Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Định hướng cho học sinh một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu đề tài góp phần bồi dưỡng, bổ sung và nâng cao kiến thức, kĩ năng cho học sinh, giúp các em giải quyết được một số bài toán về tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, cũng như kì thi THPTQG sau này. Phát huy tinh thần sáng tạo, tự học, tự rèn luyện của các em nhằm mục tiêu bồi dưỡng nhân tài, hình thành các phẩm chất, năng lực đặc biệt cho học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Định hướng cho học sinh một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT MÔN: TOÁN Tác giả: Lê Thị Thu Hương Tổ: Toán - Tin Năm: 2020 - 2021 Điện thoại: 0941 05 4567 Năm học: 2020 - 2021
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT MÔN: TOÁN Năm học: 2020 - 2021
MỤC LỤC MỤC LỤC ................................................................................................................. 1 PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................... 1 1.1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................. 1 1.2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................... 1 1.3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................................... 1 1.4. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................... 2 1.5. Đóng góp của đề tài............................................................................................ 2 PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .................................................................... 3 2.1. Cơ sở lý luận. ..................................................................................................... 3 2.1.1. Cấp số cộng. .................................................................................................... 3 2.1.2. Cấp số nhân. .................................................................................................... 3 2.1.3. Phương pháp chứng minh quy nạp toán học:.................................................. 3 2.1.4. Một số công thức lượng giác thường dùng trong giải toán liên quan dãy số ...... 3 2.2. Thực trạng vấn đề giải toán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số ......... 4 2.3. Một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số ................... 4 2.3.1. Phương pháp đổi biến (đặt dãy số phụ) .......................................................... 4 2.3.2. Phương pháp sử dụng phép thế lượng giác kết hợp phương pháp quy nạp toán học. .................................................................................................................. 32 2.3.3. Một số phương pháp tổng hợp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số. ... 39 PHẦN III. KẾT LUẬN .......................................................................................... 44 3.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường...................................................................................... 44 3.2. Kiến nghị .......................................................................................................... 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 46
