Chương 3: Phép tính vi phân của hàm một biến

Chia sẻ: Van Dung Dung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

679
lượt xem 113
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 3: phép tính vi phân của hàm một biến', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 3: Phép tính vi phân của hàm một biến

Chương 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN C A HÀM M T BI N 3.1 Dãy s và gi i h n c a dãy s 3.1.1 Đ nh nghĩa gi i h n c a dãy s Đ nh nghĩa 3.1. Dãy s th c là m t ánh x a: N→R n → a(n) = an Khi đó ta đư c m t dãy các s th c a1 , a2 , ...an , ... + Kí hi u là {an }. + an g i là s h ng t ng quát th n c a dãy. Dãy s hoàn toàn đư c xác đ nh khi bi t s h ng t ng quát c a nó. - Dãy con. Cho dãy s th c an . Gi s n1 < n2 < ...nk < ... là m t dãy tăng th c s các s t nhiên thì dãy nn1 , an2 , ..., ank , ... là dãy con c a dãy {an } và vi t là {ank } ⊂ {an } . Đ nh nghĩa 3.2. Ta nói r ng: a = lim an ⇔ ∀ε > 0 ∃N ∀n > N : |an − a| < ε n→∞ - Khi đó ta nói dãy {an } h i t đ n a. - Dãy không h i t g i là dãy phân kỳ. Đ nh lý 3.1. Gi i h n c a dãy s n u có là duy nh t. Ch ng minh. Gi s lim an = a . N u có s b = a cũng là gi i h n c a dãy {an } . Khi đó v i n→∞ |b − a| > 0 , thì: ∃N1 ∀n > N1 : |an − a| < ε, ∃N2 ∀n > N2 : |an − b| < ε ε= 2 Ch n N0 = max{N1 , N2 } , thì v i m i n > N0 ta có: |a − b| = |a − an + an − b| < |a − an | + |an − b| < ε + ε = 2.ε = |a − b| Mâu thu n ch ng t đi u gi s là sai, đ nh lý đư c ch ng minh. Đ nh lý 3.2. N u dãy s th c {an } có gi i h n là a , thì m i dãy con c a nó cũng có gi i h n là a. Ví d 3.1. Xét dãy {an } sao cho an = a , v i m i n , ta có lim an = a. Th t v y, n→∞ ∀ε > 0 ∃N = 0 ∀n > N : |an − a| = |a − a| = 0 < ε T c là lim an = a n→∞
21 http://maths3.wordpress.com 1 1 Ví d 3.2. Gi i h n lim = 0. Th t v y, v i m i ε > 0 ch n N = + 1, thì v i m i n ta có: n ε n→∞
1 1 1
|an − 0| =
− 0
= <
n n N . Ví d 3.3. Gi i h n nlim q n = 0 n u |q | < 1. Th t v y →∞ - N u q = 0 , thì nlim q n = 0 (Theo ví d 1). →∞ - N u q = 0, thì ∀ε > 0 ∃N = log|q| ε + 1 ∀n > N : |an − 0| = |q n − 0| < ε. Ví d 3.4. Gi i h n lim (−1)n không t n t i. n→∞ Cách 1. Th t v y gi s ngư c l i t n t i gi i h n lim (−1)n . Khi đó: n→∞ |(−1)n − a| < 1 v i ε = 1 ∃N ∀n > N : Khi n ch n và n l , ta có:|1 − a| < 1 và |−1 − a| < 1 Ta đi đ n mâu thu n 2 = |1 + 1| = |1 − a + a + 1| ≤ |1 − a| + |1 + a| < 1 + 1 = 2. Cách 2. Xét hai dãy con v i các ch s ch n và l không cùng m t gi i h n. Đ nh nghĩa 3.3. Dãy {an } đư c g i là b ch n trên, b ch n dư i n u t p A = {an : n ∈ N} có tính ch t tương ng. Đ nh lý 3.3. Dãy s {an } h i t thì nó b ch n. lim an = a. Khi đó v i ε = 1 ∃N0 ∀n > N0 : |an − a| < 1. Ch ng