Chuyên đề Hình thoi

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng tham khảo Chuyên đề Hình thoi này sẽ giúp các bạn ôn tập lại kiến thức đã học, có cơ hội đánh giá lại năng lực của mình trước kỳ kiểm tra sắp tới. Chúc các bạn thành công.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Hình thoi

HÌNH THOI I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT * Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Nhận xét: Hình thoi cũng là một hình bình hành. * Tính chất: - Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành. - Trong hình thoi: + Hai đường chéo vuông góc vói nhau. + Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi. * Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi. - Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. - Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi. - Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh là hình thoi. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CB-NC Dạng 1. Chứng minh tứ giác là hình thoi Phương pháp: Sử dụng các dấu hiệu nhận biết + Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi. + Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. + Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi. + Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi. Bài 1. Cho tứ giác ABCD có AC = BD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác EFGH là hình thoi. 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh tứ giác AECF là hình thoi. Dạng 2. Vận dụng tính chất của hình thoi để chứng minh các tính chất hình học Phương pháp: Sử dụng tính chất và định nghĩa của hình thoi để giải toán + Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. + Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành. -- Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau. -- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. + Ngoài ra, trong hình thoi có: -- Hai đường chéo vuông góc với nhau. -- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi. Bài 3. Cho hình thoi ABCD có B = 60°. Kẻ AE  DC, AF  BC. a) Chứng minh AE = AF. b) Chứng minh tam giác AEF đều. c) Biết BD = 16 cm, tính chu vi tam giác AEF. Bài 4. Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm M, N, P, Q sao cho AM = CN = CP = AQ. Chứng minh: a) M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng; b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Dạng 3. Tìm điều kiện để tứ giác là hình thoi Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình thoi. Bài 5. Cho hình thang ABCD gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của hai đáy và hai đường chéo của hình thang. a) Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình bình hành. b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để tứ giác MPNQ là hình thoi? Bài 6. Cho tam giác ABC, qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB theo thứ tự ở E và F. a) Tứ giác AEDF là hình gì? 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
b) Điểm D ở vị trí nào trên BC thì AEDF là hình thoi? Dạng 4.Tổng hợp Bài 7. Cho tam giác ABC, phân giác AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E, qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh EF là phân giác của  AED. Bài 8. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. a) EFGH là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh AC, BD, EG, FH đồng qui. Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại P và đường thẳng song song với AB cắt AC tại Q. a) Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh PQ//BC. Bài 10. Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M v à N sao cho AM = DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F. a) Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua AB. b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân. Bài 11. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc  ABD và  ACE cắt nhau tại O, và lần lượt cắt AC, AB tại N, M. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H: Chứng minh rằng: a) BN  CM; b) Tứ giác MNFIK là hình thoi. 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