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lí do chọn đề tài Trong giai đoạn hiện nay, để đổi mới phương pháp dạy học có hiệu quả, giáo viên là yếu tố quyết định hàng đầu trong việc thực hiện đổi mới phương pháp giảng dạy. Người giáo viên phải có kiến thức đa dạng, xác định được những vấn đề cần đổi mới, nắm vững kĩ năng truyền đạt kiến thức, chủ động và có sáng kiến. Từ đó, làm cho học sinh biết tự học, tự vận dụng, biết hợp tác và chia sẻ, học cách thức đi tới sự hiểu biết, coi trọng sự khám phá và khai thác trong học thuật… Thực tiễn dạy học chương trình Đại số và Giải tích 11 cho thấy, chủ đề dãy số là một chủ đề trừu tượng, hơn nữa các bài toán về dãy số là một nội dung gần như không thể thiếu trong các đề thi học sinh giỏi Toán THPT. Khi gặp các bài toán này, học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn trong việc tìm ra cách giải của chúng, đặc biệt là bài toán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số. Hơn nữa, ở một số lớp bài toán liên quan đến dãy số, khi đã xác định được công thức số hạng tổng quát của dãy số thì bài toán gần như được giải quyết. Đứng trước tình hình đó, người giáo viên phải nắm vững kiến thức và kĩ năng cần truyền đạt đến học sinh để thiết kế dẫn dắt học sinh đi từ dễ đến khó, từ ít đến nhiều. Giáo viên xác định việc dạy cách học, học cách học hoặc hướng vào người học là để phát huy tính tích cực chủ động của người học, hỗ trợ người học tìm chọn và xử lí thông tin một cách linh hoạt và sáng tạo. Vì thế, để đổi mới phương pháp giảng dạy có hiệu quả, giáo viên là yếu tố quyết định hàng đầu trong việc thực hiện đổi mới. Vị trí của giáo viên không phải được xác định bằng sự độc quyền về thông tin và trí thức có tính đẳng cấp, mà bằng những phẩm chất, trí tuệ và sự từng trải của mình trong quá trình dẫn dắt học sinh tự học. Vì các lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Định hướng cho học sinh một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt”. 1.2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài góp phần bồi dưỡng, bổ sung và nâng cao kiến thức, kĩ năng cho học sinh, giúp các em giải quyết được một số bài toán về tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, cũng như kì thi THPTQG sau này. Phát huy tinh thần sáng tạo, tự học, tự rèn luyện của các em nhằm mục tiêu bồi dưỡng nhân tài, hình thành các phẩm chất, năng lực đặc biệt cho học sinh. Nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt là trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi, đồng thời góp phần nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ sư phạm của bản thân. 1.3. Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu một số dạng toán về dãy số có công thức truy hồi đặc biệt, từ đó trang bị cho các em học sinh khá, giỏi các kĩ năng cơ bản để tìm công thức số 1
