intTypePromotion=1

CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Chia sẻ: Nguyen Van Phuoc | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:12

0
378
lượt xem
141
download

CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

  1. CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN A. Định nghĩa: 1. Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu a) un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: n→+∞ ( n ) lim u = 0 hay u n → 0 khi n → +∞. Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô b) cực ( n → +∞ ), nếu nlim ( un − a ) = 0. Kí hiệu: nlim ( un ) = a hay u n → a khi n → +∞. →+∞ →+∞  Chú ý: nlim ( un ) = lim ( un ) . →+∞ 2. Một vài giới hạn đặc biệt. 1 1 a) lim = 0 , lim k = 0 , n ∈ ¢ + * n n b) lim( q ) = 0 với q < 1. n c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. 3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : vn ≤ un ≤ wn ∀n∈ ¥ * và lim( vn ) = lim( wn ) = a ⇒ lim( un ) = a . b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: lim( un ± vn ) = lim( un ) ± lim( vn ) = a ± b lim( un .vn ) = limun .limvn = a.b un lim( un ) a ( ) = = , vn ≠ 0 ∀n∈ ¥ *; b ≠ 0 lim vn lim( vn ) b lim un = lim( un ) = a ,( un ≥ 0 ,a ≥ 0) 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với q < 1. u limSn = lim 1 1− q 5. Dãy số dần tới vô cực: a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực ( un → +∞ ) khi n dần tới vơ cực ( n → +∞ ) nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= +∞ hay un → +∞ khi n → +∞ . b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ nếu lim ( −un ) = +∞ .Ký hiệu: lim(un)= −∞ hay un → −∞ khi n → +∞ . c) Định lý: 1
  2. 1 ( ) o Nếu : lim( un ) = 0 un ≠ 0 ,∀n∈ ¥ thì lim =∞ * un 1 o Nếu : lim( un ) = ∞ thì lim =0 un B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. P ( n) 1. Giới hạn của dãy số (un) với un = với P,Q là các đa thức: Q ( n) Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì o a0 chia tử số và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : lim( un ) = . b0 Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho n để đi đến kết quả k o :lim(un)=0. Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)= ∞ . o f ( n) Giới hạn của dãy số dạng: un = , f và g là các biển thức chứa căn. 2. g( n) Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. o CÁC VÍ DỤ. C. 3n 2 + 2n + 5 25 3+ + 2 3n + 2n + 5 2 n n =3 2 = lim 2 n lim 2 lim 1. 18 7n + n − 8 7n + n − 8 7+ − 2 7 nn 2 n n2 + 1 + 4n 1 1+ 2 + 4 n + 1 + 4n 1+ 4 5 2 n n = lim = lim = = 2. lim 3n − 2 2 3n − 2 3 3 3− n n 3. )( ) = lim n + 2n + 3− n ( n2 + 2n + 3 − n n 2 + 2n + 3 + n lim( n + 2n + 3 − n ) = lim 2 2 2 n2 + 2n + 3 + n n2 + 2n + 3 + n 3 2+ 2n + 3 2n + 3 2 n = lim = lim = lim = =1   1+ 1 23 n + 2n + 3 + n 2 23 1+ + 2 + 1 n  1+ + 2 + 1÷ nn nn   n2 + 2n + 3 + n là biểu thức liên hợp của n2 + 2n + 3 − n 2
