zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Chuyên đề lượng giác: Hướng dẫn giải phương trình lượng giác cơ bản và đơn giản (Lớp 11)

Chia sẻ: Trần Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:73

Báo xấu

301
lượt xem 45
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề lượng giác "Hướng dẫn giải phương trình lượng giác cơ bản và đơn giản" lớp 11 cung cấp cho các bạn phần kiến thức, những câu hỏi bài tập có hướng dẫn lời giải về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác,... Mời các bạn cùng tham khảo để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và ôn thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề lượng giác: Hướng dẫn giải phương trình lượng giác cơ bản và đơn giản (Lớp 11)

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài 1. Giải các phương trình sau :  x x 2 a.  sin  cos   3cosx=2 b. 1  2sin x  cosx  3  2 2  1  2sin x 1  s inx  c. sinx+cosxsin2x+ 3cos3x=2  cos4x+sin3 x  d. 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 Giải 2  x x 1 3 1 a.  sin  cos   3cosx=2  1+sinx+ 3cosx=2  sinx+ cosx=  2 2 2 2 2       x    k 2  x    k 2     sin  x    sin   3 6  6 k  Z   3  6  x   5    k 2 x   k 2  3 6  2    x   6  k 2  1  1  2sin x  cosx s inx  -  3 . Điều kiện :   7  k 2 b. 2  x  1  2sin x 1  s inx  s inx  1  6    x  2  k 2  Khi đó : 1  2sin x  cosx  3  cosx-sin2x=1-sinx+2sinx-2sin 2 x 1  2sin x 1  s inx       cosx-sinx=sin2x+cos2x  2cos  2x-   2cos  x    4  4       2 x  4  x  4  k 2  x  2  k 2 2   xk k  Z   2 x     x    k 2  x  k 2 3  4 4  3 c. s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2  cos4x+sin 3 x   s inx+ sin3x+sinx 3sinx-sin3x  3cos3x=2cos4x+ 2 2  3s inx  sin 3x  2 3cos3x=4cos4x+3sinx-sin3x 1 3  2sin 3x  2 3cos3x=4cos4x  sin 3x  cos3x=cos4x 2 2      4 x  3x   k 2  x   k 2    cos4x=cos  3x+    6  6 k  Z   6  4 x  3x    k 2  x     k 2  6  42 7 d. 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0  3cos5x-  sin5x+sinx   s inx=0 3 1  3cos5x-sin5x=2sinx  cos5x- sin 5 x  sinx 2 2 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 1
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012      k  5 x    x  k 2  x  18  3      cos  5x+   s inx=cos   x    6 2  k  Z   6 2  5 x    x    k 2  x     k  6 2  6 2 Bài 2. Giải các phương trình sau : a. 4  sin 4 x  cos4 x   3 sin 4 x  2 b. 2 2  s inx+cosx  cosx=3+cos2x c. cos 2 x  3 sin 2 x  2  s inx+cosx  d. sin 4 x  cos 4 x  2 3 s inxcosx+1 Giải a. 4  sin 4 x  cos4 x   3 sin 4 x  2  4 1  sin 2 2 x   3 sin 4 x  2 1  2   3  1  2sin 2 2 x   3 sin 4 x  2  cos4x+ 3 sin 4 x  1 1 3 1   1 2  cos4x+ sin 4 x    cos  4x-     cos 2 2 2  3 2 3   2   k  4 x  3  3  k 2 x  4  2   k  Z   4 x     2  k 2  x     k  3 3  12 2 b. 2 2  s inx+cosx  cosx=3+cos2x  2 sin 2 x  2 2cos 2 x  3  cos2x  2 sin 2 x  2 1  cos2x   3  cos2x  2 sin 2 x   2 1 cos2x=3- 2  2 1  5  2 2,   2 2 Ta có : a 2  b2  2  c2  3  2  11  6 2 . Do đó : 11 6 2   5  2 2   6  4 2  36  32  0  c2  a2  b2 . Phương trình vô nghiệm .   c. cos 2 x  3 sin 2 x  2  sinx+cosx   cos2x- 3 sin 2 x  2sin  x   4   1 3        cos2x- sin 2 x  sin  x    sin  2 x    sin  x   2 2  4  6  4     5  2 x  6  x  4  k 2  x  12  k 2   k  Z   2 x    3  x  k 2  x  11  k 2  6 4  36 3 d. sin x  cos x  2 3 s inxcosx+1  cos2x+ 3 sin 2 x  1 4 4 1 3    2  cos2x+ sin 2 x  1  cos  2x-   cos  2 x     k 2  x   k 2 2  3 3 3 Bài 3. Giải các phương trình sau :      2   4  a. 4sin x sin   x  sin   x   4 3cosx cos  x   cos  x    2 3  3   3   3  3 b. 2sin 4 x  16sin 3 x.cosx  3cos 2 x  5 c. 1  sin 4 x  cos 6 x  sin 