intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề đặt ẩn phụ giải phương trình và hệ phương trình vô tỷ - THPT: Nguyễn Huệ

Chia sẻ: Trần Thị Trúc Diễm | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST
Báo xấu
474
lượt xem 93
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sau đây là một số bài tập về phương trình vô tỷ của môn Toán lớp 12 để có thêm nhiều tài liệu ôn tập, giúp các bạn nâng cao khả năng suy nghĩ và giải quyết các bài Toán khó. Chúc các bạn đạt được kết quả mong muốn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề đặt ẩn phụ giải phương trình và hệ phương trình vô tỷ - THPT: Nguyễn Huệ

  1. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN CHUYÊN Đ Đ T N PH GI I PHƯƠNG TRÌNH VÀ H PHƯƠNG TRÌNH VÔ T Như các b n đã bi t trong chương trình Toán THPT thì phương trình và h phương trình vô t luôn là m t ch đ kinh đi n, b i th nên nó luôn xu t hi n trong các kì thi l n như thi Đ i h c và các kì thi h c sinh gi i l n nh . Trong đó phương pháp dùng n ph đ gi i toán luôn là m t công c m nh và h u ích. Hôm nay bài vi t này s trình bày m t s phương pháp đ t n ph đ gi i quy t các bài toán. N i dung: Đ t bi u th c ch a căn b ng bi u th c m i mà ta g i là n ph , chuy n v phương trình theo n m i. Gi i phương trình n ph r i thay vào bi u th c tìm nghi m ban đ u. Phương pháp: G m có các bư c sau: Bư c 1: Ch n cách đ t n ph , tìm đi u ki n xác đ nh c a n ph . Đ làm t t bư c này ph i có s quan sát, nh n xét m i quan h c a các bi u th c có m t trong phương trình r i đưa ra bi u th c thích h p đ đ t n ph . Bư c 2: Chuy n phương trình ban đ u v phương trình theo n ph , thư ng là nhưng phương trình đã bi t cách gi i, tìm đư c nghi m c n chú ý đ n đi u ki n c a n ph . Bư c 3: Gi i phương trình v i n ph v a tìm đư c và k t lu n nghi m. Thành viên tham gia chuyên đ : 1-Tr n Trí Qu c 11TL8 THPT Nguy n Hu , Phú Yên 2-H Đ c Khánh 10CT THPT Chuyên Qu ng Bình. 3-Đoàn Th Hòa 10A7 THPT Long Khánh, Đ ng Nai 4-Th y Mai Ng c Thi THPT Hùng Vương, Bình Phư c. 5-Th y Nguy n Anh Tu n THPT Lê Qu ng Chí, Hà Tĩnh. Đ u tiên ta cùng gi i các ví d cơ b n sau: Có l nhi u b n đã quen v i bài t p d ng lo i này nên mình ch mu n nh c l i 1 tý I-Đ t n ph đưa v phương trình theo n ph : D ng 1 a b Pt có d ng ax2 + bx + c = px2 + qx + r trong đó = p q Cách gi i : Đ t t = px2 + qx + r, t ≥ 0 Tôi s đưa ra vài ví d đ các b n ôn l i vì đây là ph n khá d Gi i các phương trình sau √ 1/(ĐH Ngo i Thương-2000) (x + 5)(2 − x)√ 3 x2 + 3x = 2/(ĐH Ngo i ng 1998) (x + 4)(x + 1) − 3 x2 + 5x + 2 = 6 3/(ĐH C n Thơ 1999) (x + 1)(2 − x) = 1 + 2x − 2x2 √ 4/ 4x2 + 10x + 9 = 5 √ 2 + 5x + 3 2x 2 5/ 18x − 18x + 5 = 3√ 9x2 − 9x + 2 6/ 3x2 + 21x + 18 + 2 x2 + 7x + 7 = 2 D ng ti p theo cũng r t quen thu c D ng 2 PT có d ng P (x) + Q(x) + ( P (x) ± Q(x)) ± 2 P (x).Q(x) + α = 0 ( α là s th c) Cách gi i Đ t t = P (x) ± Q(x) ⇒ t2 = P (x) + Q(x) ± 2 P (x).Q(x) Page 1
  2. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN 2√ √ √ Bài 1: Gi i phương trình 1 + x − x2 = x + 1 − x 3 Gi i √ √ √ t2 − 1 ĐK 0 ≤ x ≤ 1, Ta đ t t = x + 1 − x thì x − x2 = , phương trình tr thành b c 2 v i n 2 là t t2 − 1 ⇔1+ = t ⇔ t2 − 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1; t = 2 3 √ √ TH1 t = 2 ⇔ √x + √1 − x = 2 (VN) TH2 t = 1 ⇔ x + 1 − x = 1 ⇔ x = 0; x = 12 Gi i các phương trình sau √ √ √ 1/(HVKTQS-1999) 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x2 − 5x + 2 √ √ √ 2/√ 2x + 3 +√ x + 1 = 3x + 2 2x2 + 5x + 3 − 16 √ 3/ 4x + 3 + 2x +√ = 6x + √ 8x2 + 10x + 3 − 16 1 √ 4/(CĐSPHN-2001) x − 2 − x + 2 = 2 x2 − 4 − 2x + 2 Th là đã xong các ví d cơ b n r i bây gi ta xét đ n các ví d mà c n s bi n đ i khéo léo m t chút và có s quan sát đánh giá m i có th đưa v d ng cơ b n đ đ t n ph đư c. II-Đ t n ph đưa v phương trình tích Xu t phát t 1 s h ng đ ng th c cơ b n khi đ t n ph : x + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1) √ 3 √ x4 + 1 = (x2 − 2x + 1)(x2 + 2x + 1) x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) − x2 = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) 4x4 + 1 = (2x2 − 2x + 1)(2x2 + 2x + 1) Chú ý: Khi đ t n ph xong ta c g ng đưa v nh ng d ng cơ b n như sau u + v = 1 + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = 0 au + bv = ab + vu ⇔ (u − b)(v − a) = 0 x Phương trình đ ng c p b c hai ax2 + bxy + cy 2 = 0 ⇔ at2 + bt + c = 0 v i t = y L i l y Bài 1 trên 1 l n n a Gi i 2√ √ √ Gi i phương trình 1 + x − x2 = x + 1 − x 3 √ √ 2 Nh n xét: Ta th y ( x) + ( 1 − x)2 = 1(**), mà t phương trình đ u ta rút đư c m t căn th c qua căn th c còn l i Gi i √ √ 3 1−x−3 √ √ 3t − 3 ⇔ x= √ . Do đó n u đ t t = 1 − x ⇒ x = 2 1−x−3 2t − 3 Thay vào (**) ta bi n đ i thành t(t − 1)(2t2 − 4t + 3) = 0 ⇔ t = 0; t = 1 hay x = 0; x = 1 là nghi m c a phương trình.2 Page 2
