Chuyên đề: Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

Chia sẻ: Nguyễn Anh Tuấn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

706
lượt xem 202
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề: Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số sau đây nhằm giới thiệu đến các em học sinh phổ thông phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số. Mỗi bài tập đều có hướng dẫn giải chi tiết giúp các em học sinh dễ dàng nắm được phương pháp giải.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 CHUYÊN ĐỀ: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1) Hàm đặc trưng được xác định ngay từ một phương trình trong hệ ìx 3 - y 3 = y - x (1) ï ï Bài ❶: Giải hệ phương trình í 2 ïx + xy + y 2 = 1 (2) ï î Lời giải: Ta có : (1) Û x 3 + x = y 3 + y Û f (x ) = f (y ) với + f (t ) = t 3 + t f '(t ) = 3t 2 + 1 > 0 "t Î ¡ nên hàm số f (t ) đồng biến trên ¡ Nên (1) Û x = y thay vào (2) ta được phương trình: x 2 + x 2 + x 2 = 12 Û x = ±2 Với x = ±2 Þ y = ±2 Vậy hệ có 2 nghiệm là (x ; y ) = (2;2); (-2; -2) ìx 3 - y 3 = 3x - 3y (1) ï ï Bài ❷: Giải hệ phương trình í 2 ïx + y 4 = 1 (2) ï î Lời giải: Ta có : Û x 3 - 3x - y 3 - 3y Û f (x ) = f (y ) với f (t ) = t 3 - 3t Từ phương trình (2) : x 2 + y 4 = 1 Þ| x |,| y |£ 1 Þ t £ 1 Khi đó f '(t ) = 3t 2 - 3 £ 0"t £ 1 ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 1 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Hàm số f (t ) nghịch biến trên (-¥;1) . Nên (1) Û x = y thay vào (2) ta được: x2 + x4 = 1 Û x4 + x2 -1 = 0 Û x2 = -1 + 5 -1 + 5 Ûx =± 2 2 Với x = ± -1 + 5 Þ y = ± -1 + 5 2 2 æ öæ ö ç -1 + 5 -1 + 5 ÷ ç -1 + 5 -1 + 5 ÷ ÷; ç÷. ÷ç ÷ ; ;Vậy hệ có 2 nghiệm (x ; y ) = ç ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ 2 2 2 2 ç ÷è ÷ è ø ø ìx 3 + x - 2 = y 3 + 3y 2 + 4y (1) ï ï Bài ❸: Giải hệ phương trình í 5 ïx + y 3 + 1 = 0 (2) ï î Lời giải: (1) Û x 3 + x = y 3 + 3y 2 + 4y + 2 Û x 3 + x = (y + 1)3 + (y + 1) Û f (x ) = f (y + 1) với f (t ) = t 3 + t f '(t ) = 3t 2 + 1 > 0"t Î ¡ . Nên (1) Û x = y + 1 Û y = x - 1 thay vào (2) ta được: x 5 + (x - 1)3 + 1 = 0 Û x (x 4 + x 2 - 3x + 3) = 0 é x =0 Û êê 4 Û x + x 2 - 3x + 3 = 0 êë Với x = 0 Þ y = -1 éx = 0 ê 2 ê 3ö ê 4 æ ÷ +3=0 ç êx + çx - ÷ ÷ ç ÷ 2ø 4 è êë Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x ; y ) = (0; -1). ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 ìx 3 - 3x 2 + 2 = y 3 + 3y 2 (1) ï ï Bài ❹: Giải hệ phương trình ï í ï3 x - 2 = y 2 + 8y (2) ï ï î Lời giải: ìy 3 + 3y 2 ³ 0 ï ï ì ï ï 2 ï ïy + 8y ³ 0 Û íy ³ 0 Điều kiện: í ï ïx ³ 2 ïx - 2 ³ 0 ï î ï ï î Khi đó (1) Û x 3 - 3x 2 + 2 = y y + 3 Û (x - 1) - 3(x - 1) = 3 Û f (x - 1) = f f '(t ) = 3t 2 - 3 ³ 0"t ³ 1 .Hàm số f (t ) đồng biến trên (1; +¥) Nên (1) Û x - 1 = y + 3 Û x 2 - 2x + 