Các kỹ thuật giải toán tích phân

Chia sẻ: Nguyễn Hải Quân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

1.305
lượt xem 490
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Về mặt phương pháp luận thì các cách giải toán tích phân sau đây không phải là một phương pháp tính, mà nó chỉ mang tính chất là một kỹ thuật tính, hay kỹ thuật biến đổi, giúp chúng ta chuyển một tích phân phức tạp (chính tắc hoặc không chính tắc) về dạng đơn giản hơn (dạng chính tắc).Với tài liệu này các bạn học sinh có thể tự củng cố kiến thức, chuẩn bị tốt hơn cho các kỳ thi...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các kỹ thuật giải toán tích phân

C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN I. B ng các nguyên hàm thư ng g p  1 1 1  ax  b    cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c ax  b dx     c ,  1  a   1  dx 1 1  sin  ax  b  dx  cos  ax  b   c  ax  b  a ln ax  b  c c a 1 ax b 1 ax  b  tg  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   c e dx  e c a 1 1 ax  b m ax b  c  cotg  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   c m dx  a ln m dx 1 dx x 1 cotg  ax  b   c  sin  a  arctg  c 2  ax  b  a 2 2 a a x dx 1 dx ax 1  tg  ax  b   c  cos a ln c  2  ax  b  a 2 2 2a a  x x dx  ln  x  x 2  a 2   c x x  a2  x2  c  arcsin a dx  x arcsin a  2 2 x a dx x x x   arcsin c a2  x 2  c  arccos a dx  x arccos a  a 2 2 a x dx x 1 x x a  arctg a dx  x arctg a  2 ln  a  x2   c 2 x arccos  c  a a 2 2 x a 1 a  x2  a2 x xa dx arccotg a dx  xarccotg a  2 ln a  x2   c 2    ln c a x x x2  a2 dx ax  b 1 b   ln  ax  b dx   x  a  ln  ax  b  x  c  sin  ax  b   a ln tg c 2   x a2  x2 a2 dx ax  b 1 x  sin  ax  b   a ln tg a2  x2 dx  c   arcsin  c 2 a 2 2 eax  a sinbx  bcosbx  eax  a cos bx  b sin bx  eax sinbx dx  eax cos bx dx    c c a2  b2 a2  b2 1
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com II. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12 Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản n hất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm dx 1 x a dx 1 ax x a 1. Ví dụ 1: Chứng minh:  ln c;  ln c 2 2 2 2 2a x  a 2a a  x a x dx 11 1 1  dx dx  1 x  a x    Chứng minh:    dx      ln c  2 2 2a  x  a x  a  2a  x  a x  a  2a x  a a d a  x   1 1  dx dx 11 1 ax a       dx    ln c   2  x2 2a  a  x a  x  2a  a  x a  x  2a a  x dx  ln  x  x 2  a2   c  2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 2 2 x a    1 x  a 2 2   Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có:  ln x  x 2  a 2  c     2 2 x x a 2 2 1 x 1 x x a 1    1    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x a  x a  x x a x a x a x dx 1 a 3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: u  c (với tg u  )  2 2 a a x d  a tg u  x dx 1 1   , u   ,   a  a 1  tg u   a  du  a u  c Đ ặt tg u   2 2 22 2 2 a x dx x  4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng:  u  c (với sin u  , a > 0) a 2 2 a x d  a sin u  x dx Đặt sin u  ,u    ,         du  u  c  2 2   a 1  sin 2 u  a2  x2 2 a Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm dx x dx 1 x a   arctg  c và  arcsin  c (a > 0) nhưng sau đó không giống bất cứ 2 2 a a a 2 2 x a x nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x, arcsin x. Cách trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này. III. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN III.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN: 1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc: 2
