Chương 2 NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐ

Chia sẻ: Le Van Truyen | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

259
lượt xem 62
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

TÀI LIỆU THAM KHẢO VỀ TOÁN HỌC - NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐ

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 2 NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐ

Chương 2 NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐ I. Nội suy. 1. Đặt vấn đề. y = f ( x ); - không biết biểu thức giải tích của hàm; - biết giá trị của hàm tại một số hữu hạn điểm trên đoạn [ a, b] ( bằng đo đạc hoặc thực nghiệm): xo x1 . . . xi . . . xn-1 xn x y=f( x ) yo y1 . . . yi . . . yn-1 yn - Tìm giá trị của hàm số tại một số điểm trung gian khác. Bài toán nội suy: -Xây dựng một hàm φ( x ) có biểu thức đơn giản, có giá trị trùng với giá trị của f ( x ) tại các điểm xo x1 . . . xn , còn t ại các điểm khác trên đoạn [a, b] thì φ( x ) khá gần f( x ) [phản ảnh gần đúng quy luật f( x ) ] có thể suy ra giá trị gần đúng của f( x ) tại các giá trị x bất kỳ thoả mãn xo < x < xn. - φ( x ) – hàm nội suy của f( x ) trên đoạn [a, b]. -Ý nghĩa hình học: xây dựng đường cong y = φ( x ) đi qua các điểm cho trước (x , y ), I = 0, 1, . . . , n.
2. Đa thức nội suy. Thường chọn đa thức làm hàm nội suy vì: - Đa thức là loại hàm đơn giản; - Luôn có đạo hàm và nguyên hàm; - Việc tính giá trị của chúng đơn giản. Bài toán: - Trên đoạn a ≤ x ≤ b cho một lưới các điểm chia (điểm nút) xi; i = 0, 1, 2, . . ., n; với a ≤ xo, x1, x2, . . . .xn ≤ b. - Cho giá trị tương ứng của hàm y = f( x ) tại các nút: xo x1 . . . xi . . . xn-1 xn x y=f( x ) yo y1 . . . yi . . . yn-1 yn - Cần xây dựng một đa thức bậc n: Pn( x ) = aoxn + a1xn-1 + . . . + an-1x + an. (1) sao cho Pn(x) trùng với f(x) tại các nút xi, Pn(xi) = yi ; i= 0, 1, 2, . . . , n.
Sự duy nhất của đa thức nội suy: đa thức nội suy Pn( x ) của hàm f( x ) định nghĩa ở trên nếu có thì ch ỉ có m ột mà thôi. Đa thức nội suy có thể xây dựng theo nhiều cách nhưng do tính duy nhất nên các dạng của nó đều có thể quy về nhau. 3. Đa thức nội suy Lagrăng. n Pn ( x) = ∑ yi li ( x); (2) i =0 ( x − xo )...( x − xi −1 )( x − xi +1 )...( x − xn ) li ( x) = ; trong đó ( xi − xo )...( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )...( xi − xn ) li(x) – đa thức bậc n Pn(x) – đa thức bậc n 1 khi j = i; li ( x j ) = 0 j ≠ I; Pn(xi)= yi; i = 0, 1, 2, . . ., n. ( 2 ) – đa thức nội suy Lagrăng.
*/ Nội suy tuyến tính. ( n = 1 ) x xo x1 P ( x) = yolo ( x) + y1l1 ( x); (2) (3) 1 y yo y1 x − xo x − x1 lo ( x) = l1 ( x) = ; xo − x1 x1 − xo x − xo x − x1 Pn ( x) = yo + y1 ; xo − x1 x1 − xo Có dạng P1(x) = Ax + B - bậc nhất đối với x. */ Nội suy bậc 2. ( n = 2 ) x xo x1 x2 P2 ( x) = yolo ( x) + y1l1 ( x) + y2l2 ( x); (4) y yo y1 y2 ( x − xo )( x − x2 ) ( x − x1 )( x − x2 ) lo ( x) = ; l1 ( x) = ( xo − x1 )( xo − x2 ) ( x1 − xo )( xo − x2 ) ( x − xo )( x − x1 ) l2 ( x ) = ; ( x2 − xo )( x2 − x1 ) P2(x) có dạng : P2(x) = Ax2 + Bx + C - bậc 2 đối với x.
