Một số phương pháp đặc biệt giải toán trung học phổ thông - Cuốn 7: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ giải toán (Phần 1)

Chia sẻ: Liên Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

158
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 tài liệu Phương pháp đặc biệt giải toán trung học phổ thông - Cuốn 7: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ giải toán do ThS. Lê Hồng Đức biên soạn cung cấp cho người đọc các kiến thức: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải bài toán về tính chất duy nhất nghiệm. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số phương pháp đặc biệt giải toán trung học phổ thông - Cuốn 7: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ giải toán (Phần 1)

T h . s T o a n hoc - K s T i n hoc L E H O N G DUG - C h i i bieii LE null T R i PIIlTO]\ P H A P D A C B I E T G I A I TRU]\ HOC P I I O T I l 6 ] \ Str D U N G PHU^dNG P H A P D I E U K I E N CAN VA D U GIAI TOAN NHA XUAT BAN HA NOI
G l 6 l T H I E U CHUNG Kill trciii tigng gic'ri lliieu tai ban doc bp tai lieu: i*iiiJOi\ i>iiAi» »Ac BI£:T Gi\i roAi\ I UUI\ H O C IMIO Tll6l\ do Tliac sTTodn Jipc Le Hong Di'tc cliii bien. D p t a i l i e u g o m I J tap: Cuo'n 1: Sir dung phuong phap luong giac hoa giai Toan Cuon 2: Sii dung phuong phap vecto giai Toan Cuon 3: Su dung cac phep bien hinh giai Toan Cuon 4: Su dung phuong phap toa do giai Toan Cuon 5: Sir dung phuong trinh tham so Duong thiing, Duong tron, Eh'p va Hypebol giai Toiin Cuon 6: Sir dung phuong phap dat in phu giai Toan Cuon 7: Su dung phuong phap di6u kien can va du giai Toan Cuon 8: Su dung phuong phap ham so va do thi giai Tosin Cuon 9: Sir dung gidfi han giai Toan Cuon 10: Su dung dao ham giai Toan Cuon 11: Sir dung may ti'nh giai Toan Muc tieu cua bp tai lieu tham khdo nay la cung cap cho cue Thdy, Co gido nipt bp bdi gidng cintyen sdu cd chat hd/ng va cho cac em hpc sinli Trung hpc phu thong yeu thicli mdn Todn mot bp tai lieu hoc tap bo ich. Bp tai lieu ditac viet tren mot tit tudng liodn todn mdi me, c6 tinh sit pham, CO tinh long h(/p cao, tan dung ditcrc day di'i the manh ciia cac phuong phdp ddc biet de giai Todn. Bp tai lieu nay chac cliaii phu hpp vdi nhieu ddi titpiig ban dpc tit cdc Thdy, Co gido den cdc em Hpc sinh lap 10, 11, 12 va cdc em chud'n bi dit thi mdn Todn Tot nghiep PTTH hodc vuo cdc Trudng Dai hpc.
Cuon Sir uiJNG iMiifoi\ i M i A i ' niv.ii KIEN CAIM V A nt oi.ii ro/iiv MUC LUC r//;'c/ ///a//// 3 chi'i de: Chii de I: Sir diiiig phiraiig phap dieu kien can va dii giJi bai loan ve tinh GlOl THifiU CHUNG chat duy nhat nghiem Chii del: Siidung phuang phap dieu kien can va du gitii bai loan ve tinh CHIJ DE 1 chat nghiem SU DUNG PHl/ONCi PHAP DIEU KIEN CAN VA DU Chi'i de3: Sir dung phuang phtip dieu kien can va du giiii bai toiin ve tinh chat tham so (JIAI BAI TOAN VE TINH CHAT DUY NHAT NGHIEM inieii id (III lic't plncang phap gidi cho 9 dang loan tan dung dupe day du Bai toan 1. Giai bai toan duy nha't nghiem cho phuang trlnh, ihe inanli cita phii'o'ng phap dlcit kien can vd dt'i. bat phuang tiinh 10 Tdi Cling xin bay id tai day long biet on sdu sac td'l sif gli'ip do' dong Bai toan 2. Giai bai toan duy nhat nghiem cho he phuang trlnh, vien llnli than cita lial nginyi Thdy ind Idl rat ini/c kinli Irpng, gdin GS.TS he bat phuang trlnh 33 Trail Maiili Titan ngtiyen Fhd Gidiii doc Trung Tdiii KHTN & CNQG, Nhd gido I fit lit Ddo Thieii Klidi iigityen Hleu trudng TrUdng FTTH Hd Ndl - CHUD^2 Ainslerdaiii. SU DUNG PHUONG PHAP DIEU KIEN CAN VA DU Citdl ciing, cito dii dd rat cd gang, ninfng thai khd Irdnh klidi iihuiig (ilAI BAI TOAN VE TINH CHAT N(,HIEM thlcit sol bdi nhifng hleu blel vd kinli nghlein con liaii cite, id't inong nlidn Bai toan 1. Giai bai toan ve tinh chat cac nghiem dupe iiltilng y kien dong gop c/tiy bdu cita ban dpc gdn .xa. Mpl y kien dong cho phuang trlnh 66 gap xIn lien he tiri: Bai toan 2. Giai bai toiin ve tap nghiem 77 Dia chi: Nhom lac gia Cu Mon - Nha sach Toan TMPT Cir Mon Bai toan 3. Giai bai toan ve phuang trlnh ha qua 92 So 20 - Ngo 86 - Duong To Ngoc Van - Quan Tay Ho - Ha Noi Bai toan 4. Giai bai toan vi hai phuang trlnh tirang duang 95 Dien thoai: (04) 7196671 Bai toan 5. Su dung do thi 126 E-mail: cumon@hn.vnn.vn Ud iipl, ngdy 1 llidng 8 iidiit 2004 CIIU Y)t 3 LE HONG DirC (ilAI BAI Sir DUNG TOAN PHAP PHUONG VE TINH CHAT DIEU KIENTHAM SO DU CAN VA Bai toan 1. Phuang trlnh nghiem diing vai gia tri xiic dinh ciia tham so 102 Bai toan 2. He nghiem diing vol gia tri xac dinh cua tham so 105 TAI LIEU THAM KHAO 110
CHU D E I Str DUNG PHU'dNG P H A P DIEU KIEN CAN VA DU GIAI BAI TOAN V E TINH DUY NHAT NGHIEM M 6 DAU Trong chu de nay se minh hoa each sir dung phuong phap dieu kien can va dii giai bai toan duy nhat nghiem cho phuong trinh, bat phuong trinh, he phuong trinh va he bat phuong trinh dugc chia thanh hai dung: Dgiigl: Giai bai toan duy nhat nghiem cho phuong trinh, "bat phuong trinh chua tham so. Dang 2: Giai bai toan duy nhat nghiem cho he phuong trinh, he bat phuong trinh chua tham so.