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com m m 1 nk n xm  x n ; x m  x nk n x  xn ; 1 m m 1 1 1 1  x n ; x n ; nk n x x ; xn n n xm x nk xm 2. Biến đổi vi phân: dx  d (x ± 1)  d (x ± 2)  …  d (x ± p) adx  d (ax ± 1)  d (ax ± 2)  …  d (ax ± p) 1 x p    dx  d x  1  d x  2  L  d   a a a a III.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ  x 3  1  1 x3 1  dx    x 2  x  1  dx    dx  1. x 1 x  1 x 1  d  x  1 13 12 x  2  x  1 dx   x  x  x  ln x  1  c   x 1 3 2 1  4 x  7   7  4 x  7 dx x 4 x  7 dx = 4 2.  1 1 2 2 3 1 5 3    4 x  7  2  7  4 x  7  2  d  4 x  7   16  5  4 x  7  2  7  3  4 x  7  2   c  16   d  2 x  10  dx 1 1 x  c 3. I 17   arctg   2x 2  5   2 2 5  2 x   5   10 2 d 2x  2x dx 1 1 1 1 1  d 2x  c   x ln x  2 x + 5 ln 2  2 x  2 x  5 5ln 2   2 x 2  5  4. 5ln 2 2  5   cos 5 x  1  sin x dx   cos x 1  sin x  dx   1  sin x  cos x  cos x sin x  dx 3 2 3 5.   sin 3 x cos 4 x   1  sin 2 x  d  sin x    cos 3 xd  cos x   sin x  c  3 4 III.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI  x  1  x  2  x  3  x  4 3x 2  7x  5 7x  3 J1   dx ; J 2   dx ; J3   dx 2x  5 x2 xx 3 2 4x 2  9x  10 2x 2  3x  9 2x  5x  7x  10 J4   dx ;J5  dx ; J 6   dx  x  110 x 1 2x  1 x 3  3x 2  4x  9 2x 3  5x 2  11x  4 J7   dx ; J 8   dx  x  2 15  x  130 x 13 dx ; J10   x 12 5x  215 dx ; J11   x 2  3x  52x 133 dx 100 J9   x  3 3
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com x 2  3x  5 4 3     J12   2x 2  3 . 5  x  1 dx ; J13   dx ; J14   x 4 .9 2x 5  3 dx  2x  14 7 x9 x3 x J15   dx ; J16   dx ; J17   dx 4 x  x2 1 x  x2 1  2  3x  10 5 dx dx dx J18   ; J19   2 ; J 20   2        x  2  x  5 2 x  2 x2  3 x 2 x 6 x dx dx dx J 21   ; J 22   ; J 23   x   3x    2x   2 2 2 2 2  5 x2  3 3 x 7 7 x 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 e2x dx 1  ex dx e x  1 dx ; J 27  J 24  ; J 25  ; J 26  dx     1  ex ex  1 ex  1 1 0 0 0 2 2     1 1  ex 1 1  ex dx 1 1 e  x dx dx J 28  ; J 29   ; J30   2x ; J 31   dx x 1  e 2x  ex e3x 0 1 e 0e 0 0 ln 2 ln 4 1 e e 3x dx dx dx 1  ln x J32  ; J 33  ; J34   ; J35   dx   e x 3 x x x x e  4e 0 1 e 0 0 1 3 1 1 6   x 5 1  x 2 dx ; J 37   x 5 1  x 3 dx ; J38   x 3 1  x 2 dx J36   0 0 0 2 2  x  1 dx 1 1 1 1 dx dx ; J 42   e 2x 1  e x dx J39   ; J 40   ; J 41   4x  3 4x  2 x 4 x 0 0 0 0 BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2 A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI du 1 u du u   arctg  c 2 u c 1. 4. 2 2 a a a u du u du 1 ua  c a  0  u  arcsin ln c  2. 5. 2 2 a 2a u  a a a2  u2 du du 1 au  ln u  u 2  p  c  a ln c  3. 6. 2 2 2a a  u u 2 u p K ỹ năng biến đổi tam thức bậc 2: 2  b2  4ac  b 2 2 2. ax 2  bx  c    mx  n   p 2 1. ax  bx  c  a   x     4a 2  2a     B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN 4
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com dx  ax I. Dạng 1: A = 2 + bx + c dx dx 1 mx  n  ax   mx  n  1. Phương pháp: arctg c   2 2 mp p  p2  bx  c dx dx 1 mx  n  p  ax   mx  n  ln c   2 2 2mp mx  n  p 2  bx  c p 2. Các bài tập mẫu minh họa d  2 x  2 dx dx 2x  2  3 1 1 • A1  c  4x 2  8x  1    2x  2  2  3  2    ln 2 2x  2   3  2 2x  2  3 43 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: dx dx dx A1   ; A2   ; A3   2 ; 2 2 3x  4x  2 4x  6x  1 5x  8x  6 2 1 1 dx dx dx A4   7x 2  4x  3 ; A 5   6  3x  2x 2 ; A 6   4x 2  6x  3 1 0 0  mx + n  I I. Dạng 2: B =  ax 2 + bx + c dx   m 2ax  b  n  mb    mx  n  2a 2a  ax  1. Phương pháp: B  dx  dx  2 2  bx  c ax  bx  c     n  mb  A  d ax 2  bx  c m m mb   ln ax 2  bx  c   n   A    2 2a 2a  2a 2a  ax  bx  c   C ách 2: Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm) • N ếu mẫu có nghiệm kép x  x 0 t ức là ax 2  bx  c  a( x  x 0 ) 2   mx  n x   thì ta giả sử: ax  bx  c x  x0  x  x0 2 2 Q uy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm , .  mx  n    ax dx   ln x  x0  V ới ,  vừa tìm ta có: B  c 2 x  x0  bx  c • N ếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2 : ax 2  bx  c  a ( x  x1 )( x  x 2 ) thì ta giả sử   mx  n x   2 ax  bx  c x  x1 x  x2 5
