CHỦ ĐỀ 15: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Chia sẻ: Paradise10 Paradise10 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

90
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chủ đề 15: giới hạn của hàm số', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHỦ ĐỀ 15: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

CHỦ ĐỀ 15: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN. a.Giới hạn hữu hạn. Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên khoảng (a;b) \ x0 . Khi đó lim f(x0 )  L nếu  d·y sè (xn ) trong tập x x 0 hợp (a;b) \ x0 mà lim xn  x0 ,ta đều có lim f(xn )  L . b.Giới hạn vô cực.   lim f(x)   hay lim f(x)   nếu  dãy xn  (a;b) \ x0 mà x x0 x x0 lim xn  x0 , ta đều có lim f(xn )    hay lim f(xn )    . 2.Giới hạn hàm số tại vô cực. +/ Giả sử ta có hàm số f xác định trên (a; ) . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến  nếu với mọi dãy (xn ) trong khoảng (a; ) mà lim xn   ,ta đều có lim f(xn )  L . Ta viết lim f(x)  L . x  +/ T¬ng tù ta cã lim f(x)  , lim f(x)  , lim f(x)  L, x  x  x  lim f(x)  , lim f(x)   . x  x  2.Một số định lý về giới hạn.
Định lý 1: Giả sử lim f(x)  L vµ lim g(x)  M . Khi đó: x  x x0 a/ lim  f(x)  g(x)  L  M. x x0 b/ lim  f(x)  g(x)   L  M. x x0 c/ lim  f(x).g(x)  L.M ®Æc biÖt lim  cf(x)   cL. x x0 x x0  f(x)  L  ,M  0 . d/ lim  x x0 g(x)  M  Định lý 2: Giả sử lim f(x0 )  L , khi đó: x x 0 a/ lim f(x)  L . x x0 b/ lim 3 f(x0 )  3 L . x x0 c/ Nếu f(x)  0 x  J \ {x0} ,trong đó J là một khoảng nào đó chứa điểm x0 thì L  0 vµ lim f(x0 )  L . x x0 4. Giới hạn một bên. +/ Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x0 ;b) .Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ),nếu với mỗi dãy (xn ) trong khoảng (x0 ;b) mà lim xn  x0 ,ta đều có lim f(xn )  L .
Ta viết lim f(x)  L . x x 0 +/ Định nghĩa tương tự cho lim f(x)  L . x x 0 +/ Hàm số có giới hạn tại x0 và lim f(x)  L tồn tại lim f(x) , x x 0 x x0 lim f(x) và lim f(x)  lim  L .  x x0 x x 0 x x 0 5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực. 1 +/ Nếu lim f(x)   thì lim 0. x x0 f(x) x x0 +/ Quy tắc 1. Nếu lim f(x)   vµ lim g(x)  L  0 ,thì lim  f(x).g(x) cho bởi bảng sau: x x 0 x x0 x x0 lim  f(x).g(x) Dấu của L lim f(x) x x 0 x x0         
   Quy tắc 2: lim f(x)  L  0 và lim g(x)  0 vµ g(x)  0 hoÆc g(x)  0  x x 0 x x 0 f(x) x J \ {x0} , trong đó J làmộy khoảng nào đó chứa điểm x0 ,thì lim cho x x0 g(x) bởi bảng sau: Dấu của L Dấu của f(x) f(x) lim x x0 g(x)             6. Một số dạng vô định 0 Dạng : 0 Cách khử :
+/ Phân tích tử và mẫu thành tích để giải ước nhân tử chung. +/ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.  Dạng :  +/ Chia cả tử và mẫu cho xk ,với k là số mũ cao nhất của biến số x.(Hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước). +/ Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn, thì đưa xk ra ngoài (k là bậc cao nhất của x trong căn) trước khi chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của x. Dạng    và dạng 0. : +/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x dưới dấu căn hoặc quy đồng mẫu để đưa về cùng một phân thức. II. Kĩ năng cơ bản. Vận dụng linh hoạt các định lý về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực để giải các bài toán về giới hạn hàm số. III. Một số ví dụ: A.Ví dụ tự luận: Ví dụ 1: Áp dụng định nghĩa tính