• V l (111 I : T i m m de phuong t r i n h : = — = — = BAI TOAN 1 [| I inx'-2(m-l)x- + m - I =0. (1) GiAi BAI T O A N D U Y N H A T N G H I E M • CO n g h i e m d u y nhat. C H O PHL/ONG TRINH, B A T PHUaNG TRINH Gidi Dieu kien can: G i a i sU (1) c6 n g h i e m X,,, suy ra I. PHir()N(J P H A P mx^-2(m-l)xf, + m - 1 =0 V a i yeu cau: o m ( - X,,)' - 2 ( m - 1)( - X,,)' + m - 1 = 0 " Tim dieit kieii ciia tluim so (i>id sii Id m) dc plurc/iii^ trinh, hat tuc la - x„ cQng la n g h i e m cua phuang t r i n h . plni(/i\^ triiili: V a y de phuong t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat dieu k i e n la: fix, m) >() (liodcf(x, m) hiem duy nlid't" ta lliirc hien theo cac budfc sau: K h i do: (1) c ^ m - 1 = 0 » m = 1. Btioc 1: Dat dieu k i e n de cac bieu thirc trong (1) c6 nghla. BiioT 2: Dieu kien can: Gia sir (1) c6 n g h i e m la x = x,„ k h i do: D o c h i n h la dieu k i e n can de phuong t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat. a. Dua tren t i n h chat d o i x u n g ciia cac bieu thiic glai t i c h Dieu kien du: V o l m = 1, ta c6: trong (1), ta d i khang d i n h k h i do x = cpCx,,) cung la x"* = 0 » X = 0 la n g h i e m duy nhat cua phuong t r i n h . n g h i e m cua (1). V a y , v 6 i m = 1 phuong t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat. b. D o do, de he c6 n g h i e m d u y nhii't can c6: Chii y: x„ = (p(x„) =^ G i a t r i ciia x,,. (2) 1. Y e u ciiu tren hoan toan c6 the duoc thuc hien bang phuong phap dat c. T h a y (2) vao (1) ta xac d i n h dugc dieu k i e n can cho an phu, cu the: t h a m so m de (1) c6 n g h i e m duy nhat, gia sur meD,„. Dat t = x% v o i t > 0, phuong t r l n h c6 dang: Bu(>c3: Dieu kien dir. V o i meD,„, ta d i k i e m tra l a i tinh d u y nhat f(t) = m t ^ - 2 ( m - l ) t + m - 1 = 0. (2) n g h i e m cho (1). T h o n g thuong trong buoc nay, ta c h i phai xet cac phirong Tru'd'ni^ hop I. V o i m = 0 t r l n h , bat phuong t r i n h cu the (thuong la k h o n g c6 tham so hoac neu c6 t h l da duoc d o n gian d i nhieu). K e t qua ciia (2) » 2 t - l = 0 « t = ^-« ^ ' " ^ ^ budrc nay cho phep ta loai d i k h o i tap D,„ cac gia t r i k h o n g thich hop ciia m . Phuong t r i n h c6 hai n g h i e m phan biet. Buoc 4: Ket hop ba buoc giai tren ta t u n duoc dap so. Trifdiii^ hop 2. V o i m * 0. Phuong t r i n h (1) c6 n g h i e m d u y nhat II. V i DU M I N H H O A 2{m--i) •
2. Nhu viiy, de tim dieu kien cua tham .so sao ciio phuong trinh triJng Vi du 3: Tun m de bat phuong tiinh co nghiem duy nhat: phuong: V x 2 - 2 m ( m - 1 ) ' . (1) Gicii Gicii Dieu kien can: Nhan xet rang neu phuong trlnh c6 nghiem x,„ thl cQng Dieu kien can: Gia sir (1) c6 nghiem la x = x„ suy ra - x„ cung la nhan - x,, lam nghiem. nghiem cua (1). Do do phuong trlnh c6 nghiem duy nhat thl dieu kien can la Vay (1) CO nghiem duy nhat khi x„ = - x„ » x„ = 0 x„ = - x„ x„ = 0. • Khi do: Thay x„ = 0 vao (1), ta duoc: 1 + 2 = m « m = 3. log , 1 > (m - 1 )^ « (m - 1)- < 0 m = 1. Do chinh la dieu kien can de phuong tiinh c6 nghiem duy nhat. Do chinh la dieu kien can de phuong tiinh c6 nghiem duy nhat. Dieu kien dir. V6i m = 3, khi do phuong tiinh c6 dang: Dic'u kien dir. Voi m = 1, khi do (1) c6 dang: log2(2-Vx- + l) >C » 2 - Jx^ + 1 > 1 o VX- + 1
V a y ( 1 ) C O n g h i e m d u y nhat k h i V i d u 7: T i m m de p h u o n g t r i n h sau c6 n g h i e m duy nhat: X - - 2mcosA + 2 = 0. T h a y x„ = 0 vao ( I ) , ta duoc: Gicii Dieu kien can: N h a n xet rang neu p h u o n g t r i n h c6 n g h i e m x,„ t h i c u n g 1 > 1 + m^ « m^ < 0 » m = 0. nhan - x,, l a m n g h i e m . D o c h i n h la d i e u k i e n can de p h u o n g t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat. Do do p h u o n g t r i n h c6 n g h i e m duy nhat t h i di6u k i e n can la Dieu kien du: G i a sir m = 0, k h i do (1) c6 dang: x„= - X|, « x „ = 0 ^ > 1» 2'^' < I Ixl < 0 o X = 0 la n g h i e m duy nhat. K h i do: ( D o -2m + 2 = 0 o i n = 1. V a y , v o i m = 0 p h u o n g i i l n h cc n g h i e m duy nhat. D o c h i n h la dieu k i e n can de p h u o n g t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat. V i d i i 6: T i m m de p h u o n g t r i n h : Dieu kien dii: V o i m = 1, k h i do phuong t r i n h c6 dang: Vm-cosx =cos2x. (1) x^ - 2co.sx + 2 = 0 x ' = 2(cosx - 1). CO n g h i e m d u y nhat thuoc ( - - , -). Vi: Gicii VT = x^ > 0 ] lo)>xl