  3. ( n −1)  1  1  1  1 1 2 1+  − ÷+ +  − ÷+ ... +  − ÷ + ... = =.  1  3 Tổng của cấp số nhân lùi 4.  2  4  8  2 1−  − ÷  2 1 vô hạn có công bội q = − và số hạng đầu u1=1. 2 n3 − 2n + 1 21 1− 2 + 3 n − 2n + 1 3 3 = lim 2 n n n = +∞ . = lim 5. lim 2 113 2n − n + 3 2n − n + 3 −+ n n 2 n3 3 n ( ) n + 2 − 3 n  3 ( n + 2) + 3 n + 2.3 n + 3 n 2  2 3  ÷ ( )   6. lim n + 2 − n = lim 3 3 ( n + 2) + 3 n + 2.3 n + 3 n2 2 3 ( ) ( n) 3 3 n+2 − 3 3 n + 2− n = lim = lim ( n + 2) ( n + 2) 2 2 + 3 n + 2.3 n + 3 n 2 + 3 n + 2.3 n + 3 n 2 3 3 2 = lim =0 ( n + 2) 2 + n + 2. n + n 2 3 3 3 3 D. BÀI TẬP 1. Tìm các giới hạn: 7n2 + n n2 + 2n − 4 a) lim 2 e) lim 3 5n + 2 7n − 2n + 9 2n + 1 n2 + 2 b) lim f) lim n+2 4n2 − 2 3n2 + 1 c) lim 2 8n3 + 1 3 n +4 g) lim 2n − 5 6n3 + 3n − 1 ) ( d) lim n2 + 2n − 3 − n h) lim 7n3 + 2n ( ) n + 1− n i) lim 2. Tìm các giới hạn sau: 5sin( n ) + 7cos( n ) 1+ 2 + 3+ 4 + ... + n a) lim b) lim n2 + 3 2n + 1 3. Tìm các giới hạn sau: ) ( 3n2 + 1 − n 2 − 1 n3 − 2n2 − n 3 b) lim a) lim n 3
  4. ) ( n2 + 3 1− n6 n2 + 1 − n2 − 2 c) lim h) lim n4 + 1 − n2 d) ( 2n )( ) n +1 n +3 1+ a + a2 + a3 + a 4 + ... + a n a < 1 b < 1 i) lim lim , 1+ b + b2 + b3 + b 4 + ... + b n ( n + 1) ( n + 2) 2n3 j) e) lim 4 n + 3n2 + 2  1  1  1  1 lim 1− 2 ÷ 1− 2 ÷ 1− 2 ÷... 1− 2 ÷ n + ( −1) n  2  3  4   n  f) lim 2 ( n +1) 2n + ( −1) k) ) ( 1 1 1 g) lim 1+ n − n + 3n + 1 + + ... + 2 4 lim ÷  n +1 n2 + 2 n2 + n  2 4. Tìm tổng các cấp số nhân lùi vô hạn sau: 1 2n3 − 11n + 1 b) lim 2 a) lim n −2 2 n + 2 − n2 + 4 ) ( c) lim n n + n − n  33 2     __________________________________________________________ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn ∈ K và xn ≠ a , ∀n ∈ ¥ * mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim f ( x )  = L .   x →a 2. Một số định lý về giới hạn của hàm số: a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất. b) Định lý 2:Nếu các giới hạn: lim f ( x )  = L , lim g ( x )  = M thì:     x →a x →a lim f ( x ) ± g ( x )  = lim f ( x )  ± lim g ( x )  = L ± M x →a   x →a   x →a   lim f ( x ) .g ( x )  = lim f ( x )  .lim g ( x )  = L .M x →a   x →a   x →a   f ( x ) lim f ( x )  L   = x →a = ,M ≠0 lim x →a g ( x ) lim g ( x )  M x →a   lim f ( x ) = lim f ( x )  = L ; f ( x ) ≥ 0, L ≥ 0 x →a   x →a 4
  5. c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x ∈ K , x ≠ a và lim g ( x )  = lim h ( x )  = L ⇒ lim f ( x )  = L .       x →a x →a x →a 3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim[f(xn)]= ∞ thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: lim f ( x )  = ∞ .   x →a b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = ∞ đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu: lim f ( x )  = L . x →∞   c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a ∀n ∈ ¥ * , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu : lim  f ( x )  . Nếu chỉ +  x →a đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a ∀n ∈ ¥ thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại * a , kí hiệu: lim  f ( x )  −  x →a B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau: f ( x )  0 1. Giới hạn của hàm số dạng: lim  0÷ x →a g ( x )  o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x- a)2. o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp. f ( x)  ∞  2. Giới hạn của hàm số dạng: lim ∞÷ x →∞ g ( x )  o Chia tử và mẫu cho x với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x → +∞ thì coi như k x>0, nếu x → −∞ thì coi như x
