CHUYÊN Đ BỀ ỒI DƯNG H C SINH GI I TOÁNỠ Ọ Ỏ
ĐA TH CỨ
PH N I: M C TIÊUẦ Ụ
- Cung c p các lý thuy t chung vấ ế ề đa th c ứ
- V n d ng lý thuy t gi i m t s d ng toán vậ ụ ế ả ộ ố ạ ề đa thức thưng g p trong công tác ờ ặ
bồi dưng h c sinh gi i.ỡ ọ ỏ
PH N II: LÝ THUY T CHUNG VẦ Ế Ề ĐA TH CỨ
I. CÁC ĐNH NGHĨAỊ
1/ Đa th c P(x) bứ ậc n là hàm được xác định nh sau:ư
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0
Trong đó a0, a1, …, an là các h ng sằ ố cho trưc và ớ
0
n
a
Khi đó a0, a1, …, an đưc g i là các h s cợ ọ ệ ố ủa đa th cứ
Ngưi ta dùờng deg P(x) đ kí hi u b c cể ệ ậ ủa đa th c P(x)ứ
N u aếi là các s nguyên ố
0,i n
∀ =
thì P(x) gọi là đa th c v i h s nguyênứ ớ ệ ố
N u aếi là các s h u t ố ữ ỉ
0,i n
∀ =
thì P(x) gọi là đa th c v i h s h u t .ứ ớ ệ ố ữ ỉ
2/ S xố0 đưc g i là nghi m cợ ọ ệ ủa đa th c P(x) n u P(xứ ế 0) = 0
3/ Cho hai đa th c P(x) và Q(x). Ta nói r ng P(x) chia h t cho Q(x) n u t n tứ ằ ế ế ồ ại đa th c ứ
h(x) sao cho P(x) = h(x). Q(x). Khi đó đa th c Q(x)ứ là ưc cớ ủa đa th c P(x).ứ
4/ Hai đa th c P(x) và Q(x)ứ đưc g i là nguyên t cùng nhau n u P(x) và Q(x)ợ ọ ố ế không có
ưc chung bớ ậc dương
5/ Cho k là m t sộ ố nguyên d ng. Sươ xố0 đưc g i là nghi m b i k cợ ọ ệ ộ ủa đa th c P(x) nứ ếu
nh đa thưc P(x) chia hứ ết cho đa th c (x – xứ0)k nh ng không chia hư ết cho đa th c (x – ứ
x0)k+1
6/ Đa th c nguyên thuứ ỷ là đa th c v i h s nguyên và các h s c a nó là nguyên t ứ ớ ệ ố ệ ố ủ ố
cùng nhau.
II. CÁC TÍNH CHẤT C BƠN CẢ ỦA ĐA TH CỨ
Mệ nh đ 1ề : Gi sả ử P(x) và Q(x) là hai đa th c tuứ ỳ ý. Đặt h(x) = P(x) + Q(x). Khi đó h(x)
cũng là đa th c và ứ
deg h(x) = max{degP(x),degQ(x)} n u degP(x) ế
degQ(x)
deg h(x)
max{degP(x),degQ(x)} n u degP(x) = degQ(x)ế
Mệ nh đ 2ề : Gi sả ử P(x) và Q(x) là hai đa th c tuứ ỳ ý. Đặt h(x) = P(x).Q(x). Khi đó h(x)
cũng là đa th c và n u ứ ế
( ) 0, ( ) 0P x Q x
thì deg h(x) = degP(x) + degQ(x).