hạng tổng quát của dãy số trong chương trình môn toán THPT. 1.4. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, đồng nghiệp và các tài liệu tham khảo liên quan Chú trọng các phương pháp dạy học trên cơ sở phương pháp khoa học: phương pháp tái hiện, phương pháp tư duy, phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa,… Định hướng cho học sinh tìm ra cách giải quyết bài toán nhằm phát huy khả năng quan sát, khả năng vận dụng kiến thức, tái hiện kiến thức và kết hợp kiến thức liên quan trong quá trình giải toán. 1.5. Đóng góp của đề tài Đề tài đã tổng hợp một số kỹ năng cơ bản trong việc tìm số hạng tổng quát của dãy số thông qua các phương pháp sau : - Phương pháp đổi biến (đặt dãy số phụ). - Phương pháp sử dụng phép thế lượng giác kết hợp phương pháp quy nạp toán học. - Phương pháp tổng hợp. - Thông qua việc định hướng các phương pháp giải, giúp học sinh rèn luyện các kỹ năng phân tích, biến đổi công thức truy hồi dạng đặc biệt của dãy số, kĩ năng đặt ẩn phụ, kĩ năng sử dụng công thức lượng giác đưa dãy số đã cho về dãy số đặc biệt đã có cách tìm ra công thức số hạng tổng quát, kĩ năng dự đoán công thức số hạng tổng quát, kĩ năng chứng minh công thức số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp toán học đã có cách tìm ra công thức số hạng tổng quát… 2
PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1. Cơ sở lý luận. 2.1.1. Cấp số cộng. Định nghĩa: Dãy số  un  được gọi là cấp số cộng (CSC) nếu un1  un  d , n  N * Trong đó d : công sai của CSC; u1 : số hạng đầu của CSC; un : số hạng tổng quát của CSC. Số hạng tổng quát của CSC: un  u1   n  1 d , n  N * n Tổng n số hạng đầu của CSC: Sn   2u1   n  1 d  , n  N * 2 2.1.2. Cấp số nhân. Định nghĩa: Dãy số  un  được gọi là cấp số nhân (CSN) nếu un1  un q, n  N * Trong đó q : công bội của CSN; u1 : số hạng đầu của CSN; un : số hạng tổng quát của CSN. Số hạng tổng quát của CSN: un  u1q n1 , n  N * 1  qn Tổng n số hạng đầu của CSN: Sn  u1 , q  1, n  N * 1 q 2.1.3. Phương pháp chứng minh quy nạp toán học: Để chứng minh mệnh đề: P  n  , n  N * đúng, ta chứng minh: +) Với n  1  P 1 đúng +) Giả sử P  k  , k  N * đúng. Ta chứng minh P  k  1 đúng. 2.1.4. Một số công thức lượng giác thường dùng trong giải toán liên quan dãy số - Công thức lượng giác cơ bản sin 2   cos 2  1 1 1  tan 2   cos 2 1 1  cot 2   sin 2  - Công thức nhân đôi sin 2  2sin  .cos 3
cos 2  2cos 2  1  1  2sin 2  - Công thức nhân ba sin3  3sin   4sin 3  cos3  4cos3  3cos 2.2. Thực trạng vấn đề giải toán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số Chủ đề dãy số là một chủ đề đóng vai trò cực kì quan trọng trong toán học cũng như nhiều lĩnh vực của đời sống. Trong chương trình toán THPT, các bài toán thường gặp về dãy số là các bài toán như: giới hạn, số hạng tổng quát, tính đơn điệu, bị chặn,… Trong đó bài toán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Olimpic Toán, các kì thi học sinh giỏi quốc gia, các kì thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi trường. Khi gặp các bài toán dạng này, học sinh thường lúng túng không biết tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số như thế nào. Trước tình hình đó, việc định hướng cho các em tìm ra công thức số hạng tổng quát của dãy số là một nhiệm vụ cần thiết đối với người giáo viên trong quá trình dạy học. Nhất là khi dãy số đó cho bởi các công thức truy hồi đặc biệt. Khi tìm được công thức số hạng tổng quát của dãy số thì việc xét tính đơn điệu, bị chặn hay tìm giới hạn của dãy số hầu như được giải quyết. Bằng các kinh nghiệm, vốn tri thức của mình, người giáo viên định hướng cho học sinh tìm số hạng tổng quát của dãy số thông qua một số phương pháp như đặt dãy số phụ, phương pháp quy nạp, phương pháp thế lượng giác,… để từ đó đưa dãy số đã cho về dãy số đặc biệt đã có cách tìm công thức số hạng tổng quát như CSC, CSN, … 2.3. Một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số 2.3.1. Phương pháp đổi biến (đặt dãy số phụ) u1  x0 Dạng 1: Dãy số  un  thỏa mãn:  ( * 0  k, r  R ) u  n1  ku n  r , n  N Định hướng: Khi k  1 thì un1  un  r , n  N * . Khi đó,  un  là một CSC nên ta tìm được số hạng tổng quát của dãy số. Khi k  1 thì  un  không phải là CSC hay CSN do r  0 . Ta nghĩ đến việc phân tích công thức truy hồi, thông qua việc đặt dãy số phụ đưa dãy số đó về một CSN. r Giả sử un1  x  k  un  x  , n  N *  kx  x  r  x  k 1 Đặt vn  un  x  vn1  un1  x  vn1  kvn , n  N * Suy ra, dãy số  vn  là CSN có v1  u1  x, công bội q  k Ta tìm được vn  un 4
u1  3  Ví dụ 1: Cho dãy số  un  thỏa mãn:  2un  2 u  n1  , n  N * 3 Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n (Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm 2014-2015) 2 2 Định hướng: Ta có: un1  un  (1) 3 3 2 2 r Đây là một dãy số có dạng 1, với k  , r  , ta tìm được x   2 3 3 k 1 2 Khi đó: 1  un1  2   un  2  3 Bài toán được giải quyết. Giải quyết vấn đề: 2 2 2 Từ công thức truy hồi, ta có: un1  un   un1  2   un  2  3 3 3 2 Đặt vn  un  2, n  N *  vn1  un1  2, n  N *  vn1  vn , n  N * 3 2 Suy ra, dãy số  vn  là CSN có v1  1 , công bội q  3 n 1 n 1 n 1 2 2  vn  v1.q   , n  N *  un     2, n  N * 3 3 n 1 2 Vậy un     2, n  N * . 3 Nhận xét: Nếu công thức truy hồi có dạng: un1  kun  f  n  , n  N * , (trong đó 0  k  R , f  n  là một đa thức có bậc s  1 hoặc là một phân thức hữu tỉ theo n ) thì ta sẽ làm như thế nào ? Ta đưa công thức truy hồi đã cho về dạng: un1  g  n  1  k  un  g  n    un1  k.un  g  n  1  k.g  n  Khi đó, ta sẽ tìm cách phân tích : f  n   g  n  1  k.g  n  Vấn đề đặt ra là tìm g  n  như thế thế nào? *) Nếu f  n  là một đa thức thì ta xét các trường hợp như sau: Khi k  1 : f  n   g  n  1  g  n  là một đa thức có bậc nhỏ hơn 1 bậc so với bậc của đa thức g  n  và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g  n  . Khi đó ta chọn g  n  là một đa thức bậc s  1 và có hệ số tự do bằng 0 . 5
