intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

SKKN: Phương pháp giải hệ phương trình

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:29

Thêm vào BST
Báo xấu
22
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề “Phương pháp giải hệ phương trình” sẽ giúp cho học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về các phương pháp biến đổi giải hệ. Qua đó, hi vọng sẽ giúp các em học sinh có thêm kĩ năng biến đổi, giải hệ phương trình để bước vào các kì thi đạt được kết quả tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Phương pháp giải hệ phương trình

  1. Phương pháp giải hệ phương trình BÁO CÁO KẾT QUẢ  NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. LỜI GIỚI THIỆU Trong chương trình toán trung học phổ thông, hệ phương trình là một nội dung   quan trọng, thường có trong các đề thi THPT QG và trong các đề thi học sinh giỏi các   cấp. Hệ phương trình có nhiều dạng với nhiều cách biến đổi khác nhau nên có thể gây   khó khăn cho học sinh trong việc giải hệ. Chính vì thế đây là một nội dung đòi hỏi học   sinh phải có tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp hợp lí để tìm lời giải tốt nhất.             Đã có nhiều sách viết về hệ phương trình, tuy nhiên hầu hết là không hệ thống  các phương pháp hay sử dụng trong biến đổi hệ, giải hệ; hoặc nếu có thì còn sơ  sài,  chưa đầy đủ. Chuyên đề “Phương pháp giải hệ phương trình” sẽ giúp cho học sinh  có cách nhìn tổng quát hơn về các phương pháp biến đổi giải hệ. Qua đó, hi vọng sẽ  giúp các em học sinh có thêm kĩ năng biến đổi, giải hệ phương trình để bước vào các  kì thi đạt được kết quả tốt hơn.  2. TÊN SÁNG KIẾN “Phương pháp giải hệ phương trình” 3. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN ­ Họ và tên: Phạm Văn Minh ­ Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo 2 ­ Số điện thoại: 0977657260 ­ E_mail:phamvanminh.gvtamdao2@vinhphuc.edu.vn 4. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN Tác giả cùng với sự hỗ trợ của tổ chuyên môn  Trường THPT Tam Đảo 2 về cơ  sở vật chất ­ kỹ thuật trong quá trình viết sáng kiến và dạy thực nghiệm sáng kiến.  5. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Xây dựng chuyên đề  môn Toán: áp dụng để  cung cấp mẳng kiến thức cũng  như  rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các dạng toán hệ  phươ ng trình trong quá  trình ôn thi HSG, THPT QG.  6. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ Ngày 01 tháng 10 năm 2019,  môn Toán lớp 12. 7. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN 7.1. Nội dung sáng kiến                                                                               1
  2. Phương pháp giải hệ phương trình I. CAC DANG HÊ PH ́ ̣ ̣ ƯƠNG TRINH C ̀ Ơ BAN CÂN NH ̉ ̀ Ơ:́ 1. Hê g ̣ ồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc n,  n 2 ax + by = c (1)                 trong đó  f ( x; y )  là một đa thức đối với x và y. f ( x; y ) = 0 (2) Phương phap giai:  ́ ̉ Băng ph ̀ ương phap thê, t ́ ́ ừ phương trinh (1) rut  ̀ ́ x theo y hoăc̣   rut  ̀ ương trinh (2) ta đ ́ y theo x, thay vao ph ̀ ược phương trinh m ̀ ột ẩn. x − 2y =1 Vi du 1:  ́ ̣ Giai hê ph ̉ ̣ ương trinh:  ̀  (I) x 2 − xy + 2 y 2 − 5 y = 3 Lơi giai: ̀ ̉ x = 2 y +1 x = 2 y +1 Hệ (I)        ( 2 y + 1) − ( 2 y + 1) y + 2 y 2 − 5 y = 3 2 2 y2 − y −1 = 0 x=0 x=3 hoặc  −1 y =1 y= 2 1 Hê ph ̀ ́ ̣ (x;y) la ̀ (3;1), (0; − ) . ̣ ương trinh co hai nghiêm  2 2. Hệ phương trình đối xứng 2.1 Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại 1 f ( x; y ) = f ( y; x) = 0 Hệ phương trình đối xứng loại 1 có dạng      (I) g ( x; y ) = g ( y; x) = 0 trong đó các đa thức  f ( x; y ), g ( x; y )  là các đa thức đối xứng đối với x, y.  (Đa thức đối xứng đối với x, y là đa thức khi thay đổi vai trò của  x và y thì đa thức đó  không đổi). Phương pháp giải: Đối với các hệ phương trình dạng này, cách thường làm là đặt ẩn  phụ S = x+ y   (*) P = xy Khi đó ta đưa được hệ phương trình (I) trở thành hệ phương trình đối với ẩn S,  P. Giải hệ phương trình đối với ẩn S, P tìm được các cặp nghiệm (S;P).                                                                               2