6 x 8 Giải      2   4  a. 4sin x sin   x  sin   x   4 3cosx.cos  x   cos  x    2 3  3   3  3   Trang 2 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012  2    2    2sin x  cos2x-cos   2 3cosx cos  2 x  2   cos    2  3    3  1 1  2sin xcos2x+2sinx.  2 3cosx.cos2x-2 3cosx.  2 2 2  sin 3 x  s inx+sinx  3  cos3x+cosx  - 3cosx  2 1 3 2     sin 3x  3cos3x= 2  sin 3x  cos3x=  cos  3x-   cos 2 2 2  6 4   k 2  x  36  3  k  Z   x     k 2  36 3 b. 2sin 4 x  16sin 3 x.cosx  3cos 2 x  5 Ta có : 16sin 3 xcosx  4cos x  3sin x  sin 3x   6sin 2 x  2.2sin 3x.cosx =6sin2x-2  sin4x+sin2x   4sin 2 x  2sin 4 x Cho nên (1) : 2sin 4x  4sin 2x  2sin 4x+3cos2x=5  4sin2x.+3cos2x=5 4 3   sin 2 x  cos2x=1  cos  2x-   1  2 x    k 2  x   k  k  Z  5 5 2 3 4 Và : cos = ;sin   5 5 3 c. 1  sin 4 x  cos 6 x  sin 6 x 8 3 3  1  cos4x  5 3 Do : sin 6 x  cos6 x  1  sin 2 2 x  1      cos4x 4 4 2  8 8 3 5 3   Cho nên (c) trở thành : 1  sin 4 x   cos4x  cos4x-sin4x=1  2cos  4x+   1 8 8 8  4     k  4x+   k 2  x   2   cos  4x+    cos   4 4  2 k  Z   4 2 4    4x+    k 2 x    k   4 4  8 2 Bài 4. Giải các phương trình sau : a. sin 8 x  cos6x= 3  sin 6 x  cos8x  b. cos7x-sin5x= 3  cos5x-sin7x  c. 3sin 3x  3cos9x=1+4sin 3 3x d. 3cos5x+sin5x-2cos2x=0 Giải a. sin 8 x  cos6x= 3  sin 6 x  cos8x   sin 8 x  3cos8x= 3 sin 6 x  cos6x Chia hai vế ơhw[ng trình cho 2 ta có : 1 3 3 1      sin 8x  cos8x= sin 6 x  cos6x  sin  8x-   sin  6 x   2 2 2 2  3  6        8 x  3  6 x  6  k 2  2 x  2  k 2  x  4  k    k  Z  8 x    6 x  5  k 2 14 x  7  k 2  x    k  3 6  6  12 7 b. cos7x-sin5x= 3  cos5x-sin7x   cos7x+ 3 sin 7 x  3cos5x+sin5x Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 3
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012 Chia hai vế phương trình cho 2 ta có kết quả : 1 3 3 1      cos7x+ sin 7 x  cos5x+ sin5x  cos  7x+   cos  5x-  2 2 2 2  3  6        7 x  3  5 x  6  k 2  2 x   2  k 2  x   4  k    k  Z  7 x    5 x    k 2 12 x     k 2  x     k  3 6  6  72 6 c. 3sin 3x  3cos9x=1+4sin 3x 3 Từ công thức nhân ba : sin 9 x  3sin 3 x  4sin 3 3 x cho nên phương trình (c) viết lại : 1 3 1 3sin 3x  4sin 3 3x  3cos9x=1  sin 9 x  3cos9x=1  sin 9 x  cos9x= 2 2 2      k 2  9x-  k 2  x    1   cos  9x-  =  cos   6 3  18 9 k  Z   6  2 3  9x-    k 2  x    k 2   6 3  27 9 3 1   d. 3cos5x+sin5x-2cos2x=0  cos5x+ sin5x=cos2x  cos  5x-   cos2x 2 2  6      k 2 5 x  6    k 2  x   3  30 5 k  Z  5 x      k 2   k 2 x   6 3  10 5 II. PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1. Giải các phương trình sau :  cos3x+sin3x  a. 5  sinx+   3  cos2x b. cos 2 3x.cos2x-cos 2 x  0  1  2sin 2 x      3 c. cos4 x  sin 4 x  cos  x-  .sin  3x     0 d. 4.s inxcosx+3sin 2 x  6sin x  4  4 2 Giải  cos3x+sin3x  1 a. 5  sinx+   3  cos2x . Điều kiện : sin 2 x   2 (*)  1  2sin 2 x  Phương trình (a) trở thành :  sinx+2sinx.sin2x+cos3x+sin3x   sinx+cosx-cos3x+cos3x+sin3x   5   3  cos2x  5    3  cos2x  1  2sin 2 x   1  2sin 2 x  s inx+cosx+sin3x  s inx+sin3x   cosx 2sin 2 x.cosx+cosx c osx 1+2sin2x   cosx     1  2sin 2 x 1  2sin 2 x 1  2sin 2 x 1  2sin 2 x  1  cosx= Cho nên (a)  5cos x  2  2 cos 2 x  2 cos 2 x  5cos x  2  0  2  cosx=2>1    x   k 2 1 3 Vậy : cos x    . Kiểm tra điều kiện : 2   x    k 2  2 Trang 4 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012 2  - 2sin   4k   1  2.  1  2  0 . Cho nên nghiệm phương trình là x   k 2 1  3  2 3 2 - 2sin    4k   1  2.     1  0 Vi phạm điều kiện , cho nên loại . 1  3   2  Tóm lại phương trình có một họ nghiệm : x   k 2 3 1+cos2x b. cos 2 3 x.cos2x-cos 2 x  0  cos 2 3 x.cos2x- 0 2  2cos2 3x.cos2x- 1+cos2x   0  cos2x 1+cos6x   1  cos2x=0  cos6x.cos2x=1 cos4x=1  cos8x+cos4x=2  2 cos 4 x  cos4x-3=0   2 cos4x=- 3  1  2 k Do đó : cos 4 x  1  4 x  k 2  x  k  Z  2 c.     3 1 1    3 cos4 x  sin 4 x  cos  x-  .sin  3x     0  1  sin 2 2 x  sin  4 x    sin 2 x    0  4  4 2 2 2  2  2  1  sin 2 2 x   cos4x  sin 2 x    0  2  sin 2 2 x    1  2sin 2 2 x   sin 2 x   3  0 1 1 3 2 2 2 sin2x=1    sin 2 2 x  sin 2x-2=0    sin 2 x  1  2 x   k 2  x   k  k  Z  sin2x=-2
