1
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
I. ｂ󰹄ｮｧ＠｣￡｣＠ｮｧｵｹ￪ｮ＠ｨ￠ｭ＠ｴｨư󰹾ｮｧ＠ｧ󰹘ｰ＠
1
1
1
1
ax b
ax bdx c,
a


1
cos ax bdx sin ax b
a
c
1dx
ln ax b c
ax b
a
c
1
a
1
ax bax b
edx e c
a
1
tg ax bdx ln cos ax b c
a
1
ax bax b
mdx m c
aln m
1
cotg ax bdx ln sin ax b c
a
2 2
1dx x
arctg c
a a
a x
2
1dx
cotg ax b c
a
sin ax b
2 2
1
2
dx a x
ln c
a a x
a x
2
1dx
tg ax b c
a
cos ax b
2 2
2 2
dx
ln x x a c
x a
2 2
x x
arcsin dx xarcsin a x c
a a
2 2
dx x
arcsin c
a
a x
2 2
x x
arccos dx xarccos a x c
a a
2 2
1dx x
arccos c
a a
x x a
2 2
2
x x a
arctg dx xarctg ln a x c
a a
2 2
2 2
1dx a x a
ln c
a x
x x a
2 2
2
x x a
arc cotg dx xarccotg ln a x c
a a
b
ln ax bdx xln ax b x c
a
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a
2 2 2
2 2
2 2
x a x a x
a x dx arcsin
c
a
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a
2 2
ax
ax
easinbx bcosbx
esinbx dx c
a b
2 2
ax
ax
eacosbx bsinbx
ecos bx dx c
a b
ｃ󰹺ｮｧ＠đ󰹴ｮｧ＠ｨ󰹮｣＠ｴ󰹎ｰ＠ｴｲ󰺒｣＠ｴｵｹ󰹠ｮ＠Ｍ＠ｃｵｮｧｈｯ｣ｔ｡ｰＮｃｯｭ
ｃ󰹺ｮｧ＠đ󰹴ｮｧ＠ｨ󰹮｣＠ｴ󰹎ｰ＠ｴｲ󰺒｣＠ｴｵｹ󰹠ｮ＠Ｍ＠ｃｵｮｧｈｯ｣ｔ｡ｰＮｃｯｭ
2
II. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12
Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại
bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản
nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm
1. Ví dụ 1:
Chứng minh:
2 2
d x 1 x a
l n c
2 a xa
x a
;
2 2
d x 1 a x
l n c
2 a ax
a x
Chứng minh:
22
d x 1 1 1 1 d x d x 1 x a
d x l n c
2 a x a x a 2 a x a x a 2 a xa
x a
2 2
dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x
dx l n c
2a a x a x 2a a x a x 2a a x
a x
2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
2 2
2 2
d x
lnx x a
x a
c
Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có:
2 2
2 2
2 2
1 x a
l n x x a c
x x a
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 x 1 x x a 1
1
x x a x a x x a x a x a
3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
2 2
dx 1
u c
a
a x
(với
x
tgua
)
Đặt
x
tgua
,
u
,
2 2
2 2 2 2
d a t g u
dx 1 1
du u c
a a
a x a 1 tg u
4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
2 2
dx
u c
a x
(với
x
sin ua
, a > 0)
Đặt
x
sin ua
,u
,
2 2
2 2 2 2
d x d a sin u
du u c
a x a 1 sin u
Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm
2 2
d x 1 x
a r c t g c
a a
a x
và
2 2
d x x
a r c s i n c
a
a x
(a > 0) nhưng sau đó không giống bất cứ
nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x , arcsin x . Cách
t r ì n h b à y t r ê n đ ể kh ắ c p h ụ c l ệ n h c ấ m n à y.
III. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN
III.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN:
1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc:
ｃ󰹺ｮｧ＠đ󰹴ｮｧ＠ｨ󰹮｣＠ｴ󰹎ｰ＠ｴｲ󰺒｣＠ｴｵｹ󰹠ｮ＠Ｍ＠ｃｵｮｧｈｯ｣ｔ｡ｰＮｃｯｭ
3
1
n
n
x x
;
m m
n
n k
m m
nn k
x x ; x x
1
n
n
nn
1 1
x ; x
xx
;
m
n
nm
1
x
x
;
m
nk
nkm
1
x
x
2. Biến đổi vi phân:
dx
d(x ± 1)
d(x ± 2)
…
d(x ± p)
adx
d(ax ± 1)
d(ax ± 2)
…
d(ax ± p)
x p
1x 1 x 2
dx d d d
a a a
a
L
III.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ
1.
3
dx
1
x
x
32
1 1 1
dx 1 dx
1 1
xx x
x x
2 3 2
11 1
1dx l n 1
1 3 2
dx
x x x x x x c
x
2.
1
4 7 dx = 4 7 7 4 7 dx
4
x x x x
3 5 31
2 2 2 2
1 1 22
4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7
1 6 1 6 53
x x d x x x c
3.
17 2 2
2
d 2
d 1
2 5 2
2 5
x
x
Ixx
1 10
arctg 5
10
x c
4.
x
d x 1 2 1 1 1 1 2
2l n
l n 25ln25ln2
2 + 5 2 2 5 2 5
2 2 5
x x
x
x x x
x x
d
d c
5.