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com Q uy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm , .  mx  n   ax dx   ln x  x1   ln x  x2  c V ới ,  vừa tìm ta có: B  2  bx  c 2. Các bài tập mẫu minh họa: 1 18 x  6   11 3 d x  1 18 x  6  d x  11 dx 2x + 3 dx   9 2  • B1 =  9x 2  6 x  1 3  9x 2  6x  1 2 9 9x  6x + 1 9x  6x  1 1 d  9 x 2  6 x  1 11 d  3x  1 2 11  ln 3x  1  c   9  9x 2  6x  1 9  3x  1 9  3x  1 2 9 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:  7  3x  dx  3x  4  dx  2  7 x  dx B1   4 x 2  6x  1 ; B 2   2x 2  7 x  9 ; B 3   5x 2  8x  4 ; dx  I II. Dạng 3: C = 2 ax + bx + c du  ln u  u 2  k  c  1. Phương pháp: Bổ đề: 2 u k Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau: dx dx 1 2 ln  mx  n    mx  n    C k c   m ax 2  bx  c  mx  n 2  k mx  n dx dx 1  p  0   C   arcsin m p ax 2  bx  c 2 p 2   mx  n  2. Các bài tập mẫu minh họa: 2 dx dx 1 5   x 5  45  c • C3   ln x     2 4 16 4 2 2 45 x  5 4 x  10 x  5  4 16 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: dx dx dx    C1  ; C2  ; C3  2 2 5  12x  4 2 x 2 3x  8x  1 7  8x  10x  mx + n  dx  I V. Dạng 4: D = ax 2 + bx + c 1. Phương pháp:   2 m d ax  bx  c  2ax  b  dx mb m mb dx  C    D   ax 2  bx  c 2a 2a 2a ax2  bx  c 2a ax 2  bx  c 2. Các bài tập mẫu minh họa: 6
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com 1 1 1  x  4 d x  x  2 d x dx   2  • D1 = x 2  4x  5 x 2  4x  5 x 2  4x  5 0 0 0 1 d  x 2  4x  5  1 1 1 dx   x 2  4x  5  2ln  x  2  x 2  4x  5   x 2  4x  5  2   2  20 0 x  2 1 0 3  10  10  5  2 ln  3  10   2 ln  2  5   10  5  2 ln 2 5 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:  5  4x  dx  3x  7  dx  8x  11 dx D1   ; D2   ; D3   2 2 2 3x  2x  1 2x  5x  1 9  6x  4x dx   px + q  V. Dạng 5: E = ax 2 + bx + c 1  dt 1 1  1. Phương pháp: Đặt px  q   p dx  ; x    q  . Khi đó: 2 t pt t   dt pt2 dx dt   px  q 1  E   2 2 2 ax  bx  c t  t   a 1  b 1    q    q  c t p2  t  p t  2. Các bài tập mẫu minh họa: x  2  t  1  3 t  1 x  3  t  1 1 dx   x - 1 . Đặt x  1   x  ; • E1 = 2 t t x 2 - 2x + 2  dt 2 dx  2  t  12 3  dt t 2 dx   x-1 1 Khi đó: E1   x 2  2x  2 2  t t 1  2  t t 1  2 2 1 t 1 1 dt 1 5 22 2    ln t  t 2  1    ln 1  2  ln  ln 2 2 1 5 t 1 12 12 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 2 3 3 dx dx dx   2x  3  3x  4   x 1 E1  ; E2  ; E3  2 2 x2  1 x  3x  1 2x  3x  7 1 2 2  mx + n  dx   px + q  V I. Dạng 6: F = ax 2 + bx + c 7
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com m px  q   n  mq    p  mx  n  dx p   F    px  q  1. Phương pháp:  dx  px  q  ax 2  bx  c ax 2  bx  c m mq  m mq  dx dx      px  q  F  n  C  n  E  p p p p 2 2 ax  bx  c     ax  bx  c 2. Các bài tập mẫu minh họa: 1 1 1  2 x  3 d x dx dx    x  1 F1   2   2I  J 2 x 2  2x  2  x  1 x 2  2 x  2 x  2x  2 0 0 0 1 1 1 dx 2 5 dx 2  ln  x  1   x  1  1    ln I 0 2 2 1 2  x  1  1 x  2x  2 0 0 x  0  t  1  1 1 x  1 t  1 dx   x  1 J . Đặt x  1    2 . Khi đó: t x2  2x  2 dx   dt 0  t2  12 1  dt t 2 1 dt 22 2  ln t  t 2  1 1  J   ln 2 2 1 5 1t 1  2 1t  1  2 t 1 12 1 12 t 2 9  4 5  2 5 22 2  F1  2I + J  2 ln  ln  ln 2  1  5  1  1 2 1 5 1  2 x  1  5 3 2 -3 2  x + 3  dx 2 2   dx  • F2 = 2  2x + 1 -x 2 - 4x - 3  2 x  1  x  4 x  3 2 -2 3 2 3 2 1 dx 5 dx 1 5    2x  1    I J 2  x  4x  3 2 2 2 2 2  x  4x  3 2 2 3 2 3 2 dx dx  3 2  arcsin  x  2    I   2 6 2 2 x  4x  3 1  x  2 2 2  x  2  t  1  3 3 2 dx 1 t  1 x  3  t  1   2x  1 J . Đặt 2 x  1   x  ; 2 2 t 2t   x2  4 x  3 2 dx   dt 2  t2  1 2 1 3  dt 2t 2 dt   J  2 2 1     5t  6t  1 1 1  1  2 1 1  3 1 3 1 2 4 t t t 1 3 1 3 1 dt 1 5t  3 1 2 1    a rc s in   a rc s in 3  a r c sin 4  2 2 2 5 5 5   5   t  5  3 2 1 2 1 2 8
