Ôn thi chuyên đề: Khảo sát hàm số

Chia sẻ: Lương Ly | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

956
lượt xem 412
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tính đơn điệu của hàm số Định lý: (điều kiện cần) Định lý: (điều kiện đủ) Định lý mở rộng B. Cực tri của hàm số: Định lý: Định lý: (dấu hiệu thứ nhất) Định lý : (dấu hiệu thứ hai) Định lý Bài 1: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị; đồng thời ba điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32 2

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi chuyên đề: Khảo sát hàm số

C HU Y Ê N Đ Ề KHẢ O S Á T HÀ M S Ố I. ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA: A. Tính đơn điệu của hàm số Định lý: (điều kiện cần) Định lý: (điều kiện đủ) Định lý mở rộng B. Cực tri của hàm số: Định lý: Định lý: (dấu hiệu thứ nhất) Định lý : (dấu hiệu thứ hai)
Định lý 1 Bài 1: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị; 4 đồng thời ba điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32 2 Bài 2: Cho hàm số y = − x3 + 3x 2 + 3 ( m 2 − 1) x − 3m 2 − 1 (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O. x 2 + 2 ( m + 1) x + m 2 + 4m Bài 3: Cho hàm số y = (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực x+2 tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. (CTNC) mx 2 + 1 Bài 4: Cho hàm số y = (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và khoảng x 2 cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến tiệm cận xiên của đồ thị bằng . (CTNC) 2 m Bài 5: Cho hàm số y = x + m + (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực trị tại các điểm A, B x−2 sao cho đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ. (CTNC) m Bài 6: Cho hàm số y = − x + 1 + (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại tại điểm A sao 2−x cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A cắt trục Oy tại B mà tam giác OBA vuông cân. (CTNC) II.CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN CỦA LỚP HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ TÓM TẮT GIÁO KHOA:
2x 2 + mx − m − 3 Bài 1: Tìm m sao cho đồ thị hàm số y = có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ x+2 một tam giác có diện tích bằng 4 (CTNC) −3mx 2 + ( 5m − 3) x + 8 Bài 2: Cho hàm số y = (C) và đường thẳng (d): y = mx − m + 2 . Xác định mx + 1 m biết rằng (C) có điểm cực đại, cực tiểu và tiệm cận xiên của nó tạo với (d) một góc có côsin là 1 (CTNC) 5 3x + m Bài 3: Cho hàm số y = . Tìm m sao cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang mx + 1 và các tiệm cận cùng với hai trụ tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 12 2mx 2 + ( 3m − 1) x + m + 2 Bài 4: Cho hàm số y = . Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên và x +1 3 tiệm cận xiện tiếp xúc với đường tròn tâm I(1;2), bán kính R = (CTNC) 2 2 6x 2 + (3m + 2)x + m − 3 Bài 5: Cho hàm số y = . Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên và tiệm 3x + 1 cận xiên tiếp xúc với đường cong (C): y = x3 − 2mx 2 + 3x + m (CTNC) 2x + 1 Bài 6: Cho hàm số y = có đồ thị (C). M là một điểm tùy ý trên (C) . Tiếp tiếp với (C) tại x−2 M cắt tiệm cận ngang và tiệm cận đứng tại A, B 1) Chứng minh rằng M là trung điểm của AB. 2) Chứng minh rằng khi M di động trên (C) thì tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi. 3) Chứng minh không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận. x 2 + 3x − 1 Bài 7: Cho hàm số y = có đồ thị (C). Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một x−2 điểm M bất kỳ trên (C) đến hai tiệm cận của (C) là một hằng số. Từ đó tìm tọa độ của M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. (CTNC) x2 − x + 1 Bài 8: Cho hàm số y = có đồ thị (C). Tìm điểm M ∈ (C) sao cho khoảng cách từ M tới x −1 giao điểm I của hai tiệm cận là nhỏ nhất. (CTNC)
II.TIEÁP TUYEÁN VÔÙI ÑÖÔØNG CONG a. Daïng 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C):y = f(x) taïi ñieåm M 0 (x 0 ; y 0 ) ∈ (C) y (C): y=f(x) y0 M 0 Δ x x0 Phöông phaùp: Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M(x0;y0) coù daïng: y - y0 = k ( x - x0 ) Trong ñoù : x0 : hoaønh ñoä tieáp ñieåm y0: tung ñoä tieáp ñieåm vaø y0=f(x0) k : heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vaø ñöôïc tính bôûi coâng thöùc : k =f'(x0) AÙp duïng: Ví duï: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y = x 3 − 3 x + 3 taïi ñieåm uoán cuûa noù `b. Daïng 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k cho tröôùc y (C): y=f(x) y0 M 0 Δ x x0 Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau
Böôùc 1: Goïi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán vôùi (C) Böôùc 2: Tìm x0 baèng caùch giaûi phöông trình : f ' ( x0 ) = k , töø ñoù suy ra y0 = f ( x0 ) =? Böôùc 3: Thay caùc yeáu toá tìm ñöôïc vaøo pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm. Chuù yù : Ñoái vôùi daïng 2 ngöôøi ta coù theå cho heä soá goùc k döôùi daïng giaùn tieáp nhö : tieáp tuyeán song song, tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng cho tröôùc . y (C): y=f(x) y (C): y=f(x) k =a Δ y = ax + b x x Δ1 O k = −1 / a Δ2 Δ 2 : y = ax + b Khi ñoù ta caàn phaûi söû duïng caùc kieán thöùc sau: Ñònh lyù 1: Neáu ñöôøng thaúng ( Δ ) coù phöông trình daïng : y= ax+b thì heä soá goùc cuûa ( Δ ) laø: kΔ = a Ñònh lyù 2: Neáu ñöôøng thaúng ( Δ ) ñi qua hai ñieåm A( x A ; y A ) vaø B(x B ; yB ) vôùi x A