intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 TÍCH PHÂN

Chia sẻ: Lưu Huy Thưởng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST
Báo xấu
1.078
lượt xem 237
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo bài viết 'chuyên đề luyện thi đại học 2013 - 2014 tích phân', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 TÍCH PHÂN

  1. CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 TÍCH PHÂN BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :…………………………………………………………………. TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 8/2013
  2. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM 1. Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu: F '(x ) = f (x ) , ∀x ∈ K • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: ∫ f (x )dx = F (x ) + C , C ∈ R. • Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất • ∫ f '(x )dx = f (x ) + C •  ∫  f (x ) ± g(x )dx =  ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx • ∫ kf (x )dx = k ∫ f (x )dx (k ≠ 0) 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp • ∫ 0dx = C • ∫ a x dx = ax + C (0 < a ≠ 1) ln a • ∫ dx = x + C • ∫ cos xdx = sin x + C x α +1 • ∫ x αdx = α +1 +C, (α ≠ −1) • ∫ sin xdx = − cos x + C 1 1 • ∫ xdx = ln x + C • ∫ cos2 xdx = tan x + C • ∫ ex dx = e x + C 1 • ∫ sin2 xdx = − cot x + C 1 1 ax +b • ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a ≠ 0) • ∫e ax +b dx = e + C , (a ≠ 0) a 1 1 1 • ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C (a ≠ 0) • ∫ ax + b dx = ln ax + b + C a 4. Phương pháp tính nguyên hàm 1) Phương pháp đổi biến số Nếu ∫ f (u)du = F (u) + C và u = u(x ) có đạo hàm liên tục thì: ∫ f u(x ) .u '(x )dx = F u(x ) + C 2) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: ∫ udv = uv − ∫ vdu BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1
  3. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm HT 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1 2x 4 + 3 x −1 1) f (x ) = x 2 – 3x + 2) f (x ) = 3) f (x ) = 2 x x x2 (x 2 − 1)2 1 cos 2x 4) f (x ) = 5) f (x ) = 6) f (x ) = 2 2 2 x sin x . cos x sin x . cos2 x 2 x 7) f (x ) = 2 sin2 8) f (x ) = tan2 x 9) f (x ) = cos2 x 2    e−x  10) f (x ) = 2 sin 3x cos 2x 11) f (x ) = e x (e x – 1) 12) f (x ) = e x 2 +        cos2 x  HT 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: 1) f (x ) = x 3 − 4x + 5; F (1) = 3 2) f (x ) = 3 − 5 cos x ; F (π) = 2 3 − 5x 2 x2 + 1 3 3) f (x ) = ; F (e) = 1 4) f (x ) = ; F (1) = x x 2 x3 −1 1 5) f (x )= ; F (−2) = 0 6) f (x ) = x x + ; F (1) = −2 2 x x π 3x 4 − 2x 3 + 5 7) f (x ) = sin 2x . cos x ; F '  = 0     8) f (x ) = ; F (1) = 2 3 x2 x 3 + 3x 3 + 3x − 7 π  π ; F = x 9) f (x ) = ; F (0) = 8 10) f (x ) == sin2   (x + 1)2 2 2 4   VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm ∫ f (x )dx bằng phương pháp đổi biến số • Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = g u(x ) .u '(x ) thì ta đặt t = u(x ) ⇒ dt = u '(x )dx . Khi đó: ∫ f (x )dx = ∫ g(t)dt , trong đó ∫ g(t)dt dễ dàng tìm được. Chú ý: Sau khi tính ∫ g(t)dt theo t, ta phải thay lại t = u(x). • Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến π π x = a sin t, − ≤t ≤ 2 2 2 2 a −x hoặc x = a cos t, 0≤t ≤ π π π x = a tan t, −