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012   1  cos  x-  2 1  s inx  1  cos x  1  cosx 2  2  sin x 1  cosx   0  0 2 cos 2 x 2 2 1  sin 2 x  2  1  cosx  1  cosx   1  cosx  0  1  cosx  1  cosx   1  0   2 1  sin x  2 2  1  s inx    x    k 2 1  cosx   cosx-sinx   cosx=-1 cosx=-1   0    k  Z  2  1  s inx   sinx+cosx=  t anx  1  x    k  4   sinx  0 sinx  0  c. tan   x   2 tan  2 x    2 . Điều kiện :    x  k k  Z  2   2 sin 2 x  0 cosx  0 2 cosx 2cos2x 2 cos 2 x  cos2x Phương trình (c)  cot x  2 cot 2 x  2   2 2 sinx sin 2 x s inx.cosx   2 cos 2 x  cos2x  sin 2 x  1  cos2x   cos2x=sin2x  sin2x=1  x=  k  k  Z  4 Nghiệm này thỏa mãn điều kiện .  d. 5.s inx-2=3 1-sinx  .tan 2 x . Điều kiện : cos x  0  x   k  k  Z  2 sin 2 x 3 1  sinx  sin x 3sin 2 x 2 3sin 2 x d  5.sinx-2=3 1-sinx  . 2    5.sinx-2= cos x 1  sin 2 x 1  sinx 1  sinx  1  s inx=-   5.s inx-2 1  s inx  =3sin x  2sin x  3sin x  2  0  2 2 2  s inx=2>1   1  x   6  k 2 Vậy phương trình có nghiệm : sin x      k  Z  ( Thỏa mãn diều kiện ) 2  x  7  k 2  6 Bài 3. Giải các phương trình sau : a. 2sin 3 x  1  2 cos 3 x  1 b.   cosx 2sinx+3 2  2cos 2 x  1 1 s inx cosx 1  sin 2 x x x x 3x 1 c. cos x.cos .cos  s inx.sin .sin  d. 4cos3 x  3 2 sin 2 x  8cos x 2 2 2 2 2 Giải 1 1 sinx  0  a. 2sin 3 x   2 cos 3 x  . Điều kiện :   x  k k  Z  s inx cosx cosx  0 2 1 1 2sin 3 x.s inx-1 2 cos 3 x.cosx  1 Khi đó : 2sin 3 x   2 cos 3 x    s inx cosx s inx cosx cos2x-cos4x-1 cos4x+cos2x  1 cos2x-2cos 2 x cos2x+2cos 2 2 x 2     s inx cosx s inx cosx 1-2cos2 x 1+2cos2 x  cosx-sinx-2cos2x  cosx-sinx   cos2x     0  cos2x 0  s inx cosx  sinx.cosx Trang 6 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012   k  x  4  2   k cos2x=0  x   1-2cos2x      cos2x  cosx-sinx    4 2 k  Z    0   tanx=1   x   k     sinx.cosx   4  x    k 1    cos2x=  x    k 6  2  6 Các họ nghiệm này thỏa mãn điều kiện . b.   cosx 2sinx+3 2  2cos 2 x  1  1 . Điều kiện : sin 2 x  1  x    k  k  Z  (*) 1  sin 2 x 4 Khi đó :   cosx 2sinx+3 2  2cos 2 x  1  1  sin 2 x+3 2cosx  2cos 2 x  1  1  sin 2 x 1  sin 2 x  2 cosx= 2   2cos x  3 2cosx  2  0   2 2  cosx=  x    k 2 2 4 cosx= 2  1  Nhưng do điều kiện (*) Ta chỉ có nghiệm : x    k 2 , thỏa mãn .Đó cũng là nghiệm 4 x 3x x 3x 1 c. cos x.cos .cos  s inx.sin .sin   cosx  cos2x+cosx   s inx  cosx-cos2x   1 2 2 2 2 2  cos2x  cosx+sinx   cos x  sin xcosx  1  cos2x  cosx+sinx   sinxcosx-sin 2 x  0 2  cos2x  cosx+sinx   sinx  cosx+sinx   0   cosx+sinx  cos2x-sinx   0    x   4  k  t anx=-1   cosx+sinx   0   k 2       x   k  Z   cos2x-sinx   0 cos2x=sinx=cos   x   6 3  2    x     k 2  2  d. 4cos3 x  3 2 sin 2 x  8cos x  2cos x 2cos2 x  3 2 sinx-4  0 .  cosx=0  2cos x  0  cosx=0  sinx= 2    2 1  sin x   3 2 s inx-4=0  2sin x  3 2 s inx+2=0  2 2 2  s inx= 2  1    x  2  k cosx=0    Do đó Phương trình có nghiệm :   x   k 2  k  Z  sinx= 2  4    x  3  k 2 2  4 Bài 4. Giải các phương trình sau :     a. cos  2 x    cos  2x-   4sin x  2  2 1  sinx   4  4 4sin 2 2 x  6sin 2 x  9  3cos 2 x  b. 3cot 2 x  2 2 sin 2 x  2  3 2 cosx  c. cosx 0 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 7
