CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Chia sẻ: Nguyen Van Phuoc | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

448
lượt xem 142
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN A. Định nghĩa: 1. Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu a) un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: n→+∞ ( n ) lim u = 0 hay u n → 0 khi n → +∞. Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô b) cực ( n → +∞ ), nếu nlim ( un − a ) = 0. Kí hiệu: nlim ( un ) = a hay u n → a khi n → +∞. →+∞ →+∞  Chú ý: nlim ( un ) = lim ( un ) . →+∞ 2. Một vài giới hạn đặc biệt. 1 1 a) lim = 0 , lim k = 0 , n ∈ ¢ + * n n b) lim( q ) = 0 với q < 1. n c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. 3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : vn ≤ un ≤ wn ∀n∈ ¥ * và lim( vn ) = lim( wn ) = a ⇒ lim( un ) = a . b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: lim( un ± vn ) = lim( un ) ± lim( vn ) = a ± b lim( un .vn ) = limun .limvn = a.b un lim( un ) a ( ) = = , vn ≠ 0 ∀n∈ ¥ *; b ≠ 0 lim vn lim( vn ) b lim un = lim( un ) = a ,( un ≥ 0 ,a ≥ 0) 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với q < 1. u limSn = lim 1 1− q 5. Dãy số dần tới vô cực: a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực ( un → +∞ ) khi n dần tới vơ cực ( n → +∞ ) nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= +∞ hay un → +∞ khi n → +∞ . b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ nếu lim ( −un ) = +∞ .Ký hiệu: lim(un)= −∞ hay un → −∞ khi n → +∞ . c) Định lý: 1
1 ( ) o Nếu : lim( un ) = 0 un ≠ 0 ,∀n∈ ¥ thì lim =∞ * un 1 o Nếu : lim( un ) = ∞ thì lim =0 un B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. P ( n) 1. Giới hạn của dãy số (un) với un = với P,Q là các đa thức: Q ( n) Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì o a0 chia tử số và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : lim( un ) = . b0 Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho n để đi đến kết quả k o :lim(un)=0. Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)= ∞ . o f ( n) Giới hạn của dãy số dạng: un = , f và g là các biển thức chứa căn. 2. g( n) Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. o CÁC VÍ DỤ. C. 3n 2 + 2n + 5 25 3+ + 2 3n + 2n + 5 2 n n =3 2 = lim 2 n lim 2 lim 1. 18 7n + n − 8 7n + n − 8 7+ − 2 7 nn 2 n n2 + 1 + 4n 1 1+ 2 + 4 n + 1 + 4n 1+ 4 5 2 n n = lim = lim = = 2. lim 3n − 2 2 3n − 2 3 3 3− n n 3. )( ) = lim n + 2n + 3− n ( n2 + 2n + 3 − n n 2 + 2n + 3 + n lim( n + 2n + 3 − n ) = lim 2 2 2 n2 + 2n + 3 + n n2 + 2n + 3 + n 3 2+ 2n + 3 2n + 3 2 n = lim = lim = lim = =1   1+ 1 23 n + 2n + 3 + n 2 23 1+ + 2 + 1 n  1+ + 2 + 1÷ nn nn   n2 + 2n + 3 + n là biểu thức liên hợp của n2 + 2n + 3 − n 2