  3. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN Ta xét ví d sau √ √ √ Bài 2: Gi i phương trình 3 x + 1 + 3 x + 2 = 1 + 3 x2 + 3x + 2 Gi i Ta th y (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2 √ √ Đ t u = 3 x + 1; v = 3 x + 2 PT⇔ u + v = 1 + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = 0 Gi i ti p ta đư c x = 0; x = −12 Ta xét ví d sau, khá gi ng bài trên nhưng khó hơn. √ √ √ Bài 3: Gi i phương trình 3 x2 + 3x + 2( 3 x + 1 − 3 x + 2) = 1 Nh n xét: Cách làm bài này cũng khá gi ng nhưng ph i đ ý th t kĩ bên VP vì ta tách VP thành bi u th c "liên quan" đ n bi u th c n ph . Gi i L i gi i: Phương trình đã cho tương đương √ i √ √ v 3 2 + 3x + 2( 3 x + 1 − 3 x + 2) = 0 (x + 1) − (x + 2) + x √ √ Ta đ t 3 x + 1 = a; b = − 3 x + 2, khi đó phương trình tương đương a3 + b3 − ab(a + b) = 0 ⇔ (a + b)(a −√ 2 = 0 b) √ ⇔ a = ±b ⇔ x + 1 = ± 3 x + 2 3 3 ⇔x=− 2 3 3 Th l i th y x = − th a mãn. V y phương trình có nghi m duy nh t x = − 2 2 2 Ví d tương t √ √ √ Bài 4: Gi i phương trình (x + 2)( 2x + 3 − 2 x + 1) + 2x2 + 5x + 3 − 1 = 0 Gi i  x ≥ − 3 ĐK 2 ⇒ x ≥ −1 x ≥ −1 √   2x + 3 = a √ x + 2 = a2 − b 2 √ Đ t x+1=b ⇒ 2x2 + 5x + 3   a; b ≥ 0 1 = a2 − 2b2   Nên PT ⇔ (a2 − b2 )(a − 2b) + ab = a2 − 2b2 ⇔ (a2 − b2 )(a − 2b) + b(a + b) − (a2 − b2 ) = 0. Vì a + b > 0 nên ta chia 2 v cho a + b ⇔ (a − b)(a − 2b) − (a − 2b) = 0 ⇔ (a − 2b)(a − b − 1) = 0 √ √ • V i a = b + 1 ⇒ 2x + 3 = x + 1 + 1 (VN) √ √ 1 • V i a = 2b ⇒ 2x + 3 = 2 x + 1 ⇔ x = − (TMĐK) 2 1 V y phương trình có nghi m S = − 2 Page 3
  4. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN Bài t p đ ngh Gi √các phương trình sau √ i √ 1/(√x + 5 − √x + 2)(1 + √x2 + 7x + 10) = 3 2/( x + 1 + √x − 2)(1 − x2 − x √ 2) = 3 √ − 3/√x − x 2+ 1 − x = 1 + (1 − x) x √ 4/ 3x2 − 18x + 25 + 4x2 − 24x + 29 = 6x − x2 − 4 √ √ 2+ x 2− x √ Bài 5: Gi i phương trình √ √ +√ √ = 2 2+ 2+ x 2− 2− x Gi i √ √ Tho t nhìn ta đưa ra đánh giá r √ d th y 2 + x + 2 − x = 4 √ t Nên ta đ t √ 2 + x = a; 2 − x = b Ta có ab = 4 − x; a2 + b2 = 4 Ta vi t l i phương trình như sau: a2 b2 √ √ +√ = 2 2+a √ 2−b √ √ √ √ a 2 ⇒ √ 2 − a b + b2 2 + ab2 = 2(2 − b 2 + a 2 − ab) 2 ⇔ √2(a2 + b2 + ab − 2) − ab(a − b) = 2(a − b) ⇔ 2(ab + 2) = (a − b)(ab√ 2). Đ ý a2 + b2 = 4 + Vì ab + 2 = 0 nên a − b = 2 √ ⇔ a2 + b2 − 2ab = 2 ⇒ ab = 1 ⇒ 4 − x = 1 Nên x = 3 V y phương trình có nghi m S = 32. √ √ √ Bài 6: Gi i phương trình (13 − 4x) 2x − 3 + (4x − 3) 5 − 2x = 2 + 8 16x − 4x2 − 15 Nh n xét: D th y r ng (2x − 3)(5 − 2x) = 16x − 4x2 − 15, nhưng còn các nh th c ngoài căn ta không th bi u di n h t theo 1 n ph đư c, ta đ t 2 n ph và c đưa v phương trình tích. Gi i 3 5 L i gi i: ĐK ≤ x ≤ √ 2 2 Đ t √ = 2x − 3 ⇒ u2 = 2x − 3; 2u2 + 3 = 4x − 3 u v = 5 − 2x ⇒ v 2 = √ − 2x; 2v 2 + 3 = 13 − 4x 5 ⇒ u2 + v 2 = 2; uv = 16x − 4x2 − 15(1) ⇒ P T ⇔ (2v 2 + 3)u + (2u2 + 3)v = 2 + 8uv = u2 + v 2 + 8uv ⇔ 2uv(u + v) + 3(u + v) = (u + v)2 + 6uv ⇔ (u + v − 3)(2uv − u − v) = 0 T H1 : u + v = 3 √ 7 ⇔ 16x − 4x2 − 15 = (VN) 2 T H2 : u + v = 2uv √ ⇔ 16x − 4x2 − 15 = 1 ⇒ x = 2 (Th a ĐK) V y phương trình đã cho có nghi m duy nh t x = 22 √ Bài 7: Gi i phương trình x2 + x + 1 = 1 (*) Gi i Page 4