  6. ( x − 2) ( x − 1) = lim x − 1 = 2 − 1= 1.Chia tử và mẫu cho (x-2). x 2 − 3x + 2 ( ) = lim 2. lim x −2 x −2 x →2 x →2 x →2 ( )( )( ) ( ) ( x + 1− 4) 3x + 3 x + 1 − 2 x + 1 + 2 3x + 3 x + 1− 2 = lim = lim lim 3. x →3 ( )( )( ) )( ) ( 3x − 3 x →3 3x − 3 x + 1 + 2 3x + 3 3x − 32 x + 1+ 2 x →3 ( x − 3) ( 3x + 3) ( 3x + 3) = ( 3.3 + 3) = 6 = 1 = lim = lim 3( x − 3) ( x + 1 + 2) 3( x + 1 + 2) 3( 3+ 1 + 2) 12 2 x →3 x →3 x 2 − 3x + 1 = ∞ (vì tử dần về 1 còn mẫu dần về 0).Cụ thể: 4. lim x −3 x →3  x 2 − 3x + 1  x →3+ x − 3 = +∞ lim    lim x − 3x + 1 = −∞ 2  x →3− x − 3  ( ) ( ) ( x − 1) 2x 2 + x + 1 2x 2 + x + 1 2x 3 − x 2 − 1 = lim = lim =∞. 5. lim 3 x →1 ( x − 1 ( x − 2) ) ( x − 1) ( x − 2) x →1 x − 4x 2 + 5x − 2 2 x →1 2x 2 − x + 3 13 2− + 2 2x − x + 3 2 x x = 2=2 2 x = lim = lim 6. lim 1 x +1 x +1 2 2 1 x →∞ x →∞ x →∞ 1+ 2 x 2 x 7. lim x − 1 = 0 x →1+ 1 x 1+ x +1 2 x 2 = lim 1+ 1 = 1 8. = lim lim x2 x x x →+∞ x →+∞ x →+∞ 1 1 x 1+ 2 − x 1+ 2 x = lim  − 1+ 1  = −1. 9. lim x + 1 = lim 2 x = lim  ÷ x →−∞  x2 ÷ x x x x →−∞ x →−∞ x →−∞    x 2 − x + 3 ( x ≤ 1)  10. Cho hàm số : f ( x ) =  x+ . Tìm a để hàm số có giới hạn khi x dần a ( x> ) 1  x tới 1 và tìm giới hạn đó. Giải ( ) Ta có : lim f ( x )  = lim x − x + 3 = 3. 2 −  − x →1 x →1 6
  7. x+a lim f ( x )  = lim  x →1+ x = a + 1 x →1+  Vậy lim f ( x )  = 3 ⇔ a + 1= 3 ⇔ a = 2 x →1   ( ) ( x − 2) x 2 + 2x + 4  0 x3 − 8 ( ) = lim x 2 + 2x + 4 = 12 . Dạng  ÷. 11. lim = lim  0 x →2 x − 2 x −2 x →2 x →2 x 3 + 2x − 1 21 1+ 2 − 3 x + 2x − 1 x = 1 . Dạng  ∞  . 3 3 x = lim x = lim 12. lim ∞÷ 1 2x + 1 2x + 1 3 3 2  x →∞ x →∞ x →∞ 2+ 3 x 3 x ( ) 2 3x 2 − x + 1 ( ) 2 3x 2 − x + 1   2 ( ) x2 3x − x + 1 = lim = lim 2 lim 13. ÷  x. x + 1  x .3 x 3 + 1 x .3 x 3 + 1 33 x →∞ x →∞ x →∞ x2  1 1 2 3− + 2 ÷ x x 6 = lim  = =6 1 1 x →∞ 3 1+ 3 x )( ) = lim x ( x2 + x + 3 − x x2 + x + 3 + x 14. lim x + x + 3 − x ) = lim ( + x + 3− x 2 2 2 x2 + x + 3 + x x2 + x + 3+ x x →+∞ x →+∞ x →+∞ x +3 3 1+ x +3 1 x x = lim = lim = lim = . Dạng x 2 + x + 3 + x x →+∞ x 2 + x + 3 + x x→+∞ 1+ 1 + 3 + 1 2 x →+∞ x x2 x ( ∞ − ∞) . D. BÀI TẬP. 1. Tìm các giới hạn sau: ( ) 2x 2 + 3x + 1 a) lim x + 4x + 10 3 2 e) lim x →0 x2 − 1 lim( 5x ) x →−1 − 7x 2 b) x3 − x2 + x − 1 x →3 f) lim x2 + 5 x −1 x →1 c) lim x →−1 x + 5 x − a4 4 g) lim x 2 + 2x − 15 x →a x − a d) lim x −3 x →3 7
  8. x 2 − 3x − 3 h) lim x+2 x →7 2. Tìm các giới hạn : x 2 − 3x + 2 x + 1− x2 + x + 1 e) lim a) lim ( x − 2) 2 x →2 x x →0 x− x+2 2x 2 − 3x + 1 lim b) f) lim 3 2 4x + 1 − 3 x →1 x − x − x + 1 x →2 x 2 − 4x + 3 1− 3 x − 1 g) lim lim c) x −3 3x x →3 x →0 4x − 5x 5 + x 6 x +1 3 h) lim lim d) ( 1− x ) 2 x →1 x2 + 3 − 2 x →−1 8x + 11 − x + 7 3 i) lim x 2 − 3x + 2 x →2 3. Tìm các giới hạn sau: ( 2x + 1) ( 5x + 3) 3x 2 − 5x + 1 2 a) lim lim c) ( 2x − 1) ( x + 1) x2 − 2 x →∞ 3 x →∞ ( x − 1) .( 7x + 2) 2 2 ) ( b) lim x 2 − 4x − x d) lim ( 2x + 1) 4 x →∞ x →∞ sin( 2x ) + 2cos( x ) e) lim . x2 + x + 1 x →∞ 4. Tìm giới hạn bên phải, bên trái của hàm số f(x) tại x=x0 và xét xem x → x0  f ( x )  lim  có tồn tại không trong các trường hợp sau:  2x − 1 ( x> ) 1  a) f ( x ) =  x tại x0 = 1 ( x ≤ 1) 5x + 3   x2 + x − 2 ( x> ) 1  b) f ( x ) =  x − 1 tại x0 = 1 x2 + x + 1 ( x ≤ 1)   4− x2 ( x< ) 2  c) f ( x ) =  x − 2 tại x0 = 2 1− 2x ( x ≥ 2)  x 3 − 3x + 2 d) f ( x ) = tại x0 = 1 x 2 − 5x + 4 8
