Cách giải bài Toán ôn thi trung học cơ sở

Chia sẻ: Dinh Bat Vinh Vinh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

392
lượt xem 92
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đây là tài liệu giới thiệu các cách giải một bài Toán THCS được khái thác theo các hướng khác nhau trên cơ sở tính chất đường trugn bình cảu tam giác, nhằm phát huy tính sáng tạo cho học sinh, giúp các em hứng thú hơn trong việc học và làm toán trong các kỳ thi của mình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Cách giải bài Toán ôn thi trung học cơ sở

NHIỀU CÁCH GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN THCS Trong toán học có rất nhiều bài toán có rất nhiều cách giải. Với bài viết này tác giả xin được đề cập đến một số cách giải bài toán cấp THCS thông qua việc vẽ đường phụ, Đây là các cách giải được khai thác theo các hướng khác nhau trên cơ sở t ính chất đường trung bình của tam giác, nhằm phát huy t ính sáng tạo cho học sinh nhằ m giúp các em hứng thú hơn trong việc học và làm toán. Tác giả bài viết mo ng nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét của các thầy cô, bạn đọc trong cả nước nhằm ngày càng hoàn thiện hơn. Bài toán : Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến CD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm K 1 CK (1) sao cho BK = BA. Chứng minh rằng CD = 2 Giải:Ở đây xin được giới thiệu 10 cách giải bài toán trên. A Cách 1: (Hình 1) Gọi E là trung điểm của AC. E D 1 Có BE là đường trung bình của D AKC => BE = KC (1) 2 Xét D BDC và D CEB có: B C 1 1 BD = CE (vì BD = AB; CE = AC mà AB = AC); Cạnh BC chung; 2 2 · = ECB (vì D ABC cân tại A); · DBC Vậy D BDC = D CEB (c.g.c); K Suy ra CD = BE (hai cạnh tương ứng) (2) H.1 A 1 Từ (1) và (2) suy ra CD = CK (đ.p.c.m) 2 Cách 2: (Hình 2) D 1 Gọi H là trung điểm của KC. BH là đường trung bình của D AKC => BH = AC 2 Xét D BDC và D BHC có: B C 1 1 BD = BH (vì BD = AB; BH = AC mà AB = AC); 2 2 · ·· ·· · = DBC vì DBC = ACB mµ ACB = HBC (do so le trong, BH//AC) ; H HBC BC cạnh chung; K Vậy D BDC = D BHC (c.g.c) H .2 Suy ra CH = DC (hai cạnh tương ứng); (1) 1 A Mà H là trung điểm của KC nên CH = CK (2). 2 1 D Từ (1) và (2) suy ra: CD = CK. 2 Cách 3: (hình bên) B C Trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho CA = CM; CD là đường 1 trung bình của D ABM => DC = BM (1) Xét D KBC và D MCB có: 2 ·· · BC cạnh chung; KBC = MCB (cùng bù với ABC ); K M (1) Trích Nâng cao và phát triển toán 7 Nhà xuất bản Giáo dục. 1
KB = MC (vì KB = AB; MC = AC; AB = AC); Vậy D KBC = D MCB (c.g.c) => KC = MB (hai cạnh tương ứng) (2). 1 Từ (1) và (2) suy ra DC = CK. (đ.p.c.m); 2 Cách 4: (hình 4) A Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CB = CN; Ta có: DC là đường 1 trung bình của D ABN => CD = AN (1); 2 D Xét D KBC và D ACN có: ·· BC = CN; KBC = ACN N C B · = 1800 - ABC ; ACN = 1800 - ACB mµ ABC = AC B ) ·· ·· · ( v × KBC KB = AC (cùng bằng AB); Vậy D KBC = D ACN (c.g.c) => CK = AN (hai cạnh tương ứng) (2); H .4 1 Từ (1) và (2) suy ra: CD = CK. (đ.p.c.m); K 2 Cách 5: (hình 5) A Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của BC và BK; 1 1 Có DP là đường trung bình của D ABC => DP = AC = AB = DB ; 2 2 D · · ·· · = ACP (cùng bù với DPC ); Theo giả thiết ABC = ACB DP // AC => DPB ·· ( D ABC