CHUYÊN Đ BỀ ỒI DƯNG H C SINH GI I TOÁNỠ Ọ Ỏ
ĐA TH CỨ
PH N I: M C TIÊUẦ Ụ
- Cung c p các lý thuy t chung vấ ế ề đa th c ứ
- V n d ng lý thuy t gi i m t s d ng toán vậ ụ ế ả ộ ố ạ ề đa thức thưng g p trong công tác ờ ặ
bồi dưng h c sinh gi i.ỡ ọ ỏ
PH N II: LÝ THUY T CHUNG VẦ Ế Ề ĐA TH CỨ
I. CÁC ĐNH NGHĨAỊ
1/ Đa th c P(x) bứ ậc n là hàm được xác định nh sau:ư
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0
Trong đó a0, a1, …, an là các h ng sằ ố cho trưc và ớ
0
n
a
Khi đó a0, a1, …, an đưc g i là các h s cợ ọ ệ ố ủa đa th cứ
Ngưi ta dùờng deg P(x) đ kí hi u b c cể ệ ậ ủa đa th c P(x)ứ
N u aếi là các s nguyên ố
0,i n
∀ =
thì P(x) gọi là đa th c v i h s nguyênứ ớ ệ ố
N u aếi là các s h u t ố ữ ỉ
0,i n
∀ =
thì P(x) gọi là đa th c v i h s h u t .ứ ớ ệ ố ữ ỉ
2/ S xố0 đưc g i là nghi m cợ ọ ệ ủa đa th c P(x) n u P(xứ ế 0) = 0
3/ Cho hai đa th c P(x) và Q(x). Ta nói r ng P(x) chia h t cho Q(x) n u t n tứ ằ ế ế ồ ại đa th c ứ
h(x) sao cho P(x) = h(x). Q(x). Khi đó đa th c Q(x)ứ là ưc cớ ủa đa th c P(x).ứ
4/ Hai đa th c P(x) và Q(x)ứ đưc g i là nguyên t cùng nhau n u P(x) và Q(x)ợ ọ ố ế không có
ưc chung bớ ậc dương
5/ Cho k là m t sộ ố nguyên d ng. Sươ xố0 đưc g i là nghi m b i k cợ ọ ệ ộ ủa đa th c P(x) nứ ếu
nh đa thưc P(x) chia hứ ết cho đa th c (x – xứ0)k nh ng không chia hư ết cho đa th c (x – ứ
x0)k+1
6/ Đa th c nguyên thuứ ỷ là đa th c v i h s nguyên và các h s c a nó là nguyên t ứ ớ ệ ố ệ ố ủ ố
cùng nhau.
II. CÁC TÍNH CHẤT C BƠN CẢ ỦA ĐA TH CỨ
Mệ nh đ 1ề : Gi sả ử P(x) và Q(x) là hai đa th c tuứ ỳ ý. Đặt h(x) = P(x) + Q(x). Khi đó h(x)
cũng là đa th c và ứ
deg h(x) = max{degP(x),degQ(x)} n u degP(x) ế
degQ(x)
deg h(x)
max{degP(x),degQ(x)} n u degP(x) = degQ(x)ế
Mệ nh đ 2ề : Gi sả ử P(x) và Q(x) là hai đa th c tuứ ỳ ý. Đặt h(x) = P(x).Q(x). Khi đó h(x)
cũng là đa th c và n u ứ ế
( ) 0, ( ) 0P x Q x
thì deg h(x) = degP(x) + degQ(x).
Mệ nh đ 3ề : Gi sả ử P(x) = h(x).Q(x), trong đó P(x) và Q(x) là các đa th c v i h s h u tứ ớ ệ ố ữ ỉ