1 + m — +2m~ +m~ + -L =o K h i do phuang t r i n h c6 dang: X„ v2 ^•i r(t) = t ' + m t + 2 m - 2 = 0. (2) Phuang t r i n h (1) c6 n g h i e m d u y nhat » phuang t r i n h (2) c6 d i i n g + m + 2m + m — +1=0 gt n g h i e m thoa m a n Itl > 2 - De nglu ban doe ticlani. N h u vay, de t i m dieu k i e n cua tham so sao cho p h u a n g t r i n h h o i tiic la — c u n g la n g h i e m cua phuofng t r i n h . y: ax'* + b x ' + cx" + bx + a = 0, v a i a 5i 0 (1) V a y de phucfng t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat dieu k i e n la: 6 n g h i e m d u y nhat, bang phuang phap dieu k i e n can va du dugc thuc — = X „ « X o = ±l. hien theo cac bu6c: Biioc I: N h a n xet l i i n g x = 0 k h o n g phai la n g h i e m cua phuang • V a i x„ = 1, ta du-gc: trinh. (1) o 1 + m + 2 m + m + 1 = 0 m = - ^ . Bia'fc 2: Dieii kien vein: • V o i x„ = - 1, ta dugc: G i a i su (1) C O n g h i e m x,,, suy ra — cung la n g h i e m c i a (!) 1 - m + 2 m - m + 1 = 0, v6 n g h i e m . phuang t r i n h . V a y de phuang t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat Vay, m = - ^ la dieu k i e n can de phuong t r i n h c6 n g h i e m d u y dieu k i e n la: nhat. 1 — = x,| » X|| = ±1 => G i a t r i t h a m so. Dieu kien dir. V o i m = - - , ta c6: 2 I D o chinh la dieu kien can de phuang t i i n l i c6 nghiem duy nhat. (l)x'- - x ' - x - - - x + 1= 02x'-x'-2x--x + 2 = 0 BIIOC 3: Dieu kien dir. Thuc hien viec t h u l a i . 2 2 du 9: T\m m de phuang t r i n h : ( X - 1 )^(2x^ + 3x + 2) = 0 X = 1 la n g h i e m d u y nhat. Isinx - ml + Icosx - ml = v 2 . (1) V a y , m = - ^ p h u a n g t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat. C O d u n g m o t n g h i e m thugc (0, - ) . Chii y: 1. Y e u cau t i e n hoan loan c6 the dugc thuc h i e n bang phuong phap dat Gicii an p h u , c u the: Dieu kien ran: G i a su (1) c6 n g h i e m la x = x,, suy ra N h a n xet r i n g x = 0 k h o n g phai la n g h i e m ciia phuang t r i n h . Chia ca Isinx,, - ml + Icosx,, - ml = yfz hai ve cua p h u a n g t r i n h cho x V O , ta dugc: lcos( ^ - x„) - m l + lsin( ^ - x„) - m l = V2 x^ + m x + 2 m + m . - + -i^ = 0 X X* - - X|, cung la n g h i e m ciia (1). 2. X 7t Tt C„ » X „ = 2 4• Suy ra x" + ~ = t^ - 2. T H l / V! 17
T h a y x„ = ^ vao (1), la duac: T h a y x„ = ^ vao (1), la dugc: I s i n - - m i + l c o s - - ml = V2 « > l ^ -ml + l ^ - mi = V2 tg ^ - m + ^cot g - "11 = 2 2 V l - m = 2 « m = 0. 4 4 2 2 , V2 , V2 m = 0 Im - — I = — D o c h i n h la d i e u k i e n can de phuong t r l n h (1) c6 n g h i e m d u y nha^t 2 2 m = V2 thuoc k h o i i n g (0, ^ ) . D o c h i n h \i\u Icien can de phuong t i l n h c6 d i i n g 1 n g h i e m thuoc k h o i i n g (0, ^ ) . DieII kien dir. V o i m - 0, k h i do (1) c6 dang: Dicii kien di't • Vai m = 0 ^ + Vcotgx = 2 (2) , xe((),^) A p d u n g bat dang thiic Cosi, ta dugc: (1) Isinxl + Icosxl = •s/2 c?" sinx + cosx = V2 V T = -y/igx + ^cot gx >2^^/tgx.ycoTgx^ =2 o V2 sin(x + - ) = V2 sin(x + - ) = 1 4 4 D o do: o X + - ^ - + 2k7t o X = - + 2k7t 4 2 4 xe((),") xe((),?) (2) « > ^/tgx - Tcotgx = ! tgX = 1 4 •» « > X = ^ la n g h i e m d u y nhat. la n g h i e m d u y nhat cua phuang t r l n h . • V o i m = V2 V a y , v o i m = 0 p h u a n g t r l n h c6 n g h i e m d u y nhat. (1) « Isinx - N/2 I + Icosx - V2 I = N/I Vi dii 11: T i m m de phuong t r l n h sau c6 n g h i e m d u y nhat; o sinx + cosx - -Jl - gicii tmmg ti( nhinren. ^ + ^42^ + 4^ + ^Jl^K = in. (1) V a y , v d i m = 0 hoac m = >/2 p h u o n g t r l n h c6 d i i n g 1 n g h i e m thuoc Gicii khocing (0, ^ ) . DieII kien can: G i a su phuang t r l n h (1) c6 n g h i e m la x = x,, suy ra 2 - x,| c u n g la n g h i e m cua (1). V i d u 10: T i m m de p h u a n g t r l n h c6 n g h i e m d u y nhat thuoc (0, ^ ) : V a y (1) C O n g h i e m d u y nhat k h i ^tgx-m + ^cot g x - i i i =2. (1) x„ = 2 - x„ » x„ = 1. Gicii T h a y x„ = I vao { ! ) . ta dugc m - 4. • Dieu kien can: G i a sir (1) c6 n g h i e m la x = x,,, tiic la: D o c h i n h la d i e u k i e n can de phuang t n n h c6 n g h i e m d u y nhat. V'gX() - m + ^cot gX() - m = 2 Dieu kien di'i y - X|| cung la n g h i e m cua (1). A p d u n g bat dang thCrc B u n h i a c o p x k i , ta dugc: V a y (1) C O n g h i e m d u y nhat k h i _ Tt _ 7t + V 2 ^ < 2 va ^ + ifl^ < 2 X|| — — — X,, X|| — — . 2 4 18 1 n