*/ Sai số nội suy. Định lý. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] và có trong [a, b] đ ạo hàm liên tục đến cấp n+1 thì sai số nội suy rn(x) =f(x) – Pn(x) có biểu thức: π ( x) ; c ∈ [ a, b ] ( n +1) rn ( x) = f (c ) (5) (n + 1)! π ( x) = ( x − xo )( x − x1 )...( x − xn ) ([a, b] - khoảng chứa các nút xi) [ ] M = max f ( n +1) ( x) ; x ∈ a, b Gọi thì M π ( x) ; rn ( x) ≤ (n + 1)! -Ưu điểm của đa thức nội suy Lagrăng : đơn giản; - Nhược điểm : thêm một nút thì phải tính lại toàn bộ.
4. Đa thức nội suy Niutơn. a/ Sai phân hữu hạn. y = f(x) có giá trị yi = f(xi) tại các nút xi cách đều nhau với xi+1 – xi = h = const; i = 0, 1, 2, . . ., n x0 ; x1 = xo + h; x2 = x0 + 2h; . . .xi = xo + ih . . . Định nghĩa sai phân hữu hạn của hàm y = f(x): Sai phân cấp 1(hạng 1): Δyi = yi+1 – yi; Sai phân cấp hai: ;Δ2yi = Δyi+1 –Δyi ;Δ3yi = Δ2yi+1 –Δ2yi Sai phân cấp 3: Sai phân cấp n là sai phân của sai phân cấp n-1: ;Δnyi = Δ(Δn-1yi) = Δn-1yi+1 –Δn-1yi ∆yo = y1 − yo ; ∆2 yo = ( y2 − y1 ) − ( y1 − yo ) = y2 − 2 y1 + yo ; ∆3 yo = y3 − 3 y2 + 3 y1 − yo ; ..................... n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n yn−3 + (−1) n −1 y1 + (−1) n yo ; ∆n yo = yn − yn −1 + yn − 2 − 1! 2! 3!
b/ Đa thức nội suy Niutơn tiến (nội suy về phía phải). Trường hợp các nút cách đều, Niutơn đa th ức có d ạng: Pn ( x) = ao + a1 ( x − xo ) + a2 ( x − xo )( x − x1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + an ( x − xo ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − xn−1 ) Xác định ao , a1, a2 ,⋅ ⋅ ⋅, an từ điều kiện Pn ( xi ) = yi ; - x = xo ao = Pn(xo) = yo; Pn ( x1 ) − ao y1 − yo ∆ yo a1 = = = ; - x = x1 x1 − xo h h ∆ yo y −y − ⋅ 2h Pn ( x2 ) − ao − a1 ( x2 − xo ) 2 o h a2 = = - x = x2 ( x2 − xo )( x2 − x1 ) 2h.h ∆ 2 yo y2 − yo − 2( y1 − yo ) y2 − 2 y1 + yo = = = ; 2 2 2 2h 2h 2!h ∆i yo ai = ; i i!h
∆2 yo ∆n y o ∆ yo Pn ( x) = yo + ( x − xo ) + ( x − xo )( x − x1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( x − xo ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − xn−1 ); 2 n 1!h 2!h n!h x − xo Đổi biến, đặt t = x = xo + t.h h x - xi = x - xo - i.h = t.h - i.h = (t-i)h; xi = xo + i.h t (t − 1) 2 t (t − 1)...(t − n + 1) n Pn ( x) = yo + t∆ yo + ∆ yo + ⋅ ⋅ ⋅ + ∆ yo ; 2! n! Thường dùng để tính các giá trị của hàm ở gần x o đầu bảng. 3/ Đa thức nội suy Niutơn lùi (nội suy về phía phải) Với cách làm tương tự nhưng bắt đầu với x = x n ∆2 y n − 2 ∆n yo ∆ yn−1 Pn ( x) = yn + ( x − xn ) + ( x − xn )( x − xn−1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( x − xn ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − x1 ); 2 n 1!h 2!h n!h t (t + 1) 2 t (t + 1)...(t + n − 1) n t Pn ( x) = yn + ∆ yn−1 + ∆ yn − 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ∆ yo ; 1! 2! n! Ưu điểm của công thức nội suy Niutơn: thêm nút chỉ cần thêm số hạng, không cần phải tính lại. Để thuận tiện tính toán thường lập bảng sai phân đường chéo.
