Một số phương pháp đặc biệt giải toán trung học phổ thông - Cuốn 7: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ giải toán (Phần 2)

Chia sẻ: Liên Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

144
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1 tài liệu Phương pháp đặc biệt giải toán trung học phổ thông - Cuốn 7: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ giải toán, phần 2 giới thiệu tới người đọc các nội dung: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ giải bài toán về tính chất nghiệm, sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ giải bài toán về tính chất tham số. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số phương pháp đặc biệt giải toán trung học phổ thông - Cuốn 7: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ giải toán (Phần 2)

Bai tap 15: T u n m de he sau c6 nghiem duy nhat: 2 ' ' ' + l x l = y + x' +m CHUDE 2 Bai tap 16: T i m m de' he c6 nghiem duy nhat: S L T D U N G PHU'dNG P H A P D I E U K I E N C A N V A D U | X" - (2m + 1 )x + in " + 111 = 0 GIAI BAITOAN V E TINH CHAT NGHIEM X " - 3 x - m " +2m > 0 M6 D A U Bai lap 17: T i m m de he c6 nghiem duy nhat: IvTrong chu de nay sc minh hoa each str dung phuong phap dieu kien x^-3x--10x + 2 4 > 0 fC\n \ du giai bai toan v6 tinh chat nghiem cho phuong tiinh, bat x-+2(nr-l)x -2ni + 1 = 0 phuong tiinh, he phuo'ng irlnh va he bii'l phuong tiinh duoc chia lhanh Bai tap 18: T i m m de he sau c6 nghiem duy nhat: _ x'+2x + y ^ < 1 f hai dang: Duiii^ I : Giiii bai toan tinh chat cac nghiem cho phuong trinh. x- y +m=0 % Doii^ 2: Giai bai toan ve tap nghiem. Dang 3: Giai bai toan ve phuong trinh he qua Dan'g 4: Giai bai toan ve hai phuong trinh tuong duong
i d u 2: Xac d i n h m de phuang t r i n h : BAI TOAN 1 mx'-2(m+ l)x + m + 1 =0 (1) GlAI B A I T O A N V E TINH C H A T hai n g h i e m x, va X2 thoa m a n x, + X2 = 2. (*) C A C NGHIEM C H O PHLfaNG TRINH Gidi Dieu kien can: I. I ' H U O N C ; P H A P G i i i sir p h u a n g t r i n h c6 2 n g h i e m x,, X j t h u a man (*) k h i do: V o l yeu cau: X| + X 2 = 2(in + l) " Tim elicit kien ciia tluun so (i^ici si'f la ni) de pliii'cfiii^ Iriiili: m f(.\:m) = 0 • (1) 111 + 1 X|.X2 = 111 CO iii-liieni tlioci nidii liiili dial K " la llurc l i i c n ihco cac buoc sau: irdo: Biioc I: Dii'K kien can : Gia su p h u a n g l i i n h c6 n g h i e m thoa m a n (*)C:>(X, +X2)'-2X,X2 = 2 t i n h ehat K , k h i do ta c6: 4(111 + 1)' M ± l ) = 2 « m = - ^ . • He thiic V i e t e giua cac n g i i i e m . (I) m m • Bieu dien dieu k i e n K l i i o n g qua (I) Dieu kien du: V 6 i - - thay vao (1), ta dugc: • Suy ra dieu k i e n cho t h a m so. Biivv 2: Dieu kien di'i - Thuc hien phep i h u l a i . -1 ± V3 2x^ + 2x - 1 = 0 < = > x , 2 = , ihoa m a n (*) II. V i DU M I N H HOA Vay, v6i m = - - thoii m a n dieu k i e n dau bai. V i (lu 1: Xac d i n h m de phuang t i i n h : ( m + l)x^ - 2 ( m - 1 )x + m - 2 = 0. (6) V i d u 3: G i a su p h u a n g t r i n h : ax^ + bx + c = 0 CO hai n g h i e m x,, X2 thoa m a n 4(X| + X2) - TxiXj. (*) ;c6 hai n g h i e m x , , X2. C M R he thiic: Ciidi b^ + a^c + ac^ = 3abc Dicii kien can: Gia sir phuang irinh c6 2 ngliicm x,, x^ Ihoa man (*} klii do: la d i e u k i e n can va d i i de phuang t r i n h c6 mot n g h i e m bang b i n h 2(m-l) p h u a n g cua n g h i e m con l a i . 111 + 1 'Gidi m-2 X|.X, =• T h e o gia thiet ta dugc: m +1 [ii do: S= X| + X 2 = — /*\ A 2 ( i n - l ) -,111-2 , (I) (=*•) 4 . - ^ - 1 . m= -6. c Ill + 1 111 + 1 P = X|.X2 = - Dien kien dir. V a i m = 6 thay vao (1), ta dugc: : Xet bieu thuc: ["x, = 2 P = (X| - X ^ X X j - X ? ) = X | X 2 + X? x\j + X2) - 5x' + I4x - 8 = 0
