Chuyên đề: Phương trình
Bất phương trình
hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com
1
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Hàm số mũ
y=ax; TXĐ D=R
Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x
 0 + x
0 +
y
+
1

y
+ 1 
Đồ thị
-3 -2 -1 1
-2
-1
1
2
3
x
y
y=3x
-2
-1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
x
y
x
y
3
1
II. Hàm số lgarit
y=logax, ĐK:
10
0
a
x; D=(0;+)
Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x
0 0 + x
0 0 +
y
+
1

y
+ 1
Đồ thị
-1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
y=x
y=3
x
y=log3x
-1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
x
y
3
1
xy
3
1
log
y=x
III. Các công thức
1. Công thức lũy thừa:
Với a>0, b>0; m, nR ta có:
anam =an+m; mn
m
na
a
a
;( n
a
1=am ; a0=1; a1=
a
1);
(an)m =anm ; (ab)n=anbn; m
n
n
b
a
b
a
; n m
n
m
aa .
2. Công thức logarit: logab=cac=b (0<a1; b>0)
Với 0<a1, 0<b1; x, x1, x2>0;
R ta có:
loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga
2
1
x
x= logax1logax2;
Chuyên đề: Phương trình
Bất phương trình
hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com
2
xa x
a
log ; logax
=
logax;
xx a
alog
1
log
;(logaax=x); logax=a
x
b
b
log
log ;(logab=a
b
log
1)
logba.logax=logbx; alogbx=xlogba.
IV. Phương trình và bất phương trình mũlogarit
1. Phương trình mũlogarit
a. Phương trình mũ:
Đưa về cùng cơ số
+0<a1: af(x)=ag(x) (1) f(x)=g(x).
+ 0<a1: af(x)=b
bxf
b
a
log
0.
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) (a1)[f(x)g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số..
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2
3
), (7
4 3
),… Nếu trong một phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx}
ta có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) rồi đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x.
Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x) f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c1.
b. Phương trình logarit:
Đưa về cùng cơ số:
+logaf(x)=g(x)
xg
axf
a10 +logaf(x)= logag(x)
xgxf
xgxf
a
00
10
.
Đặt ẩn phụ.
2. Bất phương trình mũlogarit
a. Bất phương trình mũ:
af(x)>ag(x)
01
0
xgxfa
a; af(x)ag(x)
01
0
xgxfa
a.
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x) f(x)>g(x);
af(x)ag(x) f(x)g(x).
* Nếu 0<a<1 thì: af(x)>ag(x) f(x)g(x);
af(x)ag(x) f(x)g(x).
b. Bất phương trình logarit:
logaf(x)>logag(x)
01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
; logaf(x)logag(x)
01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
.
Đặt biệt:
+ Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x)
0xg
xgxf ;
+ Nếu 0<a<1 thì: logaf(x)>logag(x)
0xf
xgxf .
*
* *
Chuyên đề: Phương trình
Bất phương trình
hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com
3
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHBẤT PHƯƠNG TRÌNHHỆ
PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I. Biến đổi thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2 2 2
2 2
2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0
x x x x x x x x
.
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành
tích:
22
2 1 . 2 4 0
x x x
. Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1
x x x
.
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:
3 3 3
log 2log 2 1 1 .log 0
x x x
.
Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi
thành tích.
II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình:
9 2( 2)3 2 5 0
x x
x x
. Đặt t = 3x (*), khi đó ta có:
2
2 2 2 5 0 1, 5 2
t x t x t t x
. Thay vào (*) ta tìm được x.
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi là số chính phương.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
3 3
log 1 5 log 1 2 6 0
x x x x
. Đặt t = log3(x+1), ta có:
25 2 6 0 2, 3
t x t x t t x
x = 8 và x = 2.
III. Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá một
nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có
( )
f u f v u v
.
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều
nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì
bac ; :
a
b
aFbF
cF
'. Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì
; : ' 0 ' 0
c a b F c F x
có nghiệm thuộc (a;b).
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm
thuộc D.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2
log
2.3 3
x
x
.
Hướng dẫn: 2 2
log log
2.3 3 2.3 3
x x
x x
, vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương
trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
6 2 5 3
x x x x
. Phương trình tương đương
6 5 3 2
x x x x
, giả sử phương
trình có nghiêm
. Khi đó:
2356 .
Xét hàm số
tttf 1, với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại
2;5
c
sao cho:
1
' 1
0 1 0 0, 1
f c c c
, thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của
phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 2
1 2
2 2 ( 1)
x x x x
. Viết lại phương trình dưới dạng
2
1 2
2 1 2
x x x
x x x
, xét hàm số
ttf t 2 là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được
viết dưới dạng:
2 2
1 1 1
f x f x x x x x x
.