Do d o : Vi du 13: T i m m de p h u o n g t r i n h sau c6 n g h i e m d u y nhat: mx(2 - X) = ix - II. (1) Gicii Oicu kien can: G i a i sii (1) c6 n g h i e m x,„ ta c6: X = 1 la n g h i e m d u y nhat cua phuong t r l n h . mx„(2 - x„) = lx„ - 11 « m [ 2 - (2 - x„)](2 - x„) = 1(2 - x„) - 11 V i i y , v o i m = 4 phuang t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat. tiic la 2 - x„ cung se la n g h i e m cua phuang t r i n h . V i d u 12: T u n a, b, c de phuang t r i n h sau c6 n g h i e m d u y nhat: V a y de phuang t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat dieu k i e n la l x - a l + l x - b l = c. (1) 2 - x„ = x„ o x,| = 1. Gicii K h i do: (1) « m = 0. Dieu kien can: G i a sii (1) c6 n g h i e m la x = x,, suy la D o c h i n h la dieu k i e n can de phuang t r i n h c6 nghiem. d u y nhat. |X|, - al + IX|, - bl = c Dieu kien di'i: V o i m = 0, ta c6: l(a + b - x„) - al + l(a + b - x„) - bl = c (1) Ix - 11 - 0 « X = 1 la nghiem. d u y nhat cua phuang t r i n h . => a + b - X|| cung la n g h i e m cua (1). V a y , v d i m = 0 phuang trinh c6 n g h i e m d u y nhat. V a y (1) CO n g h i e m d u y nha't k h i V i du 14: T i m m de phuang t r i n h sau c6 n g h i e m d u y nhat: , a+b 1 X|, = a + b - x„ x„ = • = 2 m - 1. 3IX-21 Gicii Thay x„ = vao (1), ta dugc: Dieu kien cc'in: Gia su phuang t r i n h c6 n g h i e m la x = x,, suy ra c = la - bl. D o c h i n h la dieu k i e n can de phuang t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat. => 4 - X|, cung la n g h i e m cua (1). Diet! kien di'i V a y phuang t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat k h i G i a .sir c = la - bl, k h i do (1) c6 dang: x„ = 4 - x„ « x„ = 2. Ix - al + Ix - bl = la - bl « Ix - al + Ix - bl = l(x - a) - (x - b)l T h a y x„ = 1 vao p l i u a n g t r i n h , ta duac m = 1. (X - a)(x - b) < 0 (2) D o c h i n h la d i e u k i e n can de phuang t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat. • N e u a ;^ b (ta gia su k h i do a < b), k h i do: Dieu kien du: G i a su m = 1, k h i do phuang t r i n h c6 dang: (2) 3'" = 1» Ix - 21 = 0 X = 2 la nghiem duy nlia't. • N e u a = b, k h i d o : V a y , v o i m = 1 phuang t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat. (2)c:>(x-a)-
V a y de p l i u a n g t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat dieu k i e n la {)int kien dii 2-X„ = X„C:>X„= 1. • Voi m = 2 K h i d o phuang t r i n h c6 dang: ( l ) c : > l x + 2l + lx + 2l = 0 < » x = - 2 Bcinouli "m = 0 2'" = m + 1 « 2 ' " + m ( l - 2 ) = 1 o la n g h i e m d u y nhat ctia phuang t r i n h . 111 = i D o c h f n h la dieu k i e n con de phuong trinh c6 n g h i e m d u y nhat. • Voi m = - 2 Dic'ii kien di'i • V 6 i m = 0, ta c6: ( l ) < = > l x + - I + I X + 1|= - ( --hi"^'"'-'"^ > v6 n g h i e m . 2 2 4 1 = 3'' ^" « Ix - 11 = 0 X = 1 la n g h i e m d u y nhat. V a y , v a i m = 2 p h u a n g t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat. " V 6 i m = 1 , ta c6: V i du 17: T i m m de phuang t r i n h : ( x + l ) ' + (x + 3r = 2 m . (1) Ta CO nhan x e l sau: CO n g h i e m d u y nhat. x(2-x)= - x ' + 2x= 1 - ( X - 1)'< 1 V T = 2^*'-^' 0 = ^ VP = 3 ' ' - " + 1 > 3 " + 1 = 2 . Dieu kien can: G i a i sir (1) c6 n g h i e m x,,, suy ra V a y p h u a n g t r i n h (2) tuang d u a n g v a i : ( x „ + l ) ' + {x„ + 3)'* = 2 m o ( - x „ - l ) ' + ( - x „ - 3 ) - ' = 2 m VT = 1 -x-+2x = f » X = 1 la n g h i e m d u y nhat. « [3 + ( - x„ - 4)]-' + [1 + ( - x„ - 4)]^ = 2 m VP = 1 IX - 11= 0 tire la - x„ - 4 cQng la n g h i e m cua phuang t r i n h . V a y , v o i m = 0, m = 1 phuang t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat. V a y de phuang t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat dieu k i e n l i i : V i du 16: T i m m de phuang t r i n h sau c6 n g h i e