http://ebooktoan.com/forum   5 Vậ y F2  1 I  5 J    arcsin 2  arcsin 1 2 2 12 2 3 4 3. Các bài tập dành cho b ạn đọc tự giải: 1 1 1  4x  7 dx  6  7x  dx  7  9x  dx  8  5x    2x  5   4x  3 F ; F2  ; F3  1 3x2  4x  2 x2  x  4 2x 2  x  1 0 0 0 xdx   ax V II. D ạ ng 7: G = + b  cx 2 + d 2 t2  d t dt 1. Phương pháp: Đặt t  cx 2  d  t 2  cx 2  d  x 2  ; x dx  c c t dt dt 1 1 1   Khi đ ó: G   2 A 2 2 c  a t 2  d  at   bc  ad  c c   b t  c   2. Các bài tập m ẫu minh họa: x  0  t  1  1 xdx  . Đặt t  6 x 2  1   x  1  t  7 . Khi đ ó:  • G1 =  2 2 5 - 2x 6x + 1  0 6 x dx  t dt    7 1 3 4 7 7 7 1 t dt 1 dt 1 1 4  t    G1     ln  ln    42  t 2 2  8 4  t  1 2 6 2 16 5 4  7  16  t   3 t 1 1   3. Các bài tập dành cho b ạn đọc tự giải: 2 2 1 x dx x dx x dx   4x  5x  8  7x  G1  ; G2  ; G3    2 5  x2 2 7  3x 2 2 2x2  1 3  11 1 1 0 dx   ax V III. D ạ ng 8: H = + b  cx 2 + d 2 1. Phương pháp: d td .dt Đ ặt xt  cx 2  d  x 2 t 2  cx 2  d  x 2   xdx  2  t 2  c 2 t c 2 td .dt  t 2  c  dx xdx dt   2  . Khi đ ó ta có:  xt  td  t  c  2 cx  d x t c 2 dx  dt  dt   ax   H A   2 bt   ad  bc   b  cx 2  d ad  b   t 2  c  2 2  t c  2. Các bài tập m ẫu minh họa: 9
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com x  3  t  2 3 x2  3 dx  3 2  . Đặt xt  x  3  t   • H1 = x  2  t  7  x 2 2 2 x -2 x +3  2 3 3t dt   và x 2 t 2  x 2  3  t 2  1 x 2  3  x 2  2  x dx   t 2  12 t 1 2 3t dt  t 2  1 dx x dx  dt   2 . Khi đó ta có: 3t  t  1 x  3 x  xt  2 t 1 2 2 3 2 2  15  14  2 5  2 3 t 2 5 dt 1 1 H1    ln  ln 2 2  15  14  2 5  2 2t  5 2 10 t 2  5 2 10 72 72 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 2 2 2 x2  5 dx dx H1   ; H2   ; H3   dx x2  2  3 x 2  1 5 x 2  2  x 2  3 x  2  x 2  3x  1 1 1 1  mx + n  dx   ax I X. Dạng 9: I = + b  cx 2 + d 2 xdx dx   ax   ax 1. Phương pháp: I  m n  mG  nH  b  cx2  d  b  cx 2  d 2 2 2. Các bài tập mẫu minh họa: 3 3  4  x  1  7  dx  4x + 3  dx  x   x  1  • I1 = - 2x - 4  3x 2 - 6x + 5 2 2 2  5 3  x  1  2   2 2 2 2 2  4u  7  du udu du  u  u  u  4 7  4J  7L  5 3u  2  5 3u  2  5  3u  2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 t2  2 udu tdt . Đặt t  3u 2  2  u 2   u X ét J   udu   5  3u 2  2 3 3 2 1 14 2 14 14 udu tdt dt 1 t  17 J    t 2  17  t   t 2  17  2 ln  u 2  5 2 17 t  17 3u  2 1 5 5 5    17  14  17  5  17  5  1 17  14 1  ln  ln  ln   17  5  2 17  17  14  17  5  2 17  17  14 2 du 2 . Đặt ut  3u 2  2  u 2 t 2  3u 2  2  u 2   u X ét L  2  5 3u 2  2 t 3 2 1 2  2 tdt  t 2  3   2tdt du udu dt . Khi đó:  udu     2 2t  t  3  u  ut   t 2  3 2 2 t 3 2 3u  2 10
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com 14 2 14 2 2 du dt dt  u   L    17  5t 2  5  3u  2  2  5   t 2  3 2 2 2  1 2 2  t 3  14 2  70  2 17   2 5  17  1 1 17  t 5 1   ln  ln  70  2 17  2 5  17  5 2 17 17  t 5 2 85 2  17  14    17  5  70  2 17  2 5  17  4 7  I1  4J  7L  ln ln  17  14  17  5  2 85  70  2 17  2 5  17  2 17 6 1 6 -1  2  x  1  1 dx  2x + 1  dx    • I2 =  x 2 + 2x + 6  2x 2 + 4x - 1  x  12  5 2  x  12  3   2 1 2 -1 6 6 6  2u  1 du udu du  u  u  u  2   2J  L  5 2u  3  5 2u  3  5  2u 2  3 2 2 2 2 2 2 2 2 6 t2  3 udu tdt . Đặt t  2u 2  3  u 2   u X ét J   udu   5  2u 2  3 2 2 2 2 6 3 3 udu tdt dt 2 3 1  u  t t J     arctg  arctg   13 t 2  5 2u  3 2  13 2 