  4. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 sin x tan xdx ∫ sin ∫ cos5 x dx ∫ 4 10) x cos xdx 11) 12) cos2 x e x dx 2 e x 13) ∫ e −3x 14) ∫ x .e x +1dx 15) ∫ x dx ln 3 x dx e tan x 16) ∫ x dx 17) ∫ ex + 1 18) ∫ cos2 x dx HT 4: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): dx dx 1) ∫(1 − x 2 )3 2) (1 + x 2 )3 ∫ 3) ∫ 1 − x 2 .dx dx dx ∫ ∫x ∫ 1 + x2 2 4) 5) 1 − x 2 .dx 6) 4 − x2 x 2dx dx ∫ ∫ x2 + x + 1 ∫x 3 7) 8) 9) x 2 + 1.dx 2 1−x VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: ∫ P(x ).e dx ∫ P(x ). cos xdx ∫ P(x ).sin xdx ∫ P(x ).ln xdx x u P(x) P(x) P(x) lnx dv e dxx cos xdx sin xdx P(x) HT 5: Tính các nguyên hàm sau: ∫ x. sin xdx ∫ x cos xdx ∫ (x + 5) sin xdx 2 1) 2) 3) 4) ∫ (x 2 + 2x + 3) cos xdx 5) ∫ x sin 2xdx 6) ∫ x cos 2xdx 2 7) ∫ x .e x dx 8) ∫ x 3e x dx 9) ∫ ln xdx 10) ∫ x ln xdx 11) ∫ ln2 xdx 12) ∫ ln(x 2 + 1)dx HT 6: Tính các nguyên hàm sau: ln xdx ∫e ∫ ∫ sin x 1) dx 2) 3) x dx x ∫ cos ∫ x. sin ∫ sin 3 4) x dx 5) x dx 6) xdx ln(ln x ) 7) ∫ x dx 8) ∫ sin(ln x )dx 9) ∫ cos(ln x )dx HT 7: Tính các nguyên hàm sau: ∫e ∫e (1 + tan x + tan2 x ) ∫e x x x 1) . cos xdx 2) dx 3) . sin 2xdx ln(cos x ) ln(1 + x ) x 4) ∫ cos2 x dx 5) ∫ x 2 dx 6) ∫ cos2 x dx ( x ln x + x 2 + 1 )dx x3  ln x 2   7) ∫ x2 + 1 8) ∫ 1 + x2 dx 9) ∫   x    dx  BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3
  5. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp P (x ) 1. f(x) là hàm hữu tỉ: f (x ) = Q(x ) – Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất địn8). 1 A B Chẳng hạn: = + (x − a )(x − b) x − a x − b 1 A Bx + C = + , vôùi ∆ = b 2 − 4ac < 0 2 (x − m )(ax + bx + c) x − m ax 2 + bx + c 1 A B C D = + + + 2 (x − a ) (x − b ) 2 x − a (x − a )2 x − b (x − b)2 2. f(x) là hàm vô tỉ   ax + b  ax + b   + f(x) = R x, m   → đặt t =m   cx + d   cx + d  1   + f(x) = R      → đặt t = x +a + x +b   (x + a )(x + b )    • f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn: 1 1 sin (x + a ) − (x + b )   sin(a − b)  + = . , söû duïng 1 =   sin(x + a ).sin(x + b) sin(a − b) sin(x + a ). sin(x + b)     sin(a − b) 1 1 sin (x + a ) − (x + b)   sin(a − b)  + = . , söû duïng 1 =   cos(x + a ). cos(x + b ) sin(a − b) cos(x + a ). cos(x + b)     sin(a − b) 1 1 cos (x + a ) − (x + b)   cos(a − b)   + = . , söû duïng 1 =   sin(x + a ).cos(x + b) cos(a − b) sin(x + a ).cos(x + b)     cos(a − b)  + Nếu R(− sin x, cos x ) = −R(sin x , cos x ) thì đặt t = cosx + Nếu R(sin x , − cos x ) = −R(sin x , cos x ) thì đặt t = sinx + Nếu R(− sin x, − cos x ) = −R(sin x , cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) HT 8: Tính các nguyên hàm sau (dạng hữu tỷ): dx dx x2 + 1 1) ∫ x (x + 1) 2) ∫ (x + 1)(2x − 3) 3) ∫ x2 −1 dx dx dx dx 4) ∫ x 2 − 7x + 10 5) ∫ x 2 − 6x + 9 6) ∫ x2 − 4 x x x3 7) ∫ (x + 1)(2x + 1) dx 8) ∫ 2x 2 − 3x − 2 dx 9) ∫ x 2 − 3x + 2dx dx dx x 10) ∫ x(x 2 + 1) 11) ∫ 1+ x3 12) ∫ x 3 − 1dx HT 9: Tính các nguyên hàm sau (dạng vô tỷ): 1 x +1 1 1) ∫ 1+ x +1 dx 2) ∫x x −2 dx 3) ∫ 1 + 3 x + 1dx 1 x x 4) ∫ x + x 4 dx 5) ∫ x− x 3 dx 6) ∫ x(x + 1)dx BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4
  6. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 dx 1 − x dx 1 − x dx 7) ∫ 3 x + x +2 x 4 8) ∫ 1+x x 9) ∫ 3 1+x x dx dx dx 10) ∫ 3 (2x + 1)2 − 2x + 1 11) ∫ 2 x − 5x + 6 12) ∫ 2 x + 6x + 8 HT 10: Tính các nguyên hàm sau (dạng lượng giác): ∫ sin 2x sin 5xdx ∫ cos x sin 3xdx ∫ (tan 2 1) 2) 3) x + tan 4 x )dx cos 2x dx dx 4) ∫ 1 + sin x cos xdx 5) ∫ 2 sin x + 1 6) ∫ cos x 1 − sin x sin 3 x dx 7) ∫ cos x dx 8) ∫ cos x dx 9) ∫  π cos x cos  x +   4 ∫ cos x cos 2x cos 3xdx ∫ cos xdx ∫ sin 3 4 10) 11) 12) xdx ---------------------------------------------------------------------- BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 5