m d u y nhat: -Xo-4 = x„x„= -2. Ix - m^ + 3ml + Ix + m l = m^ - 3 m + 2. Khi do: Gicii (1) « ( - 2 + 1)-^ + ( - 2 + 3 ) ' = 2 m « m = 1. Dieu kien can: G i a sir (1) c6 n g h i e m la x = x„ suy ra D o c h i n h la dieu k i e n can de phuang t r i n h c6 n g h i e m d u y nhat. lx,| - m " + 3ml + lx„ + m l = m^ - 3 m + 2 Dieu kien clii: V o i m = 1, ta c6: « l(m^ - 4 m - x„) - n r + 3 m I + l( m^ - 4 m - x„) + ml = c (1) » ( x + l ) ' + (x + 3)'' = 2. (2) => m^ - 4 m - x„ cung la n g h i e m cua (1). V a y ( 1 ) CO n g h i e m d u y nhat k h i Dat t = X + = X + 2, suy ra : ~> A 111" 111 - 4in x„ = m - - 4 m - X,, x„ = — x + l = t - l rr, 111" - 4ll1 V / , V 1 x+3 = t + r 1 hay X|| = — — vao (1), ta dugfc: Khi do: i i r - 2in > 0 (2) o (t - I ) ' + (t + 1 = 2 » 2t'' + 12t' = 0 in^ - 3iii + 2 = m" - 2m o t^(t^ + 6) = 0 » t= 0 m^ - 3 m + 2 = Im" - 2ml 111^ - 2iii < 0 x + 2 = 0
Vi dii IX: Trni m de phuang trinh: Clu'i y: 1. Nliu vay, de tim dieu kien cua tham so sao cho phuang trinh: (x - l ) ( x + l ) ( x + 3)(x + 5) = m. (1) (X + a)-* + (X + b)'* = c. (1) CO nghiem duy nhat. CO nghiem duy nhat, bing phuang phiip di^u kien ciin va du dugc thuc Giai hien iheo cac buac: Dic'ii kien can: Giai su (1) c6 nghiem x,,, suy ra Bum-1: DieII kien can: ( x „ - l ) ( x „ + l)(x„ + 3)(x„ + 5) = m Giai su (1) c6 nghiem x„, suy ra - X n - a - b cung la « ( - x„ + 1 ) ( x „ - - ] ) ( - x„ - 3)( - x„ - 5) = m nghiem ciia phuang trinh. Vay de phuang trinh c6 nghiem o [5 + ( - X, - 4)][3 + ( - ^, - 4)][ 1 + ( - x - 9, suy ra x" + 4x + 3 = t + 8. Khi do phuang trinh tren c6 dang: |x + l = t-l 1=1 +4x-5 = l X+3 = t+r t(t + 8) = 9 » t^ + 8t - 9 = 0 « 1 = -9 x^ + 4 x - 5 = - 9 K h i do: x + 4x - 6 = 0 x = -2±VlO (1) » ( t - l ) V ( t + l ) ' = 2 m » 2 t ' ' + 12t' + 2 = 2m +4x + 4 = 0 x = -2 o t"* + 6t- + 1 - m = 0. (2) Dat u = t", u > 0. tuc la phuang trinh khong c6 nghiem duy nhat. Vay, khong ton tai m de phuong trinh c6 nghiem duy nhat. Khi d o : Chu y: (2) f(u) = u ' + 6u + 1 - m = 0. (3) 1. Nhu vay, de' t i m dieu kien cua tham. so sao cho phuang trinh. Phuang trinh (1) c6 nghiem duy nhat (X + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, v6i a + b = c + d (1) » (3) CO nghiem u, < 0 = U2 CO nghiem duy nhat, bang phuang phap dieu kien can va du duac thuc fS
Vay de phuomg trinh c6 nghiem day nhat dieu kien la: Dien kien dir. V 6 i m - 2, ta c6: a +b a - b = x,| o x,| = - liunhiiiccipxki (I) 4=( + V2-7 ) < (1 + l ) ( x + 2 - x ) - 4 Gia tri tham so. Vx = V 2 - x x = 1 Ja nghiem duy nhat. Do chinh la dieu kien can de phuong trinh c6 nghiem duy nhat. Bif()c 2: Dieu kien dir. Thuc hien viec thu lai. Vay, m = 2 phuong trinh c6 nghiem duy nha't. 2. Yeu cau tien hoan toiin c6 the' ducfc thuc hien bang phuang phap dat Chii y: an phu, cu the: 1 Nhu vay, de tlm dieu kien ciia tham so sao cho phuang trinh: Viet lai phuang trinh du6i dang: (1) V x + a + V b - x = c. (x' + 4x - 5)(x^ + 4x + 3) = m. CO nghiem duy nhat, bang phuang phap dieu kien can va du duoc thuc hien iheo cac bu6c: Dat t = X ' + 4x - 3, dieu kien t > - 9. suy ra x^ + 4x + 3 = t -i- 8. BiiocJ: Dien kien can: Khi do phuong trinh tren c6 dang: Giiii sir (1) c6 nghiem x„, suy la t(t + 8) = m « f ( t ) = t ' + 8 t - m = 0. (2) Phuang trinh (1) co nghiem duy nhat (2) CO nghiem thoa man t, < t, = - 9 , / b - ( - x „ - a + b) + ^/a + (-v„ - a + b) = c A'> 0 16 + m > 0 ^a + (-x„ - a + b) + ^ b - ( - x „ - a + b) = c f(-9) = 0 9 - m = 0 v6 nghiem. tuc la - x„ - a + b cung la nghiem ciia phuang trinh. Vay S/2 < - 9 -4 Gia tri tham so. Giiii Do chinh la dieu kien ciin de phuang trinh c6 nghiem duy nhat. Dieu kien 0 < x < 2. Bui/c 2: Dien kien dir Thuc hien viec thu lai. Dieu kien can: Gia su (1) c6 nghiem x„ , khi do: 2. Yeu cau tren hoan toan c6 the duac thuc hien bang cac each khac, ^x^ + V2-X0 = m ^ 2 - ( 2 - x „ ) + ^ 2 - x „ = m cu the: Ccicli I: Phuang phap ddr an pint: 0. V = V b - x Vay ( 1 ) CO nghiem duy nhat khi Khi do phuang trinh dugc chuyen thanh he: 2 - x „ = x„x„= 1. K h i do: u +V= c u + V =a+b (1) 1 + 1 = in « m = 2. do chinh la he dx loai I ma chiing ta da biet each giiii. Do chinh la dieu kien can de phuong trinh c6 nghiem duy nhat.
