GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
CHUYÊN ĐỀ: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
1) Hàm đặc trưng được xác định ngay từ một phương trình trong hệ
Bài ❶: Giải hệ phương trình
3 3
2 2
(1)
1 (2)
x y y x
x xy y
ì
ï- = -
ï
í
ï+ + =
ï
î
Lời giải:
Ta có :
3 3
(1) ( ) ( )x x y y f x f yÛ + = + Û =
với +
3
( )f t t t= +
2
3 1 0'( ) t tf t + > "= Î ¡
nên hàm số
( )f t
đồng biến trên
¡
Nên
(1) x yÛ =
thay vào
(2)
ta được phương trình:
22212 2x x x x+ + = Û = ±
Với
2 2yx ± Þ = ±=
Vậy hệ có 2 nghiệm là
Bài ❷: Giải hệ phương trình
3 3
2 4
3 3 (1)
1 (2)
x y x y
x y
ì
ï- = -
ï
í
ï+ =
ï
î
Lời giải:
Ta có :
3 3
3 3 ( ) ( )x x y y f x f yÛ - - - Û =
với
3
( ) 3f t t t= -
Từ phương trình
2 4
(2) : 1 | |,| | 1 1x y x y t+ = Þ £ Þ £
Khi đó
2
'( ) 3 3 0 1f t t t- £ " £=
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 1
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Hàm số
( )f t
nghịch biến trên
( ;1)-¥
. Nên
(1) x yÛ =
thay vào
(2)
ta được:
2 4 4 2 2 1 5 1 5
1 1 0 2 2
x x x x x x
- + - +
+ = Û + - = Û = Û = ±
Với
1 5 1 5
2 2
yx - + - +
± Þ = ±=
Vậy hệ có 2 nghiệm
1 5 1 5 1 5 1 5
( ; ) ; ; ; .
2 2 2 2
x y
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
- + - + - + - +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
= - -
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài ❸: Giải hệ phương trình
3 3 2
5 3
2 3 4 (1)
1 0 (2)
x x y y y
x y
ì
ï+ - = + +
ï
í
ï+ + =
ï
î
Lời giải:
3 3 2 3 3
(1) 3 4 2 ( 1) ( 1)x x y y y x x y yÛ + = + + + Û + = + + +
( ) ( 1)f x f yÛ = +
với
3
( ) tf t t= +
2
'( ) 3 1 0 tf t t + > "= Î ¡
. Nên
(1) 1 1x y y xÛ = + Û = -
thay vào
(2)
ta được:
5 3
( 1) 1 0x x+ - + =
( )
4 2 3 3 0x x x xÛ + - + =
2
4 2 4
0
0
3 3
3 3 0 0
2 4
x
x
x x x x x
é=
ê
é=ê
ê
Û Û æ ö
ê
ê÷
ç
+ - + = ÷
+ - + =
ç
ê
ê÷
ëç÷
ç
è ø
ê
ë
Với
0 1x y= Þ = -
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
0; ; 1 .x y = -
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 2
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Bài ❹: Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2
3 2 3 (1)
3 2 8 (2)
x x y y
x y y
ì
ï- + = +
ï
ï
í
ï- = +
ï
ï
î
Lời giải:
Điều kiện:
3 2
2
3 0 0
8 0 2
2 0
y y y
y y x
x
ì
ï+ ³
ïì
ï³
ïï
ï+ ³ Û
í í
ï ï ³
ï ï
î
- ³
ï
ï
î
Khi đó
3 2
(1) 3 2 3x x y yÛ - + = +
( )
3
3
( 1) 3( 1) 3 3 3x x y yÛ - - - = + - +
( )
( 1) 3f x f yÛ - = +
với
3
( 3)f t t t-=
2
'( ) 3 3 0 1f t t t= - ³ " ³
.Hàm số
( )f t
đồng biến trên
( )
1;+¥
Nên
2
1 3 2 1 3(1) x y x x yÛ - = + Û - + = +
Kết hợp với
(2)
ta có hệ phương trình :
22 2
2 2
2
2 1 3 2 1 3 2 2 (1 )
9( 2) 8 9 18 8 (2 )
3 2 8
x x y x x y x x y
x y y x y y
x y y
ìì ì
ï- + = + ¢
ï ï
- + = + - - =
ïï ï
ïÛ Û
í í í ¢
ï ï ï
- = + - = +
- = +
ï ï ï
î î
ï
î
Thế
(1')
vào
(2 ')
ta được phương trình:
( ) ( )
2
2 2
2 2 89 2 218 x xx x x- - + -= --
4 3 2
9 18 4 8 8 12x x x x xÛ - = - + - -
( )( )
4 3 2 3 2
4 8 17 6 0 3 5 2 0x x x x x x x xÛ - + - + = Û - - + - =
3 2 3
3
5 2 0 x
x
xx x
Û Û =
- + -
é
ê
ê
ê
ë=
=
. Do
3 2 5 2 0 2x xx x- + - > " ³
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 3
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Với
3 1x y= Þ =
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 3;1 .x y =
Bài ❺: Giải hệ phương trình
3 3 2
2 2 2
2 3 3 (1)
1 3 2 2 0 (2)
x y x y
x x y y
ì
ï- - = -
ï
ï
í
ï+ - - - + =
ï
ï
î
Lời giải: Điều kiện
1 1
0 2
x
y
ì
ï- £ £
ï
í
ï£ £
ï
î
Khi đó:
( ) ( )
3 2
3 3 2 3 2
3 2 3(1) 1 31 3x x x yx y y yÛ - - = - Û = -+ - +
( ) ( )
1yf x fÛ + =
với
( )
33f t t t= -
.