2 13  13 13  1 1 2 6 3 du . Đặt ut  2u 2  3  u 2 t 2  2u 2  3  u 2   u X ét L  2  t2  5  2u  3 2 2 2 2 3tdt  2  t 2  3tdt du udu dt  udu      . Khi đó: 3t  2  t 2 2u 2  3 u  ut   2  t 2 2 2  t2 36 36 36 6 du dt dt 1 dt  u    L    2 13 2  5 2u2  3 3 51  13  5t 2  5  2  t2  t 2 12 1 2 2  2 5  2t  3 6  26  5  13 5  t 1 1 1 78  3 5  ln   ln  ln  2 65  26  5  5 2 13 5 13 5  t 78  3 5   1 2  78  3 5   26  5  4 3 1 1 I 2  2J  L   arctg  arctg  ln  78  3 5  26  5  13  13 13  2 65 B ÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO T ÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC 11
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com Các bài tập mẫu minh họa: 1  x  5   x  2 1 x2 11 1 dx   x  2 x + 5   7  dx     dx  ln c  • A1 =  x  2 x  5 7  x 5 x  5 7 x5  x  4   x  5 1 dx   x  5 x + 2 x + 4  9   x  5  x  2 x  4 dx  A2 = 1  x  2   x  5 1  x  4   x  2 1 1 1     x  5  x  2   x  2  x  4  dx  63   x  5  x  2 dx  18   x  2  x  4 dx  9  x 5 1 x 4 11 1 11 1 1   x  5  x  2  dx  18   x  4  x  2  dx  63 ln x  2  18 ln x  2  c  63     II. DẠNG 2: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ KHÔNG ĐỒNG BẬC 1. Các bài tập mẫu minh họa: 1 x 2   x 2  3 dx 1  xdx dx  dx        dx   2   B1 =  x  x  3 3 x  x  3 3 2 2 3 x 3 x x  3x 1  1 d  x 2  3 1 x2  3 dx  1  1  2        ln x  3  ln x   c  ln c x2  3 x2 3 2 x  32 6  1 x 4   x 4 10  dx 1  xdx dx  dx        dx   4  3 • B2 = x x  10 10 x x  10 3 4 3 4 7 3 10  x  10 x  10x x d  x2  dx  1  1 1 x 2  10 1 1  x     ln 2  2 c    10 x  10 x  10  2 3 22 x  20    10   2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: dx dx dx dx dx x     B1  ; B2  9 ; B3  11 ; B4  6 ; B5  7 3 4 5  5x x  7x x  8x x  9x x  13x dx dx dx x   B6  ; B7  3 ; B8  4 3 2 2 x  4x  6x2  7x  4 3  6x  19x  22 x  3x  14x  12 III. DẠNG 3: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 4  x2  1   x 2  1 dx 1 1 x 1 1 dx   x   x2  1 x2  1 dx  4 ln x  1  2 arctgx  c   C1 =  1 x2  1 4 2 2 x 1 d  x2  1   2  1 x2  1 1 1 1 xdx   x    2  d x  ln 2 c C 2 = 2  1 x 2  1 4 2 x 1 2 4  x 1 x 1 4 x 1  x 2  1  x 2  1 x 2 dx 1 1 1 1    dx    2  2  dx C 3 = x 2  1 x 2  1 x4  1 2 2  x 1 x 1 1 dx 1 dx 1 x 1 1 x x    ln  a rc tg x  c 2 2 2 1 2 4 x 1 2 1 12
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com x 3 dx 1 d  x 4  1 1  ln x 4  1  c    • C4 = x4  1 x4  1 4 4  x4 1 1 x4 dx dx 1 x 1 1 x   x  dx  dx   x  C1  x  ln  arctgx  c C5 = 4 4 4 4 x 1 2 1 x 1 1 d  x2  1 1 xdx arctg  x 2   c x  x   C 6 = 2 4 2 2  1 +1 2 1 d  x 4  1 1 x 3 dx ln x 4  1  c     C7 = 4 x4 + 1 4 4 x 1 1   d x 1 x 1  2 1 2 x2  1 1 x x x dx     dx   ln c C8 =  2 4 1 x 1  2  1   2 2 2 2 x +1 2 x2 x x x x  1  12 d x1 x2  1 x2 + 1 1 x x dx     dx   arctg c • C9 = 2 x4 + 1 x 2  12  1   2 2 2 x2 x x x  x 2  1   x 2  1 1  x2  1 x2  1  1 dx      dx  dx  dx  C 10 = 4 x4  1 x4  1  4 x +1 2 2  x 1 1 1 x2  x 2  1  x2  1 1 1  C9  C8    arctg   ln 2 c 2 2 x  x 2 1  2 x2 22    x 2  1   x 2  1 1  x2  1 x2  1  x 2 dx 1      dx  dx  dx  C 11 =  x4  1 2  x4  1 x4  1  x4 + 1 2 1 1 x2  x 2  1  x2  1 1 1  C9  C8     arctg  ln 2 c 2 2 x  x 2 1  2 x2 22    x 4  1  1 1 1 x2  x 2  1  x2 1 x 4 dx 1    dx  x   arctg  ln 2 c C12 = 2 2 x 2 2 2 x  x 2 1  x4  1 x4 + 1   1  1  dx  d x 1    x2 - 1 dx  x2  x      C13 =  2 x 4  5x3  4x2  5x + 1 x2  1  5 x  1  4 x  1  5x  1  6 x2 x x x 1 x 2  6x  1 du du 11 1 u       du  ln 2 c  u  6  u  1 7  u  6 u  1  2 7    5u  6 x  x 1  x 2  1   x2  1 x2 1 x 2 1 1  1 dx x     dx  dx  4 dx  • C14 = 4 x4  x2 1 2  x  x2 1 x  x2 1  4 + x2 + 1 2 13