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012 1 2 d. Cho : f ( x)  s inx+ sin 3 x  sin 5 x . Hãy giải phương trình : f'(x)=0. 3 5 Giải a.      cos  2 x    cos  2x-   4sin x  2  2 1  s inx   4  4   2cos 2 x.cos  4sin x  2  2 1  s inx  2  x    k 2    sin x 4  2  2  2  s inx= 2+ 2 4 2  sin     x      k 2 k  Z    b. 3cot 2 x  2 2 sin 2 x  2  3 2 cosx . Điều kiện : sin x  0  x  k Chia hai vế phương trình cho : sin 2 x  0 . Khi đó phương trình có dạng : 2    cosx   3cot 2 x  2 2 sin 2 x  2  3 2 cosx  3  2   2 2  2  3 2  2   sin x     cosx   sin x  t  2 cosx sin x 2   Đặt : t  2  3t  2  3 2 t  2 2  0   2 t   3 cosx=- 2  1   2  2 cosx= 2 sin 2 x cosx=  2    cosx=  2cos x cosx- 2 0 2   2  cosx= 2 sin 2 x  2 cos x  3cos x  2  0 2  1  cosx= 1 cosx= 3    2 2  cosx=-2
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012 1 2 d. Cho : f ( x)  s inx+ sin 3 x  sin 5 x . Hãy giải phương trình : f'(x)=0. 3 5 Ta có : f '  x   cosx+cos3x+2cos5x=0   cos5x+cosx    coss5x+cos3x   0 t  cosx; t  1   2 cos 3xcos2x  2 cos 4 x cos x  0   3  4t  3t  2t  1  t  2  2t  1  1  0 2  2 2  t  0 cosx  0  t  cosx; t  1 t  cosx; t  1  5   2 9  17    16t  18t  4t  0 3  4  2    t   2 cos 2 x  9  17    2 t 8t 9t 2 0   16 8 cosx  0 cosx  0    cos2x  9  17  1 cos2x  9  17  1  1  17  8  8 8  - Trường hợp : cosx=0  x   k 2  1- 17   cos2x=  cos  x=  +k  2x=   +k2 - Trường hợp :   8   2 k  Z   1+ 17  2x=    k 2  x=    k cos2x=  cos   2 2 Bài 5. Giải các phương trình sau : 5x x a. sin  5cos 2 x.sin b. sin 2 x  cot x  tan 2 x   4cos2 x 2 2  d. tan 3  x    t anx-1 6x x c. 2 cos 2  1  3cos 5 5  4  Giải 5x x a. sin  5cos 2 x.sin 2 2 x Đặt : t   x  2t . Khi đó phương trình trở thành : sin 5t  5cos 2 2t sin t (2) 2 Nhan hai vế với 2cost ta được :  2sin 5t.cost=5cos 2 2t.2cost.sint  sin6t+sin4t=5cos 2 2t.sin 2t 5 5  sin6t+sin4t= cos2t.2 cos 2t sin 2t  sin 4t.cos2t 2 2  3sin 2t  4sin 2t  2sin 2t.cos2t- 5cos 2 2t.sin2t=0 3   sin 2t  3  4sin 2 2t  2.cos2t- 5cos2 2t  =0  sin 2t 3  4 1  cos 2 2t   2.cos2t- 5cos2 2t =0  sin2t=0 2t  k 2  sin 2t 1  2.cos2t+cos 2 2t  =0     x  2k cos2t=1 2t  k 2 b. sin 2 x  cot x  tan 2 x   4cos2 x sin t  0 Điều kiện :  . Khi đó phương trình trở thành : cos2t  0  cosx sin 2 x   cos xcos2x+sin2x.sinx   sin 2 x     4cos x  sin 2 x  2   4cos x 2  sinx cos2x   sinxcos2x   cosx  2  1   2sin x.cosx    4cos x  2cos x  2  2  0  sinxcos2x   cos2x  Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 9
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012    2cos 2 x=0  x  2  k    k  Z  Các nghiệm thỏa mãn điều kiện . cos2x= 1    2 x    k  6 6x x x c. 2 cos 2  1  3cos . Đặt : t   x  5t . Khi đó phương trình có dạng : 5 5 5  2 cos 6t  1  3cos t  2  cos12t=3cost  3cost-cos12t=2 2 t  k 2 cost=1 t  k 2  Chỉ xảy ra khi :     l . Nếu phương trình có nghiệm thì tồn cos12t=1 12t  l 2 t  6 l tại k,l thuộc Z sao cho hệ có nghiệm chung . Có nghĩa là : k 2   k , l  Z   6 l 12k k 2   k , l  Z   12k  l  x   2k 6 6  d. tan 3  x    t anx-1  4    cos x- 0 Điều kiện :   4  * . Khi đó phương trình trở thành : cosx  0   tan x  tan  4  t anx-1  tanx-1   t anx-1  0   tanx-1  1  1  0   t anx=1     tanx=0 1  t anx.tan tanx+1  tanx+1   4   x =  k  4 Nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*)   x=k Bài 6. Giải các phương trình sau : sin 4 2 x  cos 4 2 x 1 2 a.  cos 4 4 x b. 48   2 1  cot 2 x.cot x   0     4 cos x sin x tan   x  tan   x  4  4  c. sin 8 x  cos8 x  2  sin10 x  cos10 x   cos2x 5 4 cos2x 1 d. cot x  1   sin 2 x  sin 2 x 1+tanx 2 Giải sin 2 x  cos 2 x 4 4 a.  cos 4 4 x .     