minh. Gi s n→∞ Do đó |an | < a + 1, ∀n > N0 Ch n M = max {|a1 | , |a2 | , ..., |aN0 | , |a| + 1}, thì rõ ràng −M < an < M, ∀n = 1, 2, ... M r ng khái ni m gi i h n c a dãy s . Dãy s {an } g i là có gi i h n +∞ vi t là lim an = +∞ , n u: ∀M > 0 ∃N ∀n > N : an > M. n→∞ Dãy s {an } g i là có gi i h n −∞ vi t là nlim an = −∞ , n u: ∀M > 0 ∃N ∀n > N : an < −M. →∞ Trong trư ng h p này ta không nói các dãy h i t mà g i chúng là các dãy phân kỳ đ n ±∞ . √ √ Ví d 3.5. Xét dãy {an = n} , ta có: nlim n = +∞ . Th t v y, ∀M > 0 ∃N = M 2 ∀n > N : √ →∞ √ √ an = n > N = M 2 = M √ Ví d 3.6. Xét dãy {an = 1 − n2 } , ta có: lim 1 − n2 = −∞. Th t v y ∀M > 0 ∃N = 1 + M ∀n > √ n→∞ N : an = 1 − n2 < 1 − ( 1 + M )2 = −M 3.1.2 Đ nh lí v gi i h n c a dãy s 1. Đ nh lý Đ nh lý 3.4. N u các dãy an và bn h i t và nlim an = a, nlim bn = b thì các dãy {an ± bn }, {an .bn }, →∞ →∞ an (n u bn = 0 ∀n và b = 0 ) cũng h i t . Hơn n a, ta có: bn (i) nlim (an ± bn ) = a ± b →∞ (ii) lim (an .bn ) = a.b n→∞ an a (iii) lim =. n→∞ b b n
22 http://maths3.wordpress.com Chú ý. - Đ nh lý có th m r ng thêm cho các d ng sau đây: i) a + (+∞) = +∞ ii) a − (+∞) = −∞ ¨ +∞ n ua>0 iii) a.(+∞) = −∞ n u a < 0 a =0 iv) ±∞
a v)
= +∞
0 ∞0 - Ta cũng có các d ng chưa xác đ nh sau đây g i là các d ng vô đ nh: ∞ − ∞; 0.∞; ; ∞0 1 1 Ví d 3.7. Cho hai dãy {an = n + }; {bn = n + a + }, rõ ràng lim (an − bn ) có d ng ∞ − ∞ n n x→∞ và trong trư ng h p này xlim (an − bn ) = a v i a tuỳ ý mà ta ch n. →∞ a 1 an 0 an 3.8. Cho hai dãy {an = }; {bn = } , thì lim có d ng và lim = a v i a tuỳ ý Ví d n n n→∞ b 0 n→∞ b n n ch n. 2. Vô cùng bé và vô cùng l n. Đ nh nghĩa 3.4. . Ta g i dãy s {an } là: + Đ i lư ng vô cùng bé (VCB), n u nlim an = 0; →∞ + Đ i lư ng vô cùng l n (VCL), n u nlim |an | = ∞ . →∞ 1 Ví d . Các dãy s : { , {q n }} v i |q | < 1 là các VCB. Các dãy s : {n}, {−n}, {(−1)n n} là các n VCL. M t s tính ch t c a VCB và VCL. 1. T ng ho c tích c a hai VCB là m t VCB. 2. Tích c a m t VCB và m t đ i lư ng b ch n là m t VCB. 3. Dãy {an } là m t VCB khi và ch khi {|an |} làm t VCB. 4. lim an = a ⇔ {an − a} là m t VCB. n→∞ 5. {an } là VCL và |bn | ≥ |an | v i m i n, thì là m t VCL. 6. Tích c a m t VCL và m t dãy có gi i h n khác 0 là m t VCL. 1 7. Dãy {an } là VCL thì { } là VCB. an 1 8. Dãy {an } là VCB và a = 0 , v i m i n thì { } là VCL. an 3. M t s tính ch t v gi i h n. Đ nh lý 3.5. N u nlim an = a , thì dãy {|an |} cũng h i t và nlim |an | = a. →∞ →∞ Ch ng minh. T gi thi t lim an = a ⇔ ∀ε > 0 ∃N0 ∀n > N0 : |an − a| < ε. n→∞ M t khác, ta có: ||an | − |a|| < |an − a| < ε , v i m i n > N0 Đ nh lý 3.6. . N u lim an = a, lim bn = b và an ≤ bn v i m i n , thì a ≤ b. n→∞ n→∞ Ch ng minh.