3x2  x  1 . lim x 1 x 2 Giải : 3x2  x  1 xác định trên ¡ \ 1 . +/ Hàm số f(x)  x 1 +/ Giả sử  xn  là dãy số tùy ý mà xn  2 . Khi đó 3xn2  xn  1 3.22  2  1 lim f(xn )    11 xn  1 2 1 3x2  x  1  11 . +/ Vậy lim x 1 x 2 Ví dụ 2: Áp dụng định nghĩa tính x2  2x  3 . lim 2 x 1 2x  x  1 Giải : x2  2x  3  1 +/ Hàm số f(x)  2 xác định trên ¡ \ 1, . 2 2x  x  1 +/ Giả sử  xn  là dãy số tùy ý mà xn  1 . Khi đó
x2  2xn  3 f(xn )  lim n 2 2xn  xn  1 (xn  1)(xn  3)  lim 1 2(xn  1)(xn  ) 2 x 3 4  lim n  1 2(xn  ) 3 2 x2  2x  3 4 . +/ Vậy lim 2 3 x 1 2x  x  1 Ví dụ 3: Tính x5 x5 1/ lim 2/ lim . x2  25 x2  25 x 5 x 5 Giải : 1/ Ta có : x5 x5 1 1  lim  lim . lim 2 x  25 x5 (x  5)(x  5) x5 x  5 10 x 5 2/ Ta có : x5 5 x 1 1  lim  lim  . lim 2 x  25 x5 (x  5)(x  5) x5 x  5 10 x 5 x5 x5 x5  lim 2 nên  lim 2 Lưu ý : Do lim . 2 x  25 x5 x  25 x 5 x  25 x 5
7x2  4x  3 khi x  1 Ví dụ 3: Cho hàm số f(x)   . 4x  2 khi x  1  Tính lim f(x) . x 1 Giải : +/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập ¡ . +/ lim f(x)  lim(7x2  4x  3)  6 . x 1 x 1 +/ lim f(x)  lim(4x  2)  6 .   x 1 x 1 +/ Do lim f(x)  lim f(x)  6 nên lim f(x)  6 .   x 1 x 1 x 1 Ví dụ 4: Tính  x2  7x  1 3/ lim (1  2x)(3  1/ lim 3 2 ) x2  1  x  3x  x  2 x   3x3  x  1 2/ . lim x  x2  3x  1 Giải : 1 1 x3  lim 0. 1/ Ta có lim 3 2 12 x  3x  x  2 x  3  3 xx
1 0 V× lim x  x3 1 2  lim  3   3   3 . x x x   1 1  x3  3  2  3  3 3x  x  1  lim  x x 2/ lim 2 3 1 x  2  x  x  3x  1 x 1   2   x x 11 3 2  3 x x  lim x  31 x  1  2 xx =  .  7   1    1   x  7x  2 x  )   lim x   2   3  lim (1  2x)(3  3/ 2 1 x    x  x 1  x   1      x       . V× lim x   x   7 1   1  x 2 . lim   2   2, lim  3  1 x   x  x   1    x  Ví dụ 5: Tính (x  3)2  27 3 3  x 1 1/ lim 2/ lim x2 x x 0 x 2
5  x  3 x2  7 9  5x  2 2/ lim 4/ lim . x2  1 x2  1 x 1 x 1 Giải : 1/ Ta cã (x  3)2  27 x3  9x2  27x  lim lim x x x 0 x 0  lim(x2  x  27x)  27. x 0 2/ Ta có 9  5x  2 5  5x  lim 2 lim x2  1 x 1 (x  1)2 ( 9  5x  2) x 1 5(1  x)  lim x 1 (x  1)(x  1)( 9  5x  2) 5 5  lim  . 9 x 1 (x  1)( 9  5x  2) 3 / Ta cã 3 3  x 1 (3  x)  1  lim lim x2 (x  2)  3 (3  x)2  3 3  x  1  x 2 x 2   1  lim (3  x)2  3 3  x  1 x 2 3 1 = . 3 4/ Ta có
 5  x  2 3 x2  7  2  5  x  3 x2  7  lim  .  lim x2  1 x2  1 x2  1  x 1  x 1 Mặt khác 5 x 2 1 x  lim lim 2 x 1 x 1 (x  1)(x  1)( 5  x  2) x 1 1 = lim x 1 (x  1)( 5  x  2) 1 = . 8 3 x2  7  2 x2  1  lim lim x2  1 (x2  1)  3 (x2  7)2  3 x2  7  2  x 1 x 1   1  lim (x2  7)2  3 x2  7  2 x 1 3 1  = 12 5  x  3 x2  7 11 5    . Vậy lim 2 8 12 24 x 1 x 1 Ví dụ 6: Tính
5x  3 1  x 1/ lim 1 x x  x2  2x  3x 2/ lim 4x2  1  x  2 x   x2  x  x  3/ lim x  lim x  x2  1  x  . 4/   x  Giải: 3 1 x 5 5x  3 1  x x  lim 1/ lim 1 1 x x  x  1 x 11 53 2  xx = lim 1 x  1 x =5 .