  3. Phương pháp giải hệ phương trình Thay vào (*), khi đó x, y là hai nghiệm (nếu có) của phương trình bậc hai X 2 − SX + P = 0 Giải phương trình trên ta có được các nghiệm (x;y) của hệ phương trình. Chú   ý:  Với   cách   đặt   ẩn   phụ   S,   P   như   trên   thì   điều   kiện   có   nghiệm   là   S 2 −�۳ 4P 0 S2 4P x2 + y2 + x + y = 4 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình   (I) x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2                                  (Dự bị 1 – Khối A năm 2005) S = x+ y Lời giải: Đặt    (Điều kiện  S 2 4P ) P = xy S 2 − 2P + S = 4 P = −2 S = 0, P = −2 Thay vào hệ (I) ta được  � 2 � �2 � S −P+S = 2 S +S =0 S = −1, P = −2 x+ y =0 x = − 2; y = 2  Với  ( S ; P) = (0; −2) có  xy = −2 x = 2, y = − 2 �x + y = −1 x = −2, y = 1 �  Với  ( S ; P) = ( −1; 2)  có  �xy = −2 x = 1, y = −2 � Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm  ( x; y )  là  (− 2; 2), ( 2; − 2), (−2;1), (1; −2) . ( x − y ) ( x2 − y 2 ) = 3 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:    (I) ( x + y ) ( x 2 + y 2 ) = 15 Lời giải ( x − y ) ( x + y ) =3 2               Hệ (I) ( x + y ) ( x 2 + y 2 ) = 15 ( x + y ) − 4 xy � ( x + y ) =3 2 �                        � �  (II) ( x + y) �(�x + y ) − 2 xy � � = 15 Đặt    S = x + y , P = xy , điều kiện có nghiệm  S 2 4 P . Hệ phương trình (II) trở  thành  ( S − 4 P) S = 3 2 S 3 − 4 PS = 3 S ( S 2 − 2 P ) = 15 S 3 − 2 PS = 15 S 3 = 27 S =3          � � �� PS = 6 P=2 Thay  S = 3, P = 2 , giải hệ ta tìm được 2 nghiệm  ( x; y ) của hệ là  (1; 2), (2;1) . x 3 y (1 + y ) + x 2 y 2 (2 + y ) + xy 3 − 30 = 0 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:    (I) x 2 y + x (1 + y + y 2 ) + y − 11 = 0                                                                               3
  4. Phương pháp giải hệ phương trình Lời giải xy[x 2 (1 + y ) + xy (2 + y ) + y 2 ]=30               Hệ (I) x 2 y + xy 2 + xy + x + y = 11 ( x + y ) 2 + xy ( x + y ) � xy � � �= 30                        xy ( x + y ) + xy + x + y = 11 xy ( x + y )( x + y + xy ) = 30                        (II) xy ( x + y ) + ( xy + x + y ) = 11 SP ( S + P ) = 30 Đặt   S = x + y, P = xy . Hệ phương trình (II) trở thành  SP + S + P = 11 Điều kiện có nghiệm  S 2 4P �ab = 30 a = 5, b = 6 � Đặt  a = S + P, b = SP ( a 2 4b ). Suy ra  �a + b = 11 a = 6, b = 5 � S+P =5 S = 2, P = 3  Với  ( a; b) = (5; 6) có  SP = 6 S = 3, P = 2 Với  S = 2, P = 3 � S 2 < 4 P  (loại) Thay  S = 3, P = 2 , giải hệ ta tìm được 2 nghiệm  ( x; y ) của hệ là  (1; 2), (2;1) �S + P = 6 S = 1, P = 5 �  Với  ( a; b) = (6;5) có  �SP = 5 S = 5, P = 1 � Với  S = 1, P = 5 � S 2 < 4 P  (loại) Thay  S = 5, P = 1  giải hệ ta tìm được hai nghiệm  ( x; y ) của hệ là 5 + 21 5 − 21 5 − 21 5 + 21                    ( ; ), ( ; ) 2 2 2 2 Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm  ( x; y ) là 5 + 21 5 − 21 5 − 21 5 + 21                      (1; 2); (2;1); ( ; ); ( ; ). 2 2 2 2 Chú ý: Trong một số bài toán, hệ phương trình có dạng đối xứng đối với  x  và  (− y ) .  S = x− y Khi đó ta giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ:  sau đó giải tương tự như trên. P = xy xy + x − y = 3 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:   (I) x 3 y + xy 3 = 10 Lời giải                                                                               4
  5. Phương pháp giải hệ phương trình xy + x − y = 3 xy + x − y = 3 Hệ (I) � � 2 � � xy ( x + y 2 ) = 10 xy � �( x − y ) 2 + 2 xy � �= 10 S+P=3 Đặt  S = x − y, P = xy . Hệ phương trình trở thành  P ( S 2 + 2 P ) = 10 �P = 3 − S �P = 3 − S                   � � � �3 �(3 − S )( S 2 − 2S + 6) = 10 �S − 5S + 12 S − 8 = 0 2 P = 3− S P=2                   � � �� ( S − 1)( S − 4S + 8) = 0 2 S =1 x − y =1 x = 2, y = 1 Với  S = 1, P = 2  ta có hệ:  xy = 2 x = −1, y = −2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ( x; y )  là  (2;1), ( −1; −2) . 