icii kicn dir. V o l m = I thay vao ( 1 ) ta dugc: x ' - 2x' - X ^ 2 = 0 c:> (X - 1 )(x' - X - 2) = 0 Vay, neu "x, =1 O x, = 2 . b' + a"c + ac' - 3abc x, = - 1 till iiiot Hong hai thtra so ciia P pliai bang 0 va ngiroc lai (Dpcm). Vi clii 4: Gia su' phu'ong trinh: Ta CO X| + X , = 0 thoa man dieu kien. ax" + bx + c = 0 Vay, vol ni = 1 thoa man dieu kien dau bai. CO hai nghieni x,, x,. CMR he thtic: clu 6: Xiic dinh m de phuong trinh: (k-f ! ) ' a c - k b ' = 0 ( k 7 t O ) x ' - 3 m x ' - 3 x + 3m + 2 = 0 (1) la dieu kicn can va dii de phuong liinh' co mot nghieni bang k liin ba nghiem phan biet x,, x,, 'x„ thoa man x[ + x? + xj^>15. nghieni con hii. di (Jicii Dieu kien can: Gia sir phuong trinh co 3 nghiem phan biet x,, x^. x,. khi Theo gia thiet ta dugfc: do: X | + X2 + x^ = 3m X | +Xi = — a • X1X2 + X 2 X 3 + X 3 X 1 = -3 . (I) X|.X-, = - X1X2X3 = -3iii -2 a Khi do: Xet 15
Tru6c het (1) c6 3 nghiem phan biet Tuy nhien ton lai bai toan ma cac gia tri cua tham so tim duoc trong (2) CO 2 nghiem phan biet di^u kien can khong thoa man dieu kien du. 2. Bai toan tren c6 the duoc giai bang phuong phap hang so bat dinh, A,>0 _ 9iir + 6m + 9 > 0 (*) nhu sau: Phuang trlnh (1) c6 3 nghiem phan biet lap thanh cap so cong Vdfi dieu kien do (1) c6 3 nghiem phan biet x,, Xj, x, thoa man : ( 1 ) CO ba nghiem x,, - d, x,,, x,, + d, (d;^0). X| + X 2 +xi ^ 3m • X|X2 + X 2 X 3 +X3X1 = -3 . K h i do: X1X2X3 = -3m -2 x^ - 3x^ - 9x + m = [x - (x„ - d)](x - x„)[x - (x„ + d)] Khi do: = (x-x„)[(x-x„)^-d^] 15/l2 3a 3a -^'» xj = I . thoa man (*) • < » 2 b - - 9abc + 27aM = 0. (2) _X3 = 1 + Vl2 ' D o chinh la dieu kien can de (1) c6 3 nghiem lap thanh cap so cong. Vay, voi m = 11 thoa man dieu kien dau bai. Budc 2: Dieu kien du - Tliuc hien phep thu lai. Chu y: K f T u y: V d i cac em hoc sinh da tiep xuc voi kien thfc ve do thi ciia ham 1. Trong bai toan titn 6 dliu kien dii ta khang dinh duoc: ' s6' bac ba c6 the su dung dieu kien can ia " Diem udn thuoc true a. Phircng trlnh (1) c6 3 nghiem phan biet. hocinh", cu the: b. Ta CO X, + x, = 2X2, tiic la x,, Xj, x, lap thanh cap so cong. Do do CO ket luan m = 11 thoa man dieu kien dau bai. 70 71
DieII kien can: • V o i m = 3, la dugc: De phuang Irinh c6 ba nghiem phan biet voi hoanh do lap thanh cap x' + 2x' + 4x + 8 = 0 c:> ( X + 2)(x' + 4) = 0 o x = 0, so cong thi diem aon U cOa do thi ham so y = x ' - - 9x + m thuoc khong thoa man. true hoanh. • V o i m = - 5, ta dugc: o Yu = 0 o y,„ = 0 - 11 + m = 0 » m = 11 x' + 2x' - 4x - 8 = 0 ( X - 2)(x' + 4) - 0 o x = 0, DieII kien dir. khong thoa man. Voi m = 11, ta dugc: Vay, khong ton tai in thoa man diei: kien dau bai. x' - 3x- - 9x + 11 = 0 o (X - l ) ( x ' - 2x - 11) = 0 Chii y: Vay, de tim dieu kien ciia tham so ;:uo cho phuong tiinh: ax' + bx" + cx + d = 0, voi a ^ 0 (1) XT = 1 , thoii man (*) C O 3 nghiem x,, x,, x, lap thanh cap so nhan, ta thuc hien theo cac budc: X3 =1+ N/I2 lUi(')c I : Dieu kien can: Gia su phuong tnnh c6 ba nghiem phan biet lap thiinh cap so nhan, khi do: Vay, voi m = 11 thoa man dieu kien dau bai. _ 2 Vi till 8: Xac dinh m de phirang trlnh: XIX^ — Xo, b x' + 2x^ + (in + I ) x + 2{m + 1) = U (1) X| + X , + X, = — , tl C O ba nghiem phan biet lap thanh cap so nhan. X1X2 + X j X , + X 3 X , = - X j X , + X2X3 + X 2 = - Giai " a A Dieu kien can: Gia sir phuang trinh c6 ba nghiem phan biet lap thanh X,(X, + XT + X , ) = - XT = - f . cap so nhan, khi do: ' a " b X|X;, = X5 , Voi X , = - - thay vao (1) ta divgc: b X, + X2 + X , = -2, a(--^y + b ( - ^ ) ^ + c ( - f ) + d =0 b b b X|X, + X j X , + x,X| = m + 1 x,X2 + x , x , + =m+ 1 o > a c ' = bVi. (2) 111 +1 » X2(X| + X2 + X , ) = m + 1 x, = - Do chinh la dieu kien can de (1) c6 3 nghiem lap thanh cap so nhan. in +1 Voi X , = - thay vao (1) ta du^c: BiMc 2: Dieu kien di'i - Thuc hien phep thu lai. 111 + 1 ,1 T i d i i 9: Cho phuong tiinh: ( - i ^ ) ' + 2 ( - i ^ ) ^ ^ ( m + l ) ( - l ^ ) + 2(m + l ) = 0 •s/3 sinx + mcosx = 1 m = -1 Tim m de phuong trinli co 2 nghiem x„ X j e [0, 2n) sao cho x, + x, = •
N h u vay: 7t - T t l „ - / . 7 t , . 7 1 s i n x . c o s - + c o s x . s i n - = - ,sin(x + - ) = s i n - 111 cos a = 1 6 6 2 6 6 V3 . s i n ( — - a ) + m c o s ( — - a ) = 1 X + — = — + 2k7: X-2k7t r ^ l 0,271) X, =0 6 6 27t 27T X - + 2k7[ X2 =• 111 cos a = I - 7 3 sin a X + — = 71 + 2k7t 3 6 6 m ( - / I - cos a + V3 . — sin a) = , 1 - V3(— p; S cos a + - 1 sin a) I N h a n xet r i n g k h i do X| + Xj = y , do do m = 1 thoa m a n . cos a 1 - V3 sina V d i m = - 1 - De n^hi ban doc tifldm. - cos a + V3 sin a 2 - 3 cos a - sin u (2 - 3casa - S sina)co.sa = ( - cosa + -^3 sina)( 1 - S sina) II. BAI TAP Dfi N C H I 3 c o s 2 a + V3 s i n 2 a = 3cosa - S sina. Uailapl: Xac d i n h m de phuang t r i n h : x^ - 2 ( m - l ) x + m^ - 3 m + 4 = 0. y - c o s 2 a + ^ s i n 2 a = - y ^ c o s a - ^ s i n a CO hai n g h i e m x,, X2 thoa m a n xf + X2 = 20. cos2a.cos ^ + s i n 2 a . . s i n - = c o s a . c o s - -sina.cos- Bai tap 2: Cho phuang t r i n h : 6 6 6 6 ( m + i)x^ - 2 ( m - l ) x + m - 2 - 0. c:>cos(2a- - ) = co.s(a+ -) a. Xac d i n h m de tong binh phuang cac n g h i e m ciia phuang t r i n h 6 6 biing 2. K a = — b. X i i c d i n h m de phuang t r i n h c6 hai n g h i e m bang nhau ve t r i tuyet 2 a - — = a + - + 2k7r a = - + 2k7t 3 6 6 3 doi. a = 0 n 2k7x 2a - a - - + 2k7r a = c. Xac d i n h m de phuang t r i n h c6 hai n g h i e m x,, Xj thoa m a n 271 6 a = IX| - x,! = 1. 3 Bai tap 3: Cho phuang t r i n h : Vdri a = ^ , thay vao phuang t r i n h ta dugc: ( m + 2)x^ - 2 ( m - 1 )x + m - 2 = 0. a. T i m cac gia t r i ciia m de phuang t r i n h c6 2 n g h i e m phan biet V3 sin J + mcos ^ = 1 » m = - 1. c u n g dau. Vdfi a = 0, thay vao phuang t r i n h ta dugc: b. Xiic d i n h i n de ton? binh phuang ciic n g h i e m cua phuang t r i n h V3 sinO + mcosO = I « m = 1. bang 3. c. Xac d i n h m de phuang t r i n h c6 hai n g h i e m x,, Xj thoii m a n Vdi a = y , thay vao phuang t r i n h ta dugc: IX| - x , l = 2. fz • 2n 271 V3 sin ^ + mcos y = I
C O 3 nghiem phan bict x,, x,, x, lap thanh cap so cong Bai tap 6: Cho phuong trlnh: = B A ITOAN 2 = = X ' + ax" + bx + c = 0 GiAi BAI TOAN VE TAP NGHIEM C O 3 nghiem phan biet x „ x., x, . CMR 3 nghiem do lap thanh cap so cong khi va chi khi I . PHirONCJ P H A P 2a' - 9ab + 27c = 0. V6i yeu cau: Bai tap 7: Xac dinh m de phuang trlnh: " T\m i^ic'i Iri ci'ia tliam so m dc pliicoiii^ liinh, hat pluMn^ tdnh hogc lie ni^liicm diiiifi vt'fi moi x lliiioc " x ' - 8 x ' + ! 