  5. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN √ Đ t x + 1 = t; t ≥ 0 PT(*) ⇔ (t2 − 1)2 + t = 1 ⇔ t(t − 1)(t2 + t − 1) = 0 TH1 V i t = 0 thì x = −1. TH2 V i t = 1 thì x = 0. √ √ −1 + 5 1− 5 TH3 V i t = thì x = 2 2 2 Ta t làm khó v i ki u bài trên lên m t tý nhé, nâng b c lũy th a, ta xét ví d sau √ Bài 8: Gi i phương trình x4 + x2 + 3 = 3 Gi i Đ đơn gi n√hóa, ta đ t x2 = a, a ≥ 0 PT ⇔ a2 + a + 3 = 3, ta s tách đ đưa v phương trình tích như sau: √ ⇔ a2 − √ + 3) + (a + a + 3) = 0 (a √ ⇔ (a + a + 3)(a − a + 3 + 1) = 0 √ Vì a ≥ 0 ⇒√ + a + 3 > 0 (VN) a Ta có a + 1 = a + 3 ⇔ a2 + a − 2 = 0 ⇒ a = 1(a ≥ 0) nên x = ±12 √ Bài 9: Gi i phương trình (x2 + 2)2 + 4(x + 1)3 + x2 + 2x + 5 = (2x − 1)2 + 2 (Đ thi ch n đ i tuy n 10 THPT chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên) Nh n xét: Bài này có lũy th a b c cao nh t là 4, và có c căn b c 2 nên ta s c nhóm các bi u th c lũy th a gi ng trong căn đ có th đ t n ph . Gi i √ ⇔ x4 + 4x2 + 4 + 4(x3 + 3x√+ 3x + 1) + x2 + 2x + 5 = 4x2 − 4x + 3 2 ⇔ (x2 + 2x)2 + 8(x2 + 2x) + x2 + 2x + 5 + 5 = 0 (Công đo n nhóm l i th này cũng r t quan tr ng) √ Đ t t = x2 + 2x + 5, t ≥ 2 ⇒ t2 − 5 = x2 + 2x Ta vi t l i PT đã cho tương tương v i (t2 − 5)2 + 8(t2 − 5) + t + 5 = 0 ⇔ t4 − 2t2 + t − 10 = 0 ⇔ (t − 2)(t3 + 2t2 + 2t + 5) = 0 Vì t ≥ 2 nên t3 + 2t2 + 2t + 5 > 0 Ta √ t = 2 có ⇒ x2 + 2x + 5 = 2 V y x = −12 √ √ Bài 10: Gi i phương trình x2 − 2x + 5 + x − 1 = 2 Gi i √ Đ t:t = x − 1, v i x ≥ 1, t ≥ 0 ⇒ t2 = x − 1 √ Phương trình đã cho vi t l i: (x − 1)2 + 4 = 2 − x−1 √ Tr thành: t4 + 4 = 2 − t(t ≤ 2) ⇔ t4 − t2 + 4t = 0 Page 5
  6. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN Vì t ∈ [0; 2] nên t3 − t + 4 > 0 V y t = 0 ⇒ x = 12 √ Bài 11: Gi i phương trình (4x2 + 1)x + (y − 3) 5 − 2y = 0 Gi i 5 Đi u ki n y ≤ . 2√ Đ t a = 2x và b = 5 − 2y (b ≥ 0) ta có phương trình vi t l i thành a3 + a − (b3 + b) + =0⇔a=b 2 2 √ 5 − 4y 2 5 − 4y 2 Hay 2x = 5 − 2y ⇔ x = .V yx= là nghi m c a phương trình. 2 2 Nh n xét. M t l i gi i th t đ p ph i không ! Ch c các b n s th c m c r ng làm sao mà ta l i có th đ t đư c n ph như trên. √ 5 − b2 − (b2 + 1) Trư c tiên ta s đ t 5 − 2y = b ⇒ y − 3 = −3= 2 2 √ − (b2 + 1) b ⇒ (y − 3) 5 − 2y = 2 a (a3 + 1) Bây gi ta mu n (4x2 + 1) x = 2 ⇒ (4x2 + 1) .2x = a3 + a ⇒ 8x3 + 2x = a3 + a ⇒ a = 2x T đó ta có đư c cách đ t n ph như l i gi i 2 x+2 Bài 12: Gi i phương trình −1= 3 3(x − 3)2 + 3 9(x − 3) 2 Gi i t3 + 27 Đi u ki n x ≥ −2 Đ t t = 3 9 (x − 3) thì ta có x = 9 x+2 t3 + 45 3 t2 = ; 3(x − 3)2 = . 2 18 3 Phương trình đã cho tr thành t3 + 45 t2 −1= +t 18 3 t3 + 45 ⇔ = t2 + 3t + 3 (1) 2 2 2 3 3 Ta có t + 3t + 3 = t + + > 0 nên phương trình (1) tương đương v i 2 4 t3 + 45 = (t2 + 3t + 3)2 2 ⇔ 2t4 + 11t3 + 30t2 + 36t − 27 = 0 (2t − 1)(t + 3)(t2 + 3t + 9) = 0 1 ⇔ t = ; t = −3 2 1 t3 + 27 217 • V i t = thì x = = 2 9 72 Page 6
  7. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN t3 + 27 • V i t = −3 thì x = =0 9 Các nghi m trên th a mãn đi u ki n c a bài toán. V y phương trình có hai nghi m x = 0 và 217 x= 2. 72 √ √ Bài 13: Gi i phương trình 5 3 x 5 x + 3 5 x 3 x = 8 Gi i 3 √ 5 √ 5 3 Phương trình √ cho tương đương v i: 5 √ đã x6 + 3 x4 = 8 15 6 + 3 15 x4 = 8 ⇔5 x √ 15 Đ t:y = x2 v i y ≥ 0 ta có: 5y 3 + 3y 2 − 8 = 0 ⇔ (y − 1)(5y 2 + 8y + 8) = 0 ⇔y−1=0⇔y =1 √ 15 Do đó ta có: x2 = 1 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1. V y: t p nghi m c a phương trình đã cho là:S = {−1; 1} 2. √ 5 7 6 Bài 14: Gi i phương trình x4 − √ + = 0 5 x2 x Gi i ĐK x = 0. Ta có phương trình đã cho tương đương v i √5 7 6 √ 5 √ 5 x4 − √ + √ = 0 ⇔ x9 − 7 x3 + 6 = 0(∗) 5 5 x 2 x 5 √ 5 Đ t:y = x 3 , y = 0, phương trình (*) tr thành: y 3 − 7y + 6 = 0 ⇔ (y − 1)(y 2 + y − 6) = 0   √ 3 5  y=1 √x = 1 x = 1√ ⇔  y=2 ⇔ √  5 x3 = 2 ⇔  x=234 √ y = −3 5 x 3 = −3 x = −3 3 9 √ √ V y t p nghi m c a phương trình đã cho là 1; 2 3 4; −3 3 9 2 √ √ Bài 15: Gi i phương trình 4x − 1 + 4x2 − 1 = 1 Gi i 4x − 1 ≥ 0 1 ĐK 2 ⇔x≥ 4x − 1 ≥ 0 2 Bình phương hai v phương trình đã cho, ta có: (4x − 1) + (4x2 − 1) + 2 (4x − 1)(4x2 − 1) = 1 ⇔ 2 (4x − 1) (4x2 − 1) = 3 − 4x2 − 4x = 4 − (2x + 1)2 Đ t y = 2x + 1 ⇒ 4x − 1 = 2y − 3, 4x2 − 1 = y 2 − 2y Phương trình tr thành 2 (2y − 3)(y − 2) = 4 − y 2 4 − y2 ≥ 0 ⇔ 4(2y − 3)(y − 2)y = (4 − y 2 )2 Page 7