HƯỚNG DẪN Bài 1. Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh được: 1 1 EH  FG  BD và HG  EF  AC 2 2 Mà AC = BD  EH = HG = GF= FE nên EFGH là hình thoi. Bài 2.Chứng minh AECF là hình bình hành có 2đường chéo vuông góc với nhau có 4 cạnh bằng nhau. Bài 3.  nên AE = FA a) Do AC là phân giác của góc DBC  = 600 nên ABC và ADC là các tam giác đều  b) Có B   FAC EAC   300 . Vậy AFE cân và có FAE   600 nên FAE đều.   FAC c) EF là đường trung bình của EAC   300 DCB 1 Vậy FE  DB  8cm; 2 Chu vi FAE là 24cm Bài 4. a) Chứng minh được MBPD và BNDQ đều là hình bình hành  ĐPCM. b) Áp dụng định lý Talet đảo cho ABD và BAC tacos MQ//BD và MN//AC. Mà ABCD là hình thoi nên AC  BD  MQ  MN MNPQ là hình chữ nhật vì có các góc ở đỉnh là góc vuông Bài 5. a) Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác cho ABC và DBC ta sẽ có: 1 MQ//PN//BC và MQ = PN = BC MPNQ là hình bình hành. 2 1 b) Tương tự ta có QN//MP//AD và QN = MP = AD. 2 Nên để MPNQ là hình thoi thì MN  PQ khi đó MN  CD và trung trực hay trục đối xứng của AB và CD.  hình thang ABCD là hình thang cân. 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Bài 6. a) Học suinh tự chứng minh  suy ra AD là b) nếu AEDF là hình thoi thì AD là phân giác của FAE  phân giác của BAC Bài 7. Chứng minh tứ giác AEDF là hình thoi  EF là phân giác của  AED Bài 8. a) Áp dụng tính chất đường trung bình cho BAC và ADC ta có: 1 1 EF//HG; EF = HG = AC và HE//HG; HE = FG = BD. 2 2 Mà ABCD là hình chữ nhật nên AB = BD  EFGH là hình thoi. b) Gọi O = AC  BD  O là trung điểm của AC và BD. Chứng minh EBGD và BFDH là hình bình hành suy ra AC, BD,EG, FH đồng quy tại trung điểm mỗi đường (điểm O). Bài 9. a) Vận dụng đinh lý 1 về đường trung bình của tam giác suy ra APMQ là hình thoi do có 4 cạnh bằng nhau. b) Vì PQ  AM mà AM  BC (tính chất tamgiacs cân) nên PQ//BC. Bài 10. a) Do AM = DN  MADN là hình bình hành  D   MBC AMN  EMB  Ta có MPE = BPE nên EP = FP. Vậy MEBF là hình thoi và 2 điểm E, F đối xứng nhau qua AB. b) Tứ giác MEBF có MB  EF = P; Lại có P trung điểm BM, P là trung điểm EF, MB  EF.  MEBF là hình thoi.   BEN c) Để BNCE là hình thang cân thì CNE  Mà D CNE   MBC   EBM  nên MEB có 3 góc bằng nhau, suy ra điều kiện để BNCE là hình thang cân thì  ABC  600 Bài 11. a) Sử dụng tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 180 0. 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
  ABC  AEC   MCA  NBD    BND Trong DBN có: NBD   900 Gọi O = CM  BN  CM  BN = O (1) b) Xét CNK có: CO  KN  CO  BN, CO là phân giác  ACE nên CNK cân ở C  O là trung điểm KN (2). Tương tự chứng minh được là trung điểm MH (3). Từ (1),(2) và (3) suy ra MNHK là hình thoi. B.PHIẾU BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY Dạng 1: Nhận biết tứ giác là hình thoi Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , AB, AC . Chứng minh: tứ giác AEDF là hình thoi. Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A . Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là đường thẳng chứa cạnh BC , vẽ tia Bx / / AC và tia Cy / / AB . Gọi D là giao điểm của hai tia Bx và Cy . Chứng minh: : tứ giác ACDB là hình thoi. Bài 3 : Cho ABC cân tại B có đường cao BE . Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED  EB . Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi. Bài 4: Cho ABC cân tại B . Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia phân giác của  ABC tại D . Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi. Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có AD  AC . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AB , CD . Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi.  cắt BE , BC theo Bài 6 : Cho ABC nhọn , đường cao tại AD , BE . Tia phân giác của DAC  cắt AD , AC theo thứ tự ở M , N . Chứng minh: thứ tự ở I , K .Tia phân giác của EBC MINK là hình thoi. Dạng 2. Sử dụng tính chất hình thoi để tính toán, chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, các đường thẳng vuông góc.   90 . Kẻ BE  AD tại E , BF  DC tại F , DG  AB tại Bài 1. Cho hình thoi ABCD có B G , DH  BC tại H , BE cắt DG tại M , BF cắt DH tại N . Chứng minh các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của hình thoi ABCD . Bài 2. Cho ABC có AB  AC . Trên cạnh AC lấy D sao cho CD  AB . Gọi M , N lần lượt  cắt BC tại I . Chứng minh: AI  MN . là trung điểm của AC , BD . Phân giác của BAC 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có  A  90 và AD  2. AB . Kẻ CH  AB có  A  90 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , BC . Chứng minh: BAD  2.AHM 1 1 Bài 4. Cho hình thoi ABCD . Trên AB , CD lấy E , F sao cho AE  AB , CF  CD . Gọi 3 3 I là giao điểm của EF và DA , K là giao điểm của DE và BI . Chứng minh: a) BDI vuông. b) BK  IK . Bài 5. Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tại O .Lấy E đối xứng với A qua B . Gọi I , K lần lượt là giao điểm của DE với AC và BC ; G là giao điểm của OE và BC ; H là giao điểm của OK và CE . Chứng minh: A , G , H thẳng hàng. Bài 6. Cho hình thoi ABCD có AB  25 cm , AC  BD  70 cm . Tính AC , BD ? Bài 7. Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tạí O . Kẻ OH  AB Biết AB  4 cm , OH  1cm . Tính các góc của hình thoi? Dạng 3. Tìm điều kiện để tứ giác là hình thoi. Bài 1. Cho hình thang ABCD  AB / / CD  . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD , DA a) Chứng minh: MNPQ là hình bình hành. b) Hình thang ABCD thêm tính chất gì để MNPQ là hình thoi Bài 2. Cho ABC cân tại A, đường cao AD . M là một điểm bất kì trên cạnh BC . Từ M vẽ ME vuông góc với AB tại E , MF vuông góc AC tại F . Gọi I là trung điểm của AM . a) Chứng minh EID , DIF cân. b)  ABC cân thêm điều kiện gì để tứ giác DEIF là hình thoi? c) Với điều kiện của  ABC ở câu b, gọi H là trực tâm của  ABC . Chứng minh EF , ID , MH đồng quy. 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Dạng 1: Nhận biết tứ giác là hình thoi Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , AB, AC . Chứng minh: tứ giác AEDF là hình thoi. Giải A E F B D C Cách 1: Vì D , E là trung điểm của các cạnh BC , AB  DE là đường trung bình của ABC 1  DE  AC (1) 2 Vì D , F là trung điểm của các cạnh BC , AC  DF là đường trung bình của ABC 1  DF  AB (2) 2 1 1 Vì E , F là trung điểm của các cạnh AB, AC  AE  AB, AF  AC (3) 2 2 Tam giác ABC cân tại A  AB  AC (4) Từ (1), (2), (3), (4)  AE  ED  DF  FA . Tứ giác AEDF có AE  ED  DF  FA  AEDF là hình thoi. Cách 2: Vì D , F là trung điểm của các cạnh BC , AC  DF là đường trung bình của ABC 1  DF / / AB và DF  AB 2 Mà AB  AE và A, E, B thẳng hàng  DF / / AE Tứ giác AEDF có   EADF là hình bình hành.  DF  AE  1 1  Hình bình hành AEDF có AE  AF   AB  AC   AEDF là hình thoi.  2 2  Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A . Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là đường thẳng chứa cạnh BC , vẽ tia Bx / / AC và tia Cy / / AB . Gọi D là giao điểm của hai tia Bx và Cy . Chứng minh: : tứ giác ACDB là hình thoi. Giải 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