( n −1)  1  1  1  1 1 2 1+  − ÷+ +  − ÷+ ... +  − ÷ + ... = =.  1  3 Tổng của cấp số nhân lùi 4.  2  4  8  2 1−  − ÷  2 1 vô hạn có công bội q = − và số hạng đầu u1=1. 2 n3 − 2n + 1 21 1− 2 + 3 n − 2n + 1 3 3 = lim 2 n n n = +∞ . = lim 5. lim 2 113 2n − n + 3 2n − n + 3 −+ n n 2 n3 3 n ( ) n + 2 − 3 n  3 ( n + 2) + 3 n + 2.3 n + 3 n 2  2 3  ÷ ( )   6. lim n + 2 − n = lim 3 3 ( n + 2) + 3 n + 2.3 n + 3 n2 2 3 ( ) ( n) 3 3 n+2 − 3 3 n + 2− n = lim = lim ( n + 2) ( n + 2) 2 2 + 3 n + 2.3 n + 3 n 2 + 3 n + 2.3 n + 3 n 2 3 3 2 = lim =0 ( n + 2) 2 + n + 2. n + n 2 3 3 3 3 D. BÀI TẬP 1. Tìm các giới hạn: 7n2 + n n2 + 2n − 4 a) lim 2 e) lim 3 5n + 2 7n − 2n + 9 2n + 1 n2 + 2 b) lim f) lim n+2 4n2 − 2 3n2 + 1 c) lim 2 8n3 + 1 3 n +4 g) lim 2n − 5 6n3 + 3n − 1 ) ( d) lim n2 + 2n − 3 − n h) lim 7n3 + 2n ( ) n + 1− n i) lim 2. Tìm các giới hạn sau: 5sin( n ) + 7cos( n ) 1+ 2 + 3+ 4 + ... + n a) lim b) lim n2 + 3 2n + 1 3. Tìm các giới hạn sau: ) ( 3n2 + 1 − n 2 − 1 n3 − 2n2 − n 3 b) lim a) lim n 3
) ( n2 + 3 1− n6 n2 + 1 − n2 − 2 c) lim h) lim n4 + 1 − n2 d) ( 2n )( ) n +1 n +3 1+ a + a2 + a3 + a 4 + ... + a n a < 1 b < 1 i) lim lim , 1+ b + b2 + b3 + b 4 + ... + b n ( n + 1) ( n + 2) 2n3 j) e) lim 4 n + 3n2 + 2  1  1  1  1 lim 1− 2 ÷ 1− 2 ÷ 1− 2 ÷... 1− 2 ÷ n + ( −1) n  2  3  4   n  f) lim 2 ( n +1) 2n + ( −1) k) ) ( 1 1 1 g) lim 1+ n − n + 3n + 1 + + ... + 2 4 lim ÷  n +1 n2 + 2 n2 + n  2 4. Tìm tổng các cấp số nhân lùi vô hạn sau: 1 2n3 − 11n + 1 b) lim 2 a) lim n −2 2 n + 2 − n2 + 4 ) ( c) lim n n + n − n  33 2     __________________________________________________________ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn ∈ K và xn ≠ a , ∀n ∈ ¥ * mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim f ( x )  = L .   x →a 2. Một số định lý về giới hạn của hàm số: a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất. b) Định lý 2:Nếu các giới hạn: lim f ( x )  = L , lim g ( x )  = M thì:     x →a x →a lim f ( x ) ± g ( x )  = lim f ( x )  ± lim g ( x )  = L ± M x →a   x →a   x →a   lim f ( x ) .g ( x )  = lim f ( x )  .lim g ( x )  = L .M x →a   x →a   x →a   f ( x ) lim f ( x )  L   = x →a = ,M ≠0 lim x →a g ( x ) lim g ( x )  M x →a   lim f ( x ) = lim f ( x )  = L ; f ( x ) ≥ 0, L ≥ 0 x →a   x →a 4
c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x ∈ K , x ≠ a và lim g ( x )  = lim h ( x )  = L ⇒ lim f ( x )  = L .       x →a x →a x →a 3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim[f(xn)]= ∞ thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: lim f ( x )  = ∞ .   x →a b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = ∞ đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu: lim f ( x )  = L . x →∞   c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a ∀n ∈ ¥ * , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu : lim  f ( x )  . Nếu chỉ +  x →a đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a ∀n ∈ ¥ thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại * a , kí hiệu: lim  f ( x )  −  x →a B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau: f ( x )  0 1. Giới hạn của hàm số dạng: lim  0÷ x →a g ( x )  o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x- a)2. o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp. f ( x)  ∞  2. Giới hạn của hàm số dạng: lim ∞÷ x →∞ g ( x )  o Chia tử và mẫu cho x với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x → +∞ thì coi như k x>0, nếu x → −∞ thì coi như x