23 http://maths3.wordpress.com a−b ∃N1 ∀n ≥ N1 : |an − a| < ε0 ∃N2 ∀n ≥ N2 : Gi s r ng a > b . Khi đó v i ε0 = 2 |bn − b| < ε0 Ch n N0 = max{N1 , N2 } , thì v i m i n ≥ N0 ta nh n đư c đ ng th i hai b t đ ng th c trên. Do đó: aN0 > a − ε0 = b + ε0 > bN0 . Đi u đó mâu thu n v i gi thi t an ≤ bn v i m i n và đ nh lý đư c ch ng minh. Đ nh lý 3.7. Đ nh lý 7 (Gi i h n k p). N u lim an = lim bn = d và an ≤ cn ≤ bn v i m i n , thì n→∞ n→∞ {cn } cũng h i t và nlim cn = d →∞ Ch ng minh. T gi thi t lim an = lim bn , ta suy ra: n→∞ n→∞ ∀ε > 0 ∃N ∀n > N : |an − d| < ε, |bn − d| < ε M t khác vì an ≤ cn ≤ bn , v i m i n; ta nh n đư c an − d ≤ cn − d ≤ bn − d, v i m i n>m. Do đó |cn − d| < max {|an − d| , |bn − d|} < ε v i m i n>m V y cn cũng h i t và lim cn = d. n→∞ Ví d . Tìm gi i h n c a dãy s √ √ √ ( ) n2 + 1 n2 + 2 n2 + n an = + + ... + n2 n2 n2 Ta có √ √ Ê Ê n n2 + 1 n n2 + n 1 1 ≤ an ≤ ⇔ 1 + 2 ≤ an ≤ 1+ 2 2 n n n n ↓ ↓ 1 1 Do đó lim an = 1 n→∞ 3.2 Hàm s m t bi n s 3.2.1 Hàm s Đ nh nghĩa 3.5. Đ i lư ng bi n thiên y g i là hàm s c a đ i lư ng bi n thiên x trong mi n bi n thiên X c a nó n u có m t quy t c đ m i giá tr x ∈ X đ u đư c đ t tương ng v i m t giá tr xác đ nh y ∈ Y. - Đ i lư ng x g i là đ i s hay bi n đ c l p. Mi n bi n thiên X c a x g i là mi n xác đ nh c a hàm s . Đ i lư ng y g i là bi n ph thu c. N u quy t c tương ng gi a x và y là f thì ta vi t y = f (x), x ∈ X - T p f (X ) = {f (x) : x ∈ X } g i là mi n giá tr c a hàm s f. Trong trư ng h p hàm s cho b i m t công th c y = f (x) mà không nói gì thêm thì ta hi u mi n xác đ nh c a hàm s là t p t t c các x mà công th c có nghĩa. Ngoài ra đôi khi ta còn dùng t hàm thay cho hàm s . √ Ví d 3.9. y = 1 − x2 có mi n xác đ nh là [-1,1]; √ Ví d 3.10. y = ln x + 1 − x có mi n xác đ nh là (0,1].
24 http://maths3.wordpress.com 3.2.2 Các lo i hàm đ c bi t. (i). Hàm đơn đi u: - Hàm y = f (x), x ∈ X g i là đơn đi u tăng n u x1 , x2 ∈ X, x1 < x2 thì f (x1 ) ≤ f (x2 ),, g i là đơn đi u gi m n u x1 , x2 ∈ X, x1 > x2 thì f (x1 ) ≥ f (x2 ). - Đơn đi u tăng ho c gi m g i là hàm đơn đi u. - N u x1 < x2 kéo theo f (x1 ) < f (x2 ) thì hàm g i là tăng ng t hay đ ng bi n, tương t ta có khái ni m gi m ng t hay ngh ch bi n. Ví d 3.11. y = x đ ng bi n trên R. Ví d 3.12. y = x2 ngh ch bi n trên (−∞, 0], đ ng bi n trên [0, +∞). ¨ n ux ∈ Q 1 Ví d 3.13. Hàm Dirichlet D(x) = n ux ∈ I 0 Không đơn đi u trên b t kỳ kho ng nào c a R. ii) Hàm ch n, hàm l . Cho hàm y = f (x) có mi n xác¨đ nh X . Khi đó x ∈ X ⇒ −x ∈ X +y = f (x) g i là hàm ch n ⇔ f (−x) = f (x), ∀x ∈ X ¨ x ∈ X ⇒ −x ∈ X + y = f (x) g i là hàm l ⇔ f (−x) = −f (x), ∀x ∈ X √ Ví d 3.14. Hàm y = x2 , y = D(x) là hàm ch n, y = x3 là hàm l ; y = 1 − x hàm là không ch n, không l . iii) Hàm tu n hoàn. Hàm y = f (x), x ∈ X g i là hàm tu n hoàn n u t n t i T > 0 sao cho x ∈ X thì x + T ∈ X và f (x + T ) = f (x) . S dương T nh nh t (n u có) g i là chu kỳ c a hàm tu n hoàn. Ví d 3.15. 