 11 2 2 g) C(x) = 3x 2 + x − 1 i) P = 2 + x − x2 j) Q = 4x 2 + 4x +11 k) N = x 2 - 4x + 1 l) D = 3x 2 − 6x + 1 m) K = x 2 - 2x + y 2 - 4y + 6 n) B = x2 + y2 + 2xy + 4 o) Q = 4x 2 + 3x + 2 p) M = 5x2 – |6x – 1| – 1  q) A = 9x 2 − 6x − 4 3x − 1 + 6 r) B = 2 ( x + 1) + 3 ( x + 2 ) − 4 ( x + 3) 2 2 2 HD: q) Đặt  3x − 1 = t ﾡ t 2 = 9x 2 − 6x + 1 ﾡ A = t 2 − 4t + 5 = (t − 2) 2 + 1 1 Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 3
  4. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 x =1 Dấu “=” xảy ra khi t = 2 ﾡ  3x − 1 = 2 ﾡ 1 .  x=− 3 Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức sau a) A = – x2 + 6x – 15 b) B =  − 5x2 − 4x + 1 c) C = – x2 + 4x – 5 
  5. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 a) A = x 2 − 2xy + 2y 2 + 2x − 10y + 17 b) B = x 2 − xy + y 2 − 2x − 2y c) C = x 2 + xy + y 2 − 3x − 3y d) D = x 2 − 2xy + 6y 2 − 12x + 2y + 45 e) E = x 2 − xy + 3y 2 − 2x − 10y + 20 f) K = x 2 + y 2 − xy + 3x + 3y + 20 g) N = x 2 − 2xy + 2y 2 − x h) A = x 2 − 2xy + 3y 2 − 2x + 1997 i) Q = x 2 + 2y 2 − 2xy + 2x − 10y j) G = x 2 + xy + y 2 − 3 ( x + y ) + 3 k) H(x) = x 2 + y 2 − xy − x + y + 1 l) D = 2x 2 + 2xy + 5y 2 − 8x − 22y m) E = 2x 2 + 9y 2 − 6xy − 6x − 12y + 2004 n) Q = a 2 + ab + b 2 − 3a − 3b + 3 o) A = x 2 + 6y 2 + 14z 2 − 8yz + 6zx − 4xy p) B(x) = x 2 + xy + y 2 − 3x − 3y q) C(x) = 2x 2 + 3y 2 + 4xy − 8x − 2y + 18 r) E(x) = 2x 2 + 8xy + 11y 2 − 4x − 2y + 6 s) C = a2 + ab + b2 – 3x – 3b + 1989 t) A = 3x + 4y2 + 4xy + 2x – 4y + 26  u) A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x – 4y + 2013 v) A = 5x2 + 9y2 – 12xy + 24x – 48y + 82 w) B = x 2 + 2y 2 + 3z 2 − 2xy + 2xz − 2x − 2y − 8z + 2000 x) G = ( x − ay ) + 6 ( x − ay ) + x 2 + 16y 2 − 8ay + 2x − 8y + 10 2 2 2 2 y)  F = 2x  + 6y  + 5z  – 6xy + 8yz – 2xz + 2y + 4z + 2 2 2 2 z)  B = 3x  + 3y  + z  + 5xy – 3yz – 3xz – 2x – 2y + 3 2 2 2 aa) B = 2x  + 2y  + z  + 2xy – 2xz – 2yz – 2x – 4y  HD:  a) A = x 2 − 2xy + 2y 2 + 2x − 10y + 17 A = x2 − 2x( y − 1) + 2y2 − 10y + 17 = x2 − 2x( y − 1) + ( y − 1) + � 2y2 − 10y + 17 − ( y − 1) � 2 2 � � ( ) A = ( x − y + 1) + y2 − 8y + 16 = ( x − y + 1) + ( y − 4) 2 2 2 b) B = x 2 − xy + y 2 − 2x − 2y �2 y + 2 y2 + 4y + 4� 2 y2 B = x2 − x( y + 2) + y2 − 2y = � x − 2.x. + �+ y − 2y − − y −1 � 2 4 � 4 4B = ( x − y − 2) + 4y2 − 8y − y2 − 4y − 4 = ( x − y − 2) + 3y2 − 12y − 3 2 2 ( ) = ( x − y − 2) + 3 y2 − 4y − 3 = ( x − y − 2) + 3( y − 2) − 15 −15 2 2 2 15 ﾡ B − 4 c) C = x 2 + xy + y 2 − 3x − 3y �2 y − 3 y2 − 6y + 9� 2 y2 − 6y + 9 C = x2 + x( y − 3) + y2 − 3y = � x + 2.x. + �+ y − 3y − � 2 4 � 4 Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 5
  6. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 4C = ( x + y − 3) + � 2 4y2 − 12y − y2 + 6y − 9� � � d) D = x 2 − 2xy + 6y 2 − 12x + 2y + 45 D = x2 − 2x(y + 6) + 6y2 + 2y + 45        = x2 − 2x.(y + 6) + (y + 6)2 + 6y2 + 2y + 45− (y2 + 12y + 36) = (x − y − 6)2 + 5y2 − 10y + 9 = (x − y − 6)2 + 5(y − 1)2 + 4 4 e) E = x 2 − xy + 3y 2 − 2x − 10y + 20 E = x2 − x( y − 2) + 3y2 − 10y + 20 y − 2 y2 − 4y + 4 y2 − 4y + 4 = x − 2x. 2 + + 3y − 10y + 20 − 2 2 4 4 ( ) ( ) 4E = ( x − y + 2) + 12y2 − 40y + 80 − y2 − 4y + 4 = ( x − y + 2) + 11y2 − 36y + 76 ( ) 2 2 f) K = x 2 + y 2 − xy + 3x + 3y + 20 4x2 − 4x ( y − 3) + ( y − 3) �+ � 4K = 4x2 + 4y2 − 4xy + 12x + 12y + 80 = � 4y2 + 12y + 80 − ( y − 3) � 2 2 � �� � 4K = ( 2x − y + 3) + 3y2 + 18y + 71 2 g) N = x 2 − 2xy + 2y 2 − x 2y + 1 ( 2y + 1) ( 2y + 1) 2 2 N = x2 − x ( 2y + 1) + 2y2 = x2 − 2x. + + 2y2 − 2 4 4 ( 4N = ( x − 2y − 1) + 8y2 − 4y2 + 4y + 1 ) 2 h) A = x 2 − 2xy + 3y 2 − 2x + 1997 A = x2 − 2x( y + 1) + 3y2 + 1997 = x2 − 2x ( y − 1) + ( y − 1) + 3y2 + 1997 − y2 + 2y + 1 ( ) 2 i) Q = x 2 + 2y 2 − 2xy + 2x − 10y Q = x2 − 2x( y − 1) + 2y2 − 10y = x2 − 2x ( y − 1) + ( y − 1) + 2y2 − 10y − y2 − 2y + 1 ( ) 2 j) G = x 2 + xy + y 2 − 3 ( x + y ) + 3 4G = 4x2 + 4xy + 4y2 − 12x − 12y + 12 ( ) ( 4G = 4x2 + 4x( y − 3) + ( y − 3) + 4y2 − 12y + 12 − y2 − 6y + 9 ) 2 4G = ( 2x + y − 3) + 3y2 − 6y + 3 = ( 2x + y − 3) + 3( y − 1) 2 2 2 0 k) H(x) = x 2 + y 2 − xy − x + y + 1 H(x) = x 2 + y 2 − xy − x + y + 1 � 4H(x) = (2x) 2 − 2.2x.y + y 2 + 3y 2 − 4x + 4y + 4 Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 6
  7. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 2 = (2x − y) 2 − 2(2x − y) + 3y 2 + 2y + 3 + 1 = (2x − y − 1) 2 + 3(y 2 + y + 1) 3 1 8 8 = (2x − y − 1) 2 + 3(y + ) 2 + 2 3 3 8 2 −1 2 � Min4H(x) = � x = ;y = � MinH(x) = 3 3 3 3 l) D = 2x 2 + 2xy + 5y 2 − 8x − 22y 2D = 4x2 + 4xy + 10y2 − 16x − 44y = 4x2 + 4x( y − 4) + 10y2 − 44y 2D = 4x2 + 2.2x ( y − 4) + ( y − 4) + 10y2 − 44y − y2 + 8y − 16 2 m) E = 2x 2 + 9y 2 − 6xy − 6x − 12y + 2004 2E = 4x2 + 18y2 − 12xy − 12x − 24y + 4008 ( 2E = 4x2 − 12x( y + 1) + 9( y + 1) + 18y2 − 24y + 4008− 9 y2 + 2y + 1 ) 2 2E = ( 2x − y − 1) + 9y2 − 42y + 3999 2 n) Q = a2 + ab + b2 − 3a − 3b + 3 ( ) 4Q = a2 − 2ab + b2 + 3 a2 + b2 + 4 + 2ab − 4a − 4b = ( a − b) + 3( a + b − 2) 2 2 0 o) A = x 2 + 6y 2 + 14z 2 − 8yz + 6zx − 4xy A = x2 − 2x( 2y + 3z) + 6y2 − 14z2 ( A = x2 − 2x( 2y + 3z) + ( 2y + 3z) + 6y2 − 14z2 − 4y2 + 12yz + 9z2 ) 2 A = ( x − 2y − 3z) + 2y2 − 12yz − 23z2 2 p) B(x) = x 2 + xy + y 2 − 3x − 3y B(x) = (x 2 − 2x + 1) + (y 2 − 2y + 1) + x(y − 1) − (y − 1) − 3 = (x − 1) 2 + (y − 1) 2 + (x − 1)(y − 1) − 3 1 y −1 2 y −1 2 = (x − 1) 2 + 2(x − 1). .(y − 1) + ( ) −( ) + (y − 1) 2 − 3 2 2 2 2 � y − 1 � y 2 − 2y + 1 2 =� x −1+ − + y − 2y + 1 − 3 � 2 � � 4 q) C(x) = 2x 2 + 3y 2 + 4xy − 8x − 2y + 18 C(x) = 2x 2 + 4xy + 2y 2 + y 2 − 8x − 2y + 18 = 2 � (x + y) 2 − 2(x + y)2 + 4 � � �+ (y + 6y + 9) + 1 2 = 2(x + y − 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 �� 1 min A = 1 � y = −3; x = 5 r) E(x) = 2x 2 + 8xy + 11y 2 − 4x − 2y + 6 E(x) = 2(x 2 + 4xy + 4y 2 ) + 3y 2 − 4x − 2y + 6 = � 2(x + 2y) 2 − 4(x + 2y) + 2 � � �+ 3y + 6y + 4 2 �x + 2y − 1 = 0 �x = 3 = 2(x + 2y − 1) 2 + 3(y + 1) 2 + 1 ��� 1 � � �y + 1 = 0 �y = −1 Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 7
  8. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 s) C = a 2 + ab + b 2 − 3x − 3b + 1989 b − 3 ( b − 3) ( b − 3) 2 2 C = a + a ( b − 3) + b − 3b + 1989 = a + 2.a. 2 2 + 2 + b 2 − 3b + 1989 − 2 4 4 4C = 4a 2 + 4ab + 4b 2 − 12a − 12b + 7956 4a 2 + 4a ( b − 3) + ( b − 3) �+ 4b 2 − 12b + 7956 − ( b − 3) =� 2 2 � � = ( 2a + b − 3) + 3b 2 − 6b + 7947 2 t) A = 4y 2 + ( 4xy − 4y ) + 3x 2 + 2x + 26 4y 2 + 2.2y. ( x − 1) + ( x − 1) �+ 3x 2 + 2x + 26 − ( x − 1)      = � 2 2 � � A = ( 2y + x − 1) + 2x 2 + 4x + 25 = ( x + 2y −1) + 2 ( x 2 + 2x + 1) + 23 2 2 23 u) A = x 2 +2y 2 + 2xy + 2x − 4y + 2013 A = x 2 +2y 2 + 2xy + 2x − 4y + 2013 = x 2 + 2x(y + 1) + (y + 1) 2 + (y − 3) 2 + 2003 2003 � x = −4; y = 3 v) A = 5x 2 + 9y 2 −12xy + 24x − 48y + 82 A = 5x 2 + 9y 2 −12xy + 24x − 48y + 82 = 9y 2 − 12y(x + 4) + 4(x + 4) 2 − 4(x + 4) 2 + 5x 2 + 24x + 82 16 = [ 3y − 2(x + 4)] + (x − 4) 2 + 2 �2∀x, y �� 2 R x = 4; y =     3 w) B = x + 2y + 3z − 2xy + 2xz − 2x − 2y − 8z + 2000 2 2 2 B = x2 − 2x( y − z + 1) + 