  8. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN  −2 ≤ y ≤ 2  ⇔ y−2=0  4(2y − 3)y = (y + 2)2 (y − 2)   −2 ≤ y ≤ 2  ⇔ y=2 ⇔y=2  3 2 y − 6y + 8y − 8 = 0  Hàm s G(y) = y 3 − 6y 2 + 8y − 8 l y giá tr âm trên toàn mi n [−2; 2] 1 Do đó ta có 2x + 1 = 2 ⇔ x = 2 1 V y phương trình có nghi m duy nh t x = 2 2 √ Bài 16: Gi i phương trình 2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0 (D-2006) Gi i √ t2 + 1 Đ tt= 2x − 1 ⇒ x = 2 PT ⇔ t4 − 4t2 + 4t − 1 = 0 ⇔ (t − 1)2 (t2 + 2t − 1) = 0 * V i t =√ ⇒ x = 1 1 √ *V i t = 2 − 1 ⇒ x = 2 − 22 √ Bài 17: Gi i phương trình 2x2 − 6x − 1 = 4x + 5 Gi i √ √ 3 − 11 3 + 11 ĐK x ≤ ;x ≥ 2 2 √ t2 − 5 Đ t t = 4x + 5 ⇒ x = 4 PT⇔ t4 − 22t2 − 8t + 27 = 0 ⇔ (t2 + 2t − 7)(t2 − 2t − 11) = 0 √ √ Đ i chi u đi u ki n ta tìm đư c nghi m c √ phương trình x = 1 − 2; x = 2 + 32 √ a Nh n xét: Đ i v i nh ng bài có d ng ax + b+cx2 +dx+e = 0 thì cách gi i là đ t ax + b = t, sau đó đưa v phương trình b c 4, dùng đ ng nh t th c đ phân tích nhân t . Nhưng có 1 s bài không gi i đư c b ng cách đó, ta s nh c l i v n đ này ph n sau. √ √ Bài 18: Gi i phương trình (x + 3 x + 2)(x + 9 x + 18) = 168x Đ i v i nh ng bài mà khi phân tích thành các nh th c ho c tam th c ta thư ng nh m đư c nghi m h u t khá đ p, v y còn đ i v i nh ng nghi m vô t ? Ta xét bài toán sau: √ √ Bài 19: Gi i phương trình (x − 2) x − 1 − 2x + 2 = 0 √ Nh n xét: Ta th y trong căn có x − 1, nên ta s c g ng thêm b t và tách s đư c m t phương trình theo n m i Gi i Page 8
  9. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN √ Đ t x − 1 = t, t ≥ 0 √ √ √ √ Ta bi n√ i phương trình như sau : [(x − 1) − 1] x − 1 − 2[(x − 1) − 2] − 2 = 0 đ √ ⇔ t3 − 2t2 − t + 2 − 2 = 0 Phương trình này ta b m máy không có nghi m h u t , nhưng b n nào tinh ý m t tý s th y t = 0.4142......? √ Nhìn vào s này khá quen nh , nó chính là 2 − 1 √ √ Áp d ng sơ đ Horner, ta phân √ đư c như sau :(t + 1 − √ √ tích √ 2)(t2 − t − 2) = 0 *TH1 V i t = 2 − 1 ⇒ x − 1 = 2 − 1 ⇒ x = 4 − 2 2 √ *TH2 t2 − t − 2 = 0, và ch nh n t > 0 √ √ 2 1+ 1+4 2 1+ 1+4 2 Ta có t = ⇒x= + 12 2 2 III- Đ t n ph đưa v phương trình đ ng c p b c hai, b c ba. √ Bài 20: Gi i phương trình 2(x2 + 2) = 5 x3 + 1 (Đ ngh Olympic 30/4/2007) Đ i v i bài toán này đ u tiên ta phân tích nhân t trong căn x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1) r i c ý bi n đ i v trái thành t ng ho c hi u c a hai th a s trong căn. Gi i Ta bi n√ i như sau 2(x2 √ 2) = 2(x2 − x + 1) + 2(x + 1) đ + Ta đ t x2 − x + 1 = a; x + 1 = b PT ⇔ 2a2 + 2b2 = 5ab 1 a Đ n đây gi i ra đư c 2 nghi m t = ; t = 2 v i t = ( ) √ 2 b 5 ± 37 V yx= 2 2 Sau đây là m t s bài t p tương t Gi i PT √ 1/2(x2 − 3x + 2) =√ x3 + 8 3 2 2/2x√+ 5x − 1 = 7 x3 − 1 3/10√x3 + 8 = 3(x2 − x + 6) 4/10 x3 + 1 = 3(x2 + 2) Ngoài ra các b n v n có th sáng t o thêm các PT b ng các đ ng th c tôi đã nêu trên s r t thú v đ y, đ có m t phương trình đ p ta ph i ch n h s a, b, c sao cho PT at2 + bt + c = 0 có "nghi m đ p" là đư c, b n hãy th xem. √ √ Ví d bài này ch ng h n 4x2 − 2 2x + 4 = x4 + 1 Cùng th s c v i bài toán sau nhé, bài này khó hơn so v i các ví d tôi đã nêu trên √ √ √ Bài 21: Gi i phương trình 5x2 − 14x + 9 − x2 − x − 20 = 5 x + 1 (HSG Quãng Ngãi 2012) Gi i ĐK x ≥ 5, chuy n v bình phương ta có : 2x2 − 5x + 2 = 5 (x2 − x − 20)(x + 1) Đ n đây l i g p 1 v n đ n a đó là ta không th tìm đư c hai s √ β sao cho α, √ 2 2 α(x − x − 20) + β(x + 1) = 2x − 5x + 2 nên ta không th đ t a = x2 − x − 20; b = x + 1 như Page 9
  10. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN các ví d trên đư c. Nhưng l i th y x2 − x − 20 = (x − 5)(x + 4) PT ⇔ 2x2 − 5x + 2 = (x2 − 4x − 5)(x + 4) Ta th l i l n n a và tìm đư c α, β th a mãn, ta bi n đ i l i PT như sau ⇔ 2(x2 − 4x − 5) + 3(x + 4) = 5 (x2 − 4x − 5)(x + 4) √ √ Đ t a = x2 − 4x − 5; b = x + 4 PT ⇔ 2a2 + 3b2 = 5ab 3 T đó ta đư c a = b; a = b √ 2 5 + 61 V ia=b⇒x= (x ≥ 5) 2 3 7 V i a = b ⇒ x = 8; x = − 2 4 √ 5 + 61 Đ i chi u v i đi u ki n ta nh n x = 8; x = là nghi m c a phương trình.2 2 BÀI T P Gi i các phương trình sau: √ √ √ √ 23 ± 341 1/ x2 + x − 6 + 3 x − 1 − 3x2 − 6x + 19 = 0 ĐS: x = 2 √ √ √ √ 21 ± 161 2/ 3 x 2 + 4x − 5 + x − 3 − 11x 2 + 25x + 2 = 0 ĐS: x = 2 √ √ √ √ 61 + 11137 √ 3/ 7x2 + 25x + 19 − x2 − 2x − 35 = 7 x + 2 ĐS: S = ;3 + 2 7 18 6 √ 3 Bài 22: Gi i phương trình 3x2 − 2x − 2 = √ x + 3x2 + 4x + 2 30 Nh n xét:Bài này hơi khác m t chút so v i nh ng bài trên đó là bi u th c trong căn không có d ng h ng đ ng th c, vì v y ta xem như m√ phương trình h u t và nh m nghi m. √ t 1− 7 1+ 7 ĐK 3x2 − 2x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ ;x ≥ 3 3 Đ ý: x3 + 3x2 + 4x + 2 = (x + 1)3 + (x + 1) = (x + 1)(x2 + 2x + 2) Gi i 6 Ta vi t l i PT như sau 3(x2 + 2x + 2) − 8(x + 1) = √ (x + 1)(x2 + 2x + 2) √ √ 30 Đ n đây d r i, ta đ t a = x2 + 2x + 2; b = x + 1 nên PT vi t l i như sau 6 3a2 − 8b2 = √ ab 30 2 Đáp s : x = − 2 3 √ √ Bài 23: Gi i phương trình (x2 − 6x + 11) x2 − x + 1 = 2(x2 − 4x + 7) x − 2 Gi i L i gi i: ĐK x ≥ 2 √ √ Đ t x2 − x + 1 = a; x − 2 = b v i a, b ≥ 0 theo a và b như sau Ta bi u di n các bi u th c ngoài căn √ √ x2 − 6x + 11 = α( x2 − x + 1)2 + β( x − 2)2 Page 10