2 x 1  3x 2 x  2x  3x x  lim 2/ lim 2 4x  1  x  2 x x 4  1  x  2 x   x   2 x 1   3 x   = lim x   2 1 x 4  1  x x  2 1 3 x = lim 1 2 x  4 1 x x =4. x  x2  x  x   lim 3/ lim x2  x  x x  x  x = lim x    1 x  1   1 x   1 = lim 1 x  1 1 x 1 = 2
x lim x  x2  1  x   lim 4/   x2  1  x x  x  x = lim x    1 x  1  2  1 x   1 = lim 1 x  1 2 1 x 1  = 2 B. Ví dụ trắc nghiệm. Chọn phương án đúng cho mỗi ví dụ sau: 2x  1 Ví dụ 7: lim bằng: x 1 x  2 1 1 A.0 B. C. D.2 3 2 x2  3x  1 Ví dụ 8 : lim bằng: x 1 x 0 A.1 B.0 C. 1 D. 3 1 1  Ví dụ 9: lim   2  bằng: x 0  x x D.  C.  A.2 B.4
x3 Ví dụ 10: lim bằng: x 1 x 2 A. 1 B.  2 C.1 D.2 Ví dụ 11: x2  2x khi x  1 Cho hàm số f(x)   3x khi x
2 x 3 Ví dụ 15: lim bằng: 2 x  x x5 A.  B.  C.1 D.2 Đáp án: VD7 VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14 VD15 B C D C D A C C D II.Bài tập A.Bài tập tự luận Bài1:Dùng định nghĩa tính giới hạn. x5 1/ lim x 3 x 2  4 x2  3x  2 . 2/ lim x2 x 2 HD: +/ Xem lại ví dụ 1. 8 +/ Đ/S: 1/ 5 2/ 1 .
Bài 2 : Tính x2  1 1/ lim x2  3x  2  x 1 x2  4x  12 2 / lim x2  x  6 x 2 HD : 1/ Để ý: x2  3x  2  x2  3x  2  x>1 . x2  1  x  1  x  1  lim Nªn lim x2  3x  2 x1  x  1  x  2    x 1 x 1  2. = lim x 1 x  2  2/ Để ý: x2  x  6  x2  x  6  x  (-3;2) x2  4x  12 x  2 x  6  lim Nªn lim x 1   x  3  x  2  x2  x  6   x 1 x6 8  . = lim x 1   x  3  5 x2  7x  2a  4 khi x>2 Bài 3: Tìm a để hàm số f(x)   3ax  4 khi x  2 Có giới hạn khi x dần đến 2. HD:
+/ Ta cã lim f(x)  lim  x2  7x  2a  4   2a  14 x 2 x 2 lim f(x)  lim  3ax  4   6a  4 x 2  x 2 9 +/ Phải có lim f(x)  lim f(x)  2a  14  6a  4  a   . 2 x 2 x 2 9 +/ Vậy với a   thì hàm số có giới hạn khi x dần đến 2. 2 lim f(x)  23 . x 2 Bài 4: Tính 2x  7  x  4 2x  7  3 1/ lim 2/ lim x3  4x2  3 2 x3 x 1 x 1 3 x2  x  1  3 x3  1 x3  3x  2 3/ lim 4/ lim x 1 x x 0 x 1 HD : Xem lại cách làm ở ví dụ 5. 4 4 1/  2/  Đ/S: 15 3 3/ Lưu ý để cho gọn ta biến đổi x2  x  1  3 x3  1  3 x2  x  1 1  3 x  1  3 Nên giới hạn cần tính bằng:
1   lim  3 x2  x  1 1  3 x  1    lim  3 x2  x  1    x0  2 x 0 3 (x  1)  3 x  1  1   1 =. 3 4/ Để rút gọn ta biến đổi: x3  3x  2 x3  1 3x  2  1 3x  1  1  (x2  x  1)    x 1 x 1 x 1 x 1 Như vậy giới hạn cần tính bằng 3x  1  1 3 3 lim(x2  x  1)  lim  3  lim . x 1 2 x 1 3x  2  1 x 1 x 1 Bài 5:Tính 1  2x  3 1  3x 3 x7  x3 1/ lim 2 / lim x x 0 x 1 3 x 1 x  x 1 1 3/ lim 3 4 / lim x2  1 x  2 1 x 1 x 1 HD: 1/ Biến đổi giới hạn cần tính bằng  1  2x  1 3 1  3x  1  3 1  2x  1 1  3x  1    lim  lim lim  x 0   x 0 x x x x x 0 11 0 . 2/ +/ Tương tự câu 1,thêm bớt 2 ở tử.
1 +/ Đáp số . 6 3/ +/ Nhân liên hợp cả tử và mẫu. +/ Đáp số: 1 x  x 1 1 x 1 x 1   4/ +/ Biến đổi: x2  1 x2  1 x2  1 1 +/ Từ đó tính được giới hạn đã cho bằng . 2 Bài 6 :Tính x2  2x  3  4x  1 9x2  x  1  4x2  2x  1 1/ lim 2 / lim x 1 2 x  x  4x  1  2  x x2  2x  3 4 / lim  2x  1  4x2  4x  1  3/ lim x  3 x3  x  2 x    2 4  x x x  x 5/ lim  6 / lim  1  x3  x 1  1  x x  7 / lim  x  3 3x2  x3   x3  3x2  x2  2x  . 8 / lim x  x  HD: Xem lại cách làm ở ví dụ 6. Đ/S: 1/ 5 2/ 1 3/ 1 4/ 0 1 5/ 1 6/ 2