2y2 + 3z2 − 2y − 8z + 2000 = x2 − 2x( y − z + 1) + ( y − z + 1) + 2y2 + 3z2 − 2y − 2z + 2000 − y2 + z2 + 1− 2yz − 2z + 2y ( ) 2 ( = ( x − y + z − 1) + y2 + 2z2 − 4y + 2yz + 1999 ) 2 = ( x − y + z − 1) + � y2 − 2y( z + 2) + ( z + 2) �+ 2z2 − z2 + 4z + 4 + 1999 ( ) 2 2 � � ( = ( x − y + z − 1) + ( y − z − 2) + z2 − 4z + 1995 ) 2 2 x) G = ( x − ay ) + 6 ( x − ay ) + x 2 + 16y 2 − 8ay + 2x − 8y + 10 2 (�x − ay) + 6( x − ay) + 9� G=� ( ) 2 + x2 + 2x + 1 + 16y2 − 8ay − 8y � G = ( x − ay + 3) + ( x + 1) + 16y2 − 8y ( a + 1) + ( a + 1) − ( a + 1) 2 2 2 2 G = ( x − ay + 3) + ( x + 1) + ( 4y − a − 1) − ( a + 1) − ( a + 1) 2 2 2 2 2 y) F(x) = 2x 2 + 6y 2 + 5z 2 − 6xy + 8yz − 2xz + 2y + 4z + 2 F(x) = 2x 2 + 6y 2 + 5z 2 − 6xy + 8yz − 2xz + 2y + 4z + 2 3y + z 2 3y + z 2 F(x) = 2x 2 − 2x(3y + z) + 2( ) + 6y 2 + 5z 2 + 8yz − ( ) + 2y + 4z + 2 2 2 Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 8
  9. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 3y + z 2 3 2 10 25 1 = 2(x − ) + (y + yz + z 2 ) + z 2 + 2y + 4z + 2         2 2 3 9 3 3y + z 2 � 3 5 5 2� 1 2 1 = 2(x − ) + � (y + z) 2 + 2(y + z) + �+ ( z 2 + z + ) + 1         2 �2 3 3 3� 3 3 3 3y + z x− =0 2 x =1 3 5 2 2 1 � 5 2 � = 2(...) + (y + z + ) + (x + 1) 2 + 1 �� 1 �y + z + = 0 � �y = 1 � min A = 1         2 3 3 3 � 3 3 �z = −1 z +1 = 0 z) B = 3x 2 + 3y 2 + z 2 + 5xy − 3yz − 3xz − 2x − 2y + 3 2 � 3 � 3 y 4 2 B=� z − (x + y) �+ (x + − ) 2 + (y − 2) 2 + 1 1 � 2 � 4 3 3 3 aa)  G(x) = 2x 2 + 2y 2 + z 2 + 2xy − 2xz − 2yz − 2x − 4y G(x) = 2x 2 + 2y 2 + z 2 + 2xy − 2xz − 2yz − 2x − 4y   = (x − 1) 2 + (y − 2) 2 + (x + y − z) 2 − 5 −5 � x = 1; y = 2; z = 3 Bài 2.   Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau bằng cách đưa  về HĐT  ( a b) ; ( a b c) 2 2 a) H = − x 2 + xy − y 2 − 2x + 4y + 11 b) D = − x 2 − y 2 + xy + 2x + 2y c) A = 5 − 2x 2 − 4y 2 + 4xy − 8x − 12y d) A = 5 − 2x 2 − 4y 2 + 4xy − 8x − 12y e) F = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3  f) E = − x 2 − y 2 + xy + 2x + 2y HD: a) H = − x 2 + xy − y 2 − 2x + 4y + 11 − H = x2 − xy + y2 + 2x − 4y − 11= x2 − x ( y − 2) + y2 − 4y − 11 ( y − 2) 2 y − 2 y2 − 4y + 4 2 −H = x2 − 2x. + + y − 4y − 11− 2 4 4 ( ﾡ − 4H = ( x − y + 2) + 4y2 − 16y − 44 − y2 − 4y + 4 ) 2 b) D = − x 2 − y 2 + xy + 2x + 2y − D = x2 + y2 − xy − 2x − 2y = x2 − x( y + 2) + y2 − 2y y + 2 ( y + 2) 2 y2 + 4y + 4 −D = x − 2x. 2 + + y2 − 2y − 2 4 4 c) A = 5 − 2x 2 − 4y 2 + 4xy − 8x − 12y − A = 2x 2 + 4y 2 − 4xy + 8x + 12y − 5 = 2x 2 − 4x ( y − 2 ) + 4y 2 + 12y − 5 Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 9
  10. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 x2 − 2x( y − 2) + ( y − 2) �+ 4y2 + 12y − 5− 2( y − 2) = 2� 2 2 � � d) A = − x 2 − y 2 + xy + 2x + 2y − A = x2 + y2 − xy − 2x − 2y = x2 − ( xy + 2x) + y2 − 2y = x2 − x( y + 2) + y2 − 2y ( ) 2 �2 y + 2 y 2 + 4y + 4 � 2 �y 2 + 4y + 4 � � y + 2 � �3y 2 � A=� x − 2x. + �+ y − 2y − � �= �x − �+ � − 3y − 1� � 2 4 � � 4 �� 2 � �4 � 2 �2x − y − 1 � 3 � 2 4 � A=� �+ �y − 4y + 4 − − 4 � � 2 � 4� 3 � e) F = − x 2 + 2xy − 4y 2 + 2x + 10y − 3 − F = x 2 − 2xy + 4y 2 − 2x − 10y + 3 = x 2 − 2x ( y + 1) + 4y 2 − 10y + 3 −F = x 2 − 2x ( y + 1) + ( y + 1) + 4y 2 − 10y + 3 − ( y + 1) 2 2 f) E = − x 2 − y 2 + xy + 2x + 2y E = − x 2 − y 2 + xy + 2x + 2y � 4E = −4x 2 − 4y 2 + 4xy + 8x + 8y E = −4x 2 + 4x(y + 2) − (y + 2) 2 + (y + 2) 2 − 4y 2 + 8y = −(2x − y − 2) 2 − 3(y 2 − 4y) + 4 = −(2x − y − 2) 2 − 3(y − 2) 2 + 16 16 �2x − y − 2 = 0 �x = 2 �� E 4 � � �y − 2 = 0 �y = 2 Dạng 2. Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc bốn đơn giản  Phương pháp: a)  Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ. b)  Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ. ( ) ( ) 2 2 c)  Sử dụng các hằng đẳng thức  a b , a + b + c .   Dạng 2.1 Biểu thức có dạng  ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Bài 1.  Tìm GTNN của các biểu thức sau:  a) C(x) = x 4 − 4x 3 + 9x 2 − 20x + 22 b) D(x) = x 4 − 6x 3 + 11x 2 + 12x + 20 c) A(x) = x 4 − 6x 3 + 10x 2 − 6x + 9 d) B(x) = x 4 − 10x 3 + 26x 2 − 10x + 30 e) C(x) = x 4 − 2x 3 + 3x 2 − 4x + 2017 f) A(x) = a 4 − 2a 3 − 4a + 5 g) D(x) = x4 – x2 + 2x + 7 HD:  a) Biến đổi biểu thức về dạng  ( a b) 2 C(x) = ( x 4 − 4x 3 + 4x 2 ) + 5 ( x 2 − 4x + 4 ) + 2 = x 2 ( x − 2 ) + 5 ( x − 2 ) + 2 2 2 2 Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 10
  11. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 b) D(x) = x 4 − 6x 3 + 11x 2 − 12x + 20 = x 2 ( x 2 − 6x + 9 ) + 2x 2 − 12x + 20 = x 2 (x − 3) 2 + 2(x 2 − 6x + 9) + 2 = x 2 (x − 3) 2 + 2(x − 3) 2 + 2 2 c) A(x) = x 4 − 6x 3 + 10x 2 − 6x + 9 A(x) = x 4 − 6x 3 + 10x 2 − 6x + 9 = (x 4 − 6x 3 + 9x 2 ) + (x 2 − 6x + 9) = (x 2 − 3x) 2 + (x − 3) 2 0 ∀x x 2 − 3x = 0 � M in A(x) = 0 � � x=3 x −3= 0 d) B(x) = x 4 − 10x 3 + 26x 2 − 10x + 30 x 2 − 5x = 0 B(x) = x − 10x + 26x − 10x + 30 = (x − 5x) + (x − 5) + 5 ��� 4 3 2 5 2 2 2 x =5 x −5 = 0 e) C(x) = x 4 − 2x 3 + 3x 2 − 4x + 2017 C(x) = x 2 (x 2 + 2) − 2x(x 2 + 2) + (x 2 + 2) + 2015 = (x 2 + 2)(x − 1) 2 + 2015 �� 2015 x =1 f) A = a 4 − 2a 3 − 4a + 5 A = a 2 ( a 2 + 2 ) − 2a ( a 2 + 2 ) + ( a 2 + 2 ) + 3 =  ( a 2 + 2 ) ( a 2 − 2a + 1) + 3 3  dấu bằng khi a = 1   g) D(x) = x − x + 2x + 7 4 2 D(x) = x 4 − 2x 2 + 1 + x 2 + 2x + 1 + 5 = (x 2 − 1) 2 + (x + 1) 2 + 5 �� 5 x = −1 Dạng 2.2  Biểu thức có dạng  ( x + a ) + ( x + b ) + ... 4 4 a) D = ( x + 8 ) + ( x + 6 ) b) F = 2 − 3 ( x + 1) − 3 ( x − 5 ) 4 4 4 4 c) F = 2 − 3 ( x + 1) − 3 ( x − 5 ) d) G = ( x + 3) + ( x − 7 ) 4 4 4 4 HD: a) Đặt:  x + 7 = y ﾡ D = ( y + 1) + ( y − 1) = 2y 4 + 12y 2 + 2 2 4 4 b) Đặt:  x + 3 = y c) F = 2 − 3 ( x + 1) − 3 ( x − 5 ) 4 4 Đặt  x − 2 = t ﾡ F = 2 − 3( t + 3) − 3( t − 3) 4 4 ( ) ( ) ( ) 2 2 − F = 3 t2 + 6t + 9 + 3 t2 − 6t + 9 − 2 = 6t4 + 324t2 + 484 = 6 t4 + 54t2 + 484 ( ) 2    F = −6 t2 + 27 + 3890 3890 d) G = ( x + 3) + ( x − 7 ) 4 4 Đặt  x − 2 = t ﾡ G = ( t + 5) + ( t − 5) = t2 + 10t + 25 + t2 − 10t + 25 ( ) ( ) 4 4 2 2 ( ) = 2( t ) 2 G = 2t4 + 300t2 + 1250 = 2 t4 + 2.75t2 + 5625 − 104 2 + 75 − 104 −104 Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 11
  12. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 Dạng 2.3 Biểu thức có dạng  x ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) ( x + e ) + ... Bài 1. Tìm GTNN của các biểu thức sau a) B = ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) b) B = ( x − 1) ( x − 3) ( x 2 − 4x + 5 ) c) A = x ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) + 8 d) D = ( x + 1) ( x 2 − 4 ) ( x + 5 ) + 2014 e) A = ( x 2 + x − 6 ) ( x 2 + x + 2 ) f) C = ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 6 ) g) D = ( 2x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( 2x + 1) h) C = ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) + 2011 i) G = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) − 2006 j) A = x ( x − 7 ) ( x − 3) ( x − 4 ) HD:  a) B = ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) B = ( x + 1) ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x + 3) = ( x 2 + 5x + 4 ) ( x 2 + 5x + 6 ) Đặt  x 2 + 5x + 5 = t , Khi đó: B = ( t − 1) ( t + 1) = t − 1 − 1 2 −5 5 Dấu “ = “ khi  t 2 = 0 ﾡ x 2 + 5x + 5 = 0 ﾡ x = 2 b) B = ( x − 1) ( x − 3 ) ( x 2 − 4x + 5 ) B = ( x 2 − 4x + 5 ) ( x 2 − 4x + 5 )  , Đặt  x 2 − 4x + 4 = 0  . Khi đó: B = ( t − 1) ( t + 1) = t 2 − 1 −1  , Dấu “ = “ khi  t 2 = 0 ﾡ x 2 − 4x + 4 = 0 ﾡ t = 2 c) A = x ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) + 8 A = x ( x + 6 ) ( x + 2 ) ( x + 4 ) + 8 = ( x 2 + 6x ) ( x 2 + 6x + 8 ) + 8 Đặt  x 2 + 6x + 4 = t  . Khi đó:  A = ( t − 4 ) ( t + 4 ) + 8 = t − 16 + 8 = t − 8 − 8 2 2 x = −3 + 5 Dấu “ = “ Khi đó:  t 2 = 0 ﾡ x 2 + 6x + 4 = 0 ﾡ x = −3 − 5 d) D = ( x + 1) ( x 2 − 4 ) ( x + 5 ) + 2014   D = ( x + 1) ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x + 5 ) + 2014 = ( x 2 + 3x − 10 ) ( x 2 + 3x + 2 ) + 2014   Đặt  x 2 + 3x − 4 = t . Khi đó:  D = ( t − 6 ) ( t + 6 ) + 2014 = t + 1978 2 x =1 Dấu “= “ xảy ra khi:  t = 0 ﾡ x + 3x − 4 = 0 ﾡ 2 2 x = −4 e) A = ( x 2 + x − 6 ) ( x 2 + x + 2 ) Đặt  x 2 + x − 2 = t . Khi đó:  A = ( t − 4 ) ( t + 4 ) = t − 16 −16 2 x =1 Dấu “ = “ xảy ra khi:  t = 0 ﾡ x2 + x − 2 = 0 ﾡ x = −2 f) C = ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 6 ) Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 12
  13. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 C = ( x − 1) ( x + 6 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) = ( x 2 + 5x − 6 ) ( x 2 + 5x + 6 ) Đặt  x 2 + 5x = t  . Khi đó:  C = ( t − 6 ) ( t + 6 ) = t − 36 −36   2 x =0 Dấu “ = “ khi  t = 0 ﾡ x 2 + 5x = 0 ﾡ x = −5 g) D = ( 2x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( 2x + 1) D = ( 2x − 1) ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( 2x + 1) = ( 2x 2 + 5x − 3 ) ( 2x 2 + 5x + 2 ) 2 � 1 � 25 −25 Đặt  2x + 5x = t  , Khi đó:  D = ( t − 3) ( t + 2 ) = t − t − 6 = �t − �− 2 2 � 2� 4 4 1 1 −5 29 Dấu “ = “ khi:  t = ﾡ 2x 2 + 5x = ﾡ x = 2 2 4 h) C = ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) + 2011 C = ( x + 1) ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x + 3) + 2011 = ( x 2 + 5x + 4 ) ( x 2 + 5x + 6 ) + 2011 −5 5 Đặt  x 2 + 5x + 5 = t . Khi đó:  C = ( t − 1) ( t + 1) + 2011 ﾡ x 2 + 5x + 5 = 0 ﾡ x = 2 i) G(x) = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) − 2006 x=0 G(x) = (x 2 + 5x − 6)(x 2 + 5x + 6) − 2006 = (x 2 + 5x) 2 − 2042 −2042 x = −5 j) A = x ( x − 7 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) = ( x 2 − 7x ) ( x 2 − 7x + 12 )  ,  Đặt  x 2 − 7x + 6 = t  Khi đó:  A = ( t − 6) ( t + 6) = t − 36 − 36  2 x =1 Dấu “ = ” khi  t = 0 ﾡ x 2 − 7x + 6 = 0 ﾡ 2 x =6 Vậy Min A =  − 36 khi x = 1 hoặc x = 6 Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức sau  E = 5 + ( 1 − x ) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 6 ) HD: E = 5 − ( x − 1) ( x + 6 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) = − ( x 2 + 5x − 6 ) ( x 2 + 5x + 6 ) + 5 Đặt  x 2 + 5x = t  .   Khi đó:  E = − ( t − 6 ) ( t + 6 ) + 5 = − ( t 2 − 36 ) + 5 = − t 2 + 41 41 x =0 Dấu “ = “ Khi  t 2 = 0 ﾡ x 2 + 5x = 0 ﾡ x = −5 Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau C = (x − 1)(x − 4)(x − 5)(x − 8) + 2002 Giải: Ta có: C =  (x − 1)(x − 4)(x − 5)(x − 8) + 2002 Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 13