  11. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN √ √ x2 − 4x + 7 = α( x2 − x + 1)2 + β( x − 2)2 S d ng đ ng nh t th c ta gi i đư c x2 − 6x + 11 = a2 − 5b2 và x2 − 4x + 7 = a2 − 3b2 Phương trình đã cho tương đương v i (a2 − 5b)a = 2(a2 − 3b2 )b ⇔ a3 − 2a2 b − 5ab2 + 6b3 = 0 a ⇔ t3 − 2t2 − 5t + 6 = 0 v i t = ⇒ t ≥ 0 b ⇔ (t − 1)(t − 3)(t + 2) = 0√ √ T H1 V i t = 1 ⇒ a = b ⇒ √ 2 − x + 1 = x − 2 (VN) x √ T H2 V i t = 3 ⇒ a = 2b ⇒ x2 − x + 1 = 3 x − 2 √ ⇒ x = 5 ± 6 (Th a mãn ĐK) T H3 V i t = −2 ≤ 0 nên phương trình vô nghi m. √ √ V y S = 5+ 6; 5 − 6 2 Nh n xét: Cái khó d ng bài này là ta ph i bi n đ i bi u th c trong căn sao cho phù h p v i bên ngoài đ tìm đư c α, β thích h p, các b n cũng có th t sáng t o các PT ki u này b ng cách làm ngư c l i là t PT b c 2 nghi m đ p r i ch n các tam th c và nh th c thích h p s có đư c m t bài toán hay. IV- n ph không tri t đ Đ i v i nhi u PT vô t , khi không bi u di n hoàn toàn đư c theo n ph thì có m t cách là xem bi n m i là n, bi n cũ là tham s .D ng toán này g i là n ph không hoàn toàn. *N i dung phương pháp Đưa phương trình đã cho v d ng phương trình b c hai v i n là n ph hay là n c a phương trình đã cho. Đưa phương trình v d ng sau f (x)Q(x) = f (x) + P (x)x khi đó: Đ t f (x) = t; t ≥ 0. Phương trình vi t l i thành t2 − t.Q(x) + P (x) = 0 Đ n đây chúng ta gi i t theo x. Cu i cùng là gi i quy t phương trình f (x) = t sau khi đã đơn gi n hóa và k t lu n. Ta xét ví d sau đ hi u rõ hơn. √ Bài 24: Gi i phương trình x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2 + 1 (ĐHQG-2001) √ Nh n xét: Ta th y trong căn có x2 + 1, ta đ t t = x2 + 1. Ta s không rút x theo t mà coi x là tham s . Th t v y PT ⇔ t2 − (x + 3)t + 3x = 0 Ta √ ∆ = (x + 3)2 − 12x = (x − 3)2 có ⇒ ∆ = x − 3 ⇒ t = 3; t = x + 3 TH1 t = x + 3 (VN) √ TH2 t = 3 ⇒ x = ±2 22 √ √ Bài 25: Gi i phương trình x2 + 3 − x2 + 2 x = 1 + 2 x2 + 2 Gi i Phương trình tương đương v i Page 11
  12. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN √ √ x2 + 3 − x2 + 2 x = 1 + 2 x2 + 2 √ ⇔ x2 + 3x − 1 − (x + 2) x2 + 2 = 0 √ √ Đ t t = x2 + 2; (t ≥ 2), phương trình vi t l i thành t2 − (x + 2) t + 3x − 3 = 0 có ∆ = (x − 4)2 Nên phương trình có 2 nghi m là √ x≥1 • t = x − 1 ⇔ x2 + 2 = x − 1 ⇔ h này vô nghi m. −2x − 1 = 0 √ √ • t = 4 ⇔ x2 + 2 = 4 ⇔ x2 = 14 ⇔ x = ± 14 √ √ V y phương trình có hai nghi m là x = 14 và x = − 142 √ 3 Bài 26: Gi i phương trình (3x + 1) 2x2 − 1 = 5x2 + x − 3 2 Gi i √ Đ tt= 2x2 − 1; (t ≥ 0) 3 Phương trình vi t l i thành 2t2 − (3x + 1)t + x2 + x − 1 = 0 2 ∆ = (x − 3)2 suy ra phương trình có hai nghi m là  √ x ≥ 1 • t = 2x − 1 ⇔ 2x2 − 1 = 2x − 1 ⇔ 2 ⇔x=1 x2 − 2x + 1 = 0 √ x ≥ −2 • t=x+2⇔ 2x2 − 1 = x + 2 ⇔ ⇔ x = −1; x = 5 x2 − 4x − 5 = 0 V y S = {−1; 5; 1} 2 Nh n xét: Thông thư ng sau khi đ t n ph thì ta vi t phương trình đã cho l i thành 3 t2 − (3x + 1) t + 3x2 + x − 2;nhưng bài toán này l i có s khác bi t là ta s vi t phương trình này 2 3 l i thành 2t2 − (3x + 1) t + x2 + x − 1. Chúng ta quan tâm t i li u h s trư c t2 có “đ p” t c ta 2 mong mu n ∆ ph i là bình phương c a m t s ho c m t bi u th c, vì đi u này s quy t đ nh t i l i gi i s ng n g n hay ph c t p. Đ có th đi u ch nh đư c h s trư c t2 sao cho ∆ đ p các b n có 3 th làm như sau mt2 − (3x + 1) t + (5 − 2m) x2 + x + m − 3 = 0 c´. o 2 3 ∆ = (3x + 1)2 −4m (5 − 2m) x2 + x + m − 3 = (8m2 − 20m + 9) x2 +(6 − 6m) x+(−4m2 + 12m + 1) 2 Ta xét ti p ∆ c a ∆ b ng cách gi i phương trình sau 2 (8m2 − 20m + 9) (−4m2 + 12m + 1) = 6 − 6m ⇔ m = 2 Đó chính là h s mà ta c n tìm. √ √ Bài 27: Gi i phương trình 3 2x2 + 1 − 1 = x 1 + 3x + 8 2x2 + 1 Gi i √ √ Phương trình tương đương v i 3 2x2 + 1 − 1 = x 1 + 3x + 8 2x2 + 1 √ ⇔ 3x2 + x + 3 + (8x − 3) 2x2 + 1 = 0 Page 12