9 x - + 3,nx + 2 = 0 ta ihiic hien theo cac buoc: C O 4 nghiem x,, x,, x „ X4 thoa man Biroci: Dat dieu kien de cac bieu thiic cua phuong trlnh, bat X| + X , = X , + X4. phuong trlnh hoac he c6 nghla. Bii-c2: - Dieii kicn can: Gia su phuong trlnh, bat phuang trlnh hoac he nghiem dung voi V x c D suy ra no nghiem diiiig vci x„eD,. • Giiii bai toan voi x = x„ => gia tri cua tham so m,,. Biivc3: Dicii kicn dir. Thtfc hien phep kiem ira v6i x = x„. hi'i y: Vice chi ra gia tri x„eD^ difoc goi la phuong phiip sir dung diem ihuan loi trong viec tlm dieu kien can va: Hoan loan co the sir dung mot hoac nhieu diem thuan loi x,„ x,,... trong viec xac dinh dieu kien can. Voi cau hoi " Ncn lay nlullii^ }^id tri nao lie tap dc lam diem tliiujn lai " chi co the trii loi rang can su dung true giac va kinh nghiem cua tCing nguoi. Cac em hoc sinh can tich luy dan nhirng kinh nghiem nay thong qua cac v i du. I. V i I)U M I N H H O A i d i i 1: T m i m dt phirong trlnh sau nghiem diing Vx > - 2: l x - m l = x + 4. (1) iai icii kicn can: Phuang trlnh nghiem diing Vx > - 2 suy ra x = - 2 la ghiem cua (1), tiic la: "ill = 0 Im + 21 = 2 » -4 jn = Do chinh la dieu kicn can de phuang trlnh nghiem diing V x > - 2. ^icu kicn di'i • V o i m = 0, ta co: Ixl = X + 4. Nhan thay rang x O ^ r - 2 , ^S) knong phai lu nghiem cua ph'J'ang trlnh. do do, m - 0 khong thoa man. 77
ii. (2) nghiem diing V X G [ I , 3] • V 6 i m = ~ 4, ta c6: f(x) = 0 C O nghiem x,, x, thoa man x, < 1 < 3 < X j Ix + 41 = X + 4 diing vai x > - 2. J2ii + 1 6 < 0 Vay, vdri m = - 4 phuong tiinh nghiem diing Vx > - 2. {1[ aa ff (( 3l ))0 111- - 8 m - 1 2 8 > 0 Vi du 2: Tim m de bat phuong trinh sau nghiem diing V x e [ 1 , 3]: ag(l)>0 2m + 1 8 > 0 m > - I2x^ + mx + m + 1 5 l < 1. (1) S/2 0 4m + 34 > 0 S/2>3 -m>12 Dicii kien can: Bat phuong trinh nghiem dung V x e [ l , 3] nghiem dung vdi x = 1, x = 2, tiic la ta c6: Vay (1) nghiem diing V x e [ l , 3] khi m = - 8. I2m+I7l1 khong c6 nghiem tien [ 1 , 3j (1) « I2x' - 8x + 71 < 1 « - 1 < 2x' - 8x + 7 < 1 Bat phuong trinh I2x^ + mx + m + 151 < 1 nghiem diing voi V x e [ l , 3]. i du 3: T i m a, b, c de moi x e [ - 1, 1] luon c6: 2x^-8x + 8 > 0 (x-2)^>0 < » 1
T u (5), (6) suy ra b = ~ 3. Xet ham .so y = x - 1 + Vx^ - 2 m x tren doan [ ^ < ' ] Thay b = - 3 vao (1), (2) ta duac: |-2 < a + c < 0 Dao ham: a + c = 0a = -c. (7) X - 111 0 < a+c < 2 y' = 1- Vx" -2inx Thay b = - 3, a -• - c vao (3), (4) ta dugc: (0 J— +- = =U -^y-^y^^' 4 V16-2 V16 2 4 4 4 Dieu kien dir. Vay a = c = 0 va b = - 3, ta c6: X -- 1 + V x - - 2 i i i x > 0 ( 1 ) « I4x' - 3x1 < 1 - 1 < 4x' - 3x < 1 Vay, vai m < - 1 nghiem ciia bat phuang trinh chiia [ ^ - 1 ] • 4x-'-3x + l > 0 (x+l)(4x--4x + l)>0 ^ \ « - l < X < l . 4x -3x-l1 - X. (1) chua doan [ - , 11. Vi du 5: T i m m de bat phuang trinh 4 7(2 + x ) ( 4 - x ) < X' - 2x + m. (1) Giiii nghiem dung vdi moi X 6 [--2, 4]. Dieu kien can: Gia su ( 1 ) c6 nghiem V x e [ - , IJ x = - va x = 1 la Gidi 4 4 Dieu kien can: Gia sir ( 1 ) c6 nghiem V x e [ - 2 , 4] x = 1 la nghiem nghiem cua ( 1 ) , khi do: ciia (1), khi do: 111 < - 1 16 2 4 « 1 o m 4. Ill < — Vl-2m 2 Do la dieu kien can de bat phuang trinh nghiem diing V x e [ - 2. 4]. *ieii kien die Gia su m > 4, khi do: Do chinh la d i e u kien ciin de nghiem cua bat phuang trinh chua [ - , 1 ]. 4 ' • A p dung bat dang thiic Cosi cho ve trai, ta duac: Dieu kien du: Gia sir in< - 1 , khi do viet lai ( 1 ) c6 dang: VT^V(2^x)(4-x) 0 . 81