Khi k  1 : f  n   g  n  1  k.g  n  là một đa thức cùng bậc với đa thức g  n  . Khi đó ta chọn g  n  là một đa thức cùng bậc với đa thức f  n  Ta có dạng toán sau: u1  x0 Dạng 2: Cho dãy số  un  thỏa mãn:  un1  k .un  f  n  , n  N * (trong đó 0  k  R , f  n  là một đa thức có bậc s  1 hoặc là một phân thức hữu tỉ theo n ) Định hướng: Tìm g  n  để f  n   g  n  1  k.g  n  . Khi f  n  là một đa thức có bậc s  1 theo n : +) Nếu k  1 thì chọn g  n  là một đa thức có bậc s  1 và có hệ số tự do bằng 0 . +) Nếu k  1 thì ta chọn g  n  là một đa thức cùng bậc với đa thức f  n  Khi đó, đặt: vn  un  g  n  . Ta đưa về: vn1  k.vn , n  1   vn  là CSN Ta tìm được vn  un Bài toán được giải quyết. u1  2 Ví dụ 2: Cho dãy số  un  thỏa mãn:  un1  un  6n  4, n  N * Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n ? Định hướng : Ta có k  1, mà f  n   6n  4  Chọn g  n   an2  bn  g  n  1  a  n  1  b  n  1  an2  bn  2an  a  b 2 Giả sử: un1  g  n  1  un  g  n   g  n  1  g  n   6n  4  2an  a  b  6n  4 a  3   g  n   3n 2  n b  1 Bài toán được giải quyết. Giải quyết vấn đề: Ta có: un1  un  6n  4  un1  3  n  1   n  1   un   3n 2  n  2   Đặt vn  un   3n 2  n  , n  N *  vn1  un1  3  n  1   n  1  2    vn1  vn , n  N * Suy ra  vn  là một dãy số không đổi n  N * , mà v1  u1  4  2  vn  2, n  N *  un  vn   3n2  n   3n 2  n  2, n  N * Vậy un  3n2  n  2, n  N * 6
Nhận xét: Ngoài cách đặt dãy số phụ thì ở bài này ta có thể nghĩ đến phương pháp cộng dồn để tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số. Cách này thường được dùng khi k  1 Thật vậy: Từ công thức truy hồi ta có: u1  2 u2  u1  10 u3  u2  16 … un  un1  6  n  1  4 Cộng vế theo vế, ta có: un  2  10  16  ...  6  n  1  4 Ta thấy, tổng 10  16  ...  6  n  1  4 là tổng của  n  1 số hạng đầu của CSC có số hạng đầu bằng 10, công sai d  6 6  n  1 n  2  Suy ra: 10  16  ...  6  n  1  4    n  110  2  3n2  n  4  un  3n2  n  2 Vậy un  3n2  n  2, n  N * Ví dụ 3: Cho dãy số  un  thỏa mãn: u1  4  un1  5un  4n  3n  3n  1, n  N 3 2 * Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n (Đề thi HSG tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020) Định hướng: Ta có k  5, mà f  n   4n3  3n 2  3n  1 Nên chọn g  n   an3  bn 2  cn  d  g  n  1  a  n  1  b  n  1  c  n  1  d 3 2  an3  bn 2  cn  d  3an 2   3a  2b  n  a  b  c Giả sử: un1  g  n  1  5 un  g  n   g  n  1  5 g  n   4n3  3n 2  3n  1  4an3   3a  4b  n 2   3a  2b  4c  n  a  b  c  4d  4n3  3n 2  3n  1 7
a  1 a  1 3a  4b  3 b  0      g  n    n3 3a  2b  4c  3 c  0 a  b  c  4d  1 d  0 Bài toán được giải quyết. Giải quyết vấn đề:  Ta có: un1  5un  4n3  3n2  3n  1  un1   n  1  5 un  n3 3  Đặt vn  un  n3 , n  N *  vn1  un1   n  1  vn1  5vn , n  N * 3 Suy ra  vn  là một cấp số nhân có v1  u1  1  5 , công bội q  5  vn  v1.q n1  5.5n1  5n , n  N *  un  5n  n3 , n  N * Vậy un  5n  n3 , n  N * . Nhận xét: Ở bài này, học sinh có thể từ công thức truy hồi dễ dàng tìm được g  n   n3 , cách định hướng trên có thể dùng trong các bài mà đa thức f  n  phức tạp khó tìm đa thức g  n  . u1  1  Ví dụ 4: Cho dãy số  un  thỏa mãn:  3 n4  un1  2  un  n2  3n  2  , n  N *    Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n (Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm 2015-2016) Định hướng: 3 Tìm g  n  sao cho: un1  g  n  1  un  g  n  , g  n  là phân thức hữu 2 tỷ theo n n4 n4 3 2 Ta có:    n  3n  2  n  1 n  2  n  1 n  2 2 3 3 2  3 3  3  un1   un      un   2 n 1 n  2  2 n 1 n  2 3 3 3   un1    un   n  2 2 n 1 3 Như vậy, g  n   , n  N * n 1 Bài toán được giải quyết. Giải quyết vấn đề: 8