  7. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BÀI 2: TÍCH PHÂN 1. Khái niệm tích phân • Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: b F(2) – F(1) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ∫ f (x )dx . a b ∫ f (x )dx = F (b) − F (a ) a • Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: b b b ∫ f (x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u)du = ... = F (b) − F (a ) a a a • Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong b giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: S = ∫ f (x )dx a 2. Tính chất của tích phân 0 b a b b • ∫ f (x )dx = 0 • ∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx • ∫ kf (x )dx = k ∫ f (x )dx (k: const) 0 a b a a b b b b c b • ∫  f (x ) ± g(x )dx =   ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx • ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a a a a a c b • Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì ∫ f (x )dx ≥ 0 a b b • Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] thì ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx a a 3. Phương pháp tính tích phân b u(b ) 1) Phương pháp đổi biến số: ∫ f u(x ) .u '(x )dx = ∫ f (u ) trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) du a u (a ) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b ∈ K. 2) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì: b b b ∫ udv = uv − a ∫ vdu a a Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. b b – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho ∫ vdu dễ tính hơn ∫ udv . a a BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6
  8. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm HT 11: Tính các tích phân sau: 2 2 2 3 x −1 ∫ (x ∫ (x + + e 3x +1 )dx ∫ 3 2 1) + 2x + 1)dx 2) 3) dx 1 1 x 1 x2 ( ) dx 2 2 −1 x4 + 4 e x 1 1 ∫ x 2 + 2dx ∫ ∫ (x + x + x 2 + x 2 4) 5) 6) )dx 2 −1 −2 x 1 2 2 4 7) ∫ ( x + 1)(x − x + 1)dx 8) ∫ (x 2 + x x + 3 x )dx 9) ∫( x + 2 3 x − 4 4 x dx ) 1 1 1 2 e2 8   x 2 − 2x 2 x + 5 − 7x 4x − 1 dx   10) ∫ x3 dx 11) ∫ x dx 12) ∫     3    3 x2   1 1 1 HT 12: Tính các tích phân sau: 2 5 2 dx ∫ ∫ ∫ (x + x x + 3 x )dx 2 1) x + 1dx 2) 3) x +2 + x −2 1 2 1 1 2 xdx 2 3x 4 4) ∫ 0 2 1−x 2 dx 5) ∫0 3 1+x 3 dx 6) ∫0 x x 2 + 9dx HT 13: Tính các tích phân sau: π π π 2 6 π 1) ∫ sin(2x + 6 )dx 2) ∫ (2 sin x + 3cosx + x )dx 3) ∫ (sin 3x + cos 2x )dx 0 π 0 3 π π π 4 3 4 tan x .dx ∫ ∫ 3 tan ∫ (2 cot 2 2 4) 5) x dx 6) x + 5) dx 0 cos2 x π π 4 6 π π π 2 2 2 dx 1 − cos x ∫ 1 + sin x ∫ 1 + cos x dx ∫ sin 2 7) 8) 9) x .cos2 xdx 0 0 0 HT 14: Tính các tích phân sau: 1 2 e x − e−x (x + 1).dx 1 e 2x −4 1) ∫ ex + e−x dx 2) ∫ x 2 + x ln x 3) ∫0 x e +2 dx 0 1 ln 2 e x 2 e−x 1 ex 4) ∫0 ex + 1 dx 5) ∫1 e x (1 − x )dx 6) ∫0 2x dx π 4e x e 1 + ln x 7) ∫0 2 e cos x sin xdx 8) ∫1 x dx 9) ∫1 x dx 1 e ln x 1 1 x2 10) ∫ 1 x dx 11) ∫0 xe dx 12) ∫ 1 + ex dx 0 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 7