A B C D Cy / / AB CD / / AB Vì    Bx / / AC  BD / / AC CD / / AB Tứ giác ACDB có   ACDB là hình bình hành.  BD / / AC Hình bình hành ACDB có AB  AC (tam giác ABC cân tại A )  AEDF là hình thoi. Bài 3 : Cho ABC cân tại B có đường cao BE . Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED  EB . Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi. Giải B A E C D Vì ABC cân tại B có đường cao BE  BE là đường trung tuyến  EA  EC (1) Ta có : EB  ED ( gt ) (2) Từ (1) và (2)  ABCD là hình bình hành. Vì BE là đường cao của ABC  BE  AC Hình bình hành ABCD có BE  AC  ABCD là hình thoi. Bài 4: Cho ABC cân tại B . Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia phân giác của  ABC tại D . Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi. Giải 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
B A C D Vì CD / / AB    (so le trong) ABD  BDC (1) Vì BD là phân giác của  ABC    (2) ABD  DBC   DBC Từ (1) và (2)  BDC   BCD cân tại D  CB  CD (3) Vì ABC cân tại B  CB  AB (4) Từ (3) và (4)  AB  CD .  AB  CD Tứ giác ABCD có   ABCD là hình bình hành.  AB / / CD Cách 1: Hình bình hành ABCD có DB là phân giác của  ABC  ABCD là hình thoi. Cách 2: Hình bình hành ABCD có CB  AB  ABCD là hình thoi. Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có AD  AC . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AB , CD . Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi. Giải A M B D N C  AB / / CD Vì ABCD là hình bình hành    AD / / BC 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
 AM  CN Tứ giác AMCN có   AMCN là hình bình hành (1)  AM / / CN  AM  DN Tứ giác AMND có   AMND là hình bình hành  AM / / DN  AD / / MN , mà AD  AC  MN  AC (2) Từ (1) và (2)  AMCN là hình thoi.  cắt BE , BC theo Bài 6 : Cho ABC nhọn , đường cao tại AD , BE . Tia phân giác của DAC  cắt AD , AC theo thứ tự ở M , N . Chứng minh: thứ tự ở I , K .Tia phân giác của EBC MINK là hình thoi. Giải Gọi O là giao điểm của AK và BN .   CAD  ( vì cùng phụ với  1 1 Ta có CBE ACB )  CBE  CAD 2 2   DAO  CAO   CBO   EBO    DBA Ta có ABD vuông tại D nên DAB   900   IBA  DAB   IBO   OBD   900   IBA  DAB   IBO   OAD   900 (1)    900 ABO  OAB Suy ra ABO vuông tại O  AK  BN tại O . AMN có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên AMN cân tại A  IM  IN Do đó AO là đường trung trực của đoạn thẳng MN   (2)  KM  KN và O là trung điểm của MN (3) BIK có BO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên BIK cân tại B Do đó BO là đường trung trực của đoạn thẳng IK  IM  KM (4) và O là trung điểm của IK (5) Từ (2) và (4) suy ra tứ giác MINK có IM  KM  KN  IN 11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Do đó tứ giác MINK là hình thoi. Dạng 2. Sử dụng tính chất hình thoi để tính toán, chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, các đường thẳng vuông góc.   90 . Kẻ BE  AD tại E , BF  DC tại F , DG  AB tại Bài 1. Cho hình thoi ABCD có B G , DH  BC tại H , BE cắt DG tại M , BF cắt DH tại N . Chứng minh các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của hình thoi ABCD . Giải B G H M N A C E F D Ta có: AB / / CD (vì ABCD là hình thoi) mà BF  CD  BF  AB   ABF  90   90    MBN ABE A  90   Mà  ABE (vì ABE vuông tại E )   A  MBN  DG  AB Ta có:   BF / / DG hay BN / / DM  BF  AB  DH  AD Chứng minh tương tự, ta có:   BE / / DH hay BM / / DN  BE  AD  Tứ giác BMDN là hình bình hành   MDN  MBN   A Ta có:    180  B A B   180   A  180  MBN  (hai góc trong cùng phía)   180  BND   BND MBN   180  MBN    BMD BND B  12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Vậy các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của tứ giác ABCD Bài 2. Cho ABC có AB  AC . Trên cạnh AC lấy D sao cho CD  AB . Gọi M , N lần lượt  cắt BC tại