n4 n4 3 2 Ta có:    n  3n  2  n  1 n  2  n  1 n  2 2 3 3 2  3 3  3  un1   un      un   2 n 1 n  2  2 n 1 n  2 3 3 3   un1    un   n  2 2 n 1 3 3 Đặt vn  un  , n  N *  vn1  un1  n 1 n2 3  vn1  vn , n  N * 2 1 3   vn  là một cấp số nhân với v1   , công bội q  2 2 n 1 n 1 1 3 3 1 3  vn   .  , n  N *  un   .  , n  N * 2 2 n 1 2  2  n 1 3 1 3 Vậy un   .  , n  N * n 1 2  2  Nhận xét: Khi công thức truy hồi của dãy số có dạng: un1  h  n .un  f  n  (trong đó f  n  , h  n  là các đa thức hoặc phân thức hữu tỉ theo n thì ta sẽ biến đổi như thế nào để bằng cách đặt ẩn phụ đưa được về một dãy số mới là một CSN ? u1  x0  Dạng 3: Cho dãy số  un  thỏa mãn:  un1  h  n  .un  f  n  , n  N *  (Trong đó f  n  , h  n  là các đa thức hoặc phân thức hữu tỉ theo n ) Định hướng: Phân tích h  n  , f  n  làm xuất hiện t  n  , g  n  để đưa công thức truy hồi về dạng: t  n  1 un1  g  n  1  k. t  n  un  g  n  ( trong đó 0  k  R , t  n  , g  n  là các đa thức hoặc phân thức hữu tỉ theo n ) Khi đó, ta đặt vn  t  n  un  g  n  , n  N *  vn1  kvn   vn  là một cấp số nhân. Bài toán được giải quyết. u1  2020 Ví dụ 5: Cho  un  thỏa mãn:  2  3n  9n  un1   n  5n  4  un , n  N 2 * 9
 3n  Tính lim  2 un  ? n   3n  Định hướng: Để tìm lim  2 un  , ta tìm công thức số hạng tổng quát un n  của dãy số  un  Giải quyết vấn đề: Ta có: n 2  9n  3n  n  3 n2  5n  4   n  1 n  4    n  1  n  1  3 Khi đó, từ công thức:  3n2  9n  un1   n 2  5n  4  un 1 1 1 1 1  u  u  u  un n 2  5n  4 n 1 3n 2  9n n      n  1  n  1  3 n 1 3 n  n  3  1 1 Đặt vn  un , n  N *  vn1  u n  n  3  n  1  n  1  3 n1 1  vn1  vn , n  N * 3 1   vn  là một cấp số nhân với v1  505, công bội q  3 n 1 1  vn  505   , n  N *  3 n 1 1  un  n  n  3 vn  505n  n  3   , n  N * 3  3n 1  1515n  n  3 n 1  3n   lim  2 un   lim  2 505n  n  3     lim 2  1515  n   n    3 n  3n  Vậy lim  2 un   1515 n  Ví dụ 6: Cho dãy số  un  thỏa mãn: u1  12   2un1 un  n 2  n  2  2  , n  N *  n  5n  6 n n 2 10
un Tìm lim 2n 2  1 (Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm 2018-2019) Định hướng: Để tìm giới hạn trên, ta đi tìm số hạng tổng quát un của dãy số. Từ công thức truy hồi, ta có: 2un1 un  n 2  n  2 2un1 un n2     (1) n  5n  6 2 n n 2  n  2 n  3 n  n  1 n un Nhận xét: Từ VT của (1) , ta nghĩ đến VP của (1) phải xuất hiện .    n  1 n  2 1 Như vậy nhân 2 vế của (1) cho , ta có:  n  1 n  2 2un1 un n2    2  n  1 n  2  n  3 n  n  1  n  2  2 2 n  n  1 n  2  Từ  2  , ta nghĩ đến việc tìm g  n  để đưa  2  về dạng: 2un1 un  2 g  n  1   g  n  (*)  n  1 n  2  n  3 n  n  1  n  2  2 2 n2 1 2 Thật vậy:   n  n  1 n  2   n  1 n  2  n  n  1 n  2  1 1 1  1 2 1        n  1 n  2   n n  2  n  1  n  1 n  2  n  n  1 1 1 Khi đó, ta thấy: g  n    g  n  1  n  n  1  n  1 n  2 n2   2 g  n  1  g  n   xuất hiện (*) n  n  1 n  2  Bài toán được giải quyết Giải quyết vấn đề: Từ công thức truy hồi, ta có: 2un1 un  n 2  n  2 2un1 un n2     (1) n  5n  6 2 n n 2  n  2 n  3 n  n  1 n 1 Nhân 2 vế của 1 cho , ta có:  n  1 n  2 11
