Các phương pháp đặc biệt giải phương trình, hệ phương trình

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:221

Thêm vào BST

Báo xấu

1.520
lượt xem 301
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'các phương pháp đặc biệt giải phương trình, hệ phương trình', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các phương pháp đặc biệt giải phương trình, hệ phương trình

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O S GIÁO D C ĐÀO T O HÒA BÌNH NGUY N VĂN M U (CH BIÊN) Đ NG HUY RU N, NGUY N MINH TU N K Y U TR I HÈ HÙNG VƯƠNG L N TH IV - 2008 HÒA BÌNH 18-21/2008
M cl c L i nói đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 Đ thi Olympic Toán h c Hùng vương 8 1.1 Olympic Toán h c Hùng vương l n th 1, năm 2005 . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Olympic Toán h c Hùng vương l n th 2, năm 2006 . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3, năm 2007 . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Olympic Toán h c Hùng vương l n th 4, năm 2008 . . . . . . . . . . . . 10 2 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương 12 2.1 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 1 . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 4 . . . . . . . . . . . . . 22 3 M t s phương pháp gi i toán 26 3.1 Phương pháp quy n p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.1 Nguyên lý quy n p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.2 Phương pháp ch ng minh b ng qui n p . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.3 V n d ng phương pháp qui n p đ gi i toán đ i s và s h c . . 28 3.1.4 V n d ng phương pháp quy n p đ gi i bài t p hình h c . . . . . 37 3.2 Phương pháp ph n ch ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1 Nguyên lý Dirichlet còn đư c phát bi u dư i nhi u d ng tương t khác: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2 V n d ng phương pháp ph n ch ng đ gi i toán . . . . . . . . . . 44 3.2.3 V n d ng phương pháp ph n ch ng đ gi i các bài toán không m um c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Phương pháp suy lu n tr c ti p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4 Phương pháp m nh đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2
M CL C 3 3.4.1 Khái ni m v logic m nh đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.2 Các phép toán m nh đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.3 Công th c c a logic m nh đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4.4 Các lu t c a logic m nh đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5 Phương pháp b ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.6 Phương pháp sơ đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.7 Phương pháp đ th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.7.1 M t s khái ni m và k t qu cơ b n c a lý thuy t đ th . . . . . 66 3.7.2 Phương pháp đ th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4 Phương pháp gi i phương trình và h phương trình 73 4.1 Phương pháp nghi m duy nh t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2 Phương pháp b t đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.3 Phương pháp đưa v h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.4 Phương pháp đ o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.5 Phương pháp s d ng các tính ch t đ c bi t c a h th c . . . . . . . . . 90 4.6 Phương pháp Lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.6.1 Cơ s lý thuy t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.6.2 Trình t l i gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.6.3 Ví d minh ho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.7 S d ng đ nh lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.8 S d ng đ nh lý Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.9 H phương trình d ng hoán v vòng quanh . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.10 Các phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.10.1 S d ng phép bi n đ i h qu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.10.2 S d ng tính ch t c a hàm s liên t c . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.10.3 Đ ng c p hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.10.4 S d ng hình h c, vectơ, to đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.10.5 S d ng hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5 S đ i x ng và m t s quy lu t c a phép nhân 139 5.1 S đ i x ng và m t s tính ch t liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.2 Nh n xét v m t s quy lu t trong b n c u chương . . . . . . . . . . . . 142 6 M t s phương pháp gi i bài toán chia h t 146
M CL C 4 6.1 Các s nguyên và các phép tính s nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.2 Các đ nh lý v chia h t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.3 Phép chia có dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.1 Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.2 S t n t i và duy nh t c a phép chia có dư . . . . . . . . . . . . 149 6.4 Phương pháp dùng phép chia có dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.5 Phương pháp đ ng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.5.1 Phép đ ng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.5.2 Phương pháp đ ng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.6 Phương pháp s d ng tính tu n hoàn khi nâng lên lũy th a . . . . . . . 161 6.6.1 S tu n hoàn c a các s dư khi nâng lên lũy th a . . . . . . . . . 161 6.6.2 Thu t toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.7 Phương pháp quy n p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.7.1 Nguyên lý quy n p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.7.2 Phương pháp ch ng minh b ng quy n p . . . . . . . . . . . . . . 166 6.7.3 V n d ng phương pháp quy n p đ gi i các bài toán chia h t . . . 168 6.8 Tiêu chu n chia h t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.8.1 Phương pháp đ ng dư v i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.8.2 Phương pháp dãy s dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.8.3 Phương pháp nhóm ch s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7 Bi u di n to đ c a các phép bi n hình ph ng 182 7.1 Các khái ni m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.1.1 Các khái ni m đã bi t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.1.2 Các khái ni m b sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.2 Bi u di n to đ c a phép bi n hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.2.1 Các đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.2.2 Ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.3 Phép bi n hình tuy n tính (affin) và các tính ch t . . . . . . . . . . . . . 190 7.3.1 Các đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 7.3.2 Các đ nh lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 7.4 Phép d i hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8 M t s phép bi n hình ph ng thư ng g p 196 8.1 Các phép d i hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
M CL C 5 8.1.1 Phép t nh ti n song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.1.2 Phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 8.1.3 Phép đ i x ng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 8.1.4 Phép đ i x ng tr c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 8.2 Phép v t và phép đ ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.2.1 Phép v t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.2.2 Phép đ ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.3 M t s phép bi n hình khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.3.1 Phép co tr c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.3.2 Phép ngh ch đ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.4 Bài t p áp d ng phép bi n hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.4.1 Bài t p lý thuy t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.4.2 S d ng phép bi n hình gi i bài t p hình h c . . . . . . . . . . . 215