I . Chứng minh: AI  MN . là trung điểm của AC , BD . Phân giác của BAC Giải A Q D M N B I P C Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của BC , AD . ABD : N , Q là trung điểm của BD , AD  NQ là đường trung bình của ABD  NQ / / AB   1 (1)  NQ  2 AB ABC : M , P là trung điểm của AC , BC  MP là đường trung bình của ABC  MP / / AB   1 (2)  MP  2 AB Từ (1), (2)  MQNP là hình bình hành. BCD : N , P là trung điểm của BD , BC  NP là đường trung bình của ABC 1  NP  .CD 2 Vì CD  AB  NP  NQ . Hình bình hành MQNP có NP  NQ  MQNP là hình thoi   PQ  MN và QP là phân giác của NQM QP là phân giác của NQM   1 NQM   NQP  (3) 2 Ta có: AI là phân giác của BAC   1 BAC   BAI  (4) 2 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
  BAC Vì NQ / / AB  NQM  (5)   NQP Từ (3), (4), (5)  BAI  (hai góc ở vị trí đồng vị)  AI / / PQ , mà PQ  MN  AI  MN Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có  A  90 và AD  2. AB . Kẻ CH  AB có  A  90 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , BC . Chứng minh: BAD  2.AHM Giải A M D N B C E 1 1 Vì ABCD là hình bình hành  AD  BC , AB  CD  AD  BC 2 2 1 1 Vì M , N là trung điểm của AD , BC  MD  NC  AD  BC . 2 2   1   DM  CN   AB  Tứ giác DMNC có   2   DMNC là hình bình hành  DM / / CN   1  Hình bình hành DMNC có CD  DM   AD   DMNC là hình thoi.  2  Gọi F là giao điểm của MN và CE . DMNC là hình thoi  MN / / CD .  MA  MD Hình thang ADCE  AE / / DC  có   FC  FE  MN / / CD  MF / / AE Ta có:   MF  CE  AE  CE MEC có MF là đường cao và là đường trung tuyến  MEC cân tại M 14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
  EMF  MF là đường phân giác của EMC   CMF  (1)   CMD   CMF DMNC là hình thoi  MC là phân giác của NMD  (2)   CMF Từ (1) và (2)  EMF   1 NMD   CMD  (3) 2 Ta có:   (vì AB / / MN ) AEM  EMF (4)   NMD Ta có: BAD  (hai góc đồng vị) (5)   2. Từ (3), (4), (5)  BAD AHM 1 1 Bài 4. Cho hình thoi ABCD . Trên AB , CD lấy E , F sao cho AE  AB , CF  CD . Gọi 3 3 I là giao điểm của EF và DA , K là giao điểm của DE và BI . Chứng minh: c) BDI vuông. d) BK  IK . Giải K B I M E A C F D a) Gọi M là trung điểm của BE  BM  CF .(1) Vì ABCD là hình thoi  AB / / CD  BM / / CF (2)  BC  MF Từ (1) và (2)  BMFC là hình bình hành    MF / / AD  BC / / MF AIE  MQE ( gcg )  AI  MF , EI  EF  AI  AD   BC  BID có: AI  AD  AB  BID vuông tại B . 2 b) BID : BA là đường trung tuyến và BE  BA  E là trọng tâm của BID 3 15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
 BE là đường trung tuyến  K là trung điểm BI  BK  IK . Bài 5. Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tại O .Lấy E đối xứng với A qua B . Gọi I , K lần lượt là giao điểm của DE với AC và BC ; G là giao điểm của OE và BC ; H là giao điểm của OK và CE . Chứng minh: A , G , H thẳng hàng. Giải E B H G K A C O I D  AB  CD Vì ABCD là hình thoi   AB / / CD Vì E đối xứng với A qua B  AB  BE  BE  CD   BDCE là hình bình hành  KB  KC  BE / / CD OA  OC ACE :   OK là đường trung bình của ACE  KB  KC  OK / / AB hay OH / / AE OA  OC ACE :   HE  HC  H là trung điểm CE OH / / AE ACE có EO , CB là các đường trung tuyến  G là trọng tâm ACE Mà H là trung điểm CE  A , G , H thẳng hàng. Bài 6. Cho hình thoi ABCD có AB  25 cm , AC  BD  70 cm . Tính AC , BD ? Giải 16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
B 25 A C O D Gọi O là giao điểm của AC và BD . Giả sử AC  BD . Đặt OA  x , OB  y  x  y  OA OB 70 Ta có: x  y     35 (1) 2 2 2 OAB vuông tại A  AB 2  OA2  OB 2  x 2  y 2  252  625 (2) Từ (1)  x  y   352  x 2  2 xy  y 2  352  1225 2 (3) Từ (2) và (3) 2 xy  1225  625  600 Mà  x  y   x 2  y 2  2 xy  625  600  25 2 x y 5  x  y  35 Ta có:   x  20, y  15 x  y  5 Vậy AC  2.OA  2 x  2.20  40 cm BD  2.OB  2Y  2.15  30 cm Bài 7. Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tạí O . Kẻ OH  AB . Biết AB  4 cm , OH  1cm . Tính các góc của hình thoi? Giải H B M A C O D Gọi M là trung điểm của AB 17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
