intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

CHUỖI SỐ DƯƠNG

Chia sẻ: Lê Tẹt | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:21

Thêm vào BST
Báo xấu
393
lượt xem 98
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo bài thuyết trình 'chuỗi số dương', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHUỖI SỐ DƯƠNG

  1. II. CHUỖI SỐ DƯƠNG ∞ 1.Định nghĩa: Chuỗi số dương là chuỗi ∑ un với un > 0, ∀n n =1 2. Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương a) Tiêu chuẩn tích phân Cho hàm số f (x) liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên [ k ,+ ∞), k∈N ∗ ∞ +∞ Khi đó Chuỗi ∑ n =1 ∫ f (n) hội tụ ⇔ f ( x) dx hội tụ k
  2. a) Tiêu chuẩn tích phân: (tt) ∞ VD1: Xét chuỗi ∑ α 1 n =1 n ∗ Nếu α0 khi đó xét hàm f ( x) = 1α x
  3. VD 1(tt) Hàm này liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên[1,+ ∞)  hội tụ nếu α >1 +∞ 1 dx  Mà ∫ x α  phân kỳ nếu α ≤1 1   ∞ hội tụ nếu α >1 1  Vậy chuỗi ∑ n =1 n α   phân kỳ nếu α ≤1 
  4. ∞ VD2: Xét chuỗi ∑n=2 1 n ln n Xét hàm f (x) = 1 x . ln x Hàm này liên tục, không âm và đơn điệu giảm [2,+ ∞) trên +∞ +∞ +∞ dx = d (ln x) Mà ∫2 ∫2 = ln( ln x) | = + ∞ x ln x ln x 2 +∞ dx Vậy tích phân ∫2 x ln x phân kỳ. ∞ 1 Theo tiêu chuẩn tích phân ∑ n =2 n ln n phân kỳ.
  5. b) Tiêu chuẩn so sánh 1: ∞ ∞ Cho hai chuỗi số dương ∑ un và ∑ vn n =1 n =1 thoả điều kiện ∃ N: 0< un ≤ vn, ∀n ≥ N Khi đó: ∞ ∞ Nếu chuỗi ∑ vn hội tụ thì chuỗi ∑ n =1 u n hội tụ n =1 ∞ ∞ Hoặc nếu chuỗi ∑u n =1 n phân kỳ thì chuỗi ∑v n phân kỳ. n =1
  6. b) Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt) ∞ n 2 VD1: Cho chuỗi số ∑ 5n + n n =1 n n Ta có: 0 < n ≤   2  2 5 + n  5 ∞ n  2  2 Mà chuỗi ∑ n =1  5  hội tụ ( q =
  7. b) Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt) ∞ ln n VD2: Cho chuỗi số ∑ n =2 n Ta có: un = ln n > 1 > 0 ; ∀n ≥ 3 n n ∞ 1 Mà chuỗi ∑ n =2 n 1 2 phân kỳ (VD1 trong phần tiêu chuẩn tích phân) ∞ ln n Nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi ∑ n =2 n phân kỳ.
  8. c) Tiêu chuẩn so sánh 2: ∞ ∞ Cho hai chuỗi số dương ∑ n =1 un , ∑ vn n =1 un Giả sử tồn tại lim =k n→∞ vn ∞ ∞ • k = 0 nếu chuỗi ∑ vn hội tụ thì chuỗi ∑ un hội tụ. n =1∞ n =1 ∞ • k = +∝ nếu chuỗi ∑ un hội tụ thì chuỗi ∑ vn hội tụ. n =1 ∞ ∞ n =1 • 0 < k < +∝ hai chuỗi ∑ un và ∑ vn n =1 n =1 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
  9. c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ 2 VD1: Xét chuỗi số ∑ n + n + 1 4 n =1 n + 1 2 n + n + 1 1 khi n → ∞ Ta có: 4 ~ 2 n +1 n ∞ 1 Mà chuỗi ∑ n =1 n 2 hội tụ. ∞ 2 Nên n + n +1 có cùng tính chất là hội tụ. chuỗi ∑ 4 n =1 n + 1