tan   x  tan   x  4  4            Do : tan   x  tan   x   tan   x  cot   x   1 . Cho nên mẫu số khác không . 4  4  4  4  1 Phương trình trở thành : sin 4 2 x  cos 4 2 x  cos 4 4 x  1  sin 2 4 x  cos 4 4 x 2 Trang 10 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012 t  1 t  cos 4 x.0  t  1  2  2  1  cos 4 x   2cos 4 x   2 2 4  1 2t  t  1  0 t   2  0 k Vậy : t  1  cos 2 4 x  1  sin 4 x  0  x  . 4   Đối chiếu với điều kiện để tan   x  va tan   x  có nghĩa thì ta phải bỏ đi các nghiệm 4  4       k  2n  1  x  4  n  cos  4  x   0   ứng với k là lẻ :  . Do đó phương trình chỉ có      k  2n  1  x    n  cos   x   0  4 4  n nghiệm ứng với k là chẵn : x=  n  Z  2 1 2 cosx  0  b. 48  4  2 1  cot 2 x.cot x   0 . Điều kiện :   x  k (*) cos x sin x sinx  0 2 Phương trình  48  4  2 1  1 2 cos2 x cos x  . 0 cos x sin x  sin2x sinx  1 2  sin 2 x sinx  cos2 x cos x  1 2 cosx  48   2  .   0  48   2 0 cos x sin x  4 sin2x sinx  cos x sin x 2sin 2 x.cosx 4 1 1  48  4  4  0  48sin 4 x cos 4 x  sin 4 x  cos 4 x  0 cos x sin x  2  t  0  1  t  sin 2 x;0  t  1  2 3  3sin 4 2 x  1  sin 2 2 x   0   2   2  6t  t  2  0  t  1  2 1  k Do đó : sin 2 2 x   1  2sin 2 2 x  0  cos4x=0  x=  . Thỏa mãn điều kiện (*) 2 8 4  sin 8 x  cos8 x  2  sin10 x  cos10 x   cos2x 5 c. 4   sin 8 x  2sin10 x    cos8 x  2 cos10 x   cos2x=0 5 4  sin 8 x 1  2sin 2 x   cos8 x 1  2 cos 2 x   cos2x=0 5 4 5  5  sin8 xcos2x-cos8 xcos2x  cos2x=0  cos2x  sin 8 x  cos8 x    0 4  4  k - Trường hợp : cos 2 x  0  x   4 2 - Trường hợp : sin 8 x  cos8 x   4  sin 4 x  cos 4 x  sin 4 x  cos 4 x   5  0 5 4  1   1   4  sin 2 x  cos2 x  1  sin 2 2 x   5  0  4cos2x 1  sin 2 2 x   5  0  2   2   4cos2x+2cos2x 1  cos 2 x   5  0  2cos 2x+2cos2x+5  0 2 3 Đặt : t  cos2x  t  -1;1  VT  f (t )  2t 3  2t  5  f '(t )  6t 2  2  0  t  1;1 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 11
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012 Chứng tỏ f(t) đồng biến . Khi đó tại f(-1)=1 và f(1)=9 cho nên với mọi t  1;1  f (t )  0 Vậy phương trình vô nghiệm . cos2x 1 cosx  0 d. cot x  1   sin 2 x  sin 2 x . Điều kiện :   * 1+tanx 2  tanx  -1 cos x cos 2 x  sin 2 x Phương trình trở thành :  1   sin x  s inx  cosx  s inx sinx 1+ cosx  1   t anx=1  tan  1   cosx  sin x    cosx  sin x   0   2   s inx  cos x  s inx.cosx=0 cosx  cosx-sinx   0  Do cosx  0  Phương trình chỉ có nghiệm : t anx=-1  x=-  k  k  Z  4 Bài 7. Giải các phương trình sau : 2 a. sin 2x  2tan x  3 b. cot x  t anx+4sin2x= sin2x c. 1  t anx 1  sin 2 x   1  t anx d. sin 4x  t anx Giải a. sin 2x  2tan x  3 . Điều kiện : cosx  0 . Khi đó phương trình viết lại : t  t anx   t  1  2t 2  t  3  0  t  1 2 tan x   2 tan x  3   3 1  tan x 2 2t  3t  4t  3  0 2  Vậy phương trình có nghiệm là : t  1  t anx=1  x=  k  k  Z  4 2 sinx  0 b. cot x  t anx+4sin2x= . Điều kiện :   x  m  m  Z * sin2x cosx  0 cos x sinx 2 2 cos 2 x 2 Phương trình   +4sin2x=   4sin 2 x  s inx cosx sin2x sin 2 x sin 2 x 2 2    cos2x  2sin 2 x  2  cos2x=2 1-sin 2 x  2cos 2 x  cos2x=0 2       k cos2x=0  2 x  2  k  sin 2 x  sin  2  k   1  0  x        4 2 . cos2x= 1      2  2 x   3  2k x    k  6 Thỏa mãn (*) c. 1  t anx 1  sin 2 x   1  t anx . Điều kiện : cosx  0  2 t anx  Khi đó phương trình trở thành :  1  t anx  1    1  t anx  1+tan 2 x  1  t anx  2  1  tan 2 x  2 tan 2 x  1  t anx   1  t anx  1  t anx    1   0  1  t anx  0 1+tan 2 x  1  tan x  1  tan 2 x 2    t anx=1  x   k    4  k  Z  . Thỏa mãn điều kiện (*).  