Ci'icli 2: Phuang pluip ham so: Chu y- X c t h a m so y = V x + a + V b - x l i e n tap D = [ - a, b ] , tCr d o xac d i n h : 1 T r o n g phan xac d i n h dieu k i e n can ta c6 the su d u n g : • D a o h a m l o i g i a i phuang t r l n h y ' = 0. • Bat dang thilc Bunhiacopski n h u sau: • Bang bien thien. V T ^ +V ^ < V ( l + ' H 4 - x + x + 5) = 3>/2 K h i do phuang t r l n h c6 n g h i e m d u y nhat k h i va c h i k h i d u a n g thang l o g ^ ^ ( V 4 - x + Vx + 5 ) < 1. y = c cat phan d o thj h a m so tren D tai m o t d i e m d u y nhat. Cacli 3: Pliii'(Hi}> plidp liMiiy, i^icic lioci. V a y p h u a n g t r l n h c 6 n g h i e m k h i va c h i k h i : 3. D e nghj ban doc m a rong c h o phuang t r l n h : V4-X _ Vx+5 X = la n g h i e m d u y nhat. ' ! y a - t ' ( x ) + 7b + f ( A ) = C. 1 ~ 1 Bat dang thuc Cosi n h u sau: V i dii 20: T u n a de phuang t r l n h sau c 6 n g h i e m d u y nhat: (V4^ +V x ^ ) ' = 4 - X + X + 5 + 2 ^ ( 4 - x ) ( x + 5) l o g ^ ^ ( V 4 - x + V x + 5 ) = a. (1) < 9 + ( 4 - x ) + (x + 5 ) = 18 Gicii Dii'ii kicn ccin: G i a sir (1) c6 n g h i e m x,,, k h i do: < » V 4 - x + V x + 5 £ 3 V 2 l o g ^ ^ ( v ' 4 - x + V x + 5 ) < 1. V a y p h u a n g t r l n h c 6 n g h i e m k h i va c h i k h i : ^ « log3^(^(-l-X|,)+5+74-(-l-X|,)) = a V4-X = \/x + 5 X = - - la n g h i e m d u y nhat. Tuc la k h i do - 1 - x,, cung la n g h i e m cua (1). V a y ( 1 ) CO n g h i e m d u y nhat k h i 2. Bai toan tren c o n c 6 the dirac g i a i bang phuang phap h a m so, n h u sau: X(| — 1 X(| X|| — —. V i e t l a i (1) duofi dang: V 4 - x + V x + 5 - log^y^a vdi a > 0 ' (2) V a i X|| = - ^ , ta dugc: Phuang t r l n h (1) c6 n g h i e m d u y nhat ( 1 ) « iog^^(J4Tl+^-l + 5) = a « a = 1. « (2) CO n g h i e m d u y nhat d u d n g thiing y = l o f i ^ ^ a cdt d 6 t h i h a m so y = V 4 - x 4 / x + S V a y a = 11a dieu k i e n can de phuang t r l n h c6 n g h i e m d u y nhat. tai d i i n g m o t d i e m . Dicii kicn dir. V d i a = 1, phirong t r l n h (1) c6 dang : X e t h a m so y = V 4 - x + V x + 5 . • M i e n xac d i n h D = [ - 5, 4 ] . ,\ 4-x >0 -5 < X < 4 ^ • Dao ham: X +5 > 0 1 . 1 2V(4-x)(x+5) =9 y = - 4 - x + x + 5 + 2 V ( 4 - x ) ( x + 5) = 18 2V4-X 2Vx+5' - 5 < X < 4 1 y' = 0 T1 = - + ^ ,= 0 , « X = . [ 4 ( 4 - x ) ( x + 5) = 81 4x-^+4x + l = 0 2 2V4^ 2Vx + 5 V a y , a = 1 phuang t r l n h c6 n g h i e m d u y nhat. « Vx + 5 = V4 - X X = - ^ .