L i nói đ u Trên b n mươi năm th c hi n "Chương trình đào t o và b i h c sinh năng khi u toán b c ph thông" là m t ch ng đư ng c a m t chu trình đ c bi t g n v i s kh i đ u, trư ng thành và ngày càng hoàn thi n xu t phát t m t mô hình đào t o năng khi u Tóan h c đ c bi t t i Đ i h c T ng h p Hà N i. Hư ng đào t o mũi nh n này mang tính đ t phá cao, đã đào t o ra các th h h c sinh có năng khi u trong lĩnh v c toán h c, tin h c và khoa h c t nhiên: V t lý, Hoá h c, Sinh h c và khoa h c s s ng. Trong đi u ki n thi u th n v v t ch t kéo dài qua nhi u th p k và tr i qua nhi u thách th c, chúng ta đã tìm ra hư ng đi phù h p, đã đi lên v ng ch c và n đ nh, đã tìm tòi, tích lu kinh nghi m và có nhi u sáng t o đáng ghi nh n. Các th h Th y và Trò đã đ nh hình và ti p c n v i th gi i văn minh tiên ti n và khoa h c hi n đ i, c p nh t thông tin, sáng t o phương pháp và t p dư t nghiên c u. G n v i vi c tích c c đ i m i phương pháp d y và h c, chương trình đào t o các h chuyên đang hư ng t i xây d ng h th ng chuyên đ , đang n l c và đã t ch c thành công Kỳ thi Olympic Toán qu c t l n th 48, năm 2007 t i Vi t Nam đã thành công t t đ p, đư c b n bè qu c t ca ng i. Sau g n n a th k hình thành và phát tri n, có th nói, giáo d c mũi nh n ph thông (giáo d c năng khi u) đã thu đư c nh ng thành t u r c r , đư c Nhà nư c đ u tư có hi u qu , đư c xã h i th a nh n và b n bè qu c t khâm ph c. Các đ i tuy n qu c gia tham d các kỳ thi Olympic qu c t có b dày thành tích mang tính n đ nh và có tính k th a. Đ c bi t, các trư ng THPT Chuyên các t nh khu v c mi n núi phía b c đã ti n nh ng bư c dài trên còn đư ng nâng cao ch t lư ng giáo d c và đào t o h c sinh gi i b c ph thông. Nhi u h c sinh đã dành các gi i cao t i các kỳ thi Olympic qu c t , Olympic khu v c và các kỳ thi h c sinh gi i qu c gia. T năm 2005, các trư ng THPT chuyên đã có sáng ki n t o ra m t tr i hè đ c thù, sân chơi văn hóa và khoa h c cho đ i ngũ các th y, các cô và h c sinh năng khi u thu c các trư ng THPT Chuyên các t nh khu v c mi n núi phía b c, đó là Tr i Hè Hùng Vương. Trong các n i dung sinh ho t c a tr i hè Hùng Vương đ i v i các môn Toán h c, V t lý, Sinh h c và Văn h c có các kỳ thi Olympic Hùng Vương. Kỳ thi trong khuôn kh ki n th c l p 10 ph thông như là m t s t p dư t c a các đ i tuy n chu n b hành trang cho các kỳ thi Olympic Hà N i m r ng, Olympic Singapore m r ng và kỳ thi h c sinh gi i qu c gia. H c sinh các l p năng khi u đã ti p thu t t các ki n th c cơ b n do H i đ ng c v n khoa h c là các giáo sư, các nhà khoa h c t các trư ng đ i h c và H i Toán h c Hà N i cung c p. Các ki n th c này đã đư c cân nh c n m trong khuôn kh các ki n th c nâng cao đ i v i các l p chuyên toán - tin, v t lý, sinh h c ... V i mong mu n t o đi u ki n cho các th y giáo, cô giáo và đông đ o các em h c sinh 6
M CL C 7 gi i toán và yêu môn toán, chúng tôi vi t cu n k y u nh này nh m cung c p các tư li u v toán h c qua b n kỳ Olympic Hùng Vương và h th ng m t s ki n th c b tr g n v i n i dung chương trình l p 10. Hy v ng r ng, các th y, các cô, các em h c sinh s tìm th y nh ng đi u b ích t cu n tư li u này. Chúng tôi xin chân thành c m ơn Ban T ch c Tr i hè Hùng Vương, xin c m ơn S Giáo D c Đào T o Hòa Bình, c m ơn các trư ng THPT Chuyên t các t nh khu v c mi n núi phía b c, các đơn v tài tr đã t o đi u ki n đ cu n K y u k p ra m t k p th i ngay trong th i gian t ch c h i th o t i thành ph Hòa Bình. Vì th i gian r t g p gáp, không có đi u ki n hi u đính chi ti t nên ch c ch n cu n k y u này còn nhi u khi m khuy t v n i dung và hình th c. Chúng tôi cũng xin chân thành c m ơn các b n đ c cho nh ng ý ki n đóng góp đ cu n k y u đư c hoàn ch nh. Các ý ki n đóng góp xin g i v Trư ng THPT Chuyên Hoàng Văn Th , thành ph Hòa Bình. Thay m t Ban C v n chuyên môn GS TSKH Nguy n Văn M u