53 2 3
cos
cos 1s i n 1sin cos cos s i n dx
1sin
xdx x x dx x x x x
x
3 4
2 3
sin cos
1sin sin cos cos sin
3 4
x x
x d x xd x x c
III.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI
1
x 1 x 2 x 3 x 4
Jd x
xx
;
2
7x 3
Jdx
2x 5
;
2
3
3x 7x 5
J
dx
x2
3 2 2 2
4 5 6 10
2x 5x 7x 1 0 4x 9x 10 2x 3 x 9
Jd x ;J d x ; J d x
x12x 1x1
3 2 3 2
7 8
15 3 0
x3x 4x 92x 5x 11x 4
Jdx ; J dx
x2x1
dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ
33
2
11
152
10
3100
9
ｃ󰹺ｮｧ＠đ󰹴ｮｧ＠ｨ󰹮｣＠ｴ󰹎ｰ＠ｴｲ󰺒｣＠ｴｵｹ󰹠ｮ＠Ｍ＠ｃｵｮｧｈｯ｣ｔ｡ｰＮｃｯｭ
4
24
3
2 4 5
59
12 13 14
4
7
x3x 5
J2x 3 . x 1 d x ; J d x ; J x . 2x 3d x
2x 1
9 3
15 16 17
4 2 2
10
5
x x x
Jdx ; J dx ; J dx
x x 1 x x 1
23x
18 19 20
2 2 2 2
dx dx dx
J ; J ; J
x 2 x 5
x 2 x 6 x 2 x 3
21 22 23
2 2 2 2 2 2
xdx dx dx
J ; J ; J
x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3
l n 2l n 2l n 2ln 2
2x x
x
24 25 26 27 x
x x
1 0 0 0
dx edx 1e
J ; J ; J e 1dx; J dx
1e
e 1 e 1
2 2
x x
1 1 1 1
x
28 29 30 31
x2x 2x x3x
0 0 0 0
1 e dx 1e
edx dx
J ; J ; J ; J dx
1 e 1 e e e e
l n 2ln 4 1 e
3x
32 3 3 34 35
x3x x x
0 0 0 1
dx dx edx 1l n x
J ; J; J ; Jdx
x
e e 4e 1e
3 1 1
6
5 2 5 3 3 2
36 37 38
0 0 0
J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx
2
x
1 1 1 1
2x x
39 40 41 42
x x x x
0 0 0 0
2 1 dx
dx dx
J ; J;J; J e 1 e dx
4 3 4 2 4
B À I 2 . T Í C H P H Â N C Á C H À M S Ố C Ó M Ẫ U S Ố C H Ứ A T A M T H Ứ C B Ậ C 2
A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI
1.
2 2
du 1 u
arctg c
a a
u a
4.
d u
2 u c
u
2.
2 2
du 1 u a
ln c
2a u a
u a
5.
2 2
du u
arcsin c a 0
a
a u
3.
2 2
du 1 a u
ln c
2a au
a u
6.
2
2
du
ln u u p c
u p
Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2:
1.
22
2
2
b b 4ac
ax bx c a x 2a 4a
2.
2
2 2
ax bx c mx n p
B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN
ｃ󰹺ｮｧ＠đ󰹴ｮｧ＠ｨ󰹮｣＠ｴ󰹎ｰ＠ｴｲ󰺒｣＠ｴｵｹ󰹠ｮ＠Ｍ＠ｃｵｮｧｈｯ｣ｔ｡ｰＮｃｯｭ
5
I. Dạng 1:
2
d x
A =
ax +bx + c
1. Phương pháp:
2 2 2
d x dx 1mx n
arctg c
mp p
ax bx cmx n p
2 2 2
mx n pd x dx 1
ln c
2mp mx n p
ax bx cmx n p
2. Các bài tập mẫu minh họa
•
12 2 2
2
d d 1 d 2 2 1 2 2 3
l n
2
4 8 1 432 2 3
2 2 3 2 2 3
x x x x
A c
x x x
xx
12
dx
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
A
3x
4x 2
;
23
2 2
dx dx
A ; A;
4x 6x 15x 8x 6
2 1 1
4 5 6
2 2 2
1 0 0
dx dx dx
A ; A;A
7x 4x 3 6 3x 2x 4x 6x 3
II. Dạng 2:
2
mx+ n
B = dx
ax +bx + c
1. Phương pháp:
2 2
mmb
2ax b n
m x n2a 2a
Bdx dx
ax bx cax bx c
2
2
dax bx c
mmb
n A
2a 2a
a x b x c
2
m mb
ln ax bx c n A
2a 2a
Cách 2:
Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm)
• Nếu mẫu có nghiệm kép
0
x
x
tức là
2 2
0
( )
ax bx c a x x
thì ta giả sử:
2 2
00
mx n
x
x x
ax bx cx x
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm
,
.
Với
,
vừa tìm ta có:
2
mx n
Bdx
ax bx c
l n
0
0
x x c
x x
• Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,xx
:
2
1 2
()( )
ax bx c a x x x x
thì ta giả sử
2
1 2
mx n
x
x x x x
ax bx c