( )
23 0 [ 1 ]3 1' ;f t tt - £ " Î -=
. Hàm số nghịch biến trên
( )
1;1-
Nên
11) .( x yÛ = -
Thay vào
(2)
ta được phương trình:
( ) ( )
2
2 2
1 3 2 1 1 2 0x x x x+ - - + - + + =
2 2
2 1 2 0x xÛ - - + =
2 2
2 2 1 (*)
0
x x
x
Û + = -
Û =
Do
2
(*)
2
(*) 2
2 2
1 2
VT
VP
x
x
=
=
ì
ï+ ³
ï
ï
í
ï- £
ï
ï
î
.
Với
1.0x y= Þ =
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 0;1 .x y =
Bài ❻: Giải hệ phương trình
3 3 2
2 2 2
12 6 16 0 (1)
4 2 4 5 4 2 0 (2)
x x y y
x x y y
ì
ï- - + - =
ï
ï
í
ï+ - - - + =
ï
ï
î
Lời giải: Điều kiện
2 2
0 4
x
y
ì
ï- £ £
ï
í
ï£ £
ï
î
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 4
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Khi đó:
3 3 2
12 61 6 1( ) x x y yÛ - = - +
( ) ( )
( ) ( )
3
312 2 12 2
2
x x y y
f x f y
Û - = - - -
Û = -
Với
( )
312t tf t= -
.Với điều kiện
2;2 ; 0; 4 2;2tx y
é ù é ù é ù
Î - Î Þ Î -
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
Suy ra
( )
2
3 12 0 2;2' t t tf é ù
= - £ " Î -
ê ú
ë û
. Hàm số
( )
f t
nghịch biến trên
2;2
é ù
-
ê ú
ë û
Nên
21) 2( x y y xÛ = - Û = +
thay vào
(2)
ta được phương trình :
( ) ( )
2
2 2
2 4 5 4 2 2 04 6x x xx + - - + - + + =
( )
2 2 2
2 2
4 2 2
4 2 2 2
4 2 4 5 4 6 0
4 6 3 4
16 48 36 36 9
16 57 0 16 57 0
0
x x x
x x
x x x
x x x x
x
Û + - - - + =
Û + = -
Û + + = -
Û + = Û + =
Û =
Với
0 2x y= Þ =
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 0;2x y =
.
Bài ❼: Giải hệ phương trình
( )
2 2
2
2 4 7 3 2 0 (1)
1 1 (2)
x x x y y x y
x y x y
ì
ï+ + + + + + + + =
ï
ï
í
ï+ + = - +
ï
ï
î
Lời giải: Điều kiện
21 0x y+ + ³
Khi đó
( ) ( ) ( )
2 2
2(1) 2 3 2 3x x x y y yÛ + + + + + = - - + -
( ) ( )
2f x f yÛ + = -
với
( )
23f t t t t= + +
( )
2
2
2
3 1 0' 3
t
t t t
t
f= + + + > " Î
+
¡
.Hàm số đồng biến trên
¡
Nên
2(1) 2x y y xÛ + = - Û = - -
thay vào
(2)
ta được phương trình :
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 5