Chương 1 Đ thi Olympic Toán h c Hùng vương 1.1 Olympic Toán h c Hùng vương l n th 1, năm 2005 Câu 1. Các s nguyên dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 l p thành m t c p s c ng tăng. H i l p đư c bao nhiêu c p s c ng tho mãn đi u ki n a1 > 50 và a5 < 100? Câu 2. Các s nguyên dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 l p thành m t c p s nhân tăng. H i l p đư c bao nhiêu c p s nhân tho mãn đi u ki n a5 < 100? Câu 3. Các s dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 tho mãn các đi u ki n (i) 2a1 , 2a2 , 2a3 , 2a4 , 2a5 là các s nguyên dương, (ii) a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 99. Tìm giá tr l n nh t c a tích P = a1 a2 a3 a4 a5 . Câu 4. Gi s tam th c b c hai f (x) luôn luôn dương v i m i x. Ch ng minh r ng f (x) vi t đư c dư i d ng t ng bình phương c a hai nh th c b c nh t. Câu 5. Gi s hàm trùng phương g(x) = x4 + bx2 + c luôn luôn dương v i m i x. Ch ng minh r ng g(x) vi t đư c dư i d ng t ng bình phương c a hai tam th c b c hai. Câu 6. Cho hình vuông ABCD. Tìm qu tích các đi m M thu c hình vuông (ph n bên trong và biên c a hình vuông) sao cho di n tích các tam giác M AB và M AC b ng nhau. Câu 7. Cho hình vuông ABCD. Gi s E là trung đi m c nh CD và F là m t đi m bên trong hình vuông. Xác đ nh v trí đi m Q thu c c nh AB sao cho AQE = BQF . 8
1.2. Olympic Toán h c Hùng vương l n th 2, năm 2006 9 1.2 Olympic Toán h c Hùng vương l n th 2, năm 2006 Câu 1. S đo các góc trong c a m t ngũ giác l i có t l 2 : 3 : 3 : 5 : 5. S đo c a góc nh nh t b ng [(A)] 200 , [(B)] 400 , [(C)] 600 , [(D)] 800 [(E)] 900 . Câu 2. Cho a = 0. Gi i h phương trình  x2005 + y 2005 + z 2005 = a2005  x2006 + y 2006 + z 2006 = a2006  2007 x + y 2007 + z 2007 = a2007 .  Câu 3. Xác đ nh b s dương a, b, c sao cho ax9 y 12 + by 9 z 9 + cz 11 x8 15x4 y 8 z 7 , ∀x > 0, y > 0, z > 0. Câu 4. Cho tam giác ABC và đi m M thu c BC. Xét hình bình hành AP M N , trong đó P thu c AB và N thu c AC và hình bình hành ABDC v i đư ng chéo AD và BC. O là giao đi m c a BN và CP . Ch ng minh r ng P M O = N M O khi và ch khi BDM = CDM . Câu 5. Cho s dương M . Xét các tam th c b c hai g(x) = x2 + ax + b có nghiêm th c x1 , x2 và các h s tho mãn đi u ki n max{|a|, |b|, 1} = M. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c (1 + |x1 |)(1 + |x2 |). 1.3 Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3, năm 2007 Câu 1. M t đa giác l i có nhi u nh t là bao nhiêu góc nh n? (A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5; (E) 6. Câu 2. M t đa giác l i có nhi u nh t là bao nhiêu góc không tù? (A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5; (E) 6. Câu 3. Xác đ nh hai ch s t n cùng c a s sau M = 23 + 202006 + 2002007 + 20062008 ?
1.4. Olympic Toán h c Hùng vương l n th 4, năm 2008 10 (A) 04; (B) 34; (C) 24; (D) 14; (E) Khác các đáp s đã nêu. Câu 4. Có n viên bi trong h p đư c g n nhãn l n lư t là 1, 2, . . . , n. Ngư i ta l y ra m t viên bi thì t ng các nhãn c a s bi còn l i là 5048. H i viên bi đó đư c g n nhãn là s nào? (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4; (E) 5. Câu 5. Cho s t nhiên abc chia h t cho 37. Ch ng minh r ng các s bca và cab cũng chia h t cho 37. Câu 6. Cho 0 < a 2. Gi i h phương trình sau x + 1 = ay      x  1 y + = az   y   1 z + = ax.  z Câu 7. Cho hình bình hành ABCD có AB < BC. Đư ng phân giác BP c a góc ∠ABC c t AD P . Bi t r ng ∆P BC là tam giác cân, P B = P C = 6cm và P D = 5cm. Tính đ dài các c nh c a hình bình hành. Câu 8. Ch ng minh r ng tam th c b c hai g(x) = 3x2 − 2ax + b có nghi m khi và ch khi t n t i b s α, β, γ sao cho a=α+β+γ b = αβ + βγ + γα. Câu 9. Cho ba s dương a1 , a2 , a3 . Các s nguyên α1 , α2 , α3 và β1 , β2 , β3 cho trư c tho mãn các đi u ki n a1 α1 + a2 α2 + a3 α3 = 0 a1 β1 + a2 β2 + a3 β3 = 0. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M = a1 xα1 y β1 + a2 xα2 y β2 + a3 xα3 y β3 , x > 0, y > 0. Câu 10. Tính 1 1 M= π + . cos 5 cos 3π 5 1.4 Olympic Toán h c Hùng vương l n th 4, năm 2008 Câu 1. Hai ch s t n cùng c a s M = 22008 là
1.4. Olympic Toán h c Hùng vương l n th 4, năm 2008 11 (A) 16, (B) 36, (C) 56, (D) 76, (E) không ph i là các đáp s trên Câu 2. Cho m, n là các s nguyên dương sao cho s A = m2 + 5mn + 9n2 có ch s t n cùng b ng 0. Khi đó hai ch s t n cùng c a A là (A) 00, (B) 20, (C) 40, (D) 60, (E) không ph i là các đáp s trên Câu 3. H i có bao nhiêu s nguyên t 1 đ n 2008 đ ng th i không chia h t cho 2, 3 và 5? Câu 4. Gi i h phương trình sau  x + xy + y = 5  y + yz + z = 11  z + zx + x = 7  Câu 5. Có th tìm đư c hay không năm s nguyên sao cho các t ng c a t ng c p trong năm s đó l p thành mư i s nguyên liên ti p? Câu 6. Ch ng minh r ng t n t i s t nhiên A có 4 ch s t n cùng là 2008 và chia h t cho 2009. Câu 7. Xét hình thoi ABCD c nh b ng a. G i r1 , r2 l n lư t là bán kính các đư ng tròn ngo i ti p các tam giác ABD, ABC. Ch ng minh r ng giá tr c a bi u th c a 2 a 2 + r1 r2 luôn luôn không đ i. Câu 8. Gi i phương trình sau √ 4x2 + 2 = 3 4x3 + x 3 Câu 9. Cho ba s th c x, y, z th a mãn đi u ki n x2 + y 2 + z 2 + xy + yz + zx = 25. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c T = x2 + 3y 2 + 9z 2 .
Chương 2 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương 2.1 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 1 Câu 1. Các s nguyên dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 l p thành m t c p s c ng tăng. Có bao nhiêu c p s c ng tho mãn đi u ki n a1 > 50, a5 < 100? Gi i. Ta có a5 = a1 + 4d v i d nguyên dương sao cho a1 > 50 (2.1) a1 + 4d < 100 N u d 13 thì a5 > 50 + 4.13 > 100. V y, 1 d 12. T đây ta có tính toán c th cho t ng trư ng h p: d = 1. Có 45 dãy. d = 2. Có 41 dãy. d = 3. Có 37 dãy. d = 4. Có 33 dãy. d = 5. Có 29 dãy. d = 6. Có 25 dãy. d = 7. Có 21 dãy. d = 8. Có 17 dãy. 12
2.1. Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 1 13 d = 9. Có 13 dãy. d = 10. Có 9 dãy. d = 11. Có 5 dãy. d = 12. Có 1 dãy. Có 1 + 5 + 9 + · · · 41 + 45 = (1 + 45) × 6 = 276 dãy. Cách khác: Sau khi ch ng minh 1 d 12, ta xây d ng công th c t ng quát 12 S = 49 × 12 − 4 d d=1 và thu đư c S = 276. Câu 2. Các s nguyên dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 l p thành m t c p s nhân tăng. Có bao nhiêu c p s nhân tho mãn đi u ki n a5 < 100? n Gi i. Gi s là công b i c a c p s nhân tho mãn đi u ki n bài toán, n > m, m n4 (m, n) = 1. Khi đó a5 = a1 4 , nên a1 = km4 v i k nguyên dương. Các s h ng c a c p m s nhân đó là km4 , km3 n, km2 n2 , kmn3 , kn4 . N u n > 4 thì kn4 n4 > 256 > 100. Vì v y n = 2 và n = 3. n = 3 và m = 2 thì 81k < 100 nên k = 1. Có m t c p s (16, 24, 36, 54, 81). n = 3 và m = 1 thì 81k < 100 nên k = 1. Có m t c p s (1, 3, 9, 27, 81). n = 2 và m = 1 thì 16k < 100 nên k = 1, 2, . . . , 6. Có 6 c p s : (1, 2, . . .), (2, 4, . . .), (3, 6, . . .), (4, 8, . . .), (5, 10, . . .), (6, 12, . . .). V y t ng c ng có 8 c p s nhân tho mãn đi u ki n a5 < 100. Câu 3. Các s dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 tho mãn các đi u ki n (i) 2a1 , 2a2 , 2a3 , 2a4 , 2a5 là các s nguyên dương (ii) a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 99.