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com   1  1  dx  1  1  dx        d x 1 d x1 1  2    1 x2   x x x             2 2 2   x2  1   1  x 2  1   1 4      x1 x 1  1 3     x2  x2       x x     x  1 1 x  1 1 x2  1 1 x2  x  1 1 1 x  ln x  arctg c arctg  ln 2 c 4 x  1 1 x 3 4 x  x 1 23 3 23 x IV. DẠNG 4: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 3 d  x  1 dx dx x   x  1  x   x  1  x  1   • D1 =  x  1 3 2 2  3  x  1  3 1    t 2  3t  3   t 2  3t   t  3  dt  1  dt dt 1  t t  t  t 2  3t  3 dt  3   t   t 2  3t  3     3t  3 2 3    1 x 2  2x  1 1  dt 1  2t  3 dt 3 1 2x  1 dt      ln 2  arctg c    2 2 3  t 2 t  3t  3 2 t  3t  3  6 x  x 1 2 3 3 d  x  1 dx dx      • D2 =  x  1  x 2  x  1 3  x  1  x  12  3  x  1  3 x +1    t 2  3t  3   t 2  3t   t  3  dt  1  dt dt 1  t  t 2  3t  3  t  t 2  3t  3 dt  3   t   t 2  3t  3    3   1  dt 1 d  t 2  3t  3 3  dt        t 2  3t  3 2 3 t 2 2 3  t3    2  4 t2 1 x 2  2x  1 11 2t  3  1 2x  1  ln 2  3arctg   c  ln 2  arctg c 3  2 t  3t  3 6 x  x 1 3 23 3  x 2  x  1   x  1 2 xdx 1 xdx     x  1  x 2  x  1 dx   • D3 =  x  1  x  x  1 3 3 2 x 1 1  dx 1  2x  1 dx 3  dx 11 x 1       dx      2   3  x  1 2 x2  x  1 2 2 3  x 1 x  x 1 2  3   x 1    2 2   1 1 2x  1   ln x  1  ln x 2  x  1  3arctg c 3 2 3  x 2  x  1   x  12 xdx 1 xdx     x  1  x 2  x  1 dx   • D4 =  x 2  x  1 3 3  x  1 x +1 1  2x  1 dx 3 1  dx  1  1 x 1  dx      2  dx       3  x  1 2 x2  x  1 2 2 3  x 1 x  x 1 2  3  x  1     2 2  14
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com 1 x2  2x 1 1 1  1 2x 1 2x 1 ln x  1  ln x2  x  1  3arctg   c  ln 2  arctg c   3 2 6 x  x 1 3 3 3 V. DẠNG 5: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 6 dx 1  dx dx  1 dx  x 3  1  x 3  1   2  D1  D 2  x  x     • E1 =  1 x  1 6 3 3 2 1  1  1 x 2  2x  1 2x  1   2x  1   1 x 2  2x  1 1 1   ln 2  arctg    ln 2  arctg  2  6   3  6 x  x 1 2 3 x  x 1 2 3 3     x 2  2x  1  x 2  x  1 1  1 2x  1 2x 1   ln   arctg  arctg c 12  x  2x  1  x  x  1 4 3  2 2 3 3 d x2  1 1 du 1 xdx x  x     D1 • E2 = 3 3 6 2 2 u 1 2  1 1 2 1  1 u2  2u 1 1 x4  2x2 1 2x2 1 2u 1 1 1   ln 2  arctg  c  ln 4 2  arctg c  2  6 u  u 1 2 3 12 x  x 1 2 3 3 3 x 2 dx 1 d  x 3  1 1 x 3  1 1 x3  1      ln 3  c  ln 3 c E3 = x6  1 3 x6  1 3 2 x  1 6 x 1 x 3 dx 1 x 2 d  x 2  1 udu 1 udu         • E4 = 2 u  1 2  u  1  u 2  u  1 6 3 6 x 1 2 x 1  u  12 x 4  2x 2  1 2x 2  1 1 1 2u  1 1 1  ln 2  arctg  c  ln 4  arctg c x  x2  1 2 3 12 u  u  1 2 3 12 3 3  x 4  x 2 1   x 2 1  2 x 4 dx dx dx dx    x2 1  x4  x2  1 dx   x2 1   x4  x2 1  2 x6 1   E5 = x6  1  x2  2x  1  x 2  x  1 x2 1  1 1 2x  1 2x  1  ln   arctg  arctg  arctg c 12  x2  2x  1 x 2  x  1 2 3  3 3 x 3 x 5 dx 1 d  x 6  1  ln x 6  1  c    • E6 = 6 x6  1 6 6 x 1  x 6  1  1 x 6 dx dx    x  dx  dx   x  E1 • E7 = 6 6 x6  1 x 1 1  x  2x  1  x 2  x  1 2 1 1 2x  1 2x  1  x ln 2  arctg  arctg c  x  2x  1 x 2  x  1 4 3  12 3 3  1   1  2  dx  x 2  1 x 2  1 dx  x 2  1 dx x4  1 x  • E8 =  6 dx   2  x  1 x 4  x 2  1  x 4  x 2  1   x 2  1   1   x +1   x2   15
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com   d x1 x 1  3 x2  x 3 1 1 1 x x    ln c ln 2 c 2 1   3 2 2 3 x  1  3   2 3 x  x 3 1 x x x  x 4  x 2  1  x 2 x 2 dx x4 + 1 dx    x 2  1 x 4  x 2  1 dx   2  6 dx  • E9 = x6 + 1 x 1 x 1 1 d  x3  dx 1  arctgx  arctg  x 3   c     2 6 x 1 3 x 1 3 1  x 4  1   x 4  1 1 dx dx   E 9  E8       E 10 = 6 6 x +1 2 2 x 1 1 x  x 3 1  2 1 1   arctgx  arctg  x 3   ln 2 c 2 x  x 3 1  3 23   1 d  x3  1 d x2  1 d x3  1 x2 + x  D 2 (thay x2 vào D2 )     dx    • E11 = 3 x6  1 2 x6  1 3 x6  1 2 x6 + 1 1  1 x 4  2x 2  1 2x 2  1  1 1  arctg  x 3    ln 4  arctg c x  x2  1 3 26 23 3 VI. DẠNG 6: SỦ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR • Đ a thức Pn (x) bậc n có khai triển Taylor tại điểm x  a là:  P n a  Pn  a  P   a   x  a 2      n  x  a n x  a  n Pn  x   Pn  a   1! 