Chuyên đề: Phương trình
Bất phương trình
hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com
4
Ví dụ 4: Giải phương trình:
3 2 3 2
x x x
. Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh
không còn nghiệm nào khác.
Xét hàm số
2 2
3 2 3 2 '' 3 ln 3 2 ln 2 0
x x x x
f x x f x
Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra
phương trình không có quá hai nghiệm.
Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình 2
2
2007
1
2007
1
x
y
y
ey
x
ex
có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0.
HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số
2
2007
1
xx
f x e x
.
Nếu x < 1 thì
02007
1
exf suy ra hệ phương trình vô nghiệm.
Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 6: Cho 0
ba . Chứng minh rằng
1 1
2 2
2 2
b a
a b
a b
(ĐH Khối D2007)
HD: BĐT
1 1
ln 2 ln 2
1 1
2 2
ln 2 ln 2
2 2
a b
a b
a b
a b
b a a b
. Xét hàm số
1
ln 2
2
x
x
f x
x
với x > 0
Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với 0
ba ta có
bfaf )( (Đpcm).
IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất
phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.
1.Dạng 1: Khác cơ số:
Ví dụ: Giải phương trình 7 3
log log ( 2)
x x
. Đặt t = 7
log 7
t
x x
Khi đó phương trình trở thành:
3
7 1
log ( 7 2) 3 7 2 1 2.
3 3
t
t
t t t
t
.
2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
Ví dụ 1: Giải phương trình
42 2
5
6
log ( 2 2) 2log 2 3
x x x x
.
Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có
6 5
log 1 log
t t
.
Ví dụ 2: Giải phương trình
6
log
2 6
log 3 log
x
x x
. Đặt
6
log
t x
, phương trình tương đương
3
6 3 2 3 1
2
t
t t t t
.
3. Dạng 3:
logbx c
a x
( Điều kiện: b = a + c )
Ví dụ 1: Giải phương trình
7
log 3
4x
x
. Đặt
7
log 3 7 3
t
t x x
, phương trình tương
đương 4 1
4 7 3 3. 1
7 7
t t
t t
.
Ví dụ 2: Giải phương trình
42 5log3
x
x. Đặt t = x+4 phương trình tương đương
t
t
1log3
2
Ví dụ 3: Giải phương trình
3 3
log 1 log 1
4 1 2 0
x x
x x
.
4. Dạng 4:
log
ax b s
s c dx e x
, với ,d ac e bc
Phương pháp: Đặt
log ( )
s
ay b dx e
rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương
trình một ta được: ax b ay b
s acx s acy
. Xét
at b
f t s act
.
Chuyên đề: Phương trình
Bất phương trình
hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com
5
Ví dụ: Giải phương trình 17
7 6log (6 5) 1
xx
. Đặt
7
1 log 6 5
y x
. Khi đó chuyển thành hệ
111 1
1
7
7 6 1 1 7 6 5
7 6 7 6
1 log 6 5 7 6 5
xxx y
y
yy
x y
y x x
. Xét hàm số
1
7 6
t
f t t
suy ra x=y, Khi
đó: 1
7 6 5 0
xx
. Xét hàm số
567 1 xxg x Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2
nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2.
5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.
Ví dụ: Giải phương trình 1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x
HD: Viết phương trình dưới dạng 1 1 1 1
8 1 18
2 1 2 2 2 2 2
x x x x
, đặt 1 1
2 1, 2 1. , 0
x x
u v u v
.
Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ:
8 1 18
.
u v u v
u v u v
Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.
2 3 2 3 4 0
x x
b.
2 3 2 3 4
x x
c.
7 4 3 3 2 3 2 0
x x
d.
3
3 5 16 3 5 2
x x
x
e.
2 1 2 1 2 2 0
x x
(ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=1.
f. 3.8x+4.12x18x2.27x=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1.
g. 2 2 2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
(ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1.
k. 2 2
2
2 2 3
x x x x
(ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=1, x=2.
i.
3.16 2.8 5.32
x x x
j.
1 1 1
2.4 6 9
x x x
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
a. 3 2 3
4 128
5 1
x y
x y
b. 2
( ) 1
5 125
4 1
x y
x y
c.
2 2 12
5
x y
x y
d.
2 2
2 2
2 2
log 1 log
3 81
x xy y
x y xy
(ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (2;2)
e.
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y
(ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2).
f.
1 4
4
2 2
1
log log 1
25
y x
y
x y
(ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4)
g.
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
(ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4).