  13. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN √ Đ t 2x2 + 1 = t (t ≥ 1), phương trình vi t l i thành 3t2 + (8x − 2) t − 3x2 − x = 0 có ∆ = (10x − 3)2 Nên phương trình có hai nghi m  √ x ≥ 0 • t = x ⇔ 2x2 + 1 = x ⇔ 2 h này vô nghi m. 2x2 + 1 = x √ 9 • t = 1 − 3x ⇔ 2x2 + 1 = 1 = 3x  x ≤ 1 ⇔ 3 ⇔x=0 7x2 − 6x = 0 V y phương trình có nghi m là x = 02. Bài 28: Gi i phương trình 3x3 − 13x2 + 30x − 4 = (6x + 2)(3x − 1)3 Gi i 4 1 ĐK x ≥ ; x ≤ − 3 3 Ta bi n đ i như sau 3x3 − 13x2 + 30x − 4 = (x2 − 3x + 2)(3x − 4) + 2(6x + 2) 1 N u x ≤ − VT 4 6x + 2  • V i t=x−1⇔ = x − 1 ⇔ 6x +32 ⇔x=3 3x − 4   = (x − 1)2 3x − 4 x−2 6x + 2 x−2 x≥2 •V it= ⇔ = ⇔ 2 3x − 4 2 3x3 − 16x2 + 4x − 24 = 0(∗) Gi i phương trình (*) ta có nghi m g n đúng x ≈ 5, 36278, các b n có th s d ng phương pháp Cardano đ tính chính xác nhưng nó quá dài và ph c t p nên ta không đ c p. V y phương trình đã cho có 2 nghi m x = 3 ∨ x ≈ 5, 362782 Bài t p Gi i các PT sau: √ 1/6x2 − 10x + 5 − (4x − 1) 6x2 − 6x + 5 = 0 √ 2/(x + 3) √ − x2 = x2 − x − 12 (ĐH Dư c-1999) 10 3/2(1 − x)√x2 + 2x − 1 = x2 − 2x − 1 (ĐH Dư c 1997) 4/(4x − 1)√x2 + 1 = 2x2 + 2x + 1 5/2(1 − x) x2 + x + 1 = x2 − 3x − 1 √ 6/(x + 1) √ 2 − 2x + 3 = x2 + 1 (Chú ý thêm b t đ có ∆ chính phương). x 7/(4x − 1) x3 + 1 = 2x3 + 2x + 1 Page 13
  14. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN √ √ √ Bài 29: Gi i phương trình 2 2x + 4 + 4 2 − x = 9x2 + 16 Bài này tho t nhìn thì ch có dáng đi u gi ng m t phương trình đưa v n ph không hoàn toàn. Nhưng nó chính là m t phương pháp gi i quy t r t hay cho bài toán này. Gi i L i gi i: ĐK |x| ≤ 2 Bình phương 2 v ta có : 4(2x + 4) + 16 2(4 − x2 ) + 16(2 − x) = 9x2 + 16 ⇔ 8(4 − x2 ) + 16 2(4 − x2 ) = x2 + 8x Đ n đây b n nào tinh ý, s quan sát đư c c 2 v có d ng h ng đ ng th c, và c đưa v a2 = b2 Th t v y thêm 16 vào 2 v ta đư c (2 2(4 − x2 ) + 4)2 = (x + 4)2 , đ n đây thì r t d dàng r i nh , nhưng m c đích c a ta là đưa v n ph không hoàn toàn. Ta vi t l i PT 8(4 − x2 ) + 16 2(4 − x2 ) = x2 + 8x, đ t t = 2(4 − x2 ) ⇒ 4t2 + 16t − x2 − 8x = 0 x −x Gi i phương trình trên theo n t ta đư c t1 = ; t2 = −4 2 2 Vì ĐK |x| ≤ 2 nên t2 không th a đi u ki n. x x V i t = thì 2(4 − x2 ) = 2 √ 2 4 2 ⇒x= (Th a mãn ĐK) 2 3 √ Bài 30: Gi i phương trình (3x + 2) 2x − 3 = 2x2 + 3x − 6 Gi i 3 L i gi i: Đi u ki n x ≥ √ 2 Đ t t = 2x − 3; t ≥ 0 ⇒ t2 + 3 = 2x Ta s thêm b t theo n ph đ đưa v phương trình theo t và x là tham s . PT ⇔ t2 − (3x + 2)t + 2x2 + x − 3 = 0 Ta có ∆ = 9x2 + 12x + 4 − 4(2x2 + x − 3) = (x + 4)2 Nên ta gi i đư c t = 2x + 3 ho c t = x − 1 √ T H1 V i t = 2x + 3 ⇒√ 2x − 3 = 2x + 3 (VN) T H2 V i t = x − 1 ⇒ 2x − 3 = x − 1(x ≥ 1) ⇒ x = 2 (Thõa ĐK) V y phương trình có nghi m duy nh t x = 22 √ √ √ Bài 31: Gi i phương trình 4 x + 1 − 1 = 3x + 2 1 − x + 1 − x2 √ Nh n xét: M i đ u khi g p bài toán này tôi th y nó khá d b i th y s xu t hi n c a x + 1 √ và 1 − x, nên tôi đ t n ph đ đưa v h phương trình nhưng khi nhìn kĩ l i thì 3x không th bi u di n hoàn toàn theo n ph đư c ⇒ b t c. Gi i Page 14
  15. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN √ Ta gi i bài này như sau: đ t 1−x=t √ √ PT ⇔ 3t2 − (2√ 1 − x)t + √ x + 1 − 1) = 0 + 4( Ta tính ∆ = (2 + 1 − x)2 − 48( x + 1 − 1), ta th y ∆ không có d ng chính phương, m u ch t bài toán này n m ch 3x. Ta s tìm α √ β sao cho: √ và 3x + 1 = α( 1 − x)√+ β( 1 + x)2 , s d ng đ ng nh t h s ta d dàng tìm đư c α = −1; β = 2 2 √ 2 PT ⇔ t − (2 + x + 1)t − 2(x + 1) + 4 x + 1 = 0 √ √ √ Ta có ∆ = 9x + 13 − 12 x + 1 = 9(x + 1) − 12 x + 1 + 4 = (3 x + 1 − 2)2 Ph n ti p theo xin dành cho b n đ c.2 Bài toán này không d m t chút nào đ i v i nh ng ai không n m kĩ cách gi i cũng như bi n đ i, v nđ đây là ph i tinh ý tách 3x thành hai d ng có bi u th c như trong căn, đ n đ y bài toán m i th c s đư c gi i quy t. √ √ √ Bài 32: Gi i phương trình 2(2 1 + x2 − 1 − x2 ) − 1 − x4 = 3x2 + 1 Gi i L i gi i:√ u ki n −1 ≤ x ≤ 1 Đi √ Đ t a = 1 + x2 ; b = 1 − x2 ⇒ 3x2 + 1 = 2(1 + x2 ) − (1 − x2 ) = 2a2 − b2 Khi đó phương trình tr thành 2(2a − b) − ab = 2a2 − b2 ⇔ 2a2 + a(b − 4) + 2b − b2 = 0 Ta có ∆a = (b − 4)2 − 8(2b − b2 ) = (3b − 4)2 b Nên ta suy ra a = ho c a = 2 − b 2 b √ √ T H1 V i a = ⇔ 2 1 + x2 = 1 − x2 (VN) 2 √ √ T H2 V i a = 2 − b ⇔ x2 + 1 = 2 − 1 − x2 √ √ √ ⇔ x2 + 1 + 1 − x2 = 2 ⇔ 2 + 2 1 − x4 = 4 ⇒x=0 V y S = {0} 2 S d ng h s b t đ nh √ Bài 33: Gi i phương trình 2x2 − 11x + 21 − 3 3 4x − 4 = 0 (H c sinh gi i qu c gia -1995, b ng A) Bài này có cách gi i r t hay và g n b ng B t đ ng th c Cauchy, m t cách gi i b ng n ph cũng r t sáng t o. L i gi i: Ta c n tìm a, b, c sao cho: 2x2 − 11x + 21 = a(4x − 4)2 + b(4x − 4) + c ⇔ 2x2 − 11x + 21 = 16ax2 + (4b − 32a)x + (16a − 4b + c) 1 7 Đ ng nh t h s ta thu đư c a = ; b = − ; c = 12 8 4 Ta vi t l i PT như sau: 1 7 √ (4x − 4)2 − (4x − 4) + 12 − 3 4x − 4 = 0 8 √ 4 Đ t u = 3 4x − 4, khi đó PT tr thành u6 − 14u3 − 24u + 96 = 0 ⇔ (u − 2)2 (u4 + 4y 3 + 18u + 24) = 0 D th y u4 + 4y 3 + 18u + 24 = 0 (VN) vì: *N u u ≤ 0 thì u6 − 14u3 − 24u + 96 > 0 *N u u > 0 thì u4 + 4y 3 + 18u + 24 > 0 V y u = 2 ⇒ x = 32 Page 15
  16. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN √ √ √ Bài 34: Gi i phương trình 2 1 − x − x + 1 + 3 1 − x2 = 3 − x ĐK −1 ≤ x ≤ 1 √ √ Ta tìm α; β sao cho −x + 3 = α( 1 − x)2 + β( x + 1)2 ⇔ −x + 3 = (β − α)x + α + β Gi i ra ta đư c α = 2; β = 1 √ √ √ Ta vi t l √ phương trình thành 1 + x + 2(1 − x) − 2 1 − x + x + 1 − 3 1 − x2 = 0 i √ Đ t u = 1 + x; v = 1 − x và u, v ≤ 0, phương trình tr thành u2 + 2v 2 − 2v + u − 3uv = 0 ⇔ u2 + (1 − 3v)u + 2v 2 − 2v = 0 ∆ = (1 − 3v)2 − 4(2v 2 − 2v) = (v + 1)2 Nên u = 2v ho c u = v − 1 √ √ 5 • u = 2v ⇒ x + 1 = 2 1 − x ⇔ x =  3 −1 ≤ x ≤ − 1 • u=v−1⇔ 2 4x2 = 3 √ 5 3 Nên phương trình có 2 nghi m x = ; x = − √ 3 2 5 3 VyS= ;− 2 3 2 Tuy nhiên phương pháp dùng h s b t đ nh này ch gi i quy t đư c m t s l p bài vì trong phương trình vô t d ng bài này cũng không nhi u, ta cùng xét 2 ví d tho t đ u nhìn thì cũng tương t nhưng không th gi i quy t b ng cách như trên đư c, ph n này c a d ng đưa v phương trình tích nhưng tôi mu n đưa ra đây đ giúp ta linh ho t khi gi i toán ch không ph i cái máy nhé. √ √ √ Bài 35: Gi i phương trình 4 1 − x = x + 6 − 3 1 − x2 + 5 1 + x √ √ Ta s làm cách như trên nhé, bi u di n x + 6 = α( 1 − x)2 + β( x + 1)2 1 7 Gi i ra ta đư c α = ; β = , thay vào PT đ u nhưng ta không nh n đư c ∆ chính phương. 2 2 √ √ L i gi i: Đ t a = 1 √ x và b = √ 1 − x + √ PT ⇔ 2x + 2 + 1 − x + 5 1 + x − 3 1 − x2 − 4 1 − x + 3 = 0 ⇔⇒ 2a2 + b2 − 3ab + 5a − 4b + 3 = 0 Bây gi ta s c ý nhóm sao cho đ t đư c nhân t chung, thư ng là nhóm v d ng a = b ⇔ (a − b)(2a − b) + 3(a − b) + (2a − b) + 3 = 0 ⇔ (a − b + 1)(2a − b + 3) = 0 TH1 a + 1 = b √ √ ⇔ x+1+1= 1−x √ 1 ⇔ 2 x + 1 = −(2x + 1); x ≤ − √ 2 3 ⇔x=− 2 TH2 2a + 3 = b (PTVN) Ví d tương t sau xin dành cho b n đ c √ √ √ Bài 36: Gi i phương trình 4 + 2 1 − x = −3x + 5 x + 1 + 1 − x2 Page 16
  17. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN √ 24 3 Đáp s : Phương trình có 3 nghi m S = 0; ; 2 25 2 Đ t n ph đưa v h phương trình. Ta s ti p t c v i 1 phương pháp làm đó là đ t n ph đưa v h , ch đ này khá "dài hơi" vì nhi u bài toán s đư c gi i quy t r t g n b ng phương pháp này √ D ng 1. Phương trình có d ng xn + a = b n bx − a √ n Cách gi i: Đ t y = bx − a khi đó ta có h đ i x ng lo i II xn − by + a = 0 y n − bx + a = 0 Ta xét bài toán sau √ Bài 37: Gi i phương trình x3 + 1 = 2 3 2x − 1 (ĐH Dư c-1996) Gi i √ Đ t y = 2x − 1 ⇒ y 3 = 2x − 1 3 x3 + 1 = 2y Ta có h PT sau y 3 + 1 = 2x Đây là h đ i x ng lo i II, tr v theo v ta có: x3 − y 3 = 2(y − x) ⇔ (x − y)(x2 + y 2 + xy + 2) = 0 √ x = y ⇒ 3 2x − 1 = x ⇔ x3 − 2x + 1 = 0 (x − 1)(x2 + x − 1) = 0 √ −1 ± 5 V y x = 1; x = 2 y 2 3y 2 Ta có x2 + y 2 + xy + 2 = x + + + 2 > 0, ∀x, y 2 4 V y PT đã cho có 3 nghi m 2. Phương trình có d ng: n a − f (x) + m b + f (x) = c Cách gi i: Đ t u = n a − f (x); v = m b + f (x) u+v =c Ta có h sau un + v m = a + b √ √ Bài 38: Gi i phương trình 4 x + 8 + 4 x − 7 = 3 Gi i √ Đ t √ = x + 8 ≥ 0 ⇔ u4 = x + 8 ⇒ x = u4 − 8 u 4 v = 4 x − 7 ≥ 0 ⇒ v4 = x − 7  x = v4 + 7  ⇒ u + v = 3  v = 3 − u  Ta có h : u, v ≥ 0 ⇔ (u2 − v 2 )(u2 + v 2 ) = 15  4  u − v 4 = 15 u, v ≥ 0     v = 3 − u  v = 3 − u  2 2 ⇔ (u − v)(u + v)(u + v ) = 15 ⇔ 0 ≤ u ≤ 3   u, v ≥ 0 (u − v)(u2 + v 2 ) = 5   Page 17