  14. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8     =  (x − 1)(x − 8)(x − 4)(x − 5) + 2002     = (x2  −  9x + 8) (x2  −  9x + 20) + 2002     = [(x2 −  9x + 14)  − 6].[(x2 −  9x + 14) + 6] + 2002     = (x2 − 9x + 14)2  −  36 + 2002     = (x2 − 9x + 14)2 + 1966   1966 vì (x2 − 9x + 14)2   0  x x 2 x 2  MinC = 1966   x2 − 9x + 14 = 0       Vậy MinC = 1966    x 7 x 7 Bài 4. Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x:  ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) 2 m HD: VT = ( x + 1) ( x + 3 ) ( x + 2 ) = ( x 2 + 4x + 3) ( x 2 + 4x + 4 ) 2 Đặt  x 2 + 4x = t , Khi đó: 2 7 49 49 � 7 � 1 −1 VT = ( t + 3) ( t + 4 ) = t + 7t + 12 = t + 2.t. + + 12 − 2 2 = �t + �− 2 4 4 � 2� 4 4 A Dạng 3. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức dạng  B m Dạng 3.1  Biểu thức dạng  A =  với m là hằng số hoặc m đã xác định được âm   ax + bc + c 2 hoặc dương: Phương pháp giải: m 1. Biểu thức dạng  A = khi đó  A max � (ax 2 + bc + c) min  hoặc A min � (ax 2 + bc + c) max ax + bc + c 2 2. Bên cạnh việc biến đổi về tổng các bình phương, ta sử dụng thêm tính chất nghịch đảo: 1 1 Nếu  a b ﾡ a b 3. Sử dụng cả biểu thức Denta để tìm GTNN hoặc GTLN rồi mới biến đổi thêm bớt. 4. Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm. C �C � Ta đưa về dạng:  A = m + � 0� D �D � Bài 1. Tìm Min của các biểu thức sau: 2 1 −3 a) A = b) B = c) C = 6x − 5 − 9x 2 x − 4x + 9 2 x − 5x + 1 2 6 2 1 d) D = 2 e) K = 2 f) A = 2    − x + 2x − 3 x +8 9x − 12x + 10 2 5 1 g) B = h) A = i) B = x +x+4 2 x − 2x − 5 2 x − 4x + 11 2 Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 14
  15. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 3y 2 y2 k) A = (x 0) l) C = (x 0) −25x 2 + 20xy − 5y 2 9x 2 − 12xy + 5y 2 HD:   ( ) a) Ta có:  −9x 2 + 6x − 5 = − 9x 2 − 6x + 1+ 4 = − ( 3x − 1) − 4 −4 2 2 2 2 −1 −1 1 ﾡ = = ﾡ A  , D ấ u “ = ”  khi   x = 6x − 5− 9x − ( 3x − 1) − 4 −4 2 2 2 2 3 y2 k) C = 2 (x 0) Ta có:  y = 0 ﾡ A = 0 9x − 12xy + 5y 2 1 y �0 � A = x x 2 x Đặt  t = 9 2 − 12 + 5   y y y 1 1 2 2 A= = �� 1 t = � x = y 9t 2 − 12t + 5 (3t − 2) 2 + 1 3 3 l) Ta có: y = 0 ﾡ A = 0 3 y �0 � A = x x 2 x   (Đặt  t = )  −25 2 + 20 − 5 y y y 3 −3 2 2 Vì  A =� =� − �== 1 A 3 t x y −25t + 20t − 5 (5t − 2)2 + 1 2 5 5 Dạng 3.2 Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu  ax 2 + bx + c thức đại số dạng  a ' x2 + b ' x + c ' Phương pháp giải:  n 1. Thực hiện phép chia tử thức cho mẫu thức để đưa biểu thức về dạng  m +   a 'x + b'x + c' 2 A(x) A(x) hoặc đưa biểu thức về dạng  + c  với  0  với mọi x B(x) B(x) n p 2. Biến đổi biểu thức về  dạng  m + +   rồi đặt  ẩn phụ  đối với phân thức có  ax + b (ax + b) 2 mẫu thức là bình phương của một đa thức bậc nhất n Dạng 3.2.1  Thực hiện phép biến đổi đưa phân thức về dạng  m + a' x + b' x + c' 2 3x 2 + 6x + 10 Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số  A(x) = x 2 + 2x + 3 HD: 3x 2 + 6x + 10 Từ  A(x) = x 2 + 2x + 3 Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 15
  16. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 3x 2 + 6x + 9 + 1 3(x 2 + 2x + 3) + 1 1 Ta có A(x) =  A(x) = = = 3+ x + 2x + 3 2 x + 2x + 3 2 (x + 1) 2 + 2 Vì (x + 1)2   0 với  ∀ x nên (x + 1)2 + 2 2 với  ∀ x. 1 1 1 1 1 Do đó:  Vậy  A(x) = 3 + 3+ = 3 (x + 1) + 2 2 2 (x + 1) + 2 2 2 2 1 Max A(x) =  3  khi (x + 1)2 = 0   x =  –1 2 Bài 2. Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau: 2x 2 − 16x + 41 3x 2 − 6x + 17 a)   B(x) =  với  x R b)  Q = x 2 − 8x + 22 x 2 − 2x + 5 HD:  2x 2 − 16x + 41 2(x 2 − 8x + 22) − 3 3 a) Từ B(x) =  B(x) = = = 2− x − 8x + 22 2 x − 8x + 22 2 (x − 4) 2 + 6 Vì (x − 4)2   0 với  ∀x  nên (x − 4)2 + 6   6. 