  9. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính ∫ g(x )dx . a b u (b ) Nếu viết được g(x) dưới dạng: g (x ) = f u(x ) .u '(x ) thì ∫ g(x )dx = ∫ f (u )du a u (a ) β Dạng 2: Giả sử ta cần tính ∫ f (x )dx . α Đặt x = x(t) (t ∈ 10) và a, b ∈ K thoả mãn α = x(1), β = x(2) β b b thì ∫ f (x )dx = ∫ f x (t ) x '(t )dt = ∫ g(t )dt (g(t ) = f x (t ) .x '(t )) α a a Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến π π x = a sin t, − ≤t ≤ a2 − x 2 2 2 hoặc x = a cos t, 0≤t ≤ π π π x = a tan t, −
  10. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3 1 1 dx dx xdx 4) ∫ x2 + 3 5) ∫ (x 2 + 1)(x 2 + 2) 6) ∫ x4 + x2 + 1 0 0 0 0 2 1 dx x2 −1 dx 7) ∫ 8) ∫ 3 dx 9) ∫ (1 + x ) 2 5 −1 x + 2x + 2 1 x 0 2 2 2 3 2 2 dx x2 10) ∫x 2 x −1 11) ∫ 1−x 2 dx 12) ∫x 2x − x 2 dx 2 0 0 VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: b b b b ∫ P (x ).e x dx ∫ P (x ). cos xdx ∫ P (x ).sin xdx ∫ P(x ).l n xdx a a a a u P(x) P(x) P(x) lnx dv x e dx cos xdx sin xdx P(x) HT 17: Tính các tích phân sau: π π 4 2 2π ∫ ∫ (x + sin2 x ) cos xdx ∫x 2 1) x sin 2xdx 2) 3) cos xdx 0 0 0 2 π π 4 3 1 ∫ ∫ x tan ∫ (x − 2)e 2 2x 4) x cos xdx 5) xdx 6) dx 0 π 0 4 ln 2 e 3 ∫ xe dx ∫ x ln xdx ∫ ln(x x 2 7) 8) 9) − x )dx 0 1 2 π π 2 2 e ∫e ∫e ∫ ln 3x cos x 3 10) sin 5xdx 11) sin 2xdx 12) xdx 0 0 1 e e 0 ln x ∫ x 3 ln2 xdx ∫ ∫ x(e 2x 13) 14) dx 15) + 3 x + 1)dx 2 1 1 x −1 e VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối HT 18: Tính các tích phân sau: 2 2 2 ∫ ∫ ∫ 2 1) x − 2 dx 2) x − x dx 3) x 2 + 2x − 3dx 0 0 0 3 5 3 ∫ ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx ∫ 2 4) x − 1 dx 5) 6) 2x − 4 dx −3 −2 0 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9
  11. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 4 3 1 7) ∫ x 2 − 6x + 9dx 8) ∫ x 3 − 4x 2 + 4xdx 9) ∫ 4 − x dx 1 0 −1 HT 19: Tính các tích phân sau: π 2π π 2 1) ∫ 1 − cos 2xdx 2) ∫ 1 − sin 2x .dx 3) ∫ sin x dx 0 0 π − 2 π 2π π 4) ∫ 1 − sin xdx 5) ∫ 1 + cos xdx 6) ∫ 1 + cos 2xdx −π 0 0 π π 3 3 2π 7) ∫ tan2 x + cot2 x − 2dx 8) ∫ cos x cos x − cos3 xdx 9) ∫ 1 + sin xdx π π 0 − 6 2 VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ HT 20: Tính các tích phân sau: 3 1 3 dx dx x 3dx 1) ∫ x + x3 2) ∫ x 2 − 5x + 6 3) ∫ x 2 + 2x + 1 1 0 0 1 3 4 x x 2dx dx 4) ∫ dx 5) ∫ 6) ∫ x 2 (1 + x ) (1 + 2x ) (1 − x ) 3 9 0 2 1 4 dx 1 (4x + 11)dx 1 x3 + x + 1 7) ∫ x (x − 1) 8) ∫ x 2 + 5x + 6 9) ∫ x +1 dx 2 0 0 0 3 1 2x 3 − 6x 2 + 9x + 9 3x 2 + 3x + 3 x2 10) ∫ x 2 − 3x + 2 dx 11) ∫ x 3 − 3x + 2 dx 12) ∫ (3x + 1)3 dx −1 2 0 HT 21: Tính các tích phân sau: 2 dx 3 (3x 2 +2 ) dx 2 x 3 + 2x 2 + 4x + 9 1) ∫ x 2 − 2x + 2 2) ∫ x2 + 1 3) ∫ x2 + 4 dx 0 0 0 1 1 1 1 x3 + x +1 x 4) ∫ (x + 2)2 (x + 3)2 dx 5) ∫ x2 + 1 dx 6) ∫ 1 + x 4 dx 0 0 0 2 2 3 1 1 − x 2008 x4 7) ∫ x(1 + x 4 ) dx 8) ∫ x(1 + x 2008 ) dx 9) ∫ (x 2 − 1)2 dx 1 1 2 2 2 1 1 1 − x2 2 −x4 10) ∫ 4 + x2 dx 11) ∫ 1+ x4 dx 12) ∫ 1 + x 2 dx 0 1 0 VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ HT 22: Tính các tích phân sau: 2 2 1 1 x3 dx ∫ ∫ x+ ∫ 2 1) x x + 1dx 2) dx 3) x2 + 1 x +1 + x 0 0 0 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 10
