Chương 3: Các tiên đề cơ học lượng tử

Chia sẻ: Buiduy Hoan | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:154

Thêm vào BST

Báo xấu

826
lượt xem 172
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ta biết rằng các hạt vi mô có tính chất sóng rất rõ rệt, do đó khái niệm chuyển động của chúng trong cơ lượng tử khác nhiều so với khái niệm chuyển động trong cơ cổ điển. Trong cơ học lượng tử không có khái niệm qũy đạo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 3: Các tiên đề cơ học lượng tử

Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ I. SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ LƯỢNG TỬ VÀ CƠ CỔ ĐIỂN II. CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ III. GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC IV. TÍNH HỆ SỐ PHÂN TÍCH V. GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ SỐ PHÂN TÍCH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN TỤC VI. TOÁN TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG LƯỢNG VII. NGUYÊN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ DẠNG CÁC TOÁN TỬ KHÁC VIII. SỰ ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC IX. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
I. SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG TOP TRONG CƠ LƯỢNG TỬ VÀ CƠ CỔ ĐIỂN Ta biết rằng các hạt vi mô có tính chất sóng rất rõ rệt, do đó khái niệm chuyển động của chúng trong cơ lượng tử khác nhiều so với khái niệm chuyển động trong cơ cổ điển. Trong cơ học lượng tử không có khái niệm qũy đạo. Ta hãy xét sự khác nhau về khái niệm chuyển động trong cơ học cổ điển và cơ lượng tử. * Với cơ học cổ điển, hạt chuyển động theo một qũy đạo xác định. Các biến số động lực như tọa độ, năng lượng, xung lượng ...được xác định chính xác đồng thời tại từng điểm và từng thời điểm trên qũy đạo. * Với cơ học lượng tử thì chuyển động của hạt được coi như một bó sóng định xứ trong một miền của không gian và bó sóng này thay đổi theo thời gian (một sóng bất kì có thể phân tích thành tổ hợp tuyến tính các sóng điều hòa-bó sóng). Còn các biến số động lực nói chung không được xác định chính xác đồng thời, mà khi nói về chúng, ta chỉ có thể nói xác suât để biến số động lực ấy có giá trị nằm trong khoảng nào là bao nhiêu mà thôi.
Vì sự khác biệt đó, các biến số động lực trong cơ học lượng tử không mô tả bằng số như cơ cổ điển mà phải mô tả chúng bằng các toán tử. Ta thừa nhận một số giả thuyết như những tiên đề. II. CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ HỌC TOP LƯỢNG TỬ Mỗi biến số động lực được mô tả bằng một toán tử tuyến tính xác định. Tính chất tuyến tính là phản ánh nguyên lí chồng chất rằng: Nếu hệ lượng tử có thể ở các trạng thái mô tả bằng các hàm sóng thì hệ cũng có thể ở trạng thái mô tả bằng hàm sóng . Trong đó là các hằng số bất kì và nói chung là phức. Tiên đề 2: Khi ta đo một biến số động lực nào đó thì ta chỉ thu được những giá trị bằng số là các trị riêng của toán tử biểu diễn biến số động lực ấy. Từ tiên đề này ta suy ra các toán tử biểu diễn biến số động lực là những toán tử hecmit
(vì trị riêng là thực) và có đầy đủ các tính chất của toán tử hecmit. Tiên đề 3: Nghĩa là các hệ số phân tích cũng được chuẩn hóa. Công thức là điều kiện chuẩn hóa của hệ số phân tích. Với ý nghĩa là tổng xác suất các trạng thái có thể phải bằng một. Nếu
III. GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BIẾN TOP SỐ ĐỘNG LỰC Ta định nghĩa giá trị trung bình của biến số động lực L biểu diễn bằng toán tử như sau: . Từ đó ta suy ra: Với các đã chuẩn hóa thì : (3.1). Còn các chưa chuẩn hóa thì:
(3.2). Các công thức (3.1) và (3.2) là dùng để tính giá trị trung bình theo hệ số phân tích. Sau đây ta hãy xét biểu thức giá trị trung bình theo trạng thái (tức theo hàm sóng) của hệ lượng tử. Ta sẽ chứng minh giá trị trung bình có biểu thức: . (3.3). Trong đó là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ và ta lưu ý rằng (x) là tập hợp các biến số nào đó chứ không riêng gì tọa độ x. Ta xét có phổ gián đoạn ( trị riêng là gián đoạn ). a/ Trường hợp chưa chuẩn hóa: Ta hãy thay Tử số của (3.3) là:
Trong đó . Suy ra tử số của (3.3) là . Tương tự, mẫu số tính được là . Từ đó công thức (3.3) trở thành: . Ðây chính là công thức định nghĩa (3.2) mà ta đã biết. b/ Trường hợp đã chuẩn hóa thì mẫu số của (3.3) bằng 1 và ta dễ dàng tính được . Cũng là công thức định nghĩa (3.1) mà ta đã biết. Vậy công tức (3.3) đã được chứng minh. IV. TÍNH HỆ SỐ PHÂN TÍCH TOP
Như trên ta đã thấy, muốn tính được xác suất hay giá trị trung bình của biến số động lực thì ta phải biết được các hệ số phân tích. Ta hãy tìm cách để tính chúng. Nếu các hàm sóng chưa chuẩn hóa thì các sẽ sai khác nhau một hằng số. Thông thường ta phải chuẩn hóa các hàm sóng để biểu thức xác suất được đơn giản. V. GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ SỐ PHÂN TÍCH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN TOP TỤC Ðối với toán tử có phổ liên tục thì hàm sóng là: . Trong đó L là trị riêng của toán tử có phổ liên tục. Ta hãy tìm biểu thức xác suất, giá trị trung bình và hệ số phân tích trong trường hợp này.
a/ Biểu thức xác suất: Vì các giá trị L là liên tục nên ta không thể nói xác suất để biến số động lực có giá trị L là bao nhiêu được mà chỉ có thể nói xác suất để L có giá trị nằm trong khoảng từ L đến (L+dL) là bao nhiêu mà thôi. Xác suất này thì tỉ lệ với dL và có biểu thức: . là mật độ xác suất để biến số động lực có giá trị L. Như vậy, với toán tử có phổ liên tục, tiên đề thứ Ba được phát biểu như sau: Mật độ xác suất để biến số động lực có giá trị L tỉ lệ với . Tức là tỉ lệ với khi C(L) chưa chuẩn hóa. Còn nếu C(L) đã chuẩn hóa thì = Nếu các hệ số C(L) được chuẩn hóa sao cho: b/ Giá trị trung bình:
Biểu thức giá trị trung bình của biến số động lực L vẫn là: . Thật vậy,ta hãy chứng minh cho trường hợp tổng quát là hàm sóng chưa chuẩn hóa như sau: Thay thì tử số sẽ là . = . Tương tự, mẫu số là .Ta suy ra là công thức định nghĩa. Vậy ta đã chứng minh xong. c/ Hệ số phân tích:
VI TOÁN TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG TOP LƯỢNG a/ Toán tử tọa độ: Xét hạt chuyển động trên trục ox, trạng thái của hạt được mô tả bởi hàm sóng ; giả sử đã chuẩn hóa. Toán tử tọa độ phải có dạng thế nào để hệ thức của giá trị trung bình được thỏa mãn. Tức là: (3.4). Mặt khác, nếu là mật độ xác suất để hạt có tọa độ là x và lưu ý rằng tích của tọa độ với các hàm sóng là giao hoán được thì ta có: (3.5).