  18. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN 0≤u≤3 0≤u≤3 ⇔ ⇔ (2u − 3) u2 + (3 − u)2 = 5 (2u − 3)(2u2 − 6u + 9) = 5 0≤u≤3 0≤u≤3 ⇔ 3 2 ⇔ 4u − 18u + 36u − 32 = 0 u=2 √4 x+8=2 x + 8 = 16 ⇔ √ 4 ⇔ ⇔x=8 x−7=1 x−7=1 V y phương trình đã cho có nghi m duy nh t x = 82. Bài t p Gi i √ √ phương trình 3 3 1/√x + 34 − √x − 3 = 14 4 2/√97 − x + 4 x = 5 √ 3 3/√x + 2 + √ + 1 = 3 x 4/√18 − x + 4√ − 1 = 3 4 x 4 8 − 3 2x8 − 1 = 1 5/ 17 − x √ √ Bài 39: Gi i phương trình 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5x = 8 (A-2009) Gi i √ 3 √ Đ t u = 3x − 2; v = 6 − 5x ≥ 0 u3 = 3x − 2 ⇒ v 2 = 6 − 5x ⇒ 5u3 + 3v 2 = 5(3x − 2) + 3(6 − 5x) = 8(1) M t khác ta l i có 2u + 3v − 8 = 0(2) T (1) và (2) ta có h sau: 5u3 + 3v 2 = 8 2u + 3v = 8 2 3 8 − 2u ⇒ 5u + 3 =8 3 ⇔ 15u3 + 4u2 − 32u + 40 = 0 Phương trình có nghi m duy nh t u = −2 √ Nên 3 3x − 2 = −2 ⇒ x = −22 √ √ Bài 40: Gi i phương trình 1+ 1 − x2 (1 + x)3 − (1 − x)3 = 2 + 1 − x2 (Olympic 30/4/2011 √ √ Nh n xét: Bài toán này nhìn vào có v khá ph c t p nhưng đ ý ( 1 + x)2 + ( 1 − x)2 = 2. Gi i L i gi i: ĐK −1√ x ≤ 1 √ ≤ Đ t 1 + x = a; 1 − x = b v i a, b ≥ 0 ⇒ a2 + b2 = 2 (*) Ta có h sau √ a2 + b2 = 2(1) (2) 1 + ab(a3 − b3 ) = 2 + ab 1 1 Ta có 1 + ab = (2 + 2ab) = (a2 + b2 + 2ab) do (*) 2 2 √ 1 ⇒ 1 + ab = √ (a + b) vì a, b ≥ 0 2 Page 18
  19. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN V y t PT(2) ta có 1 √ (a + b)(a − b)(a2 + b2 + ab) = 2 + ab 2 1 ⇔ √ (a2 − b2 ) = 1 2 √ a2 − b 2 = 2 K t h p v i (1) ta có h sau a2 + b 2 = 2 √ C ng v ta có 2a2 = 2 + 2 1 ⇔ a2 = 1 + √ 2 1 ⇒1+x=1+ √ 2 1 ⇒x= √ 2 2 Nh n xét: bài toán này ý tư ng c a ta là thay h s b ng n t phương trình th nh t c a h có th gi i quy t bài toán đư c d dàng hơn. Sau đây là m t ví d nh tương t . √ √ √ Bài 40b: Gi i phương trình x+1+x+3= 1 − x + 3 1 − x2 Gi i √ u= x+1≥0 Đ t √ v = 1−x≥0 u2 + u + 2 = v + 3uv Phương trình đã cho tr thành u2 + v 2 = 2 Thay 2 = u2 + v 2 vào phương trình đ u ta có 2u2 + u + v 2 = v + 3uv ⇔ 2u2 + (1 − 3v)u + v 2 − v = 0 Ta có ∆ = (v + 1)2 . Đ n đây các b n có th gi i quy t d dàng 2. √ √ Bài 41: Gi i phương trình (x + 5) x + 1 + 1 = 3 3x + 4 Gi i L i gi i:√ x ≥ −1√ ĐK Đ t a = x + 1; b = 3 3x + 4 ⇒ x = a2 − 1 và 3a2 + 1 = b3 Thay vào phương trình ta có h sau (a2 + 4)a + 1 = b 3a2 + 1 = b3 C ng v theo v ta có a3 + 3a2 + 4a + 2 = b3 + b Đ n đây quan sát kĩ m t chút, ta bi n đ i như sau ⇔ (a + 1)3 + (a + 1) = b3 + b Xét hàm s đ c trưng f (t) = t3 + t Ta có f (t) = 3t2 + 1 > 0, v y hàm s đ ng bi n. ⇒ f (a + 1) = f (b) √ √ Nên √ + 1 + 1 =√3 3x + 4 x Đ t u = x + 1; v = 3 3x + 4 Ta có h sau Page 19
  20. Tr n Trí Qu c THPT NGUY N HU PHÚ YÊN u+1=v u=v−1 ⇒ v 3 − 3u2 = 1 v 3 − 3u2 = 1 S d ng phép th ta có v 3 − 3(v − 1)2 = 1 ⇔ v 3 − 3v 2 + 6v − 4 = 0 ⇔ (v − 1)(v 2 − v + 4) = 0 Phương trình có nghi m duy nh t v = 1 √ ⇒ 3 3x + 4 = 1 ⇒ x = −1 V y phương trình có nghi √ duy nh t x = −12 m Phương trình d ng ax + b √ cx2 + dx + e = Ta đã g p các d ng bài toán như ax + b = cx + d và m t s ví d đã nêu trên b ng cách bình phương b c 4 và đ ng nh t h s đ tìm đư c nghi m, nhưng đ i v i nh ng bài toán không dùng đư c phương pháp đó thì sao? Chúng ta cùng làm rõ v n đ . Xét ví d sau √ Bài 42: Gi i phương trình 2x2 − 6x − 1 = 4x + 5 Gi i 5 L i gi i: ĐK x ≥ − 4 Ta bi n đ i phương trình như sau √ √ 4x2 − 12x − 2 = 2 4x + 5 ⇔ (2x − 3)2 = 2 4x + 5 + 11 √ .Đ t 2y − 3 = 4x + 5 ta đư c h phương trình sau: (2x − 3)2 = 4y + 5 (2y − 3)2 = 4x + 5 ⇒ (x − y)(x + y − 1) = 0 √ √ V i x = y ⇒ 2x − 3 = 4x + 5 ⇒ x = 2 + 3. √ V i x + y − 1 = 0 ⇒ y = 1 − x ⇒ x = 1 − 22 Nh n xét: Ch c các b n đang ng c nhiên vì không bi t t i sao ta có th đ t như v y, đó không ph i là đoán mò đâu. Phương pháp này r t h u d ng v i ai đã h c qua đ o hàm là có th d d ng đ t đư c. Bài toán có d ng như sau √ D ng 1: ax + b = cx2 + dx + e, (a = 0, c = 0, a = 1 ) c Xét f (x) = cx2 + dx + e ⇒ f (x) = 2cx + √ d Gi i PT f (x) = 0, khi đó b ng phép đ t ax + b = 2cy + d, ta s đưa đư c v h đ i x ng lo i II tr m t s trư ng h p đ c bi t. Có th th y rõ ràng qua ví d trên, ta xét ví d ti p theo √ Bài 43: Gi i phương trình x2 − 4x − 3 = x + 5 Làm nháp: Xét f (x) = x2 − 4x − 3 ⇒ f (x) = 2x − 4 Gi i f (x) = 0 ⇒ x = 2 Gi i √ √ L i gi i: ĐK x ≤ 2 7; x ≥ 2 + 7 √ Đ t x + 5 = y − 2 ⇒ (y − 2)2 = x + 5 Page 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
926 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2