  12. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 6 2 x dx x4 4) ∫ 1+ x −1 dx 5) ∫ 2x + 1 + 4x + 1 6) ∫ x5 + 1 dx 1 2 0 10 1 1 dx 4x − 3 ∫ x −2 ∫x ∫ 2+ 3 2 7) 8) x + 1dx 9) dx x −1 3x + 1 5 0 0 7 3 2 3 3 x +1 dx x5 + x3 10) ∫ 3 3x + 1 dx 11) ∫ x x2 + 4 12) ∫ 1 + x2 dx 0 5 0 2 2 2 3 2 1+x dx dx 13) ∫ 1−x dx 14) ∫x x2 − 1 15) ∫x x3 +1 0 2 1 HT 23: Tính các tích phân sau: 1 3 1 x2 + 1 dx 1) ∫ x 2 1 + x 2 dx 2) ∫ x2 x +12 dx 3) ∫ (1 + x 2 )3 0 1 0 2 3 1 ∫ ∫x ∫ 2 3 2 4) x + 2008dx 5) 10 − x dx 6) 1 + x 2 dx 1 0 0 1 2 1 dx dx x 3dx 7) ∫ + x2 + 1 8) ∫ x 2 + 2008 9) ∫ x+ x2 + 1 −1 1 + x 1 0 2 2 5 2 2 2 4 dx x dx 10) ∫ (1 − x ) 2 3 11) ∫ 1−x 2 12) ∫ 12x − 4x 2 − 8dx 0 0 1 HT 24: Tính các tích phân sau: π π π 2 2 2 cos xdx cos xdx 1) ∫ 7 + cos 2x 2) ∫ sin x cos x − cos2 xdx 3) ∫ 2 + cos2 x 0 0 0 π π π 2 2 3 sin 2x + sin x cos xdx ∫ ∫ ∫ 6 4) 1 − cos3 x sin x cos5 xdx 5) dx 6) 1 + 3 cos x 2 + cos 2x 0 0 0 π π π 2 3 2 cos xdx tan x sin 2x + sin x 7) ∫ 1 + cos x 2 8) ∫ cos x 1 + cos x 2 dx 9) ∫ 1 + 3 cos x dx 0 π 0 4 HT 25: Tính các tích phân sau: ln 3 ln 2 e dx e 2x dx 1 + 3 ln x ln x 1) ∫ ex + 1 2) ∫ ex + 1 3) ∫ x dx 0 0 1 ln 3 0 ln 2 ln2 x e x dx 4) ∫ x ln x + 1 dx 5) ∫ x (e 2x + 3 x + 1)dx 6) ∫ (e x + 1)3 ln 2 −1 0 ln 3 1 ln 2 ex ex 7) ∫ (ex + 1) ex − 1 dx 8) ∫ e +ex −x dx 9) ∫ e x − 1dx 0 0 0 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 11
  13. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác HT 26: Tính các tích phân sau: π π π 4 4 2 sin x 1) ∫ sin 2x.cos xdx 2) ∫ tan xdx 3) ∫ 1 + 3 cos x dx 0 0 0 π 2 π π ∫ sin ∫ sin ∫ cos 3 2 2 4) xdx 5) xdx 6) 3x 0 0 0 π π π 2 2 2 ∫ sin ∫ sin ∫ sin 2 7) x cos4 xdx 8) 2 x cos3 xdx 9) 4 x cos5 xdx 0 0 0 π π π 2 2 2 cos3 x sin 2x cos x 10) ∫ (sin 3 x + cos3 x )dx 11) ∫ cos x + 1 dx 12) ∫ 1 + cos x dx 0 0 0 π π π 4 3 3 dx ∫ tan ∫ tan ∫ sin x. cos3 x 3 4 13) xdx 14) xdx 15) 0 π π 4 4 π π 2 2 π /3 sin 3 x cos3 x dx 16) ∫ 1 + cos2 x dx 17) ∫ 1 + cos x dx 18) ∫ 4 sin x . cos x 0 0 π /6 HT 27: Tính các tích phân sau: π π π 2 2 3 1 + sin 2x + cos 2x tan x 1) ∫ 1 − cos3 x sin x cos5 xdx 2) ∫ sin x + cos x dx 3) ∫ cos x 1 + cos2 x dx 0 π π 6 4 π π 2 π 2 ∫ (1 + sin x ) 3 ∫ cos 2x (sin 4 x + cos4 x )dx ∫0 + e sin x cos x )dx 4 (tan x 2 4) 5) 6) sin 2xdx 0 0 π π π 3 4 3 sin3 x 1 7) ∫ sin x .ln(cos x )dx 8) ∫ (tan2 x + 1)2 . cos5 x dx 9) ∫ sin x + 9 cos2 x 2 dx 0 0 π − 3 HT 28: Tính các tích phân sau: π π π 2 2 2 1 dx 1 1) ∫ sin x dx 2) ∫ (1 + cos x )4 3) ∫ dx (1 + sin x ) 4 π 0 0 3 π π π 2 4 2 cos x dx (1 − sin x ) cos x 4) ∫ 1 + cos x dx 5) ∫ π 6) ∫ (1 + sin x )(2 − cos2 x ) dx 0 0 cos x cos(x + ) 0 4 HT 29: Tính các tích phân sau: π π π 2 4 3 xdx x 1) ∫ (2x − 1)cos xdx 2) ∫ 1 + cos 2x 3) ∫ cos2 x dx 0 0 0 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 12
  14. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π π 2 2 2 ∫ sin ∫x ∫ sin 2x.e 3 2 2x +1 4) xdx 5) cos xdx 6) dx 0 0 0 π π 2 3 2 ln(sin x ) ∫ cos(ln x )dx ∫ ∫ (2x − 1) cos 2 7) 8) dx 9) xdx 1 π cos2 x 0 6 π π 4 π ∫ e 2x sin2 xdx ∫ x tan2 xdx ∫ x sin x cos 2 10) 11) 12) xdx 0 0 0 π π π 2 4 4 2 dx ∫ e sin sin x cos3 xdx ∫ ln(1 + tan x )dx ∫ cos4 x x 13) 14) 15) 0 0 0 VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit HT 30: Tính các tích phân sau: 1 ln 2 1 e x dx dx 1 1) ∫ 1 + ex 2) ∫ ex + 5 3) ∫ ex + 4 dx 0 0 0 ln 8 ln 2 ex ln 8 1 − ex 4) ∫ ex + 1 dx 5) ∫ln 3 e x + 1.e 2x dx 6) ∫ 1 + ex dx ln 3 0 2 2 1 1 e 2x e −x 7) ∫ 1 − e−x dx 8) ∫ ex + 1 dx 9) ∫ e−x + 1 dx 1 0 0 e 1 ln 3 ln x e −2x 1 10) ∫ x (ln2 x + 1) dx 11) ∫ e−x + 1 dx 12) ∫ e +1x dx 1 0 0 HT 31: Tính các tích phân sau: π 3 1 1 ln(sin x ) ln(x + 1) ∫ ∫ ∫ xe −x 1) dx 2) dx 3) dx π cos2 x 0 x +1 0 6 π 2 1 e 1 + ln2 x 4) ∫ x (e + cos x ) cos xdx 5) ∫ x ln (1 + x ) dx 6) ∫ dx x 0 0 1 e2 e e3 ln x + ln(ln x )     ln x ln(ln x ) 7) ∫ x dx 8) ∫    x ln x + 1  + ln2 x  dx     9) ∫ x dx e 1 e2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 13
