Chương 3
PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM
MỘT BIẾN
3.1 Dãy số và giới hạn của dãy số
3.1.1 Định nghĩa giới hạn của dãy số
Định nghĩa 3.1. Dãy số thực là một ánh xạ
a:N→R
n7→ a(n) = an
Khi đó ta được một dãy các số thực a1, a2, ...an, ...
+ Kí hiệu là {an}.
+angọi là số hạng tổng quát thứ ncủa dãy. Dãy số hoàn toàn được xác định khi biết số hạng
tổng quát của nó.
- Dãy con.
Cho dãy số thực an. Giả sử n1< n2< ...nk< ... là một dãy tăng thực sự các số tự nhiên thì dãy
nn1, an2, ..., ank, ... là dãy con của dãy {an}và viết là {ank} ⊂ {an}.
Định nghĩa 3.2. Ta nói rằng: a= lim
n→∞an⇔ ∀ε > 0∃N∀n > N :|an−a|< ε
- Khi đó ta nói dãy {an}hội tụ đến a.
- Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ.
Định lý 3.1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử lim
n→∞an=a. Nếu có số b6=acũng là giới hạn của dãy {an}. Khi đó với
ε=|b−a|
2>0, thì: ∃N1∀n > N1:|an−a|< ε,∃N2∀n > N2:|an−b|< ε
Chọn N0=max{N1, N2}, thì với mọi n > N0ta có:
|a−b|=|a−an+an−b|<|a−an|+|an−b|< ε +ε= 2.ε =|a−b|
Mâu thuẫn chứng tỏ điều giả sử là sai, định lý được chứng minh.
Định lý 3.2. Nếu dãy số thực {an}có giới hạn là a, thì mọi dãy con của nó cũng có giới hạn là a.
Ví dụ 3.1. Xét dãy {an}sao cho an=a, với mọi n, ta có lim
n→∞ an=a. Thật vậy,
∀ε > 0∃N= 0 ∀n > N :|an−a|=|a−a|= 0 < ε
Tức là lim
n→∞ an=a
http://maths3.wordpress.com 21
Ví dụ 3.2. Giới hạn lim
n→∞
1
n= 0. Thật vậy, với mọi ε > 0chọn N=
✔
1
ε
✕
+ 1, thì với mọi nta có:
|an−0|=
☞
☞
☞
☞
1
n−0
☞
☞
☞
☞
=1
n<1
N< ε
.
Ví dụ 3.3. Giới hạn lim
n→∞ qn= 0 nếu |q|<1. Thật vậy
- Nếu q= 0 , thì lim
n→∞ qn= 0 (Theo ví dụ 1).
- Nếu q6= 0, thì ∀ε > 0∃N=
➈
log|q|ε
➋
+ 1 ∀n > N :|an−0|=|qn−0|< ε.
Ví dụ 3.4. Giới hạn lim
n→∞(−1)nkhông tồn tại.
Cách 1. Thật vậy giả sử ngược lại tồn tại giới hạn lim
n→∞(−1)n. Khi đó:
với ε= 1 ∃N∀n > N :|(−1)n−a|<1
Khi nchẵn và nlẻ, ta có:|1−a|<1và |−1−a|<1
Ta đi đến mâu thuẫn
2 = |1 + 1|=|1−a+a+ 1| ≤ |1−a|+|1 + a|<1 + 1 = 2.
Cách 2. Xét hai dãy con với các chữ số chẵn và lẻ không cùng một giới hạn.
Định nghĩa 3.3. Dãy {an}được gọi là bị chặn trên, bị chặn dưới nếu tập A={an:n∈N}có tính
chất tương ứng.
Định lý 3.3. Dãy số {an}hội tụ thì nó bị chặn.
Chứng minh. Giả sử lim
n→∞ an=a. Khi đó với ε= 1 ∃N0∀n > N0:|an−a|<1.
Do đó |an|< a + 1,∀n > N0
Chọn M= max {|a1|,|a2|, ..., |aN0|,|a|+ 1}, thì rõ ràng −M < an< M, ∀n= 1,2, ...
Mở rộng khái niệm giới hạn của dãy số.
Dãy số {an}gọi là có giới hạn +∞viết là lim
n→∞ an= +∞, nếu: ∀M > 0∃N∀n > N :an> M.
Dãy số {an}gọi là có giới hạn −∞ viết là lim
n→∞ an=−∞ , nếu: ∀M > 0∃N∀n > N :an<−M.
Trong trường hợp này ta không nói các dãy hội tụ mà gọi chúng là các dãy phân kỳ đến ±∞ .