2.1. Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 1 14 Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a tích P = a1 a2 a3 a4 a5 ? Gi i. Vi t bài toán dư i d ng Các s nguyên dương x1 , x2 , x3 , x4 , x5 tho mãn các đi u ki n x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 198. 1 Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a tích P = xxxxx? 25 1 2 3 4 5 3.198 Không gi m t ng quát, gi s x1 ≤ x2 ··· x5 . Khi đó x3 +x4 +x5 = 118. 5 N u x3 + x4 + x5 = 118 thì x1 + x2 = 40. D th y vô lý. N u x3 + x4 + x5 = 119 thì cũng không x y ra. Do v y, ta xét x3 + x4 + x5 120. áp dung b t d ng th c Cauchy, ta có 5 40(x1 + x2 ) + 39(x3 + x4 + x5 ) (40x1 )(40x2 )(39x3 )(39x4 )(39x5 ) 5 40(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ) − (x3 + x4 + x5 ) = 5 40 × 198 − 120 = 1560. 5 T đó suy ra Pmax = 3042000 khi a1 = a2 = 19, 5 và a3 = a4 = a5 = 20. Câu 4. Gi s tam th c b c hai f (x) luôn dương v i m i x. Ch ng minh r ng f (x) vi t đư c dư i d ng t ng bình phương c a hai nh th c b c nh t. Gi i. Theo gi thi t, ta có f (x) = ax2 + bx + c > 0, ∀x ∈ R. Suy ra √ b 2 −∆ f (x) = ax + √ + > 0, ∀x ∈ R. a 4a S d ng đ ng nh t th c A+B 2 A−B 2 A2 + B 2 = √ + √ , 2 2 ta có ngay đi u ph i ch ng minh. Câu 5. Gi s hàm trùng phương g(x) = x4 + bx2 + c luôn luôn dương v i m i x. Ch ng minh r ng g(x) vi t đư c dư i d ng t ng bình phương c a hai tam th c b c hai. Gi i. Nh n xét r ng c > 0.
2.2. Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 15 Khi ∆ < 0, ta nh n đư c k t qu như Câu 4. √ Khi ∆ ≥ 0 t c là b2 − 4c ≥ 0 hay b − 2 c ≥ 0, khi đó ta s d ng bi n đ i sau √ √ g(x) = (x2 + c)2 + (b − 2 c)x2 . Câu 6. Cho hình vuông ABCD. Tìm qu tích các đi m M thu c hình vuông (ph n bên trong và biên c a hình vuông) sao cho di n tích các tam giác M AB và M AC b ng nhau. Gi i. Gi s t n t i đi m M tho mãn yêu c u bài toán. N i AM , ký ki u I là giao đi m c a AM v i BC. H các đư ng BH, CK vuông góc v i AM. 1) Xét trư ng h p M thu c tam giác ABC. T gi thi t suy ra BH = CK. Do đó, ta có hai tam giác b ng nhau BHI = CKI. V y, I c n ph i n m trên đo n th ng AI. Ngư c l i, d dàng chưng minh đư c r ng, n u M ∈ AI thì S(M AB) = S(M AC). 2) Xét trư ng h p M thu c tam giác ADC. T gi thi t suy ra BH = CK. Do đó, M ∈ AD. V y, M c n ph i n m trên c nh AD. Ngư c l i, d dàng ch ng minh đư c r ng n u M ∈ AD thì hai tam giác M AB và M AC có di n tích b ng nhau. Câu 7. Cho hình vuông ABCD. Gi s E là trung đi m c nh CD và F là m t đi m bên trong hình vuông. Xác đ nh v trí đi m Q thu c c nh AB sao cho AQE = BQF . Gi i. Gi s t n t i đi m Q ∈ AB tho mãn đi u ki n bài toán. Ký hi u P là đi m gi a c nh AB và K là chân đư ng vuông góc c a F lên AB. Xét trư ng h p K ∈ P B. D dàng ch ng minh Q ∈ P B. G i F là đi m đ i x ng c a F qua AB. D dàng th y r ng F QB = F QB. Suy ra AQE = B QF . Do đó, ba đi m E, Q, F th ng hàng. Hay, Q là giao đi m c a EF v i AB. Xét trư ng h p K ∈ AP. D dàng ch ng minh Q ∈ AP. Tương t như trư ng h p trên, ta ch ng minh đư c Q là giao đi m c a EF v i AB. 2.2 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 Câu 1. S đo các góc trong c a m t ngũ giác l i có t l 2 : 3 : 3 : 5 : 5. S đo c a góc nh nh t b ng [(A)] 200 , [(B)] 400 , [(C)] 600 , [(D)] 800 [(E)] 900 . Gi i. [(C)]. T ng các góc trong c a ngũ giác l i có s đo b ng 5400 . Khi đó 2x + 3x + 3x + 5x + 5x = 5400 .