tanx=0  x  k d. sin 4x  t anx . Điều kiện : cosx  0 (*) Có 2 phương pháp giải : Trang 12 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012 sinx Cách 1. sin 4 x  t anx  sin 4 x   2sin 4 x.cosx=2sinx  sin5x+sin3x=2sinx cosx   sin5x-sinx  +  sin3x-sinx   0  2cos3 x sin 2 x  2cos 2 x sin x  0  2sin x  cos4x+cos2x+cos2x   0  2sin x  2cos 2 2x+2cos2x-1  0  s inx=0  s inx=0  x  k s inx=0  -1- 3     cos2x=  1   3 1    k  Z   2cos 2 x  2 cos 2 x  1  0 2 cos2x= x    k   2  2 cos2x= 3  1  2 sinx=0  sinx  4cos2x.cos 2 x 1  0   sinx Cách 2.  2sin 2 xcos2x  cosx 2cos2x(1+cos2x)-1=0 s inx=0 s inx=0   . ( Như kết quả trên ) 2  2cos 2x+2cos2x-1=0 cos2x= 3  1  2 Bài 8. Giải các phương trình sau : 4   4   9 a. sin x  sin  x    sin 4  x    b.   sinx 3 2  2cos x  2sin 2 x  1 1  4  4 8 1  sin 2 x 4x c. 4cos4 x  3 2 sin 2 x  8cos x d. cos  cos 2 x 3 Giải a.   2        2  1  cos  2x+    1  cos  2x-    4  4  9  2    2   sin x  sin  x    sin  x     8sin x  8  4 4  9  4  4 8  2   2             1  cos2x   1  cos2 x 2  1  sin 2 x 2  2 1 4 8  8       9  sin 2 x  2 3  2cos 2 x  2sin 2 x   9 4  2   2   2  -2- 6 sin2x=  1  2 cos 2 x  4sin 2 x  1  0  2sin 2 x  4sin 2 x  1  0   2 2 2  2  6 sin 2 x   2    x   k 6 2 Vậy phương trình có nghiệm : sin 2 x   sin    2 k  Z  2  x     k   2 2 b.   sinx 3 2  2cos x  2sin 2 x  1  1 . Điều kiện : sin2x khác 1 (*) 1  sin 2 x Phương trình trở thành :    sinx 3 2  2cos x  2sin 2 x 1  1  sin 2 x  3 2 sinx  sin 2 x  2sin 2 x 1  1  sin 2 x Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 13
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012    2  x   k 2 s inx= 2  2sin 2 x  3 2 s inx  2  0   2  s inx=  4 k  Z  2  3 s inx= 2  1 x  k 2  4   Đối chiếu với điều kiện (*) thì với x   k  sin 2 x  sin   k 2   1 vi phậm điều 4 2  3 kiện . Cho nên phương trình chỉ còn nghiệm : x   k 2 4  c. 4cos4 x  3 2 sin 2 x  8cos x  2cos x 2cos2 x  3 2 sinx-4  0  cosx=0  2 cos x  2 1  sin 2 x   3 2 s inx-4   0    2sin x  3 2 s inx+2=0 2 cosx=0     x   k  sinx= 2   2 k  Z  2  x    k 2  x  3  k 2  s inx= 2  1  4 4  2x  1  cos3    2x 3 4x  2x   3  t  x t d. cos  cos x  cos2    2  3 2 . Do đó : 3  3  2 2cos 2t  1  cos3t u  cost  2  2 cos 2 t  1  1  4 cos3 t  3cos t   3   u  1  4u 2  4u  3  0 4u  4u  3u  3  0  u  1  u  1  0  cost=1 t  k 2  x  3k 3   2   u    1     k  Z   4u  4u  3  0  2 cost= 1 t     k 2  x     3k  1  2  3  6 u   2 Bài 9. Giải các phương trình sau :   3x 4x a. sin 2 x  2 sin  x    0 b. 2 cos 2  1  3cos  4 5 5 c. 3cos 4 x  2 cos 3x  1 2 2 d. 3tan2x-4tan3x= tan 3 x.tan 2 x Giải   a. sin 2 x  2 sin  x    0  sin 2 x  sinx-cosx=0 .  4      1 5  t=sinx-cosx; t  2  sin 2 x  1  t 2  2 sin  x      4 2     1  t 2  t  0  t 2  t  1  0  t  1 5 t  1 5     1 5  2 2  2 sin  x      4 2     1 5   3 sin  x     sin  x     k 2  x     k 2  4 2 2     3 4 k  Z      1 5  x      k 2  x  3    k 2 sin  x     sin     4 2 2 3 4 Trang 14 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012 3x 4x 6x 4x  2x   2x  b. 2cos2  1  3cos  1  cos  1  3cos  cos3    2  3cos 2   5 5 5 5  5   3   2x 3 u  cost t  x t    4 cos3 t  3cos t  3  2 cos 2 t  1  2  0   u-1  4u 2  2u  5   0 3 2    cos3t  2  3cos 2t u  1 cost=1  x  5k   t  k 2       1- 21  u  1  21  u  1  21  1 cost= 1- 21 t    k 2 5 x   arxcos    5k    2 4 4 4   4  c. 3cos 4 x  2cos2 3x  1  3cos 2.2 x  1  cos6x   1  0 t  cos2x  3  2 cos 2 2 x  1   4 cos3 2 x  3cos 2 x   2  0   3   t  1  4t 2  2t  5   0 4t  6t  3  5  0 2 t  1 t  1 cos2x=1  x  k    1  21 1  21   1  21   1- 21   x  arccos  