1. Các hàm sinx, cosx là hàm tu n hoàn v i chu kỳ 2π còn tanx, cotx là hàm tu n hoàn v i chu kỳ π. 2. Hàm Dirichlet D(x) là tu n hoàn (Có th ch n T là s h u t dương b t kỳ). Hàm D(x) không có chu kỳ. 3.2.3 Hàm ngư c và hàm h p i) Hàm ngư c Cho hàm s y = f (x), mà nó là 1-1, t c là n u x1 = x2 thì f (x1 ) = f (x2 ). Đ t Y = f (X ) . Khi đó m i y ∈ Y t n t i duy nh t x ∈ X đ f (x) = y . Coi x ∈ X là bi n đ c l p thì m i x ∈ X t n t i duy nh t y = f −1 (x), x ∈ X đ y = f (x) . Ta có hàm y = f −1 (x), x ∈ X , g i là hàm ngư c c a hàm y = f (x). Chú ý r ng, ch có hàm đơn tr 1-1 m i có hàm ngư c. ii) Hàm h p Cho hai hàm y = f (x), x ∈ X và z = g (y ), y ∈ Y sao cho f (X ) ⊂ Y. Khi đó ta có hàm (gof )(x) = g (f (x)), x ∈ X g i là hàm h p c a hai hàm đã cho. Ví d 3.16. f (x) = x2 + 1 và g (x) = cos x thì (gof )(x) = cos(x2 + 1); (f og )(x) = cos2 x + 1. Ví d 3.17. h(x) = cos2 x + 2 cos x + 5 có th coi là hàm h p c a hàm y (x) = cos x và g (y ) = y 2 + 2y + 5.
25 http://maths3.wordpress.com Ví d 3.18. T đ nh nghĩa hàm ngư c ta có: f −1 of (x) = x v i ∀x ∈ X f of −1 (y ) = y v i ∀y ∈ Y. 3.2.4 Các hàm sơ c p Ta g i hàm sơ c p đơn gi n là nh ng hàm thu c m t trong các lo i sau đây i) Hàm h ng s y = f (x) = c, c là h ng s . Hàm h ng s có mi n xác đ nh R, mi n giá tr là R ii) Hàm lu th a y = xα , α ∈ R 1 N u α là s h u t thì mi n xác đ nh c a hàm lu th a ph thu c vào α. Ví d : y = x 2 có mi n 1 − xác đ nh là x ≥ 0, y = x 3 có mi n xác đ nh là x = 0. Khi α là s vô t thì ta qui ư c mi n xác đ nh là x ≥ 0 n u α > 0và x ≤ 0 n u α > 0. iii) Hàm mũ: y = ax , a > 0, a = 1 Hàm mũ có mi n xác đ nh là R , mi n giá tr là 0, +∞ . N u α > 1 thì hàm đ ng bi n, 0 < α < 1 thì hàm ngh ch bi n. iv) Hàm lôgarit y = loga x, a > 0, a = 1 Hàm lôgarit có mi n xác đ nh là 0, +∞ , mi n giá tr là R . N u a>1 thì hàm đ ng bi n, 0 < a < 1 thì hàm ngh ch bi n. Hàm y = loga x, là hàm ngư c c a hàm y = xα . v) Hàm lư ng giác Hàm y = sin x có mi n xác đ nh R , mi n giá tr [-1,1], là hàm l , tu n hoàn v i chu kỳ 2π. Hàm y = cos x có mi n xác đ nh R , mi n giá tr [-1,1], là hàm ch n, tu n hoàn v i chu kỳ π. vi) Hàm lư ng giác ngư c ππ Hàm y = arcsin x, x ∈ [−1, 1] là hàm ngư c c a hàm y = sin x, x ∈ [− ; ]. Mi n xác đ nh c a 22 ππ hàm là [-1,1], mi n giá tr là [− ; ]. Ta có 22 ππ y = arcsin x ⇔ sin y = x, y ∈ [− ; ] 22 Chú ý r ng arcsinx là ký hi u t t c các giá tr y mà sinyC =x còn y =arcsinx là giá tr duy nh t ππ y ∈ [− ; ] đ siny =x. 22 Hàm y = arccos x, x ∈ [−1, 1] có mi n xác đ nh là [0, π ]. ππ Hàm y = arctgx, x ∈ R có mi n xác đ nh là (− ; ). 22 Hàm y = arc cot gx, x ∈ R có mi n xác đ nh là (0, π ). Ta g i các hàm sơ c p là hàm cho b i m t công th c trong đó có các hàm sơ c p đơn gi n và m t s h u h n các phép toán hàm: c ng, tr , nhân, chia và l y hàm h p. Ví d 3.19. Các hàm hyperbolic là hàm sơ c p: ex − e−x ex + e−x ex − e−x ex + e−x shx = , chx , thx = x , cthx = x e + e−x e − e−x 2 2