cân tại A); DPB = DBP mà C P B ·· · ·· · QBP = 180 0 - DBP ; DPC = 1800 - DPB => QBP = DPC Xét D QBP và D DPC có: Q 1 ·· QB = DP; QBP = DPC (chứng minh trên); BP = CP (cùng bằng BC); H .5 2 Vậy D QBP = D DPC (c.g.c) => DC = QB (1); K 1 Mặt khác QP là đường trung bình của D KBC nên QP = CK (2); A 2 1 Từ (1) và (2) suy ra: CD = CK (đ.p.c.m); 2 E D Cách 6: (Hình 6). Gọi E; O lần lượt là trung điểm của AC và KC; OE là đường trung bình của D ACK 1 C B nên OE = AK mà AK = 2AB = 2AC => OE = AB = AC; 2 Xét D CDA và D OCE có: 1 ·· AD = CE (cùng bằng AC); OE = CA; DAC = CEO (đồng vị, OE // AD); H .6 O 2 A Vậy D CDA = D OCE (c.g.c) => OC = CD; (1) K 1 Mặt khác O là trung điểm CK nên OC = CK (2) 2 D 1 Từ (1) và (2) suy ra CD = CK. (đ.p.c.m); 2 Cách 7: (hình 7) P C B Gọi P; O lần lượt là trung điểm của BC và CK; 1 DP là đường trung bình của D ABC nên DP = AC 2 H .7 O 2 K
1 OP là đường trung bình của D CBK nên OP = BK 2 Theo bài ra, ta có BK = AC nên DP = OP; ·· ·· ·· ·· ·· OPB = DBP (so le trong, OP//DB); DBP = ACP vµ ACP = DPB Þ OPB = DPB Þ OPC = DPC Xét D DPC và D OPC có: DP = OP (c/m trên); ·· OPC = DPC (c/m trên); Cạnh PC chung 1 1 Vậy D DPC = D OPC (c.g.c) => OC = CD mà OC = CK => CD = CK. (đ.p.c.m). 2 2 Cách 8: (hình 8) A F Trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho DF = DC; Xét D BDF và D ADC có: ·· DF = DC; DA = DB; FDB = CDA (hai góc đối đỉnh); suy ra: D BDF = D ADC (c.g.c) => BF = AC mà AC = BK nên BF = BK; D Ta lại có: ·· C B FBC + ACB = 180 0 (BF // AC nªn hai gãc trong cïng phÝa bï nhau); ·· KBC + ABC = 1800 (hai gãc kÒ bï) ·· ·· mà ABC = AC B (DABC c©n t¹i A) => KBC = FBC H .8 Xét D FBC và D KBC có: FB = KB (c/m trên); K ·· KBC = FBC ; BC cạnh chung; 1 Vậy D FBC = D KBC (c.g.c) => FC = CK => 2CD = CK => CD = CK. (đ.p.c.m); 2 Cách 9: (hình 9); A R Từ B kẻ đường thẳng song song với CK cắt AC tại O; Từ C kẻ đường thẳng song song với BK cắt BO kéo dài tại R; Dễ dàng chứng minh được CR = BK = AB; BR = CK; O D Xét D ROC và D BOA có: ·· CRO = ABO (so le trong, CR//AB) ; CR = AB; B C ·· RCO = BAO (so le trong, CR//AB) Suy ra: D ROC = D BOA (g.c.g); 1 1 1 1 => OA = OC = AC = = AB; OB = OR; => OR = BR = CK; (1); H .9 2 2 2 2 Xét D ADC và D COR có: 1 ·· K AD = OC (cùng bằng AB); RCO = DAO (so le trong, C R//AB) ; 2 CR = AC (cùng bằng AB); Vậy D ADC = D COR (c.g.c); => OR = CD (2); 1 Từ (1) và (2) => CD = CK. (đ.p.c.m); 2 Cách 10: (hình 10) 3
A Trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BC; Nố i FK; Gọi I là trung điểm của FK; Xét D FBK và D CBA có: D ·· FB = CB; FBK = CBA (hai gãc ®èi ®Ønh); AB = KB (giả thiết); B nên D FBK = D CBA (c.g.c) => FK = AC F C 1 1 mà AB = AC => FK = AB => FK = AB 2 2 I => FI = DB; (1) · ··· ·· · Theo bài ra, ta có: ACB = ABC mµ ACB = BFI Þ BFI = ABC = DBC H .1 0 (2) K Xét D FBI và D BCD có: FB = BC; ·· BFI = DBC (theo (2)); FI = BD (theo (1)); Vậy D FBI = D BCD (c.g.c) => BI = CD (3); Mặt khác do I; B lần lượt là trung điểm của FK và FC => IB là đường trung bình của D KFC 1 1 => BI = CK (4); Từ (3) và (4) suy ra: CD = CK. (đ.p.c.m); 2 2 Chú ý: Trong các cách vẽ đường phụ, có thể lập luận theo nhiều cách khác nhau để chứng minh được 1 CD = CK. 2 Nguyễn Văn Chương Trường THCS Nguyễn Hàm Ninh Ba Đồn Quảng Trạch Quảng Bình Điện thoại: 0935187009 4