Ví dụ 3.5. Xét dãy {an=√n}, ta có: lim
n→∞ √n= +∞. Thật vậy, ∀M > 0∃N=M2∀n > N :
an=√n > √N=√M2=M
Ví dụ 3.6. Xét dãy {an= 1 −n2}, ta có: lim
n→∞ 1−n2=−∞. Thật vậy ∀M > 0∃N=√1 + M∀n >
N:an= 1 −n2<1−(√1 + M)2=−M
3.1.2 Định lí về giới hạn của dãy số
1. Định lý
Định lý 3.4. Nếu các dãy anvà bnhội tụ và lim
n→∞ an=a, lim
n→∞ bn=bthì các dãy {an±bn},{an.bn},
✚
an
bn
✛
(nếu bn6= 0 ∀nvà b6= 0 ) cũng hội tụ. Hơn nữa, ta có:
(i) lim
n→∞(an±bn) = a±b
(ii) lim
n→∞(an.bn) = a.b
(iii) lim
n→∞
an
bn
=a
b.
http://maths3.wordpress.com 22
Chú ý. - Định lý có thể mở rộng thêm cho các dạng sau đây:
i) a+ (+∞) = +∞
ii) a−(+∞) = −∞
iii) a.(+∞) =
➝
+∞nếu a > 0
−∞ nếu a < 0
iv) a
±∞ = 0
v)
☞
☞
☞
a
0= +∞
☞
☞
☞
- Ta cũng có các dạng chưa xác định sau đây gọi là các dạng vô định: ∞ − ∞; 0.∞;∞
∞;0
0
Ví dụ 3.7. Cho hai dãy {an=n+1
n};{bn=n+a+1
n}, rõ ràng lim
x→∞(an−bn)có dạng ∞ − ∞
và trong trường hợp này lim
x→∞(an−bn) = avới atuỳ ý mà ta chọn.
Ví dụ 3.8. Cho hai dãy {an=a
n};{bn=1
n}, thì lim
n→∞
an
bn
có dạng 0
0và lim
n→∞
an
bn
=avới a tuỳ ý
chọn.
2. Vô cùng bé và vô cùng lớn.
Định nghĩa 3.4. . Ta gọi dãy số {an}là:
+ Đại lượng vô cùng bé (VCB), nếu lim
n→∞an= 0;
+ Đại lượng vô cùng lớn (VCL), nếu lim
n→∞|an|=∞.
Ví dụ. Các dãy số: {1
n,{qn}} với |q|<1là các VCB. Các dãy số: {n},{−n},{(−1)nn}là các
VCL.
Một số tính chất của VCB và VCL.
1. Tổng hoặc tích của hai VCB là một VCB.
2. Tích của một VCB và một đại lượng bị chặn là một VCB.
3. Dãy {an}là một VCB khi và chỉ khi {|an|} làmột VCB.
4. lim
n→∞an=a⇔ {an−a}là một VCB.
5. {an}là VCL và |bn| ≥ |an|với mọi n, thì là một VCL.
6. Tích của một VCL và một dãy có giới hạn khác 0 là một VCL.
7. Dãy {an}là VCL thì {1
an}là VCB.
8. Dãy {an}là VCB và a6= 0 , với mọi nthì {1
an}là VCL.
3. Một số tính chất về giới hạn.
Định lý 3.5. Nếu lim
n→∞an=a, thì dãy {|an|} cũng hội tụ và lim
n→∞|an|=a.
Chứng minh. Từ giả thiết lim
n→∞ an=a⇔ ∀ε > 0∃N0∀n > N0:|an−a|< ε.
Mặt khác, ta có: ||an| − |a|| <|an−a|< ε , với mọi n > N0
Định lý 3.6. . Nếu lim
n→∞an=a, lim
n→∞bn=bvà an≤bnvới mọi n, thì a≤b.
Chứng minh.
http://maths3.wordpress.com 23
Giả sử rằng a > b . Khi đó với ε0=a−b
2∃N1∀n≥N1:|an−a|< ε0∃N2∀n≥N2:
|bn−b|< ε0
Chọn N0= max{N1, N2}, thì với mọi n≥N0ta nhận được đồng thời hai bất đẳng thức trên.
Do đó: aN0> a −ε0=b+ε0> bN0.
Điều đó mâu thuẫn với giả thiết an≤bnvới mọi nvà định lý được chứng minh.
Định lý 3.7. Định lý 7 (Giới hạn kẹp). Nếu lim
n→∞ an= lim
n→∞ bn=dvà an≤cn≤bnvới mọi n, thì
{cn}cũng hội tụ và lim
n→∞ cn=d
Chứng minh. Từ giả thiết lim
n→∞an= lim
n→∞bn, ta suy ra:
∀ε > 0∃N∀n > N :|an−d|< ε, |bn−d|< ε
Mặt khác vì an≤cn≤bn,với mọi n; ta nhận được an−d≤cn−d≤bn−d, với mọi n>m.
Do đó |cn−d|<max {|an−d|,|bn−d|} < ε với mọi n>m
Vậy cncũng hội tụ và lim
n→∞cn=d.