( x − 2) ( x − 1) = lim x − 1 = 2 − 1= 1.Chia tử và mẫu cho (x-2). x 2 − 3x + 2 ( ) = lim 2. lim x −2 x −2 x →2 x →2 x →2 ( )( )( ) ( ) ( x + 1− 4) 3x + 3 x + 1 − 2 x + 1 + 2 3x + 3 x + 1− 2 = lim = lim lim 3. x →3 ( )( )( ) )( ) ( 3x − 3 x →3 3x − 3 x + 1 + 2 3x + 3 3x − 32 x + 1+ 2 x →3 ( x − 3) ( 3x + 3) ( 3x + 3) = ( 3.3 + 3) = 6 = 1 = lim = lim 3( x − 3) ( x + 1 + 2) 3( x + 1 + 2) 3( 3+ 1 + 2) 12 2 x →3 x →3 x 2 − 3x + 1 = ∞ (vì tử dần về 1 còn mẫu dần về 0).Cụ thể: 4. lim x −3 x →3  x 2 − 3x + 1  x →3+ x − 3 = +∞ lim    lim x − 3x + 1 = −∞ 2  x →3− x − 3  ( ) ( ) ( x − 1) 2x 2 + x + 1 2x 2 + x + 1 2x 3 − x 2 − 1 = lim = lim =∞. 5. lim 3 x →1 ( x − 1 ( x − 2) ) ( x − 1) ( x − 2) x →1 x − 4x 2 + 5x − 2 2 x →1 2x 2 − x + 3 13 2− + 2 2x − x + 3 2 x x = 2=2 2 x = lim = lim 6. lim 1 x +1 x +1 2 2 1 x →∞ x →∞ x →∞ 1+ 2 x 2 x 7. lim x − 1 = 0 x →1+ 1 x 1+ x +1 2 x 2 = lim 1+ 1 = 1 8. = lim lim x2 x x x →+∞ x →+∞ x →+∞ 1 1 x 1+ 2 − x 1+ 2 x = lim  − 1+ 1  = −1. 9. lim x + 1 = lim 2 x = lim  ÷ x →−∞  x2 ÷ x x x x →−∞ x →−∞ x →−∞    x 2 − x + 3 ( x ≤ 1)  10. Cho hàm số : f ( x ) =  x+ . Tìm a để hàm số có giới hạn khi x dần a ( x> ) 1  x tới 1 và tìm giới hạn đó. Giải ( ) Ta có : lim f ( x )  = lim x − x + 3 = 3. 2 −  − x →1 x →1 6
x+a lim f ( x )  = lim  x →1+ x = a + 1 x →1+  Vậy lim f ( x )  = 3 ⇔ a + 1= 3 ⇔ a = 2 x →1   ( ) ( x − 2) x 2 + 2x + 4  0 x3 − 8 ( ) = lim x 2 + 2x + 4 = 12 . Dạng  ÷. 11. lim = lim  0 x →2 x − 2 x −2 x →2 x →2 x 3 + 2x − 1 21 1+ 2 − 3 x + 2x − 1 x = 1 . Dạng  ∞  . 3 3 x = lim x = lim 12. lim ∞÷ 1 2x + 1 2x + 1 3 3 2  x →∞ x →∞ x →∞ 2+ 3 x 3 x ( ) 2 3x 2 − x + 1 ( ) 2 3x 2 − x + 1   2 ( ) x2 3x − x + 1 = lim = lim 2 lim 13. ÷  x. x + 1  x .3 x 3 + 1 x .3 x 3 + 1 33 x →∞ x →∞ x →∞ x2  1 1 2 3− + 2 ÷ x x 6 = lim  = =6 1 1 x →∞ 3 1+ 3 x )( ) = lim x ( x2 + x + 3 − x x2 + x + 3 + x 14. lim x + x + 3 − x ) = lim ( + x + 3− x 2 2 2 x2 + x + 3 + x x2 + x + 3+ x x →+∞ x →+∞ x →+∞ x +3 3 1+ x +3 1 x x = lim = lim = lim = . Dạng x 2 + x + 3 + x x →+∞ x 2 + x + 3 + x x→+∞ 1+ 1 + 3 + 1 2 x →+∞ x x2 x ( ∞ − ∞) . D. BÀI TẬP. 1. Tìm các giới hạn sau: ( ) 2x 2 + 3x + 1 a) lim x + 4x + 10 3 2 e) lim x →0 x2 − 1 lim( 5x ) x →−1 − 7x 2 b) x3 − x2 + x − 1 x →3 f) lim x2 + 5 x −1 x →1 c) lim x →−1 x + 5 x − a4 4 g) lim x 2 + 2x − 15 x →a x − a d) lim x −3 x →3 7
x 2 − 3x − 3 h) lim x+2 x →7 2. Tìm các giới hạn : x 2 − 3x + 2 x + 1− x2 + x + 1 e) lim a) lim ( x − 2) 2 x →2 x x →0 x− x+2 2x 2 − 3x + 1 lim b) f) lim 3 2 4x + 1 − 3 x →1 x − x − x + 1 x →2 x 2 − 4x + 3 1− 3 x − 1 g) lim lim c) x −3 3x x →3 x →0 4x − 5x 5 + x 6 x +1 3 h) lim lim d) ( 1− x ) 2 x →1 x2 + 3 − 2 x →−1 8x + 11 − x + 7 3 i) lim x 2 − 3x + 2 x →2 3. Tìm các giới hạn sau: ( 2x + 1) ( 5x + 3) 3x 2 − 5x + 1 2 a) lim lim c) ( 2x − 1) ( x + 1) x2 − 2 x →∞ 3 x →∞ ( x − 1) .( 7x + 2) 2 2 ) ( b) lim x 2 − 4x − x d) lim ( 2x + 1) 4 x →∞ x →∞ sin( 2x ) + 2cos( x ) e) lim . x2 + x + 1 x →∞ 4. Tìm giới hạn bên phải, bên trái của hàm số f(x) tại x=x0 và xét xem x → x0  f ( x )  lim  có tồn tại không trong các trường hợp sau:  2x − 1 ( x> ) 1  a) f ( x ) =  x tại x0 = 1 ( x ≤ 1) 5x + 3   x2 + x − 2 ( x> ) 1  b) f ( x ) =  x − 1 tại x0 = 1 x2 + x + 1 ( x ≤ 1)   4− x2 ( x< ) 2  c) f ( x ) =  x − 2 tại x0 = 2 1− 2x ( x ≥ 2)  x 3 − 3x + 2 d) f ( x ) = tại x0 = 1 x 2 − 5x + 4 8