2.2 Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại 2 f ( x; y) = 0 Hệ phương trình đối xứng loại 2 có dạng:      (I) f ( y; x ) = 0 (trong đó  f ( x; y )  là đa thức đối với x và y) Phương   pháp   giải :  Biến   đổi   tương   đương,   trừ   vế   hai   phương   trình   ta   được  x− y =0 f ( x; y ) − f ( y; x) = 0 � ( x − y ) g ( x; y ) = 0 g ( x; y ) = 0 �x − y = 0 ( II ) f ( x; y ) = 0 Khi đó, hệ phương trình (I) f ( x; y ) = 0 ( III ) g ( x; y ) = 0 Từ đó đi giải các hệ phương trình (II), (III) sẽ thu được các nghiệm của hệ (I). Chú ý: Tập nghiệm của hệ (I) là hợp của tập nghiệm hệ (II) và (III). x3 + 1 = 2 y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình     (I) y3 + 1 = 2x Lời giải:  Trừ hai vế của hai phương trình ta được                          x3 − y 3 = 2 y − 2 x              � ( x − y )( x 2 + xy + y 2 + 2) = 0 2 y � 3y2              � x − y = 0 (Do  x 2 + xy + y 2 + 2 = � �x + �+ + 2 = 0 vô nghiệm) � 2� 4 �x − y = 0 �y = x �y = x Khi đó, hệ (I)  � � 3 � �3 �� �x + 1 = 2 y �x − 2 x + 1 = 0 �( x − 1)( x + x − 1) = 0 2                                                                               5
  6. Phương pháp giải hệ phương trình y=x x = y =1 x =1 −1 + 5                          � � x= y= −1 5 2 x= 2 −1 − 5 x= y= 2 Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm  ( x; y ) là −1 + 5 −1 + 5 −1 − 5 −1 − 5            (1;1), ( ; ), ( ; ). 2 2 2 2 x2 + 2 3x = (1) y2 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình    (I)      y2 +2 3y = (2) x2                                               (ĐH khối B – 2003) Lời giải:  Điều kiện  xy 0 Từ (1) và (2) suy ra  x > 0, y > 0 3 xy 2 = x 2 + 2 Với điều kiện đó,  HPT ( II ) 3x 2 y = y 2 + 2 Trừ theo vế hai phương trình ta được:  x 2 − y 2 = 3xy 2 − 3x 2 y                                                                � ( x − y ) ( 3 xy + x + y ) = 0                                                                  � x = y (Do  3 xy + x + y > 0∀x > 0, y > 0 ) Thay  x = y vào phương trình (1) ta được phương trình:  3 x3 − x 2 − 2 = 0 � x = 1 � y = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = (1;1) Chú ý: Trong một số trường hợp để giải hệ phương trình đối xứng loại 2 phải cộng  và trừ theo vế hai phương trình. x3 = 8 x + 3 y Ví dụ: Giải hệ phương trình  y 3 = 3x + 8 y Lơi giai:  ̀ ̉ Công̣   theo   vế   hai   phương   trinh ̀   ta   được   phương   trinh: ̀   x+ y =0 x 3 + y 3 = 11( x + y ) x 2 − xy + y 2 = 11 x− y =0 Trừ vê hai ph ́ ương trinh ta đ ̀ ược:  x3 − y 3 = 5( x − y ) x 2 + xy + y 2 = 5 Từ đo, hê ph ́ ̣ ương trinh đa cho t ̀ ̃ ương đương với cac hê sau: ́ ̣                                                                               6
  7. Phương pháp giải hệ phương trình x+ y =0 x+ y =0 ( I )                                          ( II ) x− y =0 x 2 + xy + y 2 = 5 x 2 − xy + y 2 = 11 x 2 − xy + y 2 = 11 ( III )                                 ( IV ) x− y =0 x 2 + xy + y 2 = 5 ̉ ̣ ́ ( x; y ) = (0;0)  Giai hê (I) co  ̉ ̣ ́ ( x; y ) = ( 5; − 5), ( − 5; 5)  Giai hê (II) co  ̉ ̣ ́ ( x; y ) = ( 11; 11), (− 11; − 11)  Giai hê (III) co  ̉ ̣ ̣  (x;y) la:̀  Giai hê (IV) co 4 nghiêm ́ 2 − 14 2 + 14 2 + 14 2 − 14 ( ; ), ( ; ), 2 2 2 2 − 2 − 14 − 2 + 14 − 2 + 14 − 2 − 14 ( ; ), ( ; ) 2 2 2 2 ̣ ̣ ương trinh co 9 nghiêm  Vây hê ph ̀ ́ ̣ (x;y) như trên. 3. Hệ phương trình đẳng cấp: f1 ( x; y ) = g1 ( x; y ) Hệ phương trình đẳng cấp có dạng:  (I ) f 2 ( x; y ) = g 2 ( x; y ) Trong đó  f1 ( x; y ), f 2 ( x; y)  là hai đa thức đẳng cấp cùng bậc;       g1 ( x; y ), g 2 ( x; y ) là hai đa thức đẳng cấp cùng bậc. Phương pháp giải:  Nếu  x = 0 , thay vào hệ suy ra kết luận về nghiệm của hệ. Nếu  x 0 : Đặt  y = tx Đưa hệ phương trình ẩn x, y về hệ phương trình hai ẩn x, t. Chia theo vế hai phương  trình, ta được phương trình một ẩn t. Giải phương trình tìm được t, thay vào tìm được  x, y. x 2 − 4 xy + y 2 = 4 (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: y 2 − 3xy = 4 (2) Lời giải: y2 = 4 Với  x = 0 , hệ có dạng:  � y=�2 y2 = 4 Hệ phương trình có 2 nghiệm  ( x; y ) = (0; 2), (0; −2) . Với  x 0 , đặt  y = tx , khi đó hệ trở thành �x 2 − 4 x.(tx) + (tx ) 2 = 4 � �x 2 (1 − 4t + t 2 ) = 4 (3) � � 2 �2 2 �(tx) − 3 x.(tx ) = 4 �x (t − 3t ) = 4 (4)                                                                               7