  15. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ 9: (ĐỌC THÊM) Một số tích phân đặc biệt Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ a • Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì ∫ f (x )dx = 0 −a a a • Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì ∫ f (x )dx = 2∫ f (x )dx −a 0 Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau: a 0 a  0 a      Bước 1: Phân tích I = ∫ f (x )dx = ∫ f (x ) + f (x )dx dx ∫ J =  f (x ) ; K = dx f (x )dx  ∫   ∫     −a −a  0 −a  0 0 Bước 2: Tính tích phân J = ∫ f (x )dx bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x. −a – Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K ⇒ I = J + K = 0 – Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K ⇒ I = J + K = 2K Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì: α α f (x ) ∫ a x + 1dx = ∫ f (x )dx (với α ∈ R+ và a > 0) −α 0 Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên. 0  0  f (x )  α α α f (x ) f (x ) f (x )   f (x )  I = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx J =  ∫ dx ; K = dx    ∫ x a +1 x a +1 x a +1  x a +1 x a +1    −α −α 0   −α 0 Để tính J ta cũng đặt: t = –x. π π 2 2  π Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên 0;  thì  2  ∫ f (sin x )dx = ∫ f (cos x )dx 0 0 π Để chứng minh tính chất này ta đặt: t = − x 2 Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và f (a + b − x ) = f (x ) hoặc f (a + b − x ) = −f (x ) thì đặt: t = a + b – x Đặc biệt, nếu a + b = π thì đặt t=π–x nếu a + b = 2π thì đặt t = 2π – x Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện các bước như sau: Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là: F (x ) + G (x ) = A(x ) + C   1  (*) F (x ) − G (x ) = B(x ) + C 2   1 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F (x ) = A(x ) + B(x ) + C là nguyên hàm của f(x). 2 HT 32: Tính các tích phân sau (dạng 1): π π 1 4 2 2 7 5 x −x +x −x +1 3 1 − x   1) ∫ 4 cos x dx 2) ∫ cos x ln(x + 1 + x 2 )dx 3) ∫ cos x. ln 1 + x dx       π π 1 − − − 4 2 2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 14
  16. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 1 1 ∫ ( ) x dx x 4 + sin x 4) ln x + 1 + x 2 dx 5) ∫ x4 − x2 + 1 6) ∫ x2 + 1 dx −1 −1 −1 π π π 2 2 2 sin5 x xdx x + cos x 7) ∫ 1 + cos x dx 8) ∫ 4 − sin x 2 9) ∫ 4 − sin2 x dx π π π − − − 2 2 2 HT 33: Tính các tích phân sau (dạng 2): 1 1 1 x4 1− x2 dx 1) ∫ 2x + 1 dx 2) ∫ 1+2 x dx 3) ∫ (ex + 1)(x 2 + 1) −1 −1 −1 π 3 2 1 sin2 x x +1 dx 4) ∫ 3x + 1dx 5) ∫ 1 + 2x dx 6) ∫ (4x + 1)(x 2 + 1) −π −3 −1 π π π 2 4 2 sin x sin 3x cos 5x sin6 x + cos6 x x 2 sin2 x 7) ∫ 1 + ex dx 8) ∫ 6x + 1 dx 9) ∫ 1 + 2x dx π π π − − − 2 4 2 HT 34: Tính các tích phân sau (dạng 3): π π π 2 2 2 cosn x sin7 x sin x 1) ∫ cosn x + sinn x dx (n ∈ N*) 2) ∫ sin7 x + cos7 xdx 3) ∫ sin x + cos x dx 0 0 0 π π π 2 2 2 sin2009 x cos4 x sin4 x 4) ∫ sin2009 x + cos2009 x dx 5) ∫ cos4 x + sin4 x dx 6) ∫ cos4 x + sin4 xdx 0 0 0 HT 35: Tính các tích phân sau (dạng 4): π π π 2 x . sin x x + cos x  1 + sin x  dx 1) ∫ 4 − cos2 x dx 2) ∫ 4 − sin2 x dx 3) ∫ ln       1 + cos x  0 0 0 π 4 2π π ∫ ∫ x . cos3 xdx ∫ x. sin 3 4) ln(1 + tan x )dx 5) 6) xdx 0 0 0 π π π x x sin x x sin x 7) ∫ 1 + sin x dx 8) ∫ 2 + cos x dx 9) ∫ 1 + cos2 x dx 0 0 0 π 4 π π x sin x ∫ sin 4x ln(1 + tan x )dx ∫ 9 + 4 cos2 x dx ∫ x sin x cos 4 10) 11) 12) xdx 0 0 0 HT 36: Tính các tích phân sau (dạng 5): π π π 2 2 2 sin x cos x sin x 1) ∫ sin x − cos xdx 2) ∫ sin x − cos xdx 3) ∫ sin x + cos xdx 0 0 0 π π π 2 2 2 cos x sin4 x cos4 x 4) ∫ sin x + cos x dx 5) ∫ sin4 x + cos4 x dx 6) ∫ sin4 x + cos4 xdx 0 0 0 π π π 2 2 2 sin6 x cos6 x ∫ sin6 x + cos6 x ∫ sin6 x + cos6 xdx ∫ 2 sin 2 7) dx 8) 9) x . sin 2xdx 0 0 0 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 15
  17. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 2 1 1 ex e−x ∫ ∫ ex − e−x ∫ ex − e−x dx 2 10) 2 cos x .sin 2xdx 11) dx 12) 0 −1 −1 1 x 1 −x e e 13) ∫ ex + e−x dx 14) ∫ ex + e−x dx −1 −1 BÀI 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình phẳng • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Trục hoành. b – Hai đường thẳng x = a, x = b. là: S= ∫ f (x )dx (1) a • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. b – Hai đường thẳng x = a, x = b .là: S= ∫ f (x ) − g (x )dx (2) a Chú ý: b b • Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx a a • Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < 4). Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b c d b ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a a c d c d b = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a c d (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d. d S= ∫ g(y ) − h(y )dy c 2. Thể tích vật thể • Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ 2). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. b Thể tích của B là: V = ∫ S (x )dx a • Thể tích của khối tròn xoay: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < 2) sinh ra khi quay quanh trục Ox: BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 16
  18. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 b ∫f 2 V =π (x )dx a Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d d ∫ g (y )dy 2 là: V =π c VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng HT 37: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: ln x 1 1) y = x 2 − 4x − 6, y = 0, x = −2, x = 4 2) y = , y = 0, x = , x = e x e 1 + ln x ln x 3) y = , y = 0, x = 1, x = e 4) y = , y = 0, x = e, x = 1 x 2 x 1 5) y = ln x , y = 0, x = , x = e 6) y = x 3 , y = 0, x = −2, x = 1 e x 1 1 7) y = , y = 0, x = 0, x = 8) y = lg x , y = 0, x = , x = 10 1−x 4 2 10 HT 38: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: −3x − 1 1) y = , y = 0, x = 0 2) y = x , y = 2 − x, y = 0 x −1 3) y = e x , y = 2, x = 1 4) y = x , x + y − 2 = 0, y = 0 5) y = 2x 2 , y = x 2 − 2x − 1, y = 2 6) y = x 2 − 4x + 5, y = −2x + 4, y = 4x − 11 x2 27 7) y = x 2 , y = ,y= 8) y = 2x 2 , y = x 2 − 4x − 4, y = 8 27 x HT 39: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1) y = 4 − x 2 , y = x 2 − 2x 2) y = x 2 − 4x + 3 , y = x + 3 1 2 1 1 x2 3) y = x ,y = − x2 + 3 4) y = ,y = 4 2 1 + x2 2 5) y = x , y = 2 − x 2 6) y = x 2 − 2x, y = −x 2 + 4x x2 1 2 7) y = ,y= 8) y = x + 3 + , y = 0 2 1 + x2 x 9) y = x 2 + 2x , y = x + 2 10) y = x 2 + 2, y = 4 − x HT 40: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1) y = x 2 , x = −y 2 2) y 2 + x − 5 = 0, x + y − 3 = 0 3) y 2 − 2y + x = 0, x + y = 0 4) y 2 = 2x + 1, y = x − 1 5) y 2 = 2x , y = x , y = 0, y = 3 6) y = (x + 1)2 , x = sin πy HT 41: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1) y = x .e x ; y = 0; x = −1; x = 2. 