3 3 1 Nên  = (x − 4) + 6 6 2 2 3 1 3 3 � B(x) = 2 − �2 − = Min B(x) =   khi (x −  4)2 = 0  x = 4 (x − 4) + 6 2 2 2 2 2 2 2 1 , mà  x2 − 2x + 5 = ( x − 1) + 4 4 ﾡ 2 b) Ta có :  Q = 3+ 2 = x − 2x + 5 x − 2x + 5 4 2 2 Bài 3. Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau: 3x 2 − 12x + 10 6x 2 + 2x + 19 a)  F =       b)  A = x 2 − 4x + 5 3x 2 + x + 7 3x 2 − 12x + 10 5 5 HD:    a) Ta có:  F = = 3− 2 = 3− 3 − 5 = −2 x − 4x + 5 2 x − 4x + 5 (x − 2) 2 + 1 −5       Do  (x =2) �2− � 1 +− 1 5 x 2 (x − 2) 2 + 1 6x 2 + 2x + 19 2(3x 2 + x + 7) + 5 5 b) Ta có:  A = = = 2 + 3x 2 + x + 7 3x 2 + x + 7 3x 2 + x + 7 1 83 83 −1 Đặt  M = 3x 2 + x + 7 = 3(x + ) 2 + �� x = 6 12 12 6 5 60 −1 � A max = M min � A max = 2 + =2 �x= 83 83 6 12 Bài 4.   Tìm min hoặc max của các biểu thức sau: a)  I = 2x − 16x + 71 b)  N = 2x + 4x + 9 2 2 x 2 − 8x + 22 x 2 + 2x + 4 HD: 27 , mà  x2 − 8x + 22 = ( x − 4) + 6 6 2 a) Hạ phép chia ta được :  I = 2 + x − 8x + 22 2 Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 16
  17. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 1  , mà  x2 + 2x + 4 = ( x + 1) + 3 3 2 b) Hạ phép chia ta được :  N = 2 + x + 2x + 4 2 Bài 5.   Tìm min hoặc max của các biểu thức sau: a) A = x − 6x + 23 b)  C = 3x − 12x + 10   2 2 x 2 − 6x + 10       x 2 − 4x + 5 b) G = 4x − 6x + 3 x2 2 c)  D = 2x 2 − 3x + 2 x4 + x2 + 1 HD: 13 13 a) Ta có :  A = 1+ = 1+ x − 6x + 10 2 (x − 3)2 + 1 −5 −5 b) Ta có :  C = 3+ = 3+ x − 4x + 5 2 (x − 2)2 + 1 −1 c) Ta có :  G = 2 + 2x − 3x + 2 2 x2 1 1 d) Ta có : D = 4 ﾡ = x 2 + 2 + 1 3   (Áp dụng Côsi ) x + x +1 2 D x Dạng 3.2.2  Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức Bài 1. Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau: 2x 2 − 6x + 5 2x 2 − 10x − 1    a)  Q =           b)   M = (x 1) x 2 − 2x + 1 x 2 − 2x + 1   HD: −2x + 3 −2x + 3 −2(x − 1) + 1 2 1 a) Ta có:  Q = 2 + = 2+ = 2+ = 2− + x − 2x + 1 2 (x − 1)2 (x − 1)2 x − 1 (x − 1)2 1    Đặt  = t  , khi đó ta có:  Q = t2 − 2t + 2 = (t − 1)2 + 1 1 x−1 2x 2 − 10x − 1 2(x 2 − 2x + 1) − 6(x − 1) − 9 6 9 b) Ta có: M =  = = 2− − x − 2x + 1 2 (x − 1) 2 x − 1 (x − 1) 2 1 Đặt  = t , khi đó ta có:  M = − 9t2 − 6t + 2 = −(3t + 1)2 + 3 3 x−1 Bài 2. Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau: 2x 2 + 4x + 4 x 2 − 4x + 1 x4 +1 a) A =       b)   B = c)  H = (x + 1) 2 2 x2 x2 HD: 4 4 1 a) Ta có :  A = 2 + + 2 , Đặt  = t ﾡ A = 4t2 + 4t + 2 = (2t + 1)2 + 1 1 x x x b) Ta có: 4 1 , đặt  1 = t ﾡ K = t2 − 4t + 1 = ( t − 2) − 3 −3 2 K = 1− + 2   x x x Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 17
  18. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 t2 − 2t + 1+ 1 2 2 c) Đặt  x2 + 1= t ﾡ x2 = t − 1 ﾡ x4 = t2 − 2t + 1 , khi đó  H = = 1− + t2 t t2 1 Đặt  = a ﾡ H = 2a 2 − 2a + 1 t Bài 3. Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau:  4x 2 − 6x + 1 x x a)  A = b) B = c)   C = ( 2x + 1) ( x + 10 ) ( x + 2016 ) 2 2 2   d) x 2 − 2x + 2000 e)  x 2 − 2x + 2015   f)  F = x D= E= ( x + 2000 ) 2   x2 2015x 2 HD: t−1 t2 − 2t + 1 a) Đặt  2x + 1 = t ﾡ x = ﾡ x2 =  , Khi đó : 2 4 t 2 − 2t + 1 − 3 ( t − 1) + 1 t 2 − 5t + 5 5 5 1 = 1 − + 2  , Đặt  = a ﾡ A = 1 − 5a + 5a 2       A = = t 2 t 2 t t t t − 10 1 10 1 b) Đặt  x + 10 = t ﾡ x = t − 10 ﾡ B = 2 = − 2  , Đặt  = a ﾡ B = −10a 2 + a t t t t t − 2016 1 2016 c) Đặt  x + 2016 = t ﾡ x = t − 2016 ﾡ C = = − 2 ,  t2 t t 1 Đặt  = a ﾡ C = a − 2016a 2 t 2 2000 1 d) Ta có :  D = 1 − + 2  , Đặt  = a ﾡ D = 1 − 2a + 2000a 2 x x x x 2 − 2x + 2015 2 2015 e) Ta có :  2015E = 2 = 1 − + 2  ,  x x x 1 2 1 Đặt  = a ﾡ 2015E = 1 − 2a + 2015a 2 ﾡ E = a 2 − .a + x 2015 2015 t − 2000 1 2000 1 f) Đặt  x + 2000 = t ﾡ F = 2 = − 2  , Đặt  = a ﾡ F = a − 2000a 2 t t t t Bài 4.   Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau x2 − x + 1 3x 2 − 8x + 6 a) B =      b)   E = x 2 + 2x + 1 x 2 − 2x + 1 HD:  x2 − x +1 a) Ta có: B =  ,  Đặt  x + 1 = t ﾡ x = t − 1 ﾡ x 2 − 2t + 1 ( x + 1) 2 t 2 − 3t + 3 3 3 1         ﾡ B = = 1 − + 2  , Đặt  = a ﾡ B = 3a 2 − 3a + 1 t 2 t t t Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 18