  8. Phương pháp giải hệ phương trình Từ (3) và (4) có 1 − 4t + t 2               2 = 1       (Do  t = 0  hoặc  t = 3 không là nghiệm của (4)) t − 3t        � t 2 − 4t + 1 = t 2 − 3t � t = 1 Với  t = 1  suy ra  x = y . Thay  t = 1  vào (3) có:  −2t 2 = 4 vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y)  là  (0; 2), (0; −2) . Chú ý: Có thể kiểm tra hệ với y = 0; sau đó đặt  x = ty rồi biến đổi va giai t ̀ ̉ ương tự. x 2 − 3 xy + y 2 = −1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  3x 2 − xy + 3 y 2 = 13 Lời giải:  x 2 = −1 Với  y = 0 , hệ có dạng:  vô nghiệm. 3 x 2 = 13 Với  y 0 , đặt  x = ty , hệ phương trình trở thành:  (ty ) 2 − 3(ty ). y + y 2 = −1 y 2 (t 2 − 3t + 1) = −1 (1)            3(ty ) 2 − (ty ). y + 3 y 2 = 13 y 2 (3t 2 − t + 3) = 13 (2) Từ (1) và (2) ta có:  3t 2 − t + 3 = −13(t 2 − 3t + 1)          � 16t 2 − 40t + 16 = 0 t =2           1 t= 2  Với  t = 2 � x = 2 y . Thay  t = 2  vào (1) có  − y 2 = −1 � y 2 = 1 � y = �1          hệ có 2 nghiệm  ( x; y ) = (2;1), (−2; −1) . 1 1 1 13  Với  t = � x = y . Thay  t =  vào (2) có  y 2 = 13 � y 2 = 4 � y = �2 2 2 2 4       hệ có 2 nghiệm  ( x; y ) = (1; 2), ( −1; −2) . Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm  ( x; y )  là  (1; 2), (−1; −2), (2;1), ( −2; −1) . f1 ( x; y ) = g1 ( x; y ) Nhận   xét:  Một   số   hệ   phương   trình   có   dạng     trong   đó  f 2 ( x; y ) = g 2 ( x; y ) deg ( f1 ( x ) ) .deg ( g 2 ( x; y ) ) = deg ( f 2 ( x ) ) .deg ( g1 ( x; y ) )   cũng có thể  giải theo cách giải  của hệ phương trình đẳng cấp. 2 y 2 − x2 = 1 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  2 x3 − y3 = 2 y − x Lời giải:                                                                               8
  9. Phương pháp giải hệ phương trình Với  y = 0  hệ phương trình vô nghiệm. �2 y2 − t 2 y2 = 1 2 ( 2 ) �y 2 − t = 1 Với  y 0 , đặt  x = ty . Hệ trở thành:  � 3 3 �2 3 2t y − y 3 = 2 y − ty ( ) y 2t − 1 = 2 − t Từ hệ phương trình trên suy ra  2t − 1 = ( 2 − t ) ( 2 − t ) � t + 2t + 2t − 5 = 0 3 2 3 2                                                     � ( t − 1) ( t + 3t + 5 ) = 0 � t = 1 2  Với  t = 1  thay vào hệ ta được  ( x; y ) = ( 1;1)  hoặc  ( x; y ) = ( −1; −1) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ( x; y )  là  ( 1;1) , ( −1; −1) . x3 − 8 x = y 3 + 2 y Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  ( I) ( x2 − 3 = 3 y 2 + 1 ) (Dự bị 2 – Khối A năm 2006) Lời giải: x 3 − y 3 = 8 x + 2 y (1) Hệ phương trình (I) x2 − 3 y 2 = 6 (2) Với  x = 0 , phương trình (2) vô nghiệm  hệ phương trình vô nghiệm. Với  x 0 , đặt  y = tx , hệ phương trình trở thành:  ( ) �x 3 1 − t 3 = 2 x ( 4 + t ) � ( ) �x 2 1 − t 3 = 2t + 8 �                                 � 2 �2 � ( �x 1 − 3t = 6 2 ) ( �x 1 − 3t = 6 � 2 ) Từ hệ phương trình ta suy ra:  6 ( 1 − t ) = ( 2t + 8 ) ( 1 − 3t ) 3 2 1 t= 3                                               � 24t − 2t − 2 = 0 � 2 1 t=− 4 1  Với  t = , thay vào ta tìm được  ( x; y ) = ( 3;1) hoặc  ( x; y ) = ( −3; −1) 3 1 �4 78 78 �  Với   t = − ,   thay   vào   ta   tìm   được   ( x; y ) = � � ;− �  hoặc  4 � 13 13 �� � 4 78 78 � ( x; y ) = � �− ; �. � 13 13 � � �4 78 78 � Vậy   hệ   phương   trình   có   4   nghiệm   ( x; y ) là   ( 3;1) ,   ( −3; −1) ,   � � 13 ; − 13 � �, � � � 4 78 78 � �− 13 ; 13 � � � � � II. PHƯƠNG PHAP GIAI MÔT SÔ HÊ PHU ́ ̉ ̣ ́ ̣ ƠNG TRINH KHAC: ̀ ́                                                                               9
  10. Phương pháp giải hệ phương trình       Các hệ phương trình này không có dạng đối xứng, không là hệ đẳng cấp, việc áp  dụng phương pháp giải hợp lý sẽ giúp ích cho học sinh trong việc tìm ra lời giải ngắn  gọn, chính xác. 1. Phương pháp thế:        Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hoặc y. Khi đó ta tìm cách rút  y qua x (hoặc x qua y). x 2 ( y + 1)( x + y + 1) = 3x 2 − 4 x + 1 (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:    (TH&TT – 2009) xy + x + 1 = x 2 (2) Hướng dẫn: Phương trình (2) có dạng bậc nhất đối với y, ta tìm cách rút y qua x. Lời giải: Ta thấy x = 0 không thoả mãn phương trình (2). x2 −1 Với  x 0 , từ (2) có:  y = − 1   (*), thay vào (1), ta được: x x2 −1 x2 − 1 (1) � x . 2 .