Như vậy trong biểu diễn tọa độ (sau này ta sẽ nói rõ) thì toán tử tọa độ chỉ là phép nhân với tọa độ mà thôi. b/ Toán tử xung lượng: Ta đã biết rằng hạt tự do có năng lượng E, xung lượng thì tương ứng với một sóng phẳng có dạng: . Trong đó hình chiếu của xung lượng là xác định nên hàm sóng là hàm riêng của toán tử . Do đó ta có phương trình trị riêng:
Hai vế của phương trình bằng nhau .Vậy . Tương tự Từ đó ta suy ra : . VII. NGUYÊN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ TOP DẠNG CÁC TOÁN TỬ KHÁC
Cơ học cổ điển là trường hợp riêng của cơ học lượng tử. Trong cơ học cổ điển, các biến số động lực liên hệ với nhau bằng các công thức đã biết như: Trong cơ học lượng tử thì các biến số động lực được biểu diễn bằng các toán tử và chúng cũng liên hệ với nhau bằng các công thức tương tự như thế. Ðó là nội dung của nguyên lí tương ứng trong cơ học lượng tử. Từ nguyên lí tương ứng và dạng các toán tử đã biết, ta có thể suy ra được các toán tử khác. a/ Toán tử năng lượng: Trong cơ học cổ điển ta có công thức: . Theo nguyên lí tương ứng ta có dạng của toán tử là: . Thay dạng của các toán tử đã biết vào biểu thức ta được:
. (3.6) b/ Toán tử mô men động lượng: Trong cơ học cổ điển ta có: Thay dạng các toán tử dã biết ta được: . (3.7) Ba toán tử trên là ba toán tử hình chiếu của toán tử mô men động lượng có dạng là
(3.8) VIII. SỰ ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN SỐ TOP ĐỘNG LỰC Xét hệ lượng tử có hàm sóng và hai biến số động lực L,M của hệ, chúng được biểu diễn bằng hai toán tử . Theo tiên đề Ba (trường hợp riêng), muốn thì hàm sóng (x) phải trùng với hàm riêng . Nghĩa là Nếu đo đồng thời M với L và muốn M cũng có giá trị xác định thì (x) cũng trùng với hàm riêng của . Tức là là hàm riêng chung của hai toán tử . Vậy, muốn đo chính xác đồng thời hai biến số động lực L, M của hệ lượng tử ở cùng một trạng thái thì hai toán tử biểu diễn chúng phải có chung hàm riêng. khi đó ta có: Ta sẽ chứng minh điều kiện cần và đủ để hai toán tử có chung hàm riêng là hai toán tử
phải giao hoán với nhau. Tức là giao hoán tử của chúng bằng không. a/ Ðiều kiện cần (hai toán tử có chung hàm riêng thì giao hoán): b/ Ðiều kiện đủ (hai toán tử giao hoán thì có chung hàm riêng): IX. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG TOP
Xét hệ lượng tử ở trạng thái và hai biến số động lực L và M , chúng được biểu diễn bằng hai toán tử . Ta biết rằng nếu giao hoán thì ta đo được chính xác đồng thời cả L và M. Nếu chúng không giao hoán thì không đo chính xác đồng thời được. Giả sử không giao hoán. Ta hãy xét xem khi đo chúng đồng thời thì độ chính xác đạt đến mức độ nào? Vì biến diễn hai biến số động lực nên chúng là các toán tử hecmit. Nên ta có: với là toán tử hecmit. Gọi là giá trị trung bình của hai biến số động lực L và M thì độ lệch khỏi giá trị trung bình của L và M là: . Bây giờ ta hãy tính:
. Thực hiện phép tính ở vế phải ta tính được: . Ðể tìm mối liên hệ giữa , ta dùng một thủ thuật sau:
Nếu đo đồng thời hai đại lượng này thì độ chính xác phải tuân theo hệ thức bất định sau: . Hay Ý nghĩa vật lí của hệ thức này ta phải hiểu như sau: Khi quan sát một hệ lượng tử (electron chẳng hạn), ta phải chiếu vào nó một bức xạ có bước sóng ngắn, tức có xung lượng lớn (xung lượng P = ). Khi foton va chạm với electron thì ta xác định được vị trí của electron. Nếu lúc đó ta muốn xác định đồng thời cả xung