• Bien doi ve phai ve dang: Vay de (5) nghiem diing vai moi te [0, 3] VP = - 2x + m = (X - +m- 1>3 m > y(3) m > 4. Suy ra: Vay, v6i m > 4 thoa man dieu kien dau bai. V(2 + x ) ( 4 - x ) < x^ - 2x + m. Vi clu 6: Tun m de phuong trinh sau nghiem diing Vx > 0: Vay, vdi m>4 bat phircmg tiinh nghiem diing V x e [ - 2, 4J. Vx' + 2 x - n r + 2m + 4 = X + m - 2. (1) Chii y: Bai toan tren con c6 the dugc thirc hien biing cac each sau: Cchli J: Su dung phuong phap bien doi tuang duong. [Dieu kien cdir. Gia sii (1) c6 nghiem Vx>0 =i> x = 0 la nghiem Ciia (1), Bien doi bat phuong trinh ve dang: "khi do: x--2x + m>0 (2) m - 2 >0 (I) (1) V- m- + 2m + 4 = m - 2 (2 + x ) ( 4 - x ) < ( x ^ - 2 x + m)^ (3) -m~ + 2m + 4 = ( m - 2 r Vay (1) nghiem diing V x e [ - 2, 4] m = 3. (I) nghiem diing V x e [ - 2, 4] Do chinh la dieu kien can de phuong triuli nghiem diing vdi Vx>0. (2) nghiem diing Vx e [-2,4] )/('// kien dir. V d i m = 3, khi do (1) c6 dang: < o m > 4. , X>(1 (3) nghiem dung Vx e [-2,4] V x ' + 2 x + l = x + l x + l = x + l < = > 0 = 0 luon diing. Vay, voi m>4 thoa man dieu kien dau bai. Vay, voi m = 3 phuong trinh nghiem diing Vx>0. Ccic/i 2: Su dung phuong phap dat an phu ciing vdri tarn thiJc bac hai. f CVi/i y: V o i bai toan c6 nhieu hon mot tham so ta se thay tam quan Dat t = V(2 + x ) ( 4 - x ) , voi x e [ - 2, 4] ta nhan dugc dieu kien ciia t la Itrong ciia viec lira chon diem thuan loi cung v6i viec xac dinh cac gia tri 0
V i du 8: T i m a, b de phuang t r i n h sau n g h i e m d i i n g V x : Dien kien dir. V o i m = 1, k h i d o (1) c6 dang: aVx^ + I - Vx^ + bx + l = 0 . (1) ^2i'>S2'< = X V x - = X o> X = X l u o n d i i n g . Gicii V a y , v o i m = 1 p h u a n g t r i n h n g h i e m d i i n g v 6 i V x > 0. Dieu kien can: G i a sir (1) c6 n g h i e m V x => x = 0 la n g h i e m ciia ( 1 ) , k h i V i du 1 1 : T i m m de tap n g h i e m cua bat p h u a n g t r i n h : do: h-'-n-a'^' >\-T. ( l ) c : > a - l = 0 » a - l . -hlia doan [ - 2, 0 ] . Vol a = 1 : (!) Vx- + 1 = Vx- + bx + l x ' + 1 = x^ + bx + 1 at t = 2 \u k i e n i > 0. « bx = 0 S b = 0. K h i do voi x e [ - 2 , 0 ] V a y a = 1 va b = 0 la dieu kien ciJn de phuong trinh nghiem diing V x . Dieu kien dir. V a i a = 1 va b = 0, k h i d o ( 1 ) c6 dang: o2"-^m+ir ^ ^[^^ « V2 = com = 1 y'>0, h a m so l u o n d o n g bien D o c h i n h la d i e u k i e n can de p h u a n g t r i n h n g h i e m d i i n g vofi V x > 0.
Dieu kien dir. V d i m = - 8, ta c6: (1) o I2x' - 8x + 71 < 1 - 1 < 2x' - 8x + 7 < 1 t - 1 + Vt--2mt > 0 . 2x^-8x + 8 > 0 ix-2)^ >0 1 < x < 3 . Vay, voi m< - 1 nghiem ciia bat phuang trinh chua [ - , 11. 2x^-8x + 6 < 0 x^ - 4 x + 3 < 0 4 Chii y: Cung c6 the khong can su dung phuong phap dieu icien can va Vay. voi m - - 8 bat phuong trinh nghiem diing V x e [ l , 3]. dii Irong bai toan tren, cu the: yi du 14: T i m dieu kien ciia m de bat phuung tiinh: Bien ddi bat phuang trinh ve dang: Ig V(2 + x ) ( 4 - x ) ( i -t)^c:>f(t) = 2 ( m - l ) t + 1 < 0 (*) X', ghiem diing voi moi x e ( - 2, 4). Vay de nghiem cua bat phuong trinh chiia [ - , 1] dieu kien la: idi 4 ^ Bien doi bat phuong trinh tuong duong voi: ^^^+1 4. Gicii Do la dieu kien can de bat phuong trinh nghiem diing voi V x e ( - 2, 4). Dieu kien ccin: Gia su (1) c6 nghiem Vx > 0 x = 1 la nghiem ciia (1), Dieu kien du: Gia sir m>4, khi do: khi do: ( l ) » 8 m + 1 = 1 m = 0 • A p dung bat ding thiic Cosi cho ve trai, ta duoc: Do chinh lii dieu kien can de phuong trinh nghiem dung v6i Vx>0. x/T [T-, ; () VP = x ' - 2x + m = (X - 1 ) ' + m - 1 > 3 3 = x o x = x l u 6 n diing. Vay, voi m = 0 phuong trinh nghiem diing voi Vx>0. • Suy ra: •::) Vi du 13: T i m m de bat phuong trinh sau nghiem diing V x 6 [ 1, 3]: V(2 + x ) ( 4 - x ) < x^ - 2x + m. 2 i 2 x ^ m ( x . i H i 5 i < 2 _ ( m + 8 ) ( x ^ - 3 x + 2). (1) Vay, voi m>4 bat phuong trinh nghiem diing vdi V x e ( - 2, 4). Gicii Chu y: Co the sii dung gtln, gtnn ciia ham s6' de giai v i du tren, cu the: Dieu kien can: Bat phuong trinh nghiem diing V x e [ l , 3] => nghiem Bien ddi bat phuong trinh ve dang: diing voi X = 1. x = 2, tiic la ta c6: X -2x + m > 0 (3) (I) - 9 < 111 < - 8 (2 + x ) ( 4 - x ) < ( x ^ - 2 x + m ) ^ (4) I2m+17l