1- 21   k t  t  1  t  cos2x=       4 4 4 4 4    2 d. 3tan2x-4tan3x= tan 3 x.tan 2 x cos2x  0 Điều kiện :  * Phương trình trở thành : cos3x  0  3tan 2 x  4 tan 3x  tan 2 3x.tan 2 x  3  tan 2 x  tan 3x   tan 3x  tan 3x.tan 2 x  1  tan 2 x  tan 3x   1 tan 3x  3tan x  tan 3x  2 tan x  tan 3x  t anx  0     tan 3x.tan 2 x  1 3 sin x sin 4 x sin x 4sin x cos x cos 2 x 2  02  0 cosx cos3x.cosx cosx cos3x.cosx  1 2cos 2 x   cos3x+2cos2x.cosx   2sinx     0  2sinx  0  cosx cos3x   cosx.cos3x  s inx=0  x  k  x  k     2  4cos x  3cos x   cosx=0 8cos x  5cos x  0 3 3 cos3x+cos3x+cosx=0    x  k  x  k     cosx=0   x=  k Đối chiếu với điều kiện ta thấy nghiệm  2  5  cosx=  cos 5  x=  arccos  k 2  8  8     x   k  cos3x=cos  3  3k   0 . Vi phạm điều kiện , nên bị loại . 2  2   x  k Vậy phương trình còn có nghiệm là :   k  Z   x=  arccos 5  k 2  8 Bài 10. Giải các phương trình sau : 13  3 x  1   3x  a. cos 6 x  sin 6 x  cos 2 2 x b sin     sin    8  10 2  2  10 2  Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 15
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012 cos x  sin x 1 6 6 c.  tan 2 x d. cos 2 x  cos 2 2 x  cos 2 3x  cos 2 4 x  2 cos 2 x  sin 2 x 4 Giải 13 3 13 3 1  cos4x  13 1  cos4x  a. cos6 x  sin 6 x  cos 2 2 x  1  sin 2 2 x  cos 2 2 x  1   8 4 8 4 2 8 2 3 1  3  k  16  6 1  cos4x   13 1  cos4x   7 cos 4 x  3  cos4x=-  x   arccos     7 4  7 2 3 x  3x 3 x  3x b. sin     sin     2sin     sin    1  10 2  2  10 2   10 2   10 2   3x   3      3  y      3y 3 x x 3 2 10  10  10 Đặt : y     y 10 2 2 10  3  x  5  2 y * Do đó phương trình đã cho trở thành : 2sin y  sin   3 y   sin 3 y  3sin y  4sin 3 y sin y  0 sin y  0 sin y  0  4sin y  sin y  0   3    4sin 2 y  1  0  2 1  cos2y   1  0 cos 2 y  1  2  3  x  2 k  3 5  y  k  y  k  x  5  2 k            x    4 k  2 y    k 2  y    k  x  3  2  4k  15  3  6   5 3  x  19  4k  15 cos x  sin x 1 6 6  k c.  tan 2 x . Điều kiện : cos2x  0  x   k  Z  . cos x  sin x 4 2 2 4 2 3 1  sin 2 2 x t  sin 2 x 4 1 sin 2 x Khi đó PTd/ trở thành :   4  3sin 2 2 x  sin 2 x   2 cos2x 4 cos2x 3t  t  4  0 t  1 sin 2 x  1  4  t 1   x  . Phương trình vô nghiệm . t    1 cos2x=0  3 1  cos2x 1  cos4x 1  cos6x 1  cos8x d. cos 2 x  cos 2 2 x  cos 2 3x  cos 2 4 x  2     2 2 2 2 2   cos8x+cos2x    cos6x+cos4x   0  2cos5x.cos3x+2cos5xcosx=0   k  x  10  5  cos5x=0  k  2 cos 5 x  cos3x+cosx   0    x   k  Z  cos3x=-cosx=cos  -x   4 2   x     k  2 Trang 16 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012 III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX Bài 1. Giải các phương trình sau : 3 a. s inx+sin 2 x  cos3 x  0 b. sin 3 x  cos3 x  1  sin 2 x 2 c. 2  s inx+cosx   t anx+cotx d. 3  cot x  cosx   5  t anx-sinx   2 Giải a. s inx+sin x  cos x  0 . 2 3  sinx+sin 2 x  cos3 x  0  sinx 1  sinx   cosx 1  sin 2 x   0   s inx=1 x   k 2  1  s inx   s inx+cosx 1-sinx    0     2 sinx+cosx-sinxcosx=0 2 t  2t  1  0 t  1  2   2  l      2 1   2 sin  x    2  1  sin  x     sin  t  2  1  4  4 2    x    4  k 2 Do đó :  k  Z   x  3    k 2  4 3 b. sin 3 x  cos3 x  1  sin 2 x   s inx+cosx 1  s inxcosx   1  3sin xcosx (1) 2  3  t 2  2  3  t  1 2  t 2 1   t 2 1  Đặt : t  s inx+cosx; t  2  1  t 1    1 3   t   2   2   2  2 t  1   t  3t  3t  1  0   t  1  t  4t  1  0  t  2  3   2  l  . Do đó phương trình : 3 2 2  t  2  3       1    2 sin  x  4   1 sin  x  4    x  k 2  x   k 2     2    2       32  x      k 2  x  3    k 2  2 sin  x    3  2 sin  x     sin     4   4 2 4 4 sinx  0  c. 2  s inx+cosx   t anx+cotx . Điều kiện :   x  k * . Khi đó phương trình cosx  0 2 sinx cosx 1 (c) trở thành :  2  s inx+cosx   +   2  s inx+cosx  s inxcosx=1 cosx sinx s inx.cosx t  s inx+cosx  t  2  Đặt :  t 2 1 . Thay vào phương trình ta được : s inxcosx=  2  t 1     2  2t    1  2t  2t  2  0  t  t  2  0  t  2 t  2t  1  0 3 3 2  2        t  2  2 sin  x    2  sin  x    1  x   k 2  k  Z   4  4 4 Thỏa mãn điều kiện . Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 17