  19. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 3x 2 − 8x + 6 3x 2 − 8x + 6 b) Ta có : E = = Đặt  x − 1 = t ﾡ x = t + 1 ﾡ x 2 = t 2 + 2t + 1 x 2 − 2x + 1 (x − 1) 2 3 ( t 2 + 2t + 1) − 8 ( t + 1) + 6 3t 2 − 2t + 1 2 1        E = = = 3 − + 2  ,  t2 t 2 t t 1        Đặt :  = a ﾡ E = a 2 − 2a + 3 = ( a − 1) + 2 2 2 t 4x 4 − x 2 − 1 Bài 5.   Tìm Min hoặc Max của:   E = (x 2 + 1) 2 HD:  Ta có: 4x 4 − x 2 − 1 4(x 4 + 2x 2 + 1) − 9(x 2 + 1) + 4 9 4 E= = = 4− 2 + 2        (x + 1) 2 2 (x + 1) 2 2 x + 1 (x + 1) 2 2 1 9 4 � 9 � 81 Đặt  t = 2 , ta được  E = 4 − + 2 = �2t − �− + 4 x +1 t t � 4 � 16 Ta có:  x 2 + 1 1   ﾡ   t 1 2 9 9 −1 � 9 � 1 1 17 =� 2t=�− =− 2 ��− =−�−� �2t � E 1 t 1 x 0 4 4 4 � 4 � 16 16 16 Lời giải khác 5x 4 + x 2 Ta có:  E =1�− �2 = +2 0 A 1 x 0 (x + 1) 4x 4 x2 + 1 Cách khác:  E = − �0 − 1 = −1 � x = 0 (x 2 + 1) 2 (x 2 + 1)2 Bài 6.   Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau 2x 2 + 4x + 4 2x + 1 a)  A =         b)  E = x2 x2 HD:  a) Ta có: 4 4  , Đặt  1 A =2+ + 2 = a ﾡ A = 4a 2 + 4a + 2   x x x 2 1 1 b) Ta có :  E = + 2  , Đặt  = a ﾡ E = a 2 + 2a x x x − x 2 + x − 11 Bài 7.   Tìm Min hoặc Max của:  B = 2 x − 2x + 1 HD:  Ta có: − x 2 + x − 11 − x 2 + 2x − 1 − x + 1 − 11 −(x − 1) 2 − (x − 1) − 11 1 11 B= 2 = = = −1 − − x − 2x + 1 (x − 1) 2 (x − 1) 2 x − 1 (x − 1) 2 1 � 2 1 1 1 1� Đặt  = y    � A = −1 − y − 11y 2 = − (11y 2 + y + 1) = − 11(y + 2.y. + 2 − 2 + � � x −1 � 22 22 22 11 � Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 19
  20. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 � 1 43 � −43 1 −43 −1 = −�11(y + ) 2 + �= − 11(y + ) 2 �� y= � x = −21 � 22 44 � 44 22 44 22 x Bài 8.    Tìm Min hoặc Max của:  C = 2 (x −5) x + 10x + 25 HD:  Ta có: x x (x + 5) − 5 1 5 C= = = = − x + 10x + 25 (x + 5) 2 2 (x + 5) 2 x + 5 (x + 5) 2 2 1 � 1 � 1 −1 Đặt  t = � − A = 5t 2 − t = 5 �t − �− � x +5 � 10 � 20 20 1 1 1 1 =� A =� =� t x 5 20 10 x +5 10 x 2 + 4x − 14 Bài 9.   Tìm Min hoặc Max của:  D = 2 (x 1) x − 2x + 1 HD:  Ta có: x 2 + 4x − 14 (x 2 − 2x + 1) + (6x − 6) − 9 6 9 D= 2 = = 1 + − x − 2x + 1 (x − 1) 2 x − 1 (x − 1) 2 1 Đặt  t =   ﾡ D = 1 + 6t − 9t 2 = − (3t − 1) 2 + 2 2 x −1 1 1 Cách khác: Đặt  t = ﾡ x = +1 x −1 t 2 � � 1� � 1� � �A=t � �1 + �+ 4 � 2 1 + �− 14 �= (t + 1) 2 + 4t(t + 1) − 14t 2 = −(3t − 1) 2 + 2 �2 � t� � t� � � x2 + x + 1 Bài 10. Tìm Min hoặc Max của:  A = (x −1) (x + 1) 2 HD: Ta có: x 2 + x + 1 (x 2 + 2x + 1) − (x + 1) + 1 1 1 A= = = 1− + (x + 1) 2 (x + 1) 2 x + 1 (x + 1) 2 2 1 � 1� 3 3 3 1 Đặt  y =   ﾡ A = 1 − y + y 2 = �y − �+ �� A min = � y = � x = 1 x +1 � 2� 4 4 4 2 Bài 11. Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau: x 2 − 3x + 3 x 2 + y2 a) B = ( x 1) b)  A = 2 (x − 1) 2 x + 2xy + y 2 HD: x 2 − 3x + 3 (x 2 − 2x + 1) − (x − 1) + 1 1 1 a) Ta có: B = = =1− + (x − 1) 2 (x − 1) 2 x − 1 (x − 1) 2 2 1 � 1� 3 3 1 Đặt  y = ﾡ B = y 2 − y + 1 = �y − �+ �� y = � x = 3 x −1 � 2� 4 4 2 Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng tdhoangclassic@gmail.com 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2