) ( ) ( 5. Tìm  x giới hạn:  các x 2 + 5 − x b) xlim x − x + 3 + x 2 a) xlim   →+∞   →±∞ ___________________________________________________________________________ HÀM SỐ LIÊN TỤC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng: o Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ (a;b) nếu: lim  f ( x )  = f ( x 0 ) .Điểm x0 tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián   x → x0 đoạn của hàm số. o f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục tại điểm x0 ∈ (a;b) ⇔ xlim  f ( x )  = xlim  f ( x )  = x → x0  f ( x )  = f ( x 0 ) .  lim  → x0   → x0   + − o f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy. o f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục  lim  f ( x )  = f ( a )  x →a +   trên khoảng (a;b) và   x →b −  f ( x )  = f ( b ) lim    2. Một số định lý về hàm số liên tục: o Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì: f ( x) ( g ( x ) ≠ 0) cũng liên tục tại x0 . f ( x ) ± g ( x ) , f ( x ) .g ( x ) , g( x) o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng. o Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó. • Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)
g ( x ) ( x< 0 ) x  2. Xét tính liên tục của hàm số dạng: f ( x ) = a ( x= 0 ) x  h ( x ) ( x> 0 ) x  lim  f ( x )  = lim  g ( x )  −  x → x0    x → x0 −  o Tìm :  lim  f ( x )  = lim  g ( x )  . Hàm số liên tục tại x = x0 +  x → x0   +  x → x0  f ( x0 )  ⇔ lim  f ( x )  = lim  f ( x )  = f ( x 0 ) = a . +  −  x → x0 x → x0 3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b). o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. o Chứng tỏ f(a).f(b) 0)  2. Cho hàm số: f ( x ) =  . Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 0. ( x ≤ 0) x  Giải Hàm số xác định với mọi x thuộc R. Ta có f(0) = 0 10
lim  f ( x )  = lim x = 0   x →0− − x →0 . ( ) lim  f ( x )  = lim x 2 + 1 = 1 ≠ 0=lim  f ( x )  = lim x x →0+   x →0+ x →0−   x →0− Vậy hàm số không liên tục tại x0 = 0. ( x ≥ 1) ax + 2  f ( x) =  2 3. Cho hàm số: . Xét tính liên tục của hàm số ( x < 1) x + x-1  trên toàn trục số. Giải x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục. x ) 3 2   mọi x, khi đó hãy vẽ đồ thị của hàm số. Chứng minh rằng phương trình: 3. 3x2+2x-2=0 có ít nhất một nghiệm a) 4x4+2x2-x-3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1). b) x3-3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt. c) x4-x-3=0 có một nghiệm thuộc (1;2). d) 2x3-6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2]. e) Xác định a để các hàm số sau liên tục trên R: 4. 11
( x< )  3 3x + 2 1 0  ( x> ) b) f ( x ) =  2   x −2 ( x ≥ 0) a) f ( x ) =  x + a  ax + 1 ( x ≤ 2)   4 5. Xét tính liên tục tại x0 của các hàm số f(x) trong các trường hợp sau: 1− 2x − 3 ( x ≠ 2)  a) f ( x ) =  2 − x tại x0 = 2 1 ( x = 2)   x 3 -x2+ 2x-2 ( x ≠ 1)  b) f ( x ) =  x −1 tại x0 = 1. 4 ( x = 1)   x2 -x-6 (x ) − 3x ≠ 0 2 x x −3 ( )  c) f ( x ) = a ( x = 0) tại ại x0 = 0 và tại x0 = 3.  ( x= ) 3 b   12