Bảng sai phân đường chéo của công thức nội suy tiến x y Δy Δ2y Δ3y Δ4y Δ5y Δ6y xo yo Δyo x1 y1 Δ2yo Δy1 Δ3yo x2 y2 Δ2y1 Δ4yo Δy2 x3 Δ3y1 Δ5yo y3 Δ6yo Δ2y2 Δ4y1 Δy3 x4 Δ3y2 Δ5y1 y4 Δ2y3 Δ4y2 Δy4 Δ3y3 x5 y5 Δ2y4 Δy5 x6 y6
Bảng sai phân đường chéo của công thức nội suy lùi x y Δy Δ2y Δ3y Δ4y Δ5y Δ6y yn-6 xn-6 Δyn-6 yn-5 xn-5 Δ2yn-6 Δyn-5 Δ3yn-6 yn-4 xn-4 Δ2yn-5 Δ4yn-6 Δyn-4 yn-3 xn-3 Δ3yn-5 Δ5yn-6 Δ6yn-6 Δ2yn-4 Δ4yn-5 Δyn-3 yn-2 xn-2 Δ3yn-4 Δ5yn-5 Δ2yn-3 Δ4yn-4 Δyn-2 yn-1 Δ3yn-3 xn-1 Δ2yn-2 Δyn-1 yn xn
4/ Sai số của phép nội suy Niutơn. Vẫn dùng công thức sai số đã biết trong ph ần nội suy Lagrăng nhưng thay đạo hàm hạng n+1 bằng sai phân h ạng n+1 - Với công thức nội suy tiến: t (t − 1)...(t − n) n +1 rn ( x) = f ( x) − P ( x) ≅ ∆ yo ; (n + 1)! - Với công thức nội suy lùi: t (t + 1)...(t + n) n+1 rn ( x) = f ( x) − P ( x) ≅ ∆ yo ; (n + 1)!
II. Lấy xấp xỉ hàm số. Phương pháp bình phương nhỏ nhất. 1. Đặt vấn đề. Lấy xấp xỉ một hàm số là tìm một hàm số khác hoặc m ột t ổ hợp các hàm số khác mà sai khác với hàm số đã cho đủ bé theo một nghĩa nào đó. */Lấy xấp xỉ bằng các đa thức nội suy có những nhược điểm:u nhiều nút - Nế bậc của đa th ức n ội suy s ẽ r ất lớn tính toán không thuận tiện -Việc buộc Pn(xi) = yi không hợp lý ( các số liệuđo đạc, thực nghiệm có thể không chính xác sai số lớn khi n ội suy) - Không thật phù hợp nếu f(x) là hàm tuần hoàn. */ Thường có nhu cầu “làm trơn” các đường cong th ực nghi ệm, hoặc biểu diễn các quan hệ thực nghiệm dưới dạng một hàm số đã biết nào đó, ví dụ: y = a + bx; y = a + bx + cx2; y = a + bcosx + csinx; y = aebx ; y = axb; . . .
2. Lấy xấp xỉ bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất. - Cho hàm số f(x) và đa thức: Q( x) = C ϕ ( x) + C ϕ ( x) + C ϕ ( x) + ⋅ ⋅ ⋅ + C ϕ ( x); (a) o0 11 22 mm ϕi ( x); i = 0,1,2,..., m - hệ các hàm số nào đó của x; Co , C1, C2 ,..., Cm - các hệ số. -Cần xác định Co , C1 , C2 ,..., Cm sao cho Q(x) trên t ập đã cho X x sai khác vơi f(x) nhỏ nhất có thể. Q(x) – đa thức xấp xỉ của f(x). 2 m - Khi ϕ o ( x) = 1; ϕ1 ( x) = x; ϕ 2 ( x) = x ;...ϕ m ( x) = x , Qm ( x) = Co + C1 x + C2 x 2 + ... + Cm x m ; (b) là một đa thức đại số thông thường. Phương pháp thường dùng khi lấy xấp xỉ[ xác định các hệ số của ( a ) hoặc ( b ) ] là phương pháp bình ph ương nh ỏ nh ất.