Mệ nh đ 3ề : Gi sả ử P(x) = h(x).Q(x), trong đó P(x) và Q(x) là các đa th c v i h s h u tứ ớ ệ ố ữ ỉ
và
( ) 0Q x
thì h(x) cũng là đa th c v i h s h u t .ứ ớ ệ ố ữ ỉ
Mệ nh đ 4ề : (Đnh lý Bezout) ịS xố0 là nghi m cệ ủa đa th c P(x) ứ
0
( ) ( )P x x x
−�
M
H qu 1:ệ ả Mọi đa th c P(x) b c n (ứ ậ
1n
) không th có quá n nghi m.ể ệ
Nếu đa th c P(x)B c không quá n l i có n + 1 nghi m thì t t c các h s c aứ ậ ạ ệ ấ ả ệ ố ủ
nó b ng 0.ằ
H qu 2:ệ ả N u P(x)ế là đa th c mà l i là hàm tu n hoàn thì P(x) ứ ạ ầ
C, v i C là h ng sớ ằ ố
nào đó
Mệ nh đ 5ề : (Đnh lý Viete) ịGi sả ử đa th c P(x) = aứnxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 có các
nghi m xệ1, x2, …, xn. Khi đó ta có các đng th c sau:ẳ ứ
Mệ nh đ 6ề : (Định lý Viete đo) ảNếu nh các sư th c xố ự 1, x2, …, xn thoả mãn h :ệ
( 1) , 1,
kn k
k
n
a
S k n
a
−
= − =
Khi đó x1, x2, …, xn là n nghi m cệ ủa đa th c b c n: P(x) = aứ ậ nxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0
Mệ nh đ 7ề : (Đnh lý v nghi m h u t cị ề ệ ữ ỉ ủa đa th c v i h s nguyên)ứ ớ ệ ố
Gi sả ử đa th c P(x) = aứnxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 là đa th c v i h sứ ớ ệ ố nguyên, trong đó
1n
. Khi đó , n u P(x) có nghi m h u t thì m i nghi m h u t c a P(x) có d ng ế ệ ữ ỉ ọ ệ ữ ỉ ủ ạ
r
s
,
trong đó r là ưc c a aớ ủ 0, s là ưc c a aớ ủ n và (r,s) =1
H qu 2:ệ ả N u ếđa th c P(x) = xứn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 , trong đó ai nguyên
0, 1i n
∀ = −
. Khi đó n u P(x) có nghi m h u t thì m i nghi m h u t cế ệ ữ ỉ ọ ệ ữ ỉ ủa P(x) đu là ề
s nguyên và là mố ột trong các ưc s c a h s aớ ố ủ ệ ố 0.
III. LƯỢC Đ HORNERỒ
1/ Tính giá tr cị ủa đa th c P(x) = aứnxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 khi x =
α
ta dùng b ng ả
Horner
anan-1 an-2 … ak… a1a0
α
bnbn-1 bn-2 … bk… b1b0
2/ Chia đa th c cho nh th c b c nh t x - ứ ị ứ ậ ấ
α
Nếu nh trong bưng Horner bả0 = 0 thì P(
α
) = 0 nên P(x)
M
x -
α
IV. CÔNG TH C N I SUY LAGRANGEỨ Ộ
Gi s cho các s khác nhau bả ử ố 0, b1, …, bn và các giá tr tu ý cị ỳ 0, c1, …, cn. Khi đó t n t i ồ ạ
duy nhất đa th c P(x) có bứ ậc không vưt quá n tho mãn các ợ ả đng th c:ẳ ứ
P(b0) = c0 ; P(b1) = c1 ; … ; P(bn) = cn
Đa th c này có dứ ạng nh sau:ư
2 3 2 3 1 2
1 2
1 2 1 3 1 2 1 2 3 2 1 2 1
( )( )...( ) ( )( )...( ) ( )( )...( )
( ) . . ... .
( )( )...( ) ( )( )...( ) ( )( )...( )
n n n
n
n n n n n n
x b x b x b x b x b x b x b x b x b
P x c c c
b b b b b b b b b b b b b b b b b b
−
− − − − − − − − −
= + + +
− − − − − − − − −
V. ĐA TH C B T KH QUYỨ Ấ Ả
Đ nh nghĩa:ị Gi sả ử P(x) là đa th c v i các h s h u tứ ớ ệ ố ữ ỉ. P(x) đưc g i là b t kh quy ợ ọ ấ ả