( x + ) = 3x 2 − 4 x + 1 x x       � ( x 2 − 1)(2 x 2 − 1) = ( x − 1)(3 x − 1)       � ( x − 1)(2 x3 + 2 x 2 − x − 1) = ( x − 1)(3 x − 1)       � ( x − 1)(2 x3 + 2 x 2 − 4 x) = 0 x=0       � 2 x( x − 1) ( x + 2) = 0 � x = 1    2 x = −2 Có  x = 0 không thoả mãn. Khi đó, thay x vào ta tìm được y.  ­5 Hệ phương trình có hai nghiệm  ( x; y ) là  (1;­1), (­2; ). 2 x3 + 2 xy 2 + 12 y = 0 (1) Vi du 2:  ́ ̣ Giai hê ph ̉ ̣ ương trinh:  ̀ 8 y + x = 12 2 2 (2) Hương dân: ́ ́ ̉ ̣ ́ ́ ở phương trinh (2) vao ph ̃  Ta co thê nhân thây nêu thê sô 12  ́ ́ ̀ ̀ ương trinh (1) ̀   ̀ ược phương trinh đăng câp bâc 3 đôi v thi ta đ ̀ ̉ ́ ̣ ́ ới x va ̀y, tư đo rut đ ̀ ́ ́ ược x qua y. Lơi giai:  ̀ ̉ Thay 12 ở phương trinh (2) vao ph ̀ ̀ ương trinh (1) ta đ ̀ ược phương trinh: ̀ x3 + 2 xy 2 + (8 y 2 + x 2 ) y = 0 � x 3 + x 2 y + 2 xy 2 + 8 y 3 = 0                       � ( x + 2 y )( x 2 − xy + 4 y 2 ) = 0                       � x + 2 y = 0 � x = −2 y ( Do x 2 − xy + 4 y 2 > 0 ∀x, y �ﾡ ) Thay  x = −2 y vao ph ̀ ương trinh (2) ta đ ̀ ược: 12 y 2 = 12 � y = �1                                                                               10
  11. Phương pháp giải hệ phương trình Hê ph ̀ ́ ̣ (x;y) la ̀ (2; −1), (−2;1) . ̣ ương trinh co 2 nghiêm  x 4 + 2 x3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  x 2 + 2 xy = 6 x + 6                                           (ĐH khối B – 2008) 6 x + 6 − x2 Hướng dẫn: Rút  xy =  từ phương trình (2) sau đó thay vào phương trình (1). 2 Lời giải:  (x ) 2 2 + xy = 2x + 9 (1) Hệ phương trình  6x + 6 − x2 xy = (2) 2 Thay (2) vào (1) ta được phương trình  ( x 2 + 6 x + 6 ) = 4 ( 2 x + 9 ) 2 x=0                 � x + 12 x + 48 x + 64 x = 0 � x ( x + 4 ) = 0 � 4 3 2 3 x = −4 Với  x = 0 , thay vào (2) không thỏa mãn  hệ vô nghiệm 17 Với  x = −4,  thay vào (2) ta được  y = . 4 � 17 � Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = �−4; �. � 4� 2. Phương pháp biến đổi tương đương:       Phương pháp này chủ yếu dựa vào những kỹ  năng biến đổi đồng nhất, phân tích   bằng cách cộng, trừ, nhân, chia, bình phương, lập phương, nhân chia biểu thức liên   hợp,… nhằm đưa một phương trình của hệ về dạng đơn giản hơn. x2 + 5x + 6 = y 2 + y Vi du 1 ́ ̣ : Giai hê ph ̉ ̣ ương trinh:  ̀  (I) x − 2 + 3x + 2 y + 2 = 4 Hương dân ́ ́ ̉ ̃ : Biên đôi  ph ương trinh (1), đ ̀ ưa vê ph ̀ ương trinh dang  ̀ ̣ A2 = B 2 Lơi giai ̀ ̉ �4 x + 20 x + 25 = 4 y + 4 y + 1 �(2 x + 5) = (2 y + 1) 2 2 2 2 � �      Hệ (I)  � � � � � x − 2 + 3x + 2 y + 2 = 4 � x − 2 + 3x + 2 y + 2 = 4 �x= y− 2 ��2 x + 5 = 2 y + 1 � (*) x − 2 + 3x + 2 y + 2 = 4           � 2 x + 5 = − (2 y + 1) � x= − y− 3 x − 2 + 3x + 2 y + 2 = 4 (**) x − 2 + 3x + 2 y + 2 = 4 ̉ ̣ ương trinh (*) ta đ  Giai hê ph ̀ ̣ ( x; y ) = (2; 4) ược nghiêm                                                                                11
  12. Phương pháp giải hệ phương trình 113 −161 ̉ ̣ ương trinh (**) ta đ  Giai hê ph ̀ ̣ ( x; y ) = ( ược nghiêm  ; ) 16 16 113 −161 ̣ ̣ ương trinh co hai nghiêm  Vây hê ph ̀ ́ ̣ (x;y) la ̀ (2; 4),( ; ). 16 16 xy + x + y = x 2 − 2 y 2 (1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y (2)                                         (ĐH khối D – 2008) Hướng   dẫn:   Phương   trình   (1)   có   thể   phân   tích   được   thành   phương   trình   tích:  (1) � ( x + y )( x − 2 y + 1) = 0 Từ đó thay vào hệ phương trình, biến đổi và tìm nghiệm. Lời giải:  Điều kiện:  x 1; y 0 Với điều kiện đó,  ( x 2 − xy − 2 y 2 ) − ( x + y ) = 0 � ( x + y )( x − 2 y ) − ( x + y ) = 0 � HPT  � � �� x 2 y − y x −1 = 2x − 2 y x 2 y − y x −1 = 2x − 2 y � �( x + y )( x − 2 y − 1) = 0 �x − 2 y − 1 = 0 �          � � ��        �x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y �x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y �x = 2 y + 1 � �x = 2 y + 1 �          � � ��   �(2 y + 1) 2 y − y 2 y = 2 y + 2 �( y + 1)( 2 y − 2) = 0 x = 2 y +1          � � ( x; y ) = (5; 2)                              y=2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = (5; 2) . Nhận xét: Với các hệ phương trình trong ví dụ  1, ví dụ  2, phương trình (1) của mỗi  hệ có dạng là phương trình (bậc hai) theo ẩn  x hoặc y, khi đó ta coi ẩn còn lại là tham  số. Giải phương trình bậc hai đó theo tham số  ta có thể  tìm được các phân tích như  trên. y 2 = (5 x + 4)(4 − x) (1) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:       (I) y − 5 x − 4 xy + 16 x − 8 y + 16 = 0 (2) 2 2                                                  (TH&TT 2009) Hướng dẫn: Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai đối với  ẩn y, tham số  x.  