-Nội dung của phương pháp bình phương nhỏ nhất là tìm cực tiểu của hàm n M = ∑ [ f ( xi ) − Q( xi )] 2 ; (c) i =0 f(xi), i = 0, 1, . . ., n là những giá trị đã biết của f(x) trên t ập điểm xo, x1, . . ., xn. Coi các hệ số Ck là các ẩn phải tìm, để M cực tiểu phải có: ∂M = 0; (k = 0,1,..., m) (d) ∂Ck Từ ( d ) tìm được các hệ số Ck. f(xi) – Q(xi) - Sai số tại xi khi thay f(x) bằng Q(x).
3. Một số trường hợp thường gặp. a/ Đa thức xấp xỉ được chọn dưới dạng các hàm tuyến tính. */ Q(x) = ax + b xo x1 . . . xi . . . xn-1 xn x ( c ): yo y1 . . . yi . . . yn-1 yn y=f(x) n n M = ∑ [ f ( xi ) − Q( xi )] 2 = ∑ ( yi − axi − b ) 2 ; i =0 i =0 a ∑ xi2 + b ∑ xi = ∑ xi yi ; ∂M ∂M = 0; = 0; Để M bé nhất: a ∑ xi + bn = ∑ yi ; ∂a ∂b Thay các số liệu ở bảng vào và giải ph/trình a, b. Để thuận tiện tính toán thường lập bảng: xi yi xi2 xi yi ... ... ... ... ... ... ... ... Σ
*/ Q(x) = ax2 + bx + c. ( ) n 2 M =∑ yi − axi2 − bxi − c ; i =0 ∂M ∂M ∂M = 0; = 0; = 0; ∂a ∂b ∂c a ∑ xi4 + b ∑ xi3 + c ∑ xi2 = ∑ yi xi2 ; 3 2 a ∑ xi + b ∑ xi + c ∑ xi = ∑ yi xi ; 2 a ∑ xi + b ∑ xi + cn = ∑ yi ; xi yi xi3 xi4 yi xi2 yi xi xi2 ... ... ... ... ... ... ... ... Σ
b/ Đa thức xấp xỉ là những hàm phi tuyến. Trong nhiều trường hợp có thể tuyến tính hoá để việc tính toán thuận lợi: 1 */ y = ; Đặt Y = 1/y Y = ax + b; ax + b x */ y = ; Đặt Y = 1/y và X = 1/x Y = a + bX; ax + b */ y = aebx ; với a > 0; Lấy logarit thập phân cả 2 vế: logy = loga + xbloge; Đặt logy = Y; X = x; A = loga; B = bloge Y = A + BX Chuyển bảng số liệu thực nghiệm sang quan hệ giữa X i và Yi để tìm A, B. Sau đó a = 10A; b = B/loge. */ y = axb ( a > 0). logy = loga + b.logx Đặt Y = logy; B = loga; X = logx; A = b; Y = AX + B Chuyển bảng số liệu sang quan hệ của Xi và Yi để tìm A, B.
2/ Cho quan hệ thực nghiệm: Biểu diễn mối quan hệ đó xi 1 2 3 4 5 bằng hàm bậc 2 yi 9.8 17,2 25,8 37,1 49,7 y = a + bx + cx2 Xác định các hệ số a, b, c theo p/p bình phương nh ỏ nh ất. 2 Hệ phương trình: a ∑ xi + b ∑ xi + cn = ∑ yi ; 3 2 a ∑ xi + b ∑ xi + c ∑ xi = ∑ yi xi ; (a) 4 3 2 2 a ∑ xi + b ∑ xi + c ∑ xi = ∑ yi xi ; xi yi x i2 x i3 x i4 yixi yixi2 1 9,8 1 1 1 9,8 9,8 2 17,2 4 8 16 68,8 34,4 n=5 3 25,8 9 27 81 232,2 77,4 4 37,1 16 64 256 593,6 148,4 5 49,7 25 125 625 1242,5 248,5 Σ 15 139,6 55 225 979 2146,9 518,5