  9. ) ( ) ( 5. Tìm  x giới hạn:  các x 2 + 5 − x b) xlim x − x + 3 + x 2 a) xlim   →+∞   →±∞ ___________________________________________________________________________ HÀM SỐ LIÊN TỤC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng: o Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ (a;b) nếu: lim  f ( x )  = f ( x 0 ) .Điểm x0 tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián   x → x0 đoạn của hàm số. o f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục tại điểm x0 ∈ (a;b) ⇔ xlim  f ( x )  = xlim  f ( x )  = x → x0  f ( x )  = f ( x 0 ) .  lim  → x0   → x0   + − o f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy. o f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục  lim  f ( x )  = f ( a )  x →a +   trên khoảng (a;b) và   x →b −  f ( x )  = f ( b ) lim    2. Một số định lý về hàm số liên tục: o Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì: f ( x) ( g ( x ) ≠ 0) cũng liên tục tại x0 . f ( x ) ± g ( x ) , f ( x ) .g ( x ) , g( x) o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng. o Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó. • Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)
  10. g ( x ) ( x< 0 ) x  2. Xét tính liên tục của hàm số dạng: f ( x ) = a ( x= 0 ) x  h ( x ) ( x> 0 ) x  lim  f ( x )  = lim  g ( x )  −  x → x0    x → x0 −  o Tìm :  lim  f ( x )  = lim  g ( x )  . Hàm số liên tục tại x = x0 +  x → x0   +  x → x0  f ( x0 )  ⇔ lim  f ( x )  = lim  f ( x )  = f ( x 0 ) = a . +  −  x → x0 x → x0 3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b). o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. o Chứng tỏ f(a).f(b) 0)  2. Cho hàm số: f ( x ) =  . Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 0. ( x ≤ 0) x  Giải Hàm số xác định với mọi x thuộc R. Ta có f(0) = 0 10
  11. lim  f ( x )  = lim x = 0   x →0− − x →0 . ( ) lim  f ( x )  = lim x 2 + 1 = 1 ≠ 0=lim  f ( x )  = lim x x →0+   x →0+ x →0−   x →0− Vậy hàm số không liên tục tại x0 = 0. ( x ≥ 1) ax + 2  f ( x) =  2 3. Cho hàm số: . Xét tính liên tục của hàm số ( x < 1) x + x-1  trên toàn trục số. Giải x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục. x ) 3 2   mọi x, khi đó hãy vẽ đồ thị của hàm số. Chứng minh rằng phương trình: 3. 3x2+2x-2=0 có ít nhất một nghiệm a) 4x4+2x2-x-3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1). b) x3-3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt. c) x4-x-3=0 có một nghiệm thuộc (1;2). d) 2x3-6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2]. e) Xác định a để các hàm số sau liên tục trên R: 4. 11
  12. ( x< )  3 3x + 2 1 0  ( x> ) b) f ( x ) =  2   x −2 ( x ≥ 0) a) f ( x ) =  x + a  ax + 1 ( x ≤ 2)   4 5. Xét tính liên tục tại x0 của các hàm số f(x) trong các trường hợp sau: 1− 2x − 3 ( x ≠ 2)  a) f ( x ) =  2 − x tại x0 = 2 1 ( x = 2)   x 3 -x2+ 2x-2 ( x ≠ 1)  b) f ( x ) =  x −1 tại x0 = 1. 4 ( x = 1)   x2 -x-6 (x ) − 3x ≠ 0 2 x x −3 ( )  c) f ( x ) = a ( x = 0) tại ại x0 = 0 và tại x0 = 3.  ( x= ) 3 b   12
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2