Tìm nghiệm y qua tham số x, sau đó thay vào phương trình (1) để tìm nghiệm của hệ. (Có thể coi là phương trình bậc hai đối với ẩn x, tham số y và làm tương tự) Lời giải: Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn y, tham số x. Khi đó:                (2) � y 2 − 4( x + 2) y − 5 x 2 + 16 x + 16 = 0                                                                               12
  13. Phương pháp giải hệ phương trình                  ∆'x = 4( x + 2) 2 − (−5 x 2 + 16 x + 16) = 9 x 2 0, Từ đó, ta được  y = 4 − x  hoặc  y = 5 x + 4 �4 �  Với   y = 5 x + 4,  thay vào (1) ta được  ( x; y ) = ( 0; 4 ) hoặc ( x; y ) = �− ;0 �. �5 �  Với  y = 4 − x,  thay vào (1) ta được  ( x; y ) = ( 0; 4 ) hoặc  ( x; y ) = ( 4;0 ) −4 Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm  ( x; y ) là  (0; 4), (4;0), ( ; 0) . 5 x+ y + x− y =2 y ( 1) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  x + 5y = 3 ( 2) Hướng dẫn: Bình phương hai vế phương trình (1) làm xuất hiện nhân tử chung. Lời giải:  Điều kiện:  x y 0 Bình phương hai vế phương trình (1) ta được:  2 x + 2 x 2 − y 2 = 4 y y=0                                        � x − y = 2 y − x � 5 y − 4 xy = 0 � 2 2 2 4 y= x 5  Với  y = 0  không thỏa mãn hệ phương trình. 4 4  Với  y = x , thay vào (2) ta được  3 x = 3 � x = 1 � y = 5 5 � 4�       Có  ( x; y ) = � 1; � thỏa mãn phương trình (1). �5� � 4� Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = � 1; � �5� 5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 3 − 2 ( x + y ) = 0 ( 1) Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  ( ) xy x 2 + y 2 + 2 = ( x + y ) 2 ( 2)                                            (ĐH khối A – năm 2011) Lời giải: xy = 1 Phương trình (2) � ( xy − 1) ( x + y − 2 ) = 0 � 2 2 x2 + y 2 = 2 1 Với  xy = 1 � y = , thay vào (1) ta được:  x 4 − 2 x 2 + 1 = 0 � x = �1 x Suy ra  ( x; y ) = ( 1;1) hoặc  ( x; y ) = ( −1; −1) là nghiệm của hệ. Với  x 2 + y 2 = 2, từ (1) có  3 y ( x + y ) − 4 xy + 2 x y − 2 ( x + y ) = 0 2 2 2 2 xy = 1         � 6 y − 4 xy + 2 x y − 2 ( x + y ) = 0 � ( xy − 1) ( x − 2 y ) = 0 2 2 x = 2y                                                                               13
  14. Phương pháp giải hệ phương trình  Với  xy = 1  có  ( x; y ) = ( 1;1) hoặc  ( x; y ) = ( −1; −1) là nghiệm �2 10 10 �  Vớ i   x = 2 y,   thay   vào   ta   được   ( x; y ) = � � 5 ; 5 � �  hoặc  � � � 2 10 10 � ( x; y ) = � �− ;− � là nghiệm � 5 5 �� �2 10 10 � Vậy   hệ   phương   trình   có   4   nghiệm   ( x; y )   là   ( −1; −1) , ( 1;1) ,   � � 5 ; 5 � �, � � � 2 10 10 � �− � 5 ; − �. � 5 �� y ( xy − 2) = 3 x 2 (1) Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:  y2 + x2 y + 2 x = 0 (2) Lời giải: Nếu   x = 0 thì   y = 0 ,   ngược   lại,   nếu   y = 0 � x = 0 ,   do   đó   hệ   có   nghiệm  ( x; y ) = (0;0) . Nếu  xy 0 : Nhân hai vế của (2) với x  rồi cộng với (1) ta được:                ( xy 2 + x3 y + 2 x 2 ) + ( xy 2 − 2 y − 3 x 2 ) = 0 xy = 1           � ( xy − 1)(2 y + x 2 ) = 0 2 y + x2 = 0 xy =1 (*) y ( xy −2) =3 x 2 HPT 2 y + x 2 =0 (**) y ( xy −2) =3 x 2 −1 3  Giải hệ (*) có  ( x; y ) = ( 3 ; − 3) . 3  Giải hệ (**) có  ( x; y ) = (2; −2) . −1 3 Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm  ( x; y )  là  (0;0), (2; −2), ( 3 ; − 3) . 3 3. Phương pháp đặt ẩn phụ       Đây là một phương pháp hay sử dụng. Có rất nhiều hệ phương trình có thể  giải   bằng cách đặt  ẩn phụ  và có thể  đặt theo nhiều cách khác nhau. Vì vậy, điều quan  trọng nhất trong phương pháp này là phát hiện được ra cách đặt ẩn phụ để đưa hệ về  dạng đơn giản hơn.       Ẩn phụ có thể xuất hiện ngay trong từng phương trình hoặc phải qua một số phép  biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một giá trị, biểu thức khác 0.                                                                               14