(3) nghiem dung Vx e (-2,4) • T u (1) & (2) suy ra - 1 < m < 0 la dieu kien can. m>4. (4) ngliiem dung Vx 6 (-2,4) Dieit kien dii: V d i - 1 < m < 0, lay mot diem M ( a , 0 ) e A B (dieu kien Vay, vai m>4 bat phuofng trinli ngliiem dung vai V x e ( - 2, 4). 2
Bai tap 11: T i m m de bat phuang trinh I I I . B A I T A P ¥)i NCHI V(3 + x X 7 - x ) < x^ - 4x + m Bin tap 1: T i m m de phucrng tiinh sau nghiem diing V x > l : nghiem diing vdi moi x e [ - 3, 7]. Vx^ - 2 x + 111- -3ni + 3 = mx - 1. Bai tap 12: Tun a, b, c de moi x e [ - 1, 1] luon c6: Bai tap 2: T i m m de phuofng trlnh sau nghiem diing V x e [0, 2]: log,l4x' + ax- + bx + cl < 0. V2X-X''' - JI - m + ' m + 1 )x - X - . Bai tap 13: Cho he bat phuang trinh: ( 2 ' ' - l ) - + ( y - l ) ^
1 Dieu kien du = = — BAI TOAN 3 [I • Vofi m = 0, ta duoc: GIAI BAI T O A N V E PHaONG TRINH HE QUA | (!) sinx = 1 I. F H U O N C ; P H A P (2) cosx = 0 S U V ra moi nghiem ciia (1) cung la nghiem ciia (2). Cho hai phuong trinh • V o i m = 1, ta ducfc: f(x, m) = 0 (1) (1), (2) sinx + cosx = 1 g(x, m) = 0 (2) suy ra moi nghiem ciia (1) cung la nghiem ciia (2). Vdi yeu cau " Tim dieit kien cua tliani so {ii'id sir Id m) de pln(an\> iriiih (I) Id he qua cua phiMn^ trinh (2) (noi each khac " de moi nghiem Vay voi m = 0 hoac m = 1 thoa man dieu kien diiu bai. cua iI) Cling Id nghiem cua (2)"), ta thuc hien theo cac buac sau: , Chii y: Ton tai nhOng bai toan ma khong the chi ra dugc dang nghiem Bum-I: Dieu kien can luoiig minh cho phuang trinh (1) khi do ta can danh gia thong qua tinh • Giai va tun nghiem x = x,, cua (1). chat nghiem ciia cac phuang tilnh lugfng giac, thi du nhu phuang trinh • De phuang trinh (1) la he qua ciia phuang trinh (2), sinx - m c6 nghiem x„ tin cung nhan n - x„ lam nghiem, k h i do bang tiudc het can x = x,, cung la nghiem cua (2), tufc la: each thay vao (2) ca x,, va TT - x,, vao (2) ta se t i m dugc dieu kien can g(x,„ m) = 0 m = m,,. cho lham so. Cu the ta di xem xet vi du sau: Vi (III 2: Cho hai phuang tilnh: • Vfiy m = m„ chinh la dieii kien cSn Buoc 2: Dieu kien dii cos(x + y) = a (1) • V d i m = m,, sin(x + y) = b. (2) (1) o f(x, m„) = 0 => nghiem cua (1) T i m a, b de moi nghiem ciia (1) cung la nghiem ciia (2). (2) g(x, m„) = 0 => nghiem ciia (2) Gidi • Ket luan. Dieu kien can: Nhan xet rfing neu (x,,, y,,) !a nghiem ciia (1) thl II. Vi DU MINH HOA ( - X|„ - y,,) cung la nghiem ciia (1), do do de moi nghiem ciia (1) cung la nghiem ciia phuang trinh (2) truac het can (x,,, y,,) va ( - x,,, - y,,) Vi d u 1 : (De 42): Cho hai phirong trinh: ciing la nghiem ciia (2), tuc la: sinx + m.cosx = 1 (1) f.sin(x„+y,)) = b ^ JsliHx,, + y i , ) = b ^ Jb = 0 m.sinx + cosx = m^ (2) .si.i(-Xo-y(.) = b " [-sin(x„+yo) = b [ s i n l X o + Yo) -0 Tim m de moi nghiem ciia (1) cung la nghiem ciia (2). b = 0 ^ fb = 0 ^ b= 0 Gidi x„ + y,) = kn [cos = a I a 1= 1 Dieu kien can: Nhan xet l i n g voi moi m (1) luon c6 nghiem ^ = ^ Do chinh la dieu kien can ciia a va b. 2krc,keZ Dieu kien du Do do de moi nghiem ciia (1) cung la nghiem ciia (2) truoc het can x • V o i a = 1 & b = 0, ta dugc: = ^ + kTX, k e Z cung la nghiem ciia (2), tiit la: (1) « cos(x + y) = 1 m = 0 (2) « sin(x + y) = 0 m.sin( y + 2k7t) + cos( ^ + 2k7r) = m ' m = m^ •» 111 = 1 suy ra moi nghiem ciia (1) cung la nghiem ciia (2). Do chi'nh la di6u kien can ciia m.