1 = y + 3 Kết hợp với (2) ta có hệ phương trình : ìx 2 - 2x + 1 = y + 3 ìx 2 - 2x + 1 = y + 3 ìx 2 - 2x - 2 = y ï ï ï (1¢) ï ï ï Ûí Ûí í ï3 x - 2 = y 2 + 8y ï9(x - 2) = y 2 + 8y ï9x - 18 = y 2 + 8y (2¢) ï ï ï î î ï î ( y + 3 với f (t ) = t 3 - 3t ) ( y +3 -3 y +3 ) 3 Thế (1') vào (2 ') ta được phương trình: 9x - 18 = (x 2 - 2x - 2) + 8 (x 2 - 2x - 2) 2 Û 9x - 18 = x 4 - 4x 3 + 8x 2 - 8x - 12 Û x 4 - 4x 3 + 8x 2 - 17x + 6 = 0 Û (x - 3)(x 3 - x 2 + 5x - 2) = 0 éx = 3 Û êê 3 Û x = 3 . Do x 3 - x 2 + 5x - 2 > 0 "x ³ 2 2 êëx - x + 5x - 2 = 0 ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Với x = 3 Þ y = 1 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x ; y ) = (3;1). ìx 3 - y 3 - 2 = 3x - 3y 2 ï (1) ï Bài ❺: Giải hệ phương trình í 2 ïx + 1 - x 2 - 3 2y - y 2 + 2 = 0 (2) ï ï î ì-1 £ x £ 1 ï í Lời giải: Điều kiện ï0 £ y £ 2 ï ï î Khi đó: (1) Û x 3 - 3x - 2 = y 3 - 3y 2 Û (x + 1) - 3 (x + 1) = y 3 - 3y 2 3 2 Û f (x + 1) = f (y ) với f (t ) = t 3 - 3t . f ' (t ) = 3t 2 - 3 £ 0"t Î [-1; 1] . Hàm số nghịch biến trên (-1;1) Nên (1) Û x = y - 1. Thay vào (2) ta được phương trình: x 2 + 1 - x 2 - 3 2 (x + 1) - (x + 1) + 2 = 0 2 Û x2 - 2 1-x2 + 2 = 0 Û x 2 + 2 = 2 1 - x 2 (*) Ûx =0 ì ï (*) = x 2 + 2 ³ 2 VT ï Do í . ï (*) = 2 1 - x 2 £ 2 VP ï ï î Với x = 0 Þ y = 1. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x ; y ) = (0;1). ìx 3 - 12x - y 3 + 6y 2 - 16 = 0 ï (1) ï Bài ❻: Giải hệ phương trình í 2 ï4x + 2 4 - x 2 - 5 4y - y 2 + 2 = 0 (2) ï ï î ì-2 £ x £ 2 ï í Lời giải: Điều kiện ï0 £ y £ 4 ï ï î ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 4 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Khi đó: (1) Û x 3 - 12x = y 3 - 6y 2 + 16 Û x 3 - 12x = (y - 2) - 12 (y - 2) 3 Û f (x ) = f (y - 2) 3 Với f (t ) = t - 12t .Với điều kiện x Î éêë-2;2ùúû ; y Î éêë0; 4ùúû Þ t Î éêë-2;2ùúû 2 Suy ra f ' (t ) = 3t - 12 £ 0"t Î éêë-2;2ùúû . Hàm số f (t ) nghịch biến trên éêë-2;2ùúû Nên (1) Û x = y - 2 Û y = x + 2 thay vào (2) ta được phương trình : 4x 2 + 2 4 - x 2 - 5 4 (x + 2) - (x + 2) + 6 = 0 2 Û 4x 2 + 2 4 - x 2 - 5 4 - x 2 + 6 = 0 Û 4x 2 + 6 = 3 4 - x 2 Û 16x 4 + 48x 2 + 36 = 36 - 9x 2 Với x = 0 Þ y = 2 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x ; y ) = (0;2) . ì x + 2 x 2 + 4x + 7 + y y 2 + 3 + x + y + 2 = 0 (1) ï( ) ï Bài ❼: Giải hệ phương trình ï 2 í ï x +y +1 = x -y +1 (2) ï ï î Û 16x 4 + 57x 2 = 0 Û x 2 (16x 2 + 57 ) = 0 Ûx =0 Lời giải: Điều kiện x 2 + y + 1 ³ 0 Khi đó (1) Û x + 2 ( ) (x + 2) t2 2 + 3 + x + 2 = -y (-y ) + 3 - y 2 Û f (x + 2) = f (-y ) với f (t ) = t t 2 + 3 + t f ' (t ) = t + 3 + 2 t2 + 3 + 1 > 0"t Î ¡ .Hàm số đồng biến trên ¡ Nên (1) Û x + 2 = -y Û y = -x - 2 thay vào (2) ta được phương trình : ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 5