2.2. Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 16 Suy ra x = 300 . V y, s đo góc nh nh t b ng 600 . Câu 2. Cho a = 0. Gi i h phương trình  x2005 + y 2005 + z 2005 = a2005  x2006 + y 2006 + z 2006 = a2006  2007 x + y 2007 + z 2007 = a2007 .  Gi i. Trư c h t ta gi i h phương trình  x2005 + y 2005 + z 2005 = 1  x2006 + y 2006 + z 2006 = 1 (2.2)  2007 x + y 2007 + z 2007 = 1.  T phương trình th 2 trong h (2.2) d dàng suy ra x, y, z ∈ [−1, 1] . Tr phương trình th 2 cho phương trình th ba trong h đó ta thu đư c x2006 (1 − x) + y 2006 (1 − y) + z 2006 (1 − z) = .0 D dàng suy ra x = 0, 1; y = 0, 1; z = 0, 1. Th l i ta đư c ba nghi m c a h (2.2) là (x, y, z) = (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1). Bây gi ta gi i bài toán. Đ t x y z x =, y = , z = . a a a Khi đó (x , y , z ) là nghi m c a phương trình (2.2). V y nghi m c a bài toán là (x, y, z) = (a, 0, 0); (0, a, 0); (0, 0, a). Câu 3. Xác đ nh b s dương a, b, c sao cho ax9 y 12 + by 9 z 9 + cz 11 x8 15x4 y 8 z 7 , ∀x > 0, y > 0, z > 0. Gi i. S d ng b t đ ng th c gi a các trung bình c ng và nhân au + bv + cw (ua v b wc )1/(a+b+c) , ∀a, b, c; u.v, w > 0. (2) a+b+c D u đ ng th c x y ra khi và ch khi u = v = w = 1. Ta c n ch n các s dương a, b, c sao cho đ ng th i x y ra 9 8  ax + b.1 + cx   x4 , ∀x > 0,     15    ay 12 + by 9 + c.1  y 8 , ∀y > 0,    15     a.1 + bz 9 + cz 11  z 7 , ∀z > 0.   15
2.2. Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 17 Theo (2) thì   a + b + c = 15   9a + 8c    =4 15  12a + 9b  =8 15    9b + 11c    = 7. 15 H phương trình tuy n tính này cho ta nghi m duy nh t a = 4, b = 8 và c = 3. Th các giá tr a, b, c vào v trái c a (1), ta thu đư c 4x9 y 12 + 8y 9 z 9 + 3z 11 x8 15x4 y 8 z 7 , ∀x > 0, y > 0, z > 0 là đúng. Th t v y, ta có 4x9 y 12 + 8y 9 z 9 + 3z 11 x8 = 15 (x9 y 12 + · · · + x9 y 12 ) + (y 9 z 9 + · · · + y 9 z 9 ) + (z 11 x8 + z 11 x8 + z 11 x8 ) 15 1/15 x4.9+3.8 y 4.12+8.9 z 8.9+3.11 = x4 y 8 z 7 , t c là 4x9 y 12 + 8y 9 z 9 + 3z 11 x8 15x4 y 8 z 7 , ∀x > 0, y > 0, z > 0, đi u ph i ch ng minh. Câu 4. Cho tam giác ABC và đi m M thu c BC. Xét hình bình hành AP M N , trong đó P thu c AB và N thu c AC và hình bình hành ABDC v i đư ng chéo AD và BC. O là giao đi m c a BN và CP . Ch ng minh r ng P M O = N M O khi và ch khi BDM = CDM . Gi i. Ta ch ng minh các đi m O, M, D th ng hàng. Gi s đư ng th ng ch a OM c t BD và CD l n lư t t i D1 và D2 tương ng. Ta ch ng minh D1 ≡ D2 ≡ D. G i K là giao đi m c a M P và BN , L là giao đi m c a M N và CP . Khi đó thì NK AP NL = = . NB AB NM Suy ra NK NL = . NB NM Do đó KL BC. V y nên OM OK OL OM = = = . OD1 OB OC OD2 Đi u đó ch ng t D1 ≡ D2 ≡ D hay các đi m O, M, D th ng hàng. Khi đó hi n nhiên M P O = N P O khi và ch khi BDP = CDP .