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012 sinx  0  d. 3  cot x  cosx   5  t anx-sinx   2 . Điều kiện :   x  k * . cosx  0 2 Khi đó :  3    1  cos x sin x   sinx-cosx   2  2sin x   1  sinx cosx   cosx   cosx+sinx    1  cosx    sinx+cosx-sinxcosx   3  cosx-sinx    1  2 sinx    1  2    sinxcosx    cosx    cosx   cosx+sinx-sinxcosx   sinx+cosx-sinxcosx   3  cosx-sinx     2 0  sinxcosx   cosx    cosx+sinx-sinxcosx   3  cosx-sinx   2   0  cosx+sinx-sinxcosx=0    cosx  sinx  3  cosx-sinx   0  Trường hợp : cosx-sinx=0  tanx=1  x=  k  k  Z  4 Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 . t  s inx+cosx  t  2  Đặt :  t 2 1 Cho nên phương trình :  s inxcosx=  2 t 1 2 t  1  2   2  l    t  0  t 2  2t  1  0    2 sin  x    2  1 2 t  2  1  4    x     k 2   2  1  sin  x     sin    4 k  Z   4 2 x  3    k 2  4 Bài 2. Giải các phương trình sau : 3 1+sinx   x  a. 3 tan 3 x  t anx+  8cos 2     4 2 2 cos x b. 2sin x  s inx=2cos x  cosx+cos2x 3 3 c. sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  cosx+cos 2 x  cos3 x  cos 4 x Giải 3 1+sinx   x  a. 3 tan 3 x  t anx+  8cos 2    . Điều kiện : cosx khác 0 . Khi đó phương  4 2 2 cos x  sin 2 x  3 1+sinx     trình trở thành :  t anx  3 2  1 +  4 1  cos   x    4 1  s inx   cos x  1  s inx 1  cosx   2   3  4 cos 2 x  3-4 1-sin x  2  3  4 cos 2 x  3  t anx  +  4 1  s inx   0  t anx  + 0  cos x  1  s inx   cos x  1  s inx  2 2  t anx 1  3  2 1  cos2x   0   3  4 cos 2 x      0    cos x 1  s inx  s inx-sin x  cos x  0 2 2 3  1 cos2x=- 2   1  s inx   0 Vì sinx=1 làm cho cosx=0 vi phậm điều kiện . Do đó   sinx+cosx-sinxcosx   0  Trang 18 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012  1   cos2x=- x    k  2  3    sinx+cosx-sinxcosx   0  sinx+cosx-sinxcosx   0 Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 . t  s inx+cosx  t  2  Đặt :  t 2 1 Cho nên phương trình : s inxcosx=  2 t 2 1 t  1  2   2  l    t  0  t 2  2t  1  0    2 sin  x    2  1 2 t  2  1  4    x     k 2   2 1  sin  x     sin    4 k  Z   4  2 x  3    k 2  4    x    4  k 2  3 Vậy nghiệm của phương trình là :  x     k 2  k  Z   4   x     k  3 b. 2sin3 x  sinx=2cos3 x  cosx+cos2x  2  sin 3 x  cos3 x    sinx-cosx    cos2 x  sin 2 x   0 sinx=cosx   sinx-cosx  1  sinxcosx    cosx  sin x   0   sinx+cosx+sinxcosx+1=0  Trường hợp : sin x  cosx  tanx=1  x=  k  k  Z  4  t2 1 t  s inx+cosx; t  2  s inxcosx= 2 Trường hợp : sinx+cosx+sinxcosx+1=0   t  t  1  1  0  t 2  2t  1   t  12  0 2  2     1   x   k 2 Do đó phương trình có nghiệm : t  1  cos  x-    cos   2 k  Z   4 2 4  x  k 2 c. sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  cosx+cos 2 x  cos3 x  cos 4 x   cosx-sinx    cos2 x  sin 2 x    cos3 x  sin 3 x    cos 4 x  sin 4 x   0   cosx-sinx  1   cosx+sinx   1  sinxcosx   cosx+sinx   0  t anx=1 cosx-sinx=0  t anx=1   2   2  2  sinx+cosx   s inxcosx+2=0  2t+ t 1 20  t  4t  3  0  2 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 19
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012      x   k  x  4  k  4    x    k 2  k  Z  . ( Đã bỏ nghiệm t=-3

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.