2! n! 1. Các bài tập mẫu minh họa: 3x 4  5x 3 + 7x  8 dx . Đặt P4  x   3x 4  5x 3  7x  8  • F1 =  x + 2 50   P 3  2 P 4  2 P4  2 P  2   x  22  4  x  23  4  x  24  P4  x  P4  2   x  2  4 1! 2! 3! 4! 2 3 4  P4  x   66  149  x  2   48  x  2   29  x  2   3  x  2  2 3 4 66  149  x  2  48  x  2   29  x  2   3  x  2   F  dx 1  x  250 50 49 48 47 46   66  x  2  149  x  2   48  x  2   29  x  2   3  x  2   dx    66 149 48 29 3      c 49 48 47 46 45 49  x  2 48  x  2  47  x  2  46  x  2  45  x  2  VII. DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO 1. Các bài tập mẫu minh họa: 16
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com 1  3x99  5  3x99 3x98 dx  1  dx dx dx      dx      • G1 =  x  3x99  5 5 x  3x99  5 3x99  5  3x 100 + 5x 5 x 1  dx 1 d  3x99  5  1  x 99 1 1  99       ln x  ln 3x  5   c  ln 99 c 3x99  5  5  5  x 99 99 495 3x  5   2x50  7  2x50 2x49 dx  1 1 dx dx  x  2x  x  2x50  72 dx     G2 =  7  x  2x50  7  2x50  72  2 7 +7  50    2x50  7  2x50 1 1 2x49 dx  1  dx 2x 49 dx  1 2x49 dx  x  2x50  7 dx       50      2x50  72  49  x 2x  7  7  2x50  72 7 7   1  dx 1 d  2x50  7  1 d  2x50  7        2x50  7  350  2x50  72 49  x 50 x50 1 1 1 1 1 ln 2x50  7   ln x   ln 50  c 350  2x  7 49.50 2x  7 350  2x50  7 50 49 49.50  ax n  b   ax n 1 d  ax n  b  1 1 dx dx  x  ax  x  ax n  b k dx   b x  ax n  b k 1 nb   ax n  b k   G3 = k b + b n d  ax n  b  1 d  ax n  b  1 dx 1  x  ax  2 nb  ax n  b k 1 nb   ax n  b k     b2 k 2  b n 1 1 1 1 1   k ln ax n  b   c  ln x      b k  1  ax n  b  b bk n b  k  1   ax n  b k 1   xn 1 1 1 1   ln       k 1 c  ax n  b   k ax n  b n b  k  1   ax n  b k  1 nb b    1  x 2000  dx 1  x 2000   2 x 2000 2 x 1999 dx dx   dx    G 4 = x  1 + x 2000  x 1  x 2000  1  x 2000  x d 1  x 2000  x 1000 dx 1 1 2000   1  x 2000   ln x  1000 ln 1  x  c  ln 1  x 2000  c  x 1000 x10 d  x10   x10  3   3 x10 .10 x 9 dx x 19 dx 1 1 1 d  x10  3   3 + x   3  x    G 5 = = 10 2 10 2 10 2 2 10 10 10  3  x   3  x 10 1  d  x10  3  d  x10  3   1 3 ln 3  x10     3  c   3  x10  10 10  2 10  10 3 x 3  x 10     2x 50  3   3 x 50 .x 49 dx x 99 dx 1   2x 50  3 7 d  2 x  3  50   2x   2x   G 6 = 7 7 200  3  3 50 50 1  d  2x 50  3  d  2x 50  3   1  1 1     3   c  7  6 6 5 200   2x 50  3   2x 50  3   200  5  2x 50  3  2  2x 50  3      1 2  2x 50  3   5 1  4x 50   c c 200 10  2x 50  3 6 6 2000  2x 50  3  17
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com  ax n  b   b x n x n 1 dx x 2n-1 dx 1   ax n  b k d  ax  b  n   ax   ax   • G7 = k na 2 k + b  b n n 1  d  axn  b d  axn  b  1  1 b     b  2  c  k k1  2 k 1 k2 na   axn  b  axn  b  na  k  2  axn  b  k  1  axn  b    1 b  k  2    k  1  ax n  b   kax n  b  2 c c na  k  1  k  2   ax n  b k 1 k 1 na 2  k  1  k  2   ax n  b  2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: x5  x xdx dx xdx dx ; G****  x x x x x G1  ; G2  dx ; G 3  ; G4  5 8 8 8 8 8 1 1 1 1 1 VIII. DẠNG 8: KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC 10  3x  5 10  3x  5  dx   x + 2  dx   • H1 =   x  2   x  2 2 12 10 11 1  3x  5   3x  5  1  3x  5     d   c   11  x  2   x  2  121  x  2  99 99 7x  1 99  7x  1  dx 1  7x  1   7x  1    2x + 1   dx     d • H2 =    2 101  2x  1   2x  1 9  2x  1   2x  1  100 100 1 1  7x  1  1  7x  1    c c     9 100  2x  1  900  2x  1  dx 1 1 dx dx   x + 3       • H3 = 5 5 6  x  5 2 5 3  x  3   x  5  x  5   x + 5  x  5 x 3 8 5 x 6   x  3   x  5   1 1 1 1   x 3 6   u  1 du  u    d x5  7 27 5 5 x5 x  3   2 x 5 u 6  6u 5  15u 4  20u 3  15u 2  6u  1 1   du 27 u5 1 15 20 15 6 1    u  6  u  2  3  4  5  du 27  u u u u 1  u2   6u  15 ln u  20  152  2  1 4   c  7 3 u 2u 2 2 u 4u  2 1 1 x  3   6  x  3   15 ln x  3       27  2 x  5 x5 x5 2 3 4     c 1    2x  5    x 5 15 x  5  1 x 5   20 x  3  2 x  3 27 x 3 4 x3  18