2) y = x . ln2 x ; y = 0; x = 1; x = e. 3) y = e x ; y = e −x ; x = 1. 4) y = 5x −2 ; y = 0; x = 0; y = 3 − x . 1 5) y = (x + 1)5 ; y = e x ; x = 1. 6) y = ln x , y = 0, x = , x = e e 7) y = sin x + cos2 x, y = 0, x = 0, x = π 8) y = x + sin x ; y = x ; x = 0; x = 2π. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 17
  19. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 9) y = x + sin2 x ; y = π; x = 0; x = π. 10) y = sin2 x + sin x + 1, y = 0, x = 0, x = 2 HT 42: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1) (C ) : y = x 3 − 2x 2 + 4x − 3, y = 0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2. 2) (C ) : y = x 3 − 3x + 2, x = −1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2. 3) (C ) : y = x 2 − 2x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C). VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể HT 43: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục hoành (Ox) π 1 1) y = sin x, y = 0, x = 0, x = 2) y = x 3 − x 2 , y = 0, x = 0, x = 3 4 3 π 3) y = sin6 x + cos6 x , y = 0, x = 0, x = 4) y = x , x = 4 2 5) y = x 3 − 1, y = 0, x = −1, x = 1 6) y = x 2 , y = x x2 x3 7) y = ,y= 8) y = −x 2 + 4x , y = x + 2 4 8 π π 0) y = sin x , y = cos x , x = ,x= 10) (x − 2)2 + y 2 = 9, y = 0 4 2 11) y = x 2 − 4x + 6, y = −x 2 − 2x + 6 12) y = ln x , y = 0, x = 2 HT 44: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục tung (Oy): 2 1) x = , y = 1, y = 4 2) y = x 2 , y = 4 y 3) y = e x , x = 0, y = e 4) y = x 2 , y = 1, y = 2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 18
  20. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BÀI 4: ÔN TẬP HT 45: Tính các tích phân sau: 2 3 3 x7 ∫ ∫ 1 + x 8 − 2x 4 dx ∫ 2 1) x − x dx 2) 3) x 2 − 2x + 1 dx 0 2 1 2 2 5 1  x − 1  dx dx  4) ∫   x + 2     5) ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx 6) ∫ 2x 2 + 5x + 2 −1 −3 0 1 0 2 xdx dx x 3 + 2x 2 + 4x + 9 7) ∫ (x + 1)2 8) ∫ x 2 + 2x + 4 9) ∫ x2 + 4 dx 0 −1 0 1 1 1 x3 xdx xdx 10) ∫ x 2 + 1 dx 11) ∫ 1 + x2 12) ∫ (x + 1)3 0 0 0 HT 46: Tính các tích phân sau: 2 3 9 x ∫ 1+ ∫x ∫x 3 2 3 1) dx 2) 1 + x dx 3) 1 − x dx x −1 1 0 1 3 4 2 x 5 + 2x 3 2dx x4 4) ∫ x2 + 1 dx 5) ∫ x +5 +4 6) ∫ x5 + 1 dx 0 −1 0 2 2 0 xdx ∫x ∫ ∫x 2 2 7) 4 − x dx 8) 9) 1 + x dx 2 +x + 2−x 0 1 −1 3 1 3 x −3 ∫ ∫x ∫3 2 3 3 2 10) 1 + x .x dx 11) x + 3 dx 12) dx x +1 +x + 3 0 0 −1 1 3 7/3 x +1 ∫x ∫ x 3 + 1x 3 .dx ∫ 5 13) 1 − x 2 dx 14) 15) dx 3 0 0 0 3x + 1 1 10 1 x2 + x dx ∫ 3 (x + 1)2 dx ∫ x −2 ∫x 3 16) 17) 18) 1 − x 2 dx x −1 0 5 0 HT 47: Tính các tích phân sau: π /4 π /2 π /2 1 − 2 sin2 x sin 2x + sin x sin 2x cos x 1) ∫ 1 + sin 2x dx 2) ∫ 1 + 3 cos x dx 3) ∫ 1 + cos x dx 0 0 0 π /2 π /2 π /2 sin 2x 4) ∫ 2 cos x + 4 sin x 2 dx 5) ∫ sin x sin 2x sin 3x dx 6) ∫ cos5 xdx 0 0 0 π /2 π /3 π tan x x sin x ∫ ∫ ∫ 1 + cos2 x dx 4 4 7) cos 2x (sin x + cos x )dx 8) dx 9) 0 π /4 cos x 1 + cos2 x 0 π /4 π /2 π /2 sin 2x sin x 10) ∫ x tan2 x dx 11) ∫ cos x + 1 dx 12) ∫ 1 + 3 cos x dx 0 0 0 π /2 π /2 π /4 sin2012 x 4 sin3 x 1 − 2 sin2 x 13) ∫ sin2012 x + cos2012 x dx 14) ∫ 1 + cos x dx 15) ∫ 1 + sin 2x dx 0 0 0 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2