  15. Phương pháp giải hệ phương trình x 2 + 2 + y ( y + x − 5) = 0 (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  (I) y ( x 2 + 2 xy ) + y 3 = x 2 + 15 y + 2 (2) Hướng dẫn:  y=0 không thoả mãn (1). Chia cả 2 vế của hai phương trình cho  y 0 ,  sau đó đặt ẩn phụ. Lời giải:  x2 +2 + x + y =5 y Hệ (I)  (Do  y = 0  không thoả mãn hệ) x2 +2 ( x + y) 2 − =15 y �u = 10 x2 + 2 u+v =5 v = −5 Đặt  u = , v = y + x , hệ phương trình trở thành  2 y v − u = 15 u =1 v=4 x 2 + 2 = 10 y  Với  u = 10, v = −5 hệ  (hệ vô nghiệm) x + y = −5 x2 + 2 = y x = 1; y = 3  Với  u = 1, v = 4 �� x+ y =4 x = −2; y = 6 Hệ phương trình có hai nghiệm  ( x; y )  là  (1;3), ( −2;6) . 3 4 xy + 4( x 2 + y 2 ) + =7 ( x + y )2 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:   (I) 1 2x + =3 x+ y                                              (TH&TT 2009) 1 Hướng dẫn: Phân tích để xuất hiện ẩn phụ:  u = x + y + ,v =x−y x+y Lời giải:  Điều kiện  x + y 0 . Khi đó ta có: 3 3( x + y ) 2 + + ( x − y )2 = 7 ( x + y) 2     Hệ (I)  1 x+ y+ +x− y =3 x+ y 1 Đặt  u = x + y + , (u 2) ,  v = x − y x+y 3u 2 + v 2 = 13 Hệ phương trình trở thành  u+v =3                                                                               15
  16. Phương pháp giải hệ phương trình Giải hệ trên, có u=2, v=1 (Do  u 2) 1 x+ y+ =2 �x + y = 1 �x = 1 Từ đó, có  � x+ y �� �� �x − y = 1 �y = 0 x − y =1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = (1; 0) . 5 x 2 + y + x 3 y + xy 2 + xy = − 4 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình        (I) 5 x + y + xy ( 1 + 2 x ) = − 4 2 4                                        (ĐH khối A – 2008) Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ  u = x 2 + y, v = xy Lời giải: 5 x 2 + y + xy + xy ( x 2 + y ) = − 4  Hệ (I)     (II) 5 (x + y) 2 2 + xy = − 4 Đặt  u = x 2 + y , v = xy ,  5 5 5 u + v + uv = − v = − − u2 u = 0, v = − 4 4 4 Hệ (II) trở thành: 5 u 1 3 u2 + v = − u3 + u2 + = 0 u = − ,v = − 4 4 2 2 5 x2 + y = 0 x=3 5 � � 4 Với  u = 0, v = − ta có hệ  � 5 � 4 �xy = − �y = − 3 25 4 16 1 x2 + y = − � 3 x =1 1 3 � 2 � �y = − � Với  u = − , v = −  ta có hệ  � � 2x �� 3 2 2 �xy = − 3 �2 x 3 + x − 3 = 0 �y = − 2 2 �5 25 �� 3 � Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm  ( x; y )  là  �3 �4 ; − 3 � 1; − � ,� � 16 � �� 2 � 3 x + y − 8 x + 2 y = −1 (1) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  (I) 3x + y + x − y = 0 (2) Lời giải: Đặt  a = 3x + y , b = 8 x + 2 y . Điều kiện:  a 0, b 0 . Khi đó:  x − y = 2b 2 − 5a 2                                                                               16
  17. Phương pháp giải hệ phương trình �a − b = −1 b = a +1 � a=2 Hệ phương trình trở thành:  � �۳� 2 � ( Do a, b 0) �a + 2b − 5a = 0 2 2 3a − 5a − 2 = 0 � b=3 1 x= 3x + y = 4 2 Với  a = 2, b = 3 �� � � 8x + 2 y = 9 5 y= 2 �1 5 � Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = � ; �. 2 2 � � xy + x + 1 = 7 y Ví dụ 5: Giải hệ phương trình      (I) x 2 y 2 + xy + 1 = 13 y 2                                            (ĐH khối B – 2009) Hướng dẫn: Chia phương trình (1) cho y, phương trình (2) chia cho  y 2  sau đó đặt ẩn  1 x phụ  u = x + , v = . y y Lời giải: x 1 x+ + =7 y y Hệ (I)   (do  y = 0  không thỏa mãn hệ phương trình) x 1 x + + 2 = 13 2 y y 1 x Đặt  u = x + , v = , điều kiện:  u 2 4v y y u+v = 7 u = −5, v = 12 Hệ phương trình trở thành: u 2 − v = 13 u = 4, v = 3 Với  u = −5, v = 12  không thỏa mãn. 1 x+ =4 x = 3, y = 1 y Với  u = 4, v = 3 ta có hệ  1 x x = 1, y = =3 3 y �1� Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ( x; y )  là  ( 3;1) , � 1; �. 3 � � 4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức:       Sử dụng các tính chất, các bất đẳng thức cơ bản của bất đẳng thức, dùng các bất  đẳng thức quen thuộc như AM – GM, Bu­nhi­a­côp­xki,… để giải hệ. x3 + y 2 = 2 (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  x 2 + xy + y 2 − y = 0 (2) Hướng dẫn:  Từ  (2) tìm miền giá trị  của  x  và  y, sau đó áp dụng tính chất bất đẳng  thức vào phương trình (1).                                                                               17