2un1 un n2    2  n  1 n  2  n  3 2 n  n  1  n  2  2 n  n  1 n  2  n2 1 2 Ta có:   n  n  1 n  2   n  1 n  2  n  n  1 n  2  1 1 1  1 2 1        n  1 n  2   n n  2  n  1  n  1 n  2  n  n  1 Khi đó: 2un1 2 un 1  2      n  1 n  2  n  3  n  1 n  2 n  n  1  n  2  n  n  1 2 2 un1 1 1 un 1         3  n  1 n  2  n  3  n  1 n  2 2  n  n  1  n  2  n  n  1  2 2 un 1 Đặt: vn   , n  N * n  n  1  n  2  2 n  n  1 1 1 Từ  3  vn1  vn , n  N *   vn  là một cấp số nhân với v1  , công 2 2 n 1 1 1 1 1 bội q   vn  .   n , n  N * 2 2 2 2 un 1 1 Ta có:   n n  n  1  n  2  2 n  n  1 2 n  n  1  n  2  2  un  n   n2  3n  2  2 n  n  1  n  2  2   n 2  3n  2  un 2 n Khi đó: lim 2  lim 2n  1 2n 2  1  n  n  12  n  2  n 2  3n  2   lim     2 n  2 n 2  1 2 n 2  1   n  2  n  1 n Ta có: 2n  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  ...  Cnn  Cn3  6 n  n  1  n  2  2 n 2  3n  2 1  lim  0, lim  2n  2n 2  1 2n 2  1 2 12
un 1 Vậy lim  2n  1 2 2 Ví dụ 7: Cho dãy số  un  thỏa mãn: u1  1  u  2  n  1 un1  2n , n  N *   n2  n  1  1 n 2 n  Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số theo n . (Đề thi HSG Toán 11 tỉnh Nghệ An năm 2016-2017) Định hướng: Từ công thức truy hồi, ta thấy ở VP có  n  1 un1 nên ta nghĩ đến làm xuất hiện nun ở VT n 2  n  nun  2  n  1 un1  1  n2  n  1  1 2 Từ 1 , ta nghĩ đến việc tìm g  n  để đưa 1 về dạng: 2  n  1 un1  2 g  n  1  nun  g  n  1   n  1 un1  g  n  1  nun  g  n  * 2 n2  n Ta phân tích: để tìm g  n  n  n  1  1 2 2      1   n2  1  2n  n2  1  n2  1 2 2 2 Ta có: n2  n  1  1  n2  1  n   n 2  1 n 2  2n  1  1   n 2  1  n  1  1 2   n  2  n   2n  n 2   n 2  2n  1  2  n 2  1  1   n  1  1  2  n2  1 2 n 2  n  n  1  1  2  n2  1 2 1 2     n  n  1  1 n  1  n  1  1 n2  1  n  12  1 2 2 2 2   1 1 Khi đó g  n    g  n  1  n 1  n  1  1 2 2 Bài toán được giải quyết. 13
Giải quyết vấn đề: Từ công thức truy hồi, suy ra: n 2  n nun  2  n  1 un1  1 n  n  1  1 2 2      1   n2  1  2n  n2  1  n2  1 2 2 2 Ta có: n2  n  1  1  n2  1  n  n  1 n 2  2n  1  1   n 2  1  n  1  1 2 2   n  2  n   2n  n 2   n 2  2n  1  2  n 2  1  1   n  1  1  2  n2  1 2 n 2  n  n  1  1  2  n2  1 2 1 2     n  n  1  1 n  1  n  1  1 n  1  n  12  1 2 2 2 2 2   2 1 Khi đó: 1  2  n  1 un1   nun   n  1 n 1 2 2 1 1 1 1    n  1 un1    nun  2   2    2 n  1  1 2  n 1  1 1 Đặt: vn  nun  , n  N * . Từ  2   vn 1  vn , n  N * n2  1 2 1 1   vn  là một cấp số nhân với v1  , công bội q  2 2 n 1 1 1 1 1 1  vn  .   , n  N *  un  n  , n  N * n  n  1 n 2 2 2 n.2 2 1 1 Vậy un   , n  N * n.2n n  n 2  1 Nhận xét: Một số đề thi học sinh giỏi các tỉnh cùng dạng tương tự như sau: u1  4 Ví dụ 8: Cho dãy số  un  thỏa mãn:  3nun 2n 2  6n  3  n1 n  1  n 2  n  13 , n  N  * u   nu  Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số theo n và tính lim  nn   4  (Đề thi HSG Toán tỉnh Quảng Trị năm 2020 ) 14