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: dx dx dx   3x  2   2x 1   3x + 2 • H1 = ; H2 = ; H3 = 7 3 3 4 5  4x - 14  3x + 4  3x - 1 B ÀI 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG 1. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON  a  b n  Cn a n  Cn a n 1b  ...  Cn a n  k b k  ...  Cn 1 ab n 1  Cn b n 0 1 k n n n! k và m!  1.2....  m  1 m với qui ước 0!  1 trong đó Cn  k ! n  k  ! 2. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC 1 1  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   c dx dx 1 1  tg  ax  b   c   cotg  ax  b   c  cos  sin 2 2  ax  b  a  ax  b  a B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN n n   sinx  dx ; A1.2  cosx  dx  I. Dạng 1: A1.1 = 1. Công thức hạ bậc 1  cos 2x 1  cos 2x  sin 3x  3 sin x cos 3x  3 cos x sin2 x  ;cos2 x  ; sin3 x  ;cos3 x  2 2 4 4 2. Phương pháp 2 .1. N ếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc 2 .2. N ếu n  3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo 2.3. 2 .3. N ếu 3  n l ẻ (n  2p  1) thì thực hiện biến đổi: p 2p n 2p+1 dx   sin x  sin xdx   1  cos 2 x  d  cos x  A1.1 =  sinx  dx =  sinx      k p 0     C p  C p cos x  ...    1 C p  cos x   ...    1  C p  cos x   d  cos x  k p 1 2 k 2 p 2     1k k   1p p 0 2 p 1  11 2 k 1 3 C p  cos x  C p  cos x     C p cos x  C p cos x  ...   ...  c 3 2k  1 2p  1     1  sin 2 x  p d  sin x  2p n 2p+1 A1.2 =  cosx  dx =  cosx  dx   cos x  cos xdx      19
C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com k p    C 0  C 1 sin 2 x  ...    1  C k  sin 2 x   ...    1  C p  sin 2 x   d  sin x  k p p  p p p   1k k   1p p  2 p 1  1 2 k 1   C 0 sin x  C 1 sin 3 x  ...  C p  sin x  C p  sin x   ...  c p p 3 2k  1 2p  1   3  cos 2 x 3 dx    1  cos 2 x  dx • A1 = cos 6 xdx =     2   1 1  cos 2x 3 dx  1  1  3cos 2x  3cos 2x  cos 2x  dx 2 3   4 4 3 1  2 cos 4x  cos 3x  3cos x  1    1  3 cos 2x    dx 4 2 4  1 1    7x  6 sin 2x  3sin 4x  sin 3x  3sin x   c 16  3  1 1  cos 2 5 x 4 d  cos 5 x  8 9 • A2 =  sin5x  dx   sin 5 x   sin 5 x  dx      5 1  1  4 cos 5x  6 cos 5x  4 cos 5x  cos 5x  d  cos 5x  2 4 6 8  5 1 4 6 4 1  3 5 7 9    cos 5x  cos 5x  cos 5x  cos 5x  cos 5x   c 5 3 5 7 9  I I. Dạng 2: B = sin m x cos n x dx  (m, n N) 1. Phương pháp: 1 .1. Trường hợp 1: m, n là các số nguyên a. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng. b. N ếu m chẵn, n lẻ (n 2p  1) thì biến đổi: p m 2p m m 2p+1 dx   sin x   cos x cos xdx   sin x 1  sin2 x d  sin x B =  sinx  cosx     k p m 0    sin x  Cp  Cp sin x  ...   1 Cp  sin x   ...   1 Cp  sin x   d  sin x   kk pp 1 2 2 2     0  sin x m1 m3 2k 1 m 2p1 m  1  sin x  k k  sin x  p p  sin x   ...   1 Cp  ...   1 Cp Cp  Cp c  m 1 m3 2k  1  m 2p  1  m     c. N ếu m chẵn, n lẻ (n 2p 1) thì biến đổi: p  cosx n dx   cos x n  sin x 2 p sin xdx    cos x n 1  cos2 x d  cos x 2p+1 B =  sinx     k p n 0     cos x  Cp  Cp cos x  ...   1 Cp  cos x   ...   1 Cp  cos x   d  cosx   kk pp 1 2 2 2     0  cosx n 1 n 3 2k 1 n 2p 1 n  1  cosx  k k  cos x  p p  cos x   ...   1 Cp  ...   1 Cp  Cp  Cp  c n 1 n 3 2k  1  n 2p  1  n     d. N ếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn. 1 .2. Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u  sinx ta có: 20