  10. c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ VD2: Xét chuỗi số ∑ n + 1 − n − 1 3 n =1 n 4 n + 1− n − 1 2 2 Ta có un = 3 = 3 ~ 5 n 4 n ( n + 1 + n − 1) n 4 4 khi n → ∞ ∞ 1 Mà chuỗi ∑ n =1 n 5 4 hội tụ. ∞ Nên n + 1 − n − 1 có cùng tính chất hội tụ chuỗi ∑ n =1 n4 3
  11. c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ 1 VD3: Xét chuỗi số ∑ n =1 n n n Ta có un = n1 . vn = 1 n n Xét n un Lúc lim = lim n1 = 1 này n→∞ vn n →∞ n ∞ 1 Mà chuỗi ∑ n =1 n phân kỳ ∞ 1 Nên chuỗi ∑ n =1 n nn cũng phân kỳ
  12. c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ VD4: Xét chuỗi số ∑ 1 ⋅ ln(n + 1) n =1 n n −1 Ta u = 1 ⋅ ln(1 + 2 ) ~ 1 ⋅ 2 khi n → ∞ có n n n −1 n n −1 Xét vn = 13 n2 ∞ u 1 hội mà chuỗi ∑ 3 Lúc lim n = 2 này n→∞ vn n t2ụ n =1 ∞ 1 ⋅ ln(n + 1) cũng hội tụ. Nên chuỗi ∑ n =1 n n −1
  13. c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ 1 VD5: Xét chuỗi số ∑ n =1 3 2 n . arctg 2 n Ta 3 2 1 3 2 1 1 un = n . arctg 2 ~ n ⋅ 2 = 4 khi n →∞ có n n n3 ∞ 1 Mà chuỗi ∑ n =1 nt4 3ụ hội ∞ Nên ∑ 3 n . arctg 12 2 cũng hội tụ. chuỗi n =1 n
  14. d) Tiêu chuẩn D’Alembert: ∞ Cho chuỗi số dương ∑ n =1 un un +1 Giả sử tồn tại giới hạn lim n →∞ u = D n ∞ ∗ Nếu D1 thì ∑ un phân kỳ. n =1 ∗ Nếu D=1 thì chưa có kết luận.
  15. d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt) un+1 Tuy nhiên nếu ta chứng minh được >1 ∀n ≥ N un ∞ thì lúc này ta kết luận ∑ n =1 un phân kỳ. ∞ n VD1: Xét chuỗi số ∑ 3 . n ! n n =1 n u 3 3 Ta có n +1 = → >1 u n ( 1 + 1n ) n e ∞ n 3 . n ! Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi ∑ n phân kỳ. n =1 n
  16. d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt) ∞ n 2 VD2: Xét chuỗi số ∑ 2 + 5 n n =1 n !+ ln n 2 + 5n n 2 2 n Ta có un = v = ~ n n! khi n →∞ n!+ ln n Vn+1 2 Mà = →0 Vn n ∞ Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi ∑ n =1 vn hội tụ nên ∞ chuỗi ∑ n =1 un cũng hội tụ.
  17. d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt) ∞ n e . n ! VD3: Xét chuỗi số ∑ n =1 n n un+1 e Ta có = →1 un (1+ 1) n n un+1 ( n Tuy nhiên ta có 1 + n < e 1 ) nên un >1 ∞ n e . n! Vậy chuỗi ∑ n phân kỳ. n =1 n
  18. e) Tiêu chuẩn Cauchy: ∞ Cho chuỗi số dương ∑ n =1 un giả sử tồn tại lim n un = c n →∞ ∞ ∗Nếu c < 1 thì ∑ un hội tụ. n =1 ∞ ∗Nếu c > 1 thì ∑ un phân kỳ. n =1 ∗Nếu c = 1 thì chưa có kết luận.
  19. e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt) Tuy nhiên nếu ta chứng minh được n un >1, ∀n ≥ N thì ta kết luận chuỗi phân kỳ. ∞ n 3 VD1: Xét chuỗi số ∑ n =2 (ln n) n 3 un ln n → 0 = Ta có: n ∞ n 3 Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy ∑ n =2 (ln n) n hội tụ.
  20. e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt) n2 n ∞ n .2 VD2: Xét chuỗi số ∑ n =1 ( n + 1) n2 Ta có: n un = 2 2 →
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2