• V d i a = - 1 & b = 0, ta duorc: BAI TO AN 4 (!) cos(x + y ) = - 1 GIAI BAI T O A N (2) sin(x + y ) = 0 VE H A I P H U O N G T R I N H T U U N G D U O N G S U V l a m o i n g h i e m ciia (1) c u n g la n g h i v m ciia (2). V a y , v o i a = 1 & b = 0 hoac a = - 1 & b = 0 thoa m a n d i e u k i e n dau I . P H i r O N G PHAP bai. Cho hai p h u o n g t i i n h III. B A I T A P D ^ N G H I f(x, m) = 0 (1) g(x, m ) = 0 (2) Bai tap 1: Clio hai phuang t i i n h : Vo'i yeu cfiu " Tim dieu kien ciia lham soif^id sir Id m) de hai pluranf^ 2co.s2x.cosx=l+cos2x+co.s3x (1) irtiili nr diroii}^", ta thirc hien theo cac budc sau: 4cos^x-co.s3x=mco.sx+(4-m)( i +cos2x). (2) Biidc 1: Dicit kien can T i m m de m o i n g h i e m ciia (1) c u n g la n g h i e m cua (2). • G i i i i va t i m n g h i e m x = x,, ciia (1). Bai tap 2: Cho hai phuofng t i i n h : • D e phuang t i i n h (1) & (2) t u o n g d u o n g , t i u o c het c^n x = X|, c u n g la n g h i e m ciia (2), tiJc la: sinx.cos2x=sin2x.cos3x~ ^ sin5x. (I) g(x„, m ) = 0 => m = m„. m.cos2x + lml.co.s4x + c o s 6 x = l . (2) • V a y m = m„ c h i n h la dieu k i e n can. T i m m d6 m o i n g h i e m ciia (1) c u n g la nghiem" cua (2). Budc 2: Dieu kien di'i • V d i m = m„ Bai tap 3: Cho hai phirong t i i n h : (1 ) < » f ( x , m„) = 0 => n g h i e m ciia (1) 3 c o s x + c o s 2 x - c o s 3 x + l =2sinx.sin2x. (1) (2) g(x, mi,) - 0••=>n g h i e m ciia (2) m.cos3x+(4-8m).sin^x+(7m-4)cosx+8m-4=0. (2) • Ket luan. T u n m de m o i n g h i e m cua (1) cung la n g h i e m ciia (2). U. VIDUMINHHOA V i du 1: T i m m de 2 phuong t r i n h sau t u a n g dircfng: \ 9-^' + 3^'^' - 4 = 0. (i) I m - 4 l . 2 ^ ' + m . 4 ^ - ' = 1. (2) 1 Gidi i " Giai(I) V i e t lai phuomg t i i n h dirdi dang: ^ T X 3i 22x'*'' ' +, 3T. . V -4 = 0. (3) ..2 D a t t = 3 ' , dieu k i e n t > 1. K h i do phuong t r i n h (3) c6 dang: rt = i 3^- = 1 x ' = 0 0. t2 + 3t _ 4 = 0 » » X = t = -4(1) V a y phuong t r i n h (1) c6 n g h i e m d u y nhat x = 0 do do (1) va (2) tuong d u a n g k h i va c h i k h i (2) c6 d i i n g m o t n g h i e m x = 0. 95
DieII kien can: G i a su' (2) c 6 n g h i e m la x - 0 suy ra )/ 0 m > 0 (1) c:> 6 = 3 m Vm + 3 < = > I V ^ ^ + 1I + I V ^ 2 - 11 = 2 [4 = n r ( i n f 3) ni"^ + 3 n i - - 4 = 0 « l V ^ 2 + 11 + 11 - = + 1) + (1 - V^)l « ( V ^ + l)(l - V ^ ) > 0 « 1 -(X-2)>0
• V a i m = - 1. tuang tu ( hoac c6 il.e uhan xet ve tinh doi xirng Tir do de (2) chi c6 nghiem x = , thl dieu kien la (3) v6 nghiem ciia m trong phuang trlnh). Vay, vdi m = +1 thl (1) va (2) tuang duang. 3-m ;; m1 (1) 4 i'n.cos2x + lmi.cos4x + c o s 6 x = I . (2) Vay, \ & \ = 0 hoac m< - 1 thoa man difiu kien dau bai. Gicii Dien kien can III. BAI T A P D E NGHI Gicii (I): Ta dugc: Bai tap I : T i m gia tri ciia m de hai phuang trlnh tuang duang. \x - sinx) = \x - sinx) - - sin5x cos2x + sinx - 1 = 0 insin3x + (m - 2)cos2x - (m + 2)sinx + 2 - m = 0 .sin3x = Oc:>3x = k7rox=-!^, R G Z Bai tap 2: T i m gia tri ciia m de hai phuang trlnh tuang duang. 