Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
A. Lý Thuyết:
Hàm số đơn điệu:
Cho hàm số f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc
nửa khoảng.
* f đồng biến trên K nếu với mọi
* f nghịch biến trên K nếu với mọi
Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó :
* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì với mọi
* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì với mọi
Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
Định lý 1:Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân ( Định lý Lagrange)
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn
tại ít nhất một điểm
sao cho f(b)-f(a)=f'( c) ( b-a)
Định lý 2:
1) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
* Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I
thì hàm số đồng biến trên I.
* Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I
thì hàm số nghịch biến trên I.
* Nếu thì hàm số f không đổi trên I
2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a,b) và có đạo hàm trên khoảng
(a,b).
với mọi thì hàm số f đồng * Nếu
biến ( hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a,b)
* Nếu với mọi thì hàm số f không đổi trên nửa
khoảng [a,b)
B. Bài Tập :
Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi phương trình
có một nghiệm duy nhất
thuộc đoạn
Bài giải:
Xét hàm số liên tục trên đoạn
Ta có
Vì sinx > 0 nên
Hàm số đồng biến trên đoạn và nghịch biến trên đoạn
* Hàm số f liên tục trên đoạn , ta có , nên
phương trình cho không có nghiệm
* Hàm số f liên tục trên đoạn ta có . Theo
định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục
( lớp 11) , với mọi , tồn tại một số thực
sao cho f( c) = 0 , với c là nghiệm phương trình , đồng thời hàm
số f nghịch biến trên đoạn phương trình có nghiệm duy nhất
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc
Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R
Bài giải:
Để hàm số đồng biến trên R thì
*
!/ m = -2 thì không thỏa
!!/ m = 0 thì đúng . Vậy m = 0 thỏa
*, khi đó để thì
Vậy hàm số đổng biến trên R
Bài tập 4:Với giá trị nào của m thì hàm số
luôn luôn đồng biến?
Bài giải:
* Tập xác định D = R
* ; với
* Để hàm số đồng biến trên D khi
Bài tập 5:Cho hàm số .
Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng
Bài giải:
. Để hàm số đồng biến trong khoảng
PP1:
, do đó
. Thế m = 0 B. PP2: * m = 0 khi đó
có nhận không nhỉ ???
*
!/ Hàm số đồng biến trên D khi Do đó với thì hàm số cũng
đồng biến trong khoảng
thì pt y'=0 có hai nghiệm phân !!/ Giả sử
biệt
Hàm số đồng biến trong khoảng khi ta có hệ Kết hợp các
trường hợp được giá trị m cần tìm
Bài tập tự luyện:
1/Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến ?.
2/Định m để hàm số luôn luôn đồng biến
?.
3/ Định m để hàm số
luôn luôn giảm
4/ Cho hàm số . Tìm m để
5/ Định m để hàm số đồng
biến trong khoảng
6/ Định m để hàm số nghịch biến trong khoảng
Bài tập 3: Cho hàm số : .
Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5
Bài giải :
* Tập xác định : D = R
*
* , khi đó phương trình y ' = 0 có hai nghiệm
phân biệt
Để hàm số luôn nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 thì
thỏa mãn
Bài tập tự luyện:
1/Chứng minh rằng phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
2/Cho hàm số có
đồ thị là ( Cm); m là tham số.
a. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4.
c. Tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