trên Q n u P(x) không bi u diế ể ễn được dưi d ng tích cớ ạ ủa hai đa th c bứ ậc d ng vươ i các ớ
h s h u t .ệ ố ữ ỉ
Mệ nh đ 8ề : N uế P(x) là đa th c v i các h s h u t thì nó có th bi u di n m t cách ứ ớ ệ ố ữ ỉ ể ể ễ ộ
duy nhất dưi d ng ớ ạ
( ) ( )
a
P x Q x
b
=
Trong đó:
a
b
là phân s t i gi nố ố ả
Q(x) là một đa th c nguyên thuứ ỷ
Bổ đ Gauss:ề Tích của hai đa th c nguyên thu là mứ ỷ ột đa th c nguyên thu .ứ ỷ
Mệ nh đ 9ề : N uế đa th cứ P(x) v i các h s nguyên có b c degP(x) > 1 mà b t kh quy ớ ệ ố ậ ấ ả
trên Z thì cũng b t kh quy trên Q.ấ ả
Mệ nh đ 10ề : Cho đa th c P(x) = aứnxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 v i h s nguyên và n > 1. ớ ệ ố
Gi s t n t i s nguyên t p tho mãn các ả ử ồ ạ ố ố ả đi u ki n sau:ề ệ
1)
n
aM
0 1
0
2) , ,..., (0 )
3)
k
p
a a a p k n
a
<M
M
2
p
N u P(x) có th bi u diế ể ể ễn được dưi d ng tích cớ ạ ủa hai đa th c v i h s nguyên thì b c ứ ớ ệ ố ậ
c a mủ ột trong hai đa thức đó không nhỏ h n k + 1ơ
Mệ nh đ 11ề : (Đnh lý Eisenstein v tiêu chu n b t kh quy cị ề ẩ ấ ả ủa đa th c v i h s ứ ớ ệ ố
nguyên) Cho đa th c v i h s nguyên P(x) = aứ ớ ệ ố nxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 ,
1n
Bi t r ng t n t i s nguyên t p sao cho ế ằ ồ ạ ố ố
1)
n
aM
0 1 1
0
2) , ,...,
3)
n
p
a a a p
a
−
M
M
2
p
Khi đó P(x) b t kh quy trên Q.ấ ả
Mệ nh đ 12ề : Gi s Q(x) là mả ử ột đa th c v i h s h u t có b c ứ ớ ệ ố ữ ỉ ậ
1. Khi đó v i mớ ọi đa
th c v i h s h u t P(x) t n t i duy nh t m t cứ ớ ệ ố ữ ỉ ồ ạ ấ ộ ặp đa th c R(x), S(x) v i h s h u t ứ ớ ệ ố ữ ỉ
sao cho ta có bi u di n sau: P(x) = R(x).Q(x) + S(x) và deg S(x) < degQ(x) n u S(x)ể ễ ế
0
Mệ nh đ 13ề : Cho đa th c P(x) ứ
0 v i h s h u t . Gi s a là m t nghi m c a P(x). ớ ệ ố ữ ỉ ả ử ộ ệ ủ
n u P(x) là b t kh quy trên Q thì P(x) là mế ấ ả ột đa th c có b c nh nh t v i các h s h u ứ ậ ỏ ấ ớ ệ ố ữ
t và có m t nghi m là a.ỉ ộ ệ
PH N III: CÁC D NG TOÁN VẦ Ạ Ề ĐA TH CỨ
I. DẠNG TOÁN XÁC ĐNH B C CỊ Ậ ỦA ĐA TH CỨ
Bài 1: Cho đa th c P(x) = (1 – 3x + 3xứ2)2002(1 + 3x – 3x2)2003
Tìm t ng các h s cổ ệ ố ủa đa thức có đưc sau khi khai tri n , b các d u ngoợ ể ỏ ấ ặc và ước
lưng các s hợ ố ạng đng d ng.ồ ạ
Hưng d n:ớ ẫ S = P(1) = 1
Bài 2: Cho đa th c P(x) = (xứ27 + x7 - 1)2002
Tìm t ng các h s c a các l th a b c l cổ ệ ố ủ ỹ ừ ậ ẻ ủa đa th c sau khi khai tri n , b các d u ứ ể ỏ ấ
ngo c vàặ ước lưng các s hợ ố ạng đng d ng.ồ ạ
Hưng d n:ớ ẫ
degP(x) = 27.2002 v i h s c a lu th a cao nhớ ệ ố ủ ỹ ừ ất là 1=> đa thức P(x) là đa th c b c ứ ậ
ch nẵ
Gi s sau khi khai tri n và rút gả ử ể ọn đa thức P(x) đã cho có d ngạ