1 OAB vuông tại A có M là trung điểm của AB  OM  AB  2cm . 2 1   30 Vì OH  1cm  OM  OMH là một nửa tam giác đều  OMH 2 Vì M là trung điểm của AB  MA  MO  MB  MOA cân tại M    2.MAO  OMH   OMH  30  15   MAO 2 2   2.MAO Ta có: BAD   2.15  30   BAD ABCD là hình thoi  BCD   30   ABC   ADC  150 Dạng 3. Tìm điều kiện để tứ giác là hình thoi. Bài 1. Cho hình thang ABCD  AB / / CD  . Gọi M , N , P , Q ,lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD , DA , c) Chứng minh: MNPQ là hình bình hành. d) Hình thang ABCD thêm tính chất gì để MNPQ là hình thoi Giải A M B Q N D C P a) Vì M , N là trung điểm của AB , BC  MN là đường trung bình của ABC  MN / / AC   1 (1)  MN  2 AC Vì P , Q là trung điểm của CD , DA  PQ là đường trung bình của ADC  PQ / / AC   1 (2)  PQ  2 AC Từ (1) và (2)  MNPQ là hình bình hành.. 18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
1 b) Để MNPQ là hình thoi  MN  NP  AC (3) 2 Vì P , N là trung điểm của CD , BC  NP là đường trung bình của BDC 1  NP  BD (4) 2 Từ (3), (4)  AC  BD Hình thang ABCD có AC  BD  ABCD là hình thang cân Bài 2. Cho ABC cân tại A, đường cao AD . M là một điểm bất kì trên cạnh BC . Từ M vẽ ME vuông góc với AB tại E , MF vuông góc AC tại F . Gọi I là trung điểm của AM . d) Chứng minh EID , DIF cân. e)  ABC cân thêm điều kiện gì để tứ giác DEIF là hình thoi? f) Với điều kiện của  ABC ở câu b, gọi H là trực tâm của  ABC . Chứng minh EF , ID , MH đồng quy. Giải A K I F H E O B D C M a) AEM vuông tại E , I là trung điểm của AM 1 Do đó EI  AM 2 1 1 Tương tự ta có FI  AM , DI  AM 2 2 Do đó EI  DI  FI  EID , DIF cân tại I b) DEIF là hình thoi  EI  ED  DF  FI  EID , DIF là các tam giác đều.   120  EIF .   2.EAM Mà EIA cân tại I  EIM  19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
  2.FAM Mà FIA cân tại I  FIM   FAM   1 FIM   EAM 2   EIM    1 EIF 2   60    60  BAC   60 Do đó để DEIF là hình thoi thì ABC cân tại A cần thêm điều kiện BAC . c) Gọi O là giao điểm của EF và DI  OE  OF Gọi K là trung điểm của AH   60   ABC đều  ABC cân tại A có BAC 1  H là trọng tâm ABC c OH  HA  KH 2 Ta có IK và OH lần lượt là đường trung bình của AMH và AID  IK / / MH , OH / / IK H , M , O thẳng hàng. Do đó EF , ID , MH đồng quy tại O . C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CB-NC Dạng 1: Chứng minh một tứ giác là hình thoi Bài 1. Cho hình bình hành ABCD . Vẽ AE  BC tại E , DF  AB tại F . Biết AE  DF . Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thoi. Bài 2. Cho tam giác ABC có AC  2 AB , đường trung tuyến BM . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến tia phân giác của góc A . Chứng minh rằng ABHM là hình thoi. Bài 3. Cho hình thang cân ABCD  AB // CD, AB  CD  . Gọi E , F , G , H lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD , DA . 1) Chứng minh: EF  GH ; EH  GF . 2) Chứng minh: tứ giác EFGH là hình thoi. BC 3) Gọi M , N lần lượt là trung điểm BD , AC . Chứng minh: EN  MG  . 2 4) Tứ giác ENGM là hình gì? Vì sao? Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A , hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H . Đường thẳng AH cắt EF tại D , cắt BC tại G . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của G trên AB và AC . Chứng minh rằng tứ giác DNGM là hình thoi. Bài 5. Cho hình bình hành ABCD .Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM  DN . Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F . 20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com