2.3. Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 18 Câu 5. Cho s dương M . Xét các tam th c b c hai g(x) = x2 + ax + b có nghiêm th c x1 , x2 và các h s tho mãn đi u ki n max{|a|, |b|, 1} = M. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c (1 + |x1 |)(1 + |x2 |). Gi i. Ta có √ √ −a − a2 − 4b −a + a2 − 4b x1 = , x2 = 2 2 và (1 + |x1 |)(1 + |x2 |) = 1 + |x1 x2 | + |x1 | + |x2 | = 1 + |b| + |x1 | + |x2 |. N ub 0 thì |x1 | + |x2 | = |x1 + x2 | = |a|. Do đó (1 + |x1 |)(1 + |x2 |) 1 + |b| + |a| 1 + 2M. (1) N u b < 0 thì x1 < 0, và x2 > 0. Khi đó √ a+a2 − 4b |x1 | = , 2 √ −a + a2 − 4b |x2 | = . 2 Suy ra √ √ |x1 | + |x2 | = a2 − 4b M 2 + 4M . Do đó √ (1 + |x1 |)(1 + |x2 |) 1+M + M 2 + 4M . (2) So sánh (1) và (2), ta thu đư c √ max[(1 + |x1 |)(1 + |x2 |)] = 1 + M + M 2 + 4M và đ t đư c khi a = ±M , b = −M . Lúc đó phương trình b c hai có d ng x2 ± M x − M = 0. 2.3 Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 Câu 1. M t đa giác l i có nhi u nh t là bao nhiêu góc nh n? (A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5; (E) 6. Gi i. (B) 3.
2.3. Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 19 Câu 2. M t đa giác l i có nhi u nh t là bao nhiêu góc không tù? (A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5; (E) 6. Gi i. (C) 4. Câu 3. Xác đ nh hai ch s t n cùng c a s sau M = 23 + 202006 + 2002007 + 20062008 ? (A) 04; (B) 34; (C) 24; (D) 14; (E) Khác các đáp s đã nêu. Gi i. (C) 24. Câu 4. Có n viên bi trong h p đư c g n nhãn l n lư t là 1, 2, . . . , n. Ngư i ta l y ra m t viên bi thì t ng các nhãn c a s bi còn l i là 5048. H i viên bi đó đư c g n nhãn là s nào? (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4; (E) 5. Gi i. (B) 2. Ta có n(n + 1) 1 + 2 + ··· + n = . 2 V y nên n(n + 1) − k = 5048 2 hay n(n + 1) − 2k = 10096. Ta có đ ng th c sau: 100.101 − 22 = 10096. Câu 5. Cho s t nhiên abc chia h t cho 37. Ch ng minh r ng các s bca và cab cũng chia h t cho 37. Gi i. Ta có, theo gi thi t thì . M = (100a + 10b + c) . 37 . và N = 11bca = 1100b + 110c + 11a. Suy ra . M + N = 111(a + 10b + c) . 37. . Ti p theo, ta có P = 101cab = 10100c + 1010a + 101b
2.3. Đáp án Olympic Toán h c Hùng vương l n th 3 20 nên . M + P = 111(a + b + 273c) . 37. . Câu 6. Cho 0 < a 2. Gi i h phương trình sau x + 1 = ay      x  1 y + = az   y   1 z + = ax.  z 1 Gi i. Ch c n xét x, y, z > 0. T bài ra, do x + 2, nên ch c n xét x, y, z 1. G i x x = max{x, y, z}. N uy z thì ax ay az nên 1 1 1 z+ x+ y+ . z x x Do x, y, z 1 nên 1 1 z x hay x z. Suy ra x = y = z và t đó ta có -N u0