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy số
✭
an=√n2+ 1
n2+√n2+ 2
n2+... +√n2+n
n2
✮
Ta có
n√n2+ 1
n2≤an≤n√n2+n
n2⇔
✃
1 + 1
n2≤an≤
✃
1 + 1
n
↓ ↓
1 1
Do đó
lim
n→∞ an= 1
3.2 Hàm số một biến số
3.2.1 Hàm số
Định nghĩa 3.5. Đại lượng biến thiên ygọi là hàm số của đại lượng biến thiên xtrong miền biến
thiên Xcủa nó nếu có một quy tắc để mỗi giá trị x∈Xđều được đặt tương ứng với một giá trị xác
định y∈Y.
- Đại lượng xgọi là đối số hay biến độc lập. Miền biến thiên Xcủa xgọi là miền xác định của
hàm số. Đại lượng ygọi là biến phụ thuộc. Nếu quy tắc tương ứng giữa xvà ylà fthì ta viết
y=f(x), x ∈X
- Tập f(X) = {f(x) : x∈X}gọi là miền giá trị của hàm số f.
Trong trường hợp hàm số cho bởi một công thức y=f(x)mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền
xác định của hàm số là tập tất cả các xmà công thức có nghĩa.
Ngoài ra đôi khi ta còn dùng từ hàm thay cho hàm số.
Ví dụ 3.9. y=√1−x2có miền xác định là [-1,1];
Ví dụ 3.10. y= ln x+√1−xcó miền xác định là (0,1].
http://maths3.wordpress.com 24
3.2.2 Các loại hàm đặc biệt.
(i). Hàm đơn điệu:
- Hàm y=f(x), x ∈Xgọi là đơn điệu tăng nếu x1, x2∈X, x1< x2thì f(x1)≤f(x2),, gọi là
đơn điệu giảm nếu x1, x2∈X, x1> x2thì f(x1)≥f(x2).
- Đơn điệu tăng hoặc giảm gọi là hàm đơn điệu.
- Nếu x1< x2kéo theo f(x1)< f(x2)thì hàm gọi là tăng ngặt hay đồng biến, tương tự ta có
khái niệm giảm ngặt hay nghịch biến.
Ví dụ 3.11. y=xđồng biến trên R.
Ví dụ 3.12. y=x2nghịch biến trên (−∞,0], đồng biến trên [0,+∞).
Ví dụ 3.13. Hàm Dirichlet D(x) =
➝
1nếu x∈Q
0nếu x∈I
Không đơn điệu trên bất kỳ khoảng nào của R.
ii) Hàm chẵn, hàm lẻ.
Cho hàm y=f(x)có miền xác định X. Khi đó
+y=f(x)gọi là hàm chẵn ⇔
➝
x∈X⇒ −x∈X
f(−x) = f(x),∀x∈X
+y=f(x)gọi là hàm lẻ ⇔
➝
x∈X⇒ −x∈X
f(−x) = −f(x),∀x∈X
Ví dụ 3.14. Hàm y=x2, y =D(x)là hàm chẵn, y=x3là hàm lẻ; y=√1−xhàm là không chẵn,
không lẻ.
iii) Hàm tuần hoàn.
Hàm y=f(x), x ∈Xgọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại T > 0sao cho x∈Xthì x+T∈Xvà
f(x+T) = f(x).
Số dương Tnhỏ nhất (nếu có) gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn.
Ví dụ 3.15. 1. Các hàm sinx, cosx là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2πcòn tanx, cotx là hàm tuần hoàn
với chu kỳ π.
2. Hàm Dirichlet D(x)là tuần hoàn (Có thể chọn Tlà số hữu tỷ dương bất kỳ). Hàm D(x)không
có chu kỳ.
3.2.3 Hàm ngược và hàm hợp
i) Hàm ngược
Cho hàm số y=f(x),mà nó là 1-1, tức là nếu x16=x2thì f(x1)6=f(x2).Đặt Y=f(X). Khi
đó mỗi y∈Ytồn tại duy nhất x∈Xđể f(x) = y. Coi x∈Xlà biến độc lập thì mọi x∈Xtồn
tại duy nhất y=f−1(x), x ∈Xđể y=f(x). Ta có hàm y=f−1(x), x ∈X, gọi là hàm ngược
của hàm y=f(x).
Chú ý rằng, chỉ có hàm đơn trị 1-1 mới có hàm ngược.
ii) Hàm hợp
Cho hai hàm y=f(x), x ∈Xvà z=g(y), y ∈Ysao cho f(X)⊂Y. Khi đó ta có hàm
(gof)(x) = g(f(x)), x ∈Xgọi là hàm hợp của hai hàm đã cho.
Ví dụ 3.16. f(x) = x2+ 1 và g(x) = cos xthì (gof)(x) = cos(x2+ 1); (fog)(x) = cos2x+ 1.
Ví dụ 3.17. h(x) = cos2x+ 2 cos x+ 5 có thể coi là hàm hợp của hàm y(x) = cos xvà g(y) =
y2+ 2y+ 5.