Being bien thien: Neu a = 1, k h i do: X I -GO - 5 - 1/2 (3) (t - 1)' < 0 t 1 2sinx - I 7t 1 X € | 0,271) X = — sinx = - o 6 _ 57t Ttr do dieu k i e n la a = I . ^~ 6 V i (III 21: T i m a, b de phirong t r i n h : Vay. v o i b = 0 va a = 1 co d u n g 2 nghiem phan biet thuoc [0, In). I2.sinx - 1 1 + I2sinx - al = b (1) CO d i i n g 2 n g h i e m phan biet thuoc [0, 2n). III.BAITAPD^ NGHI Gicii Biii tap 1: T u n m de cac phuong trinh sau c6 nghiem d u y nhat: Dat I = 2 s i n x . dieu k i e n Itl < 2. a. mx"* + ( m + 3)x'^ + m " - m = 0. K h i d o p h u o n g t r i n h c6 dang: b. ( m - 2 ) x ' - 2 m x ' - ( m - 5)x- + 2 m x + m - 2 = 0. It - l l + l t - a l = b (2) c. (x + 2 ) ' + (x + 6)-' = n r - 2 . K h i do (1) CO d i i n g 2 n g h i e m phan biet thuoc [0, 2n) cl. x ( x - 2 ) ( x + 2)(x + 4) = 2 m . Bai tap 2: T i m m de cac bat phuong t r i n h sau c6 nghiem d u y nhat: (2) CO n g h i e m duy nhat thuoc [ - 2, 2 ] . Dicti kien can ^ > 1 + vn\ G i a sir (1) c6 n g h i e m la t = t,, suy ra lt„ - 11 -i- ll„ - al b b. 2'^-"< 1 + n r . Bai tap 3: T u n m de cac bat phuong t r i n h sau c6 n g h i e m d u y nhat: c:>l(l + a - t „ ) - a l + l(l + a - t „ ) - ll = b => 1 + a - t|, cung la n g h i e m ciia (2). a. log,„(x' + 2) < l o g , m . b. log,,,,,(1x1+ l ) + l o g , ( l + m ' ) < 0 . V a y (2) CO n g h i e m d u y nhat k h i Bai tap 4: T u n m de cac phuong t r i n h sau c 6 nghiem duy nhat: t„ = 1 + a - t„ t„ = ^ . a. x ( 4 - x ) + m = Ix-21. b. Ix + n r l + Ix + I I = Im + I I . T h a y t,, = vao (2), ta duoc: c. m x - - 2 ( m - 1 )x + 2 = Imx - 21. 1 ^ - l l + | i l l - a l = b o la - I I = b Bai tap 5: T u n m de cac phuong trinh sau c6 nghiem d u y nhat: '2 % ' • 2 r a. Vl-x" + + = m. D o c h i n h la dieu k i e n can de phuong t r i n h c6 n g h i e m duy nha't. Dicii kien di'i: b. + 2 ^ f l ^ =m. V d i b = la - 11, k h i do (2) c6 dang: c. Vl-x- + v/s-x^ = m . It-11 + I t - a l = l a - I I d. V4-X + Vx + 2 = m. o l t - l l + lt-al = l(t-l)-(t-a)l e. HK + = m. c^(t-l)(t-a)
Hiii tap 6: T i m m de cac phuang trinh sau c6 nghiem duy nhat a. X- - 2insin'x + 4 = 0. b. X - - m.sin(cosx) + m - = 0. BAI TOA N 2 c. x ' - ni.tg(cosx) 4 n-.~ ~- 0. GiAi B A IT O A N D U Y N H A T NGHIEM Bid tap 7: Tun a, b, de phuong trinh sau c6 nghiem duy nhat: C H O H E PHUaNG TRINH, H E B A T PHl/O'NG TRINH \/(ax + b)2 + ^(ax-br + ^(a-x2 - b ^ = . 1.1>HIT()N(J F H A P Voi yeu cau: " Tim dicn klcn ciia tham so(i;id sir la m) dc he pliuang trinh, / t f hat phiioiiii trinh: f(x,y,m)0 CO ii^liieru day nhat" ta thuc hien theo cac budc sau: Biio'c J: Dat dieu kien de cac bieu ihiic irong (1) c6 nghla. Bum- 2: Dieu kien can: Gia sir (1) c6 nghiem la (x,,, y,,) khi do: a. Dua tren tinh chat doi xung cua cac bieu thiic giai tich trong (1), ta di khang dinh khi do ((p,(x,|, y,,), (pjCx,,, y,,)) cung la nghiem cua (1). b. Do do, de he CO p.ghiem duy nhat Clin c6: (pi(x„,y„) = x„ Gia tri ciia (x,„ y,,). 9 2 ( x „ , y ( , ) = y„ (2) c. Thay (2) vao (1) ta xac dinh dugc dieu kien can cho tham so m de (1) c6 nghiem duy nhat, gia su meD,„ - C) budc nay can su dung kien thiic ve dieu kien c6 nghiem duy nhat cho phuong trinh hoac bat phuang trinh. Biioc3: Dieu kien dir. V o i meD,,,, ta di kiem tra lai tinh duy nhat nghiem cho (1). Thong thuong trong buac nay, ta chi^ phai xet cac he phuong trinh, he ba'l phuang trinh cu the (thuang la khong CO tham so hoac neu c6 thi da dugc dan gian di nhieu). Ket qua ciia buac nay cho phep ta loai di khoi tap D„, cac gia tri khong thich hgp ciia m. Biioc 4: Ket hop ba buac giai tren ta tim dugc dap so. 3a 33
Chii y: V a i cixc he mot an bai toan duac tbi/c hien dua tren phirong phap 2. Yeu cau tren hoan toan c6 the dugc thuc hien bang nhung phuang da biet trong bai toan 1. phap khac, cu the: Cckli J: Sir dung phuang plidp cluing ciia he doi xiing loai I. II. V i DU MINH HOA Bien doi he phuang trinh v6 dang: Vi du 1: Cho he phuang trinh: X +y =6 . U +yr-2xy =m ^ X +y =111 36 - m X + y =6 xy = X +y =6 khi do, X , y la nghiem ciia phuang trinh : Xac dinh m de he c6 nghiem duy nhat, xac dinh nghiem do. 2 . 