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x Do do ( I ) & (2) tuang duang trudc het can x = 0 (la mot nghiem cua 4cos^x - cos3x = acosx + (4 - a)( 1 + cos2x) ho X = ~ ) cung la nghiem ciia (2), tire la: Bai tap 3: T i m gia tri ciia m de hai phuang tnnh tuang duang. m.cosO + Iml.cosO + cosO = 1 m + Iml = 0 m < 0. cos3x = 4cos(37t + x) Do chinh la dieu kien can ciia a va b. mcos^x + (1 - m ) s i n ( ^ + x) = 0 Dicu kien dit • V a i m = 0, ta dugc: Bai tap 4: Xac dinh a, b de hai phuang trinh sau tuang duang: sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x (2) ! - 2sin^3x = 1 sin3x = 0 sin3x = ainx + (4 - 2a)sin^x. » 3 x =k7r«x= ~.k&Z Bai tap 5: Xac dinh a, b de hai phuang trlnh sau tuang duang: asin2x -2-^3 = a A/3 COSX - 4sinx Vay m = 0 thoa man dieu kien dau bai. sin2x + cos2x + b V2 + 1 = 42 sinx + 2cosx(co'sx + b) • Vdri m
Bai tap 9: (De 117): T i m a, b de hai phuang trinh sau tuong dirang: a.sin2x + / f = 2cosx + ax/2 sinx 2siirx + co.s2x + sin2x + b = 2b.sinx + cosx + J . CRUDE 3 SLT D U N G PHUdNG PHAP D I E U K I E N CAN VA D U GIAI BAI TOAN VE TINH CHAT THAM SO Trong chu de nay se minh hoa each su dung phuong phap dieu kien- can \'a du giai bai loan v6 tinh chat ciia tham so, no duoc chia thanh hai dang: Dang 1: Phuong tiinh nghiem diing v6i gia t i i xac dinh cua thani so. Dcing 2: He nghiem diing v6i gia tri xac dinh cua tham so. inn
BAI TOAN 1 PHUO'NG TRINH NGHIEM DUNG VOI x(x + 3) = ( 3 - x ) - GlA TRI XAC DINH CUA THAM SO Vay X = 1 la dieu kien can de phirang trinh nghiem dung vo'i moi a. Dieu kien du: V a i x = 1, phuang tiinh (1) c6 dang : I. P H l / O N G P H A P log , A 4 ^ - \ = log 2^,(2 a 4-i a +z V6i yeu cau: log ^2^2 ^ = log^2^2' iuon dung " Tim X dc pliir(/iii> trinh c6 iii^liicm voi moi iiid tri ci'ui tliam so Vay, X = 1 la dieu kien can va dii de phuang trinh nghiem dung vcfi m tluioc D,„ " moi a. ta thuc hien theo cac hade: Vi clii 2: Cho phuang trinh: Biiovl: Dat dieu kien de cac bieu thifc cua phuang tiinh c6 nghla. log2(mx' - 5mx' + 4 ^ ) = log2. - V x ^ )• Biio-c2: Dieu kien con: Gia su phuang trinh nghiem diing vai VmeD,,, suy ra no nghiem dung voi m „ 6 D , „ . a. Giai phuang trinh v6i m = 0. b. Tim cac gia tri cua x nghiem dung phuong tfuili da cho v6i moi m>0. • Giai phuang trinh vai m = m,, => gia tri cua an x„. BiiocS: Dieii kien dir. Thuc hien phep kiem tra voi x = x„. Gidi Chii y: Viec chi ra gia tri moGD,,, duac goi la phuang phap siV diing a. V o i m = 0 phuang trinh c6 dang: diem thuan iai trong viec tim di6u kien can va: log2>/6^ = l o g 2 ( 3 - V ^ ) . (2) • Hoan loan c6 the su dung mot hoac nhieu diem thuan Igi m,„ Dieu kien: m,,... trong viec xac dinh dieu kien can. 6-x>0 • V o i cau hoi " Nen lay iiliCmg gid tri ndo ti( tap D„, de Idm diem .x-l>0 « l < x < 6 . thuan U/i " chi c6 the tra loi rang can su dung true giac va kinh 3-Vx-l >0 nghiem cua tung nguai. Cac em hoc sinh can tich luy dan nhung Bien doi (2) ve dang: kinh nghiem nay thong qua cac v i du. V6-X = 3- V x ^ < » V6-X + >/x^ =3 II. v i D U M I N H H O A 0 ( 6 - x ) + ( x - l) + 2 V ( 6 - x ) ( x - l ) = 9 o V(6-x)(x-l) = 2 X = 2 Vi (111 1: T i m x de phuong trinh sau nghiem diing vdi moi a: o (6 - x)(x - 1) = 4 « x' - 7x + 10 = 0 o x =5 log^,2^2^N/x + 3 - l ) = l0g^2^2^2(2-V5^). (1) b. Su dung dieu kien can va dii de thuc hien. Gidi Dieu kien can: Phuang trinh nghiem dung vo'i Vm > 0, truac het nghiem Dieu kien can: Gia sir (1) nghiem dung voi mgi a => diing voi a = 0. dung vai m = 0 V a i a = 0, ta duoc: "x = 2 ( l ) o l o g 2 ( V ^ - l ) = log2(2- ^/^) x = 5'