  18. Phương pháp giải hệ phương trình Lời giải:  Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y. Khi đó:  ∆ y = y − 4( y − y ) = 4 y − 3 y 2 2 2 4 Để phương trình có nghiệm thì  ∆ �� y 0 −�4 y� 3 y 2 0 0 y 3 Tương tự, nếu coi (2) là phương trình bậc hai ẩn y, tham số x.                   (2) � y 2 + ( x − 1) y + x 2 = 0 1 Để phương trình có nghiệm thì  ∆ x = ( x − 1) 2 − 4 x 2 �� 0 −3 x 2 − 2 x + 1 �� 0 −1 �� x 3 1 4 1 4 49 Từ đó, để hệ có nghiệm thì  −1 x ,0 y � x 3 + y 2 �( )3 + ( ) 2 =
  19. Phương pháp giải hệ phương trình (12 + 12 )( x 2 − y + y 2 − x) = 2        (Do  x + y − x − y = 2 ) 2 2 x2 − y + y2 − x �x 2 − y = y 2 − x � �x 2 − y = 1 � Từ đó, hệ phương trình tương đương: �2 �2 ( II ) �x + y − x − y = 2 �y − x = 1 2 Hệ phương trình (II) là hệ đối xứng loại 2, học sinh đã biết cách làm. 1− 5 1− 5 1+ 5 1+ 5 Hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) là  ( ; ), ( ; ). 2 2 2 2 5. Phương pháp đánh giá        Phương pháp đánh giá cũng gần giống với phương pháp sử dụng bất đẳng thức.   Đỗi với phương pháp này, ta thường nhẩm được nghiệm của hệ  phương trình, kết  hợp các tính chất của các bất đẳng thức cơ bản,… y = − x3 + 3x + 4 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  x = 2 y3 − 6 y − 2 Lơi giai: ̀ ̉ �y − 2 = − x3 + 3 x + 2 � �y − 2 = −( x + 1) 2 ( x − 2) � (1) HPT � � �� �x − 2 = 2( y − 3 y − 2) �x − 2 = 2( y + 1) ( y − 2) 3 2 (2) Nếu  x > 2 : Từ (1) suy ra  y − 2 < 0 � y < 2        Từ (2) suy ra  y − 2 > 0 � y > 2   Suy ra mâu thuẫn, vậy với  x > 2  hệ vô nghiệm. Nếu  x < 2 : Tương tự ta cũng suy ra điều mâu thuẫn. Với x = 2, thay vào có y = 2 suy ra  ( x; y ) = (2; 2)  là nghiệm. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = (2; 2) . x 2 − 2 x + 2 + 4 y 2 − 2 y + 2 = 2 (1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  4 x + y +3 = 3 (2) Lời giải:  Điều  kiện  x 0, y −3 . Ta có  x 2 − 2 x + 2 = ( x − 1) 2 + 1 �� 1 x 2 − 2 x + 2 �1                y 2 − 2 y + 2 = ( y − 1) 2 + 1 �� 1 4 y 2 − 2 y + 2 �1     x2 − 2x + 2 = 1 Từ đó:  x − 2 x + 2 + y − 2 y + 2 2 4 2 2 , suy ra (1) � � x = y =1 y2 − 2 y + 2 = 1 Thay  x = y = 1  vào phương trình (2) thoả mãn. Vậy hệ có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = (1;1) . 6. Phương pháp hàm số                                                                               19
  20. Phương pháp giải hệ phương trình         Sử  dụng tính đơn điệu của hàm số  để  tìm nghiệm, như  vậy để  áp dụng được   phương pháp này học sinh phải được trang bị  các kiến thức về  sự  đơn điệu của các  hàm số, cách chỉ  ra tính đơn điệu của hàm số. Trong phương pháp này qua các phép  biến đổi thường xuất hiện phương trình có dạng  f ( x) = f ( y ) , trong đó hàm số  f đơn  điệu trên miền xác định của nó. x3 − 5 x = y3 − 5 y (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  x8 + y 4 = 1 (2) Lời giải:  8 1, y 4 1 Từ phương trình (2) ta có  x ��� x 1, y 1 Xét hàm số  f (t ) = t 3 − 5t  trên [­1;1]. Có  f '(t ) = 3t 2 − 5 < 0, ∀t [­1;1] f (t ) nghịch biến trên (­1;1) Khi đó,  f ( x) = f ( y ) � x = y .  Vậy từ (1) suy ra  x = y , thay vào (2) có:  x8 + x 4 − 1 = 0 Đặt  a = x 4 −1 + 5 −1 + 5 0 , giải phương trình tương ứng có  a = � x = y = �4 2 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm. x + 3 − 2 y +1 = 1 (1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  y + 3 − 2x + 1 = 1 (2) Lời giải:  −1 −1 Điều kiện  x ;y 2 2 Trừ hai vế của hai phương trình (1) và (2) ta được:                   x + 3 − y + 3 + 2 x + 1 − 2 y + 1 = 0             � x + 3 + 2 x + 1 = y + 3 + 2 y + 1                 (3) �−1 � Xét hàm số  f (t ) = t + 3 + 2t + 1  trên  ;+ �2 � �−1 � Hàm số  f (t )  là hàm đồng biến trên  ;+ �2 � Khi đó, từ (3) có  f ( x) = f ( y ) � x = y Vớ i  x= y,   thay   vào   phương   trình   (1)   ta   được:  x + 3 − 2x + 1 = 1 � x + 3 = 2x + 1 + 1 � 2 2x +1 = 1 − x �−1 �−1 � x 1 � x 1 � �2 � �2 � x = 5−2 7 �4(2 x + 1) = (1 − x) 2 �x − 10 x − 3 = 0 2 � �                                                                               20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.02: Bộ 500+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2020
576 tài liệu
913 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2