u1  1  Ví dụ 9: Cho dãy số  un  thỏa mãn:  n  un  2   n 2  1 2un1  , n  N *  n 1  nu  Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số theo n và tính lim  nn   4  (Đề thi HSG Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2020 ) u1  x0 Dạng 4: Cho dãy số  un  thỏa mãn:  un1  kun  t. , n  N n * ( với 0  k , t,  R ) Định hướng: Ta phân tích t n  g  n  1  kg  n  để đưa công thức truy hồi đã cho ở trên về dạng: un1  g  n  1  k un  g  n  * Giả sử g  n   m. n , m  R . Từ * ta suy ra: m. n1  mk . n  t. n  m.  k.m  t    k  m  t t t 1 +) Nếu   k  m   g n  . n  ct. n , c   k  k  k Khi đó: un  g  n   u1  g 1 .k n1  un  ct n   u1  ct .k n1  un  ct n   u1  ct  k n1 1 Vậy un  ct n   u1  ct  k n1 , c   k un1 un t +) Nếu   k thì ta phân tích: un1  kun  t. n     n 1  n  un t Khi đó, đặt vn  , n  N *  vn1  vn  , n  N *   vn  là một CSC  n  u1 t t u   n  1 t có v1  , công sai d   vn  v1   n  1  1      un  u1   n  1 t   n1 , n  1 Bài toán được giải quyết. u1  1 Ví dụ 10: Cho dãy số  un  thỏa mãn:  un1  2un  3 , n  N n * 15
Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n (Đề thi Olimpic Toán 11 năm 2019-2020 Hà Nội) Định hướng: Ta thấy ở bài này   k t Chọn g  n   m.3n với m   1. Khi đó: g  n   3n  k Giải quyết vấn đề: Từ công thức: un1  2un  3n  un1  3n1  2  un  3n  v1  2 Đặt vn  un  3n , n  N *   vn1  2vn , n  N *   vn  là một cấp số nhân với v1  2, công bội q  2  vn  2.2n1  2n , n  N *  un  3n  2n , n  N * Vậy un  3n  2n , n  N * u  2 Ví dụ 11: Cho dãy số  un  thỏa mãn:  1 un1  4un  3.4 , n  N n * 2n 2  3n  1 Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n và tính lim un (Đề thi HSG Tỉnh Toán 11 năm 2018-2019 Thanh Hóa ) Định hướng: Ta thấy, trường hợp này là   k  4 nên ta giải quyết bài toán theo trường hợp thứ 2 của dạng 3. Giải quyết vấn đề: un1 un 3 Ta có: un1  4un  3.4n    4n1 4n 4 u 3 Đặt vn  nn , n  N *  vn1  vn  , n  N *   vn  là một CSC có 4 4 1 3 1 3 3n  1 v1  , công sai d   vn    n  1  , n  N * 2 4 2 4 4 3n  1 n  un  4n.vn  .4   3n  1 4n1 , n  N * 4 Vậy un   3n  1 4n1 , n  N * 16
2n 2  3n  1 2n 2  3n  1  2n 2  3n  1 4n  Ta có: lim  lim  lim  . n un  3n  1 4n1  n  3n  1 4  4n 4n 4n 8 Vì 0    , n  2 , mà 4n 1  3n 32 Cn2 9  n  1 8 4n lim  0  lim n  0 9  n  1 4 2n2  3n  1 2 2n2  3n  1 Mặt khác lim   lim 0 n  3n  1 3 un 2n 2  3n  1 Vậy un   3n  1 4n1 , n  N * và lim 0 un Nhận xét: u1  x0 1) Nếu dãy số  un  thỏa mãn:  un1  kun  t. , n  N n 1 * ( với 0  k , t ,  R ) thì ta biến đổi công thức truy hồi đưa về dạng 3: un1  kun  t. n1  un1  kun  t . n u1  x0  2) Nếu dãy số  un  thỏa mãn:  un1  kun  t.  f  n  , n  N n *  ( trong đó, f  n  là một đa thức theo n và 0  k , t ,  R ) thì ta tìm g  n  để phân tích : t. n  f  n   g  n  1  kg  n  . Khi đó đưa được công thức truy hồi về dạng: un1  g  n  1  k  un  g  n   Bài toán được giải quyết. Lưu ý: g  n   m. n  h  n  , trong đó h  n  là một đa thức cùng bậc với đa thức f  n  u1  x0  3) Nếu dãy số  un  thỏa mãn:  un1  kun  t.  r.  f  n  , n  N n n *  ( trong đó, f  n  là một đa thức theo n và 0  k , t, r,  R ) thì ta làm tương tự dãy số dạng trên. u1  1 Ví dụ 12: Cho dãy số  un  thỏa mãn:  un1  2un  3  n, n  N n * 17