36-m G'uii = 0. (1) Dicii kicii cciii: He CO nghiem duy nhat Nhan xet nlng neu he c6 nghiem (x„. y„) thi (y^,. x„) cQng la nghiem (1) CO nghiem duy nhat o A',,, = 0 < = > m - 1 8 = 0 < = > m = 1 8 . cua lie, do do he co nghiem duy nhat khi: Khi do he c6 nghiem x = y = 3. X(, = y„. (*) Vay, vai m = 18 he phuang trinh c6 nghiem duy nhat. Khi do, he c6 dang: Cdcli 2: Siiditng plutang plidp the. 2xf| = m Bien doi he ve dang: m = 18. 2x„ = 6 x~ + ( 6 - x ) " = m 2 x ^ - 1 2 x + 36 i.i-0 (2) (I) Do chfnh ia dieu kien ciin de he c6 nghiem duy nhat. y = 6-x y = 6-x DicH kien dir. He CO nghiem duy nhat Voi m = 18, ta duac: phuang trinh (2) c6 nghiem duy nhat + y- = 18 fx + y = 6 « A',|, = 0 » m - 18 = 0 « m = 18. X = y = 3 la nghiem duy nhat. x +y =6 XV = 9 Khi do he c6 nghiem x = y = 3. Vay, vai m = 18 he phuang trinh c6 nghiem duy nhat. Vay, vdi m = 18 he phuang trinh c6 nghiem duy nhat. Cdch 3: Sit dung phuang phap do thi. Chii y: . Nhan xet rang vdi m 0. 1. Nhu vay, de tim dieu kien cua tham so sao cho he phuang trinh doi xiTng loai I va ioai II c6 nghiem duy nhat ta thuc hien theo cac bu6c: Ta c6: Biioc I: Dieu kien can • Phirang trinh (1) la du6ng tron (C) c6 tarn 0 ( 0 , 0), ban kinh R ^ yfm . • Nhan xet rang, neu he c6 nghiem (x,„ y„) thi (y,„ x„) cung la nghiem ciia he, do do he c6 nghiem duy nha't • Phuang trinh (2) la duang thang (d). khi: . B . y He CO nghiem duy nhat x„ = y,, (**) (d) tiep xiic v6i (C) • Thay (**) vao he ta duac gia tri ciia tham so. Do chinh d ( 0 , (d)) = R » = Vi^ « m = 18. la dieu kien can de he c6 nghiem duy nhat. Vi + i Bitoc 2: Dieii kien dii. Khi do, he c6 nghiem x = y = 3. Vay, vai m = 18 he phuang trinh c6 nghiem duy nhat. .14 35
Ccuh 4: Si'cclungphucfngplidp luang gidc hoa. Dieu kien dir. Vcfi m = 1, ta duac: N h a n xet r i n g v a i m < 0, he v6 n g h i e m , do do ta xet v 6 i m > 0. (log2(x + y) = l o g j l x y ) ^ \^ + y "^^y ^ |x + y = 4 o X = y = 2. T u phuang t r l n h t h i i nhat ciia he: |log2(xy) = 6 - x y [xy = 4 [xy = 4 } v2 X y V a y , v 6 i m = 1 he c6 n g h i e m duy nhat (2, 2). -I- =1 V i d u 3: Cho he phuang t r l n h : dat: X + xy + y = in + 2 (I) X = Vm sin t ' [x"y+ xy'^ = m + 1 ,tG[0, 271). (3) y = V m cos t Xac d i n h m de he c6 n g h i e m duy nhat. T h a y (3) vao phucrng t r l n h t h u hai ciia he, ta duoc: Gidi Dieu kien edn: N h a n xet rang neu he c6 n g h i e m (x,„ y,,) t h i (y,,, x„) c u n g Vim sint + 4m cost = 6 « 42^\t + - ) = 6 la n g h i e m cua he, do do he c6 n g h i e m duy nhat k h i : 4 x„ = y„. (*) « . s i n ( t + ^ ) = ^ . (4) K h i do: He CO n g h i e m duy nhat m = l X() + 2 X ( ) = m + 2 in = 2 x o - 1 phifong t r l n h (4) c6 n g h i e m duy nhat tren tap [0, 2n) m = -3 . (I)» 2xo = m + 1 2xo-xr,-2x,| + l = 0 ^ 3V^ m = — = 1 c > m = 18. 4 D o chfnh la dieu k i e n can de he c6 n g h i e m d u y nhat. K h i do he c6 n g h i e m x = y = 3. V a y , v o i m = 18 he phuang t r l n h c6 nghiem duy nhat. ieu kien di'i V i d u 2: T u n m de he p h u a n g t r l n h sau c6 n g h i e m d u y nhat: • V o i m = 1, ta duac: log2(x + y) = m logjCxy) ^ j ^ ^ | x y + (x + y) = 3 log2(xy) = 6 - x y [xy(x + y) = 2 Gidi k h i do X + y va x y la n g h i e m ciia phuang t r l n h : Dieu kien: X + y = 1 (vn) X + y> 0 X , y > 0. t = 1 ixy = 2 xy > 0 t ' - 3t + 2 = 0 o o X = y = 1 1=2 X +y = 2 Dial kien (dir. [xy = l N h a n xet rSng neu he c6 n g h i e m (x,„ y,,) t h i cQng c6 n g h i e m (y,,, x„), la n g h i e m d u y nhat ciia he. do do he c6 n g h i e m d u y nhat t h i x„ = y„. K h i do he c6 dang: " V o i m = - 1, ta dugc: log2(X||+Xo) = !r.log2 x?| " 0 ^ " llog2 4 = mlcg2 ^ j ^ ^ jxy + (x + y) = l m = 1. [xy(x + y) = 0 log2 Xo = 6 - Xo X,| =z N h a n thay he l u o n c6 hai cap n g h i e m (0, 1) va ( 1 , 0). D o c h i n h la dieu k i e n can de he cc n g h i e m d u y nhat. 36
He CO n g h i e m d u y nhat • V d i m = - - , ta duac: 4 (1) v6 nghiem &. (2) c6 nghiem .kep (2) v6 nghiem & (1) c6 nghiSiii kep xy + (x + y) = ^ 4 ( i ) & (2) CO nghiem kep u „ (I)« xy(x + y) = ^ 4 - 4m - 3 < 0 A,
^hii y: V i d u tren, c h i i n g ta c6 the thuc hien bang each sau: Tniv-ng lu/p 7: V o i m = - , he ( I ) c6 dang: V i e t lai he phuong t r i n h d u d i dang: 1 V7 = i - i X - = 17 x2+y2 = i7 (x + y ) - - 2 x y = 17 Vx + -y/y = r 0 ^ , he (I) c6 dang: He CO n g h i e m d u y nhat » ( 1 ) CO n g h i e m kep duong ^/^ + ^/y = 1 . t=VI . JVy = i - t X +y< m t^+(l-t)^