P(x) = x27.2002 + an-1xn-1 + …+a1x + a0
P(1) = 1 + a n-1 + a n-2 + … + a1 + a0
P(-1) = 1 - a n-1 + a n-2 - … - a1 + a0
P(1) – P(-1) = 2(a n-1 + a n-3 + …+ a1)
Đt S = a ặn-1 + a n-3 + …+ a1 (t ng các h s c a các l th a b c l )ổ ệ ố ủ ỹ ừ ậ ẻ
M t khác P(1) = (1 + 1 - 1)ặ2002 = 1
P(-1) = (-1 - 1 - 1)2002 = 32002
1 - 32002 = 2S => S =
2002
1 3
2
−
Bài 3:Cho đa th c P(x) = (xứ2 + x + 1)1001. G i aọ0, a1, a2, … , a2002 là các h s cệ ố ủa đa th c nóiứ
trên (trong d ng chính t c P(x) = aạ ắ 2002x2002 + a2001x2001 + …+ a1x + a0 ). Đt:ặ
m = a0 + a2 + a4 + … + a2002
n= a1 + a3 + a5 + … + a2001
Xác đnh tính ch n, l c a các s m và nị ẵ ẻ ủ ố
Bài 4:Cho P(x) và Q(x) là hai đa th c có b c n. ch ng minh r ng ho c là ứ ậ ứ ằ ặ
2 2
( ) ( )P x Q x
ho c là ặ
2 2
( ) ( )P x Q x
−
là đa th c mà degứ
2 2
( ( ) ( ))P x Q x n−
Bài 5:Cho đa th c P(x) = xứ2n + a2n-1x2n-1 + … + a1x + a0. Ch ng minh r ng t n tứ ằ ồ ại hai đa
th c Q(x) và R(x) sao cho degQ(x) = n, degR(x) < n và P(x) = Qứ2(x) + R(x)
Bài 6:Gi s n nghi m xả ử ệ 1, x2, … , xn của đa th c P(x) b c n v i h s h u t có tính ch t ứ ậ ớ ệ ố ữ ỉ ấ
sau: xn – xn-1 = xn-1 – xn-2 = … = x2 – x1
Bi t rế ằng đa th c P(x) không th phân tích thành tích cứ ể ủa hai đa th c v i h s h u t có ứ ớ ệ ố ữ ỉ
b c ậ
n. Ch ng minh r ng degP(x) ứ ằ
2 ?
Bài 7:Cho a1, a2, … , an là n nguyên đôi một khác nhau. Xét đa th c P(x) = (x – aứ1)(x – a2)
… (x -an) – 2. Bi t r ng P(x) có th bi u diế ằ ể ể ễn được dưi d ng tích cớ ạ ủa hai đa th c v i hứ ớ ệ
s nguyên và có b c ố ậ
1. Ch ng minh r ng degP(x) = 3?ứ ằ
II. TÍNH CHIA H T CẾ ỦA ĐA TH CỨ
Ph ng phápươ chính :
-Dùng đnh lý Bezout và các h qu c a nóị ệ ả ủ
-Lược đ Hornerồ
D ng 1ạ: Tìm d cưa phép chia mà không th c hi n phép chiaủ ự ệ
1/ Đa th c chia có d ng x – a (a: const)ứ ạ
-Dùng đnh lý Bezoutị
-f(x) có t ng các h s b ng 0 thì chia h t chi x – 1ổ ệ ố ằ ế
-f(x) có t ng các h s c a h ng t b c ch n b ng t ng các h s c a h ng t b c ổ ệ ố ủ ạ ử ậ ẵ ằ ổ ệ ố ủ ạ ử ậ
l thì chia h t cho x + 1ẻ ế
2/ Đa th c chia có b c 2 tr lênứ ậ ở
Cách 1: Tách đa th c b chia thành t ng cứ ị ổ ủa các đa th c chia hứ ết cho đa thức chia và d .ư
Cách 2: Xét giá tr riêng: gị ọi th ng cươ ủa phép chia Q(x), d là ax + b thưì f(x) =g(x).Q(x) +
ax + b
Cách 3: Dùng s đơ Hornerồ
Ví dụ: a/ Tìm d khi chia đa thưc xứ100 – 2x51 + 1 cho x2 – 1
b/ Tìm d khi chia đa thưc xứ100 – 2x51 + 1 cho x2 + 1
Gi iả : a) Ta có: f(x) = x100 - 2x51 + 1 = (x2-1).q(x) + ax + b
f(1) = 0 = a + b
f(-1)= 4 = -a + b => b=2 ; a = -2. Vậy d là : -2x+2ư
b) Ta có f(x) = (x100+x2) - (2x51+2x) - (x2+1) + (2x+2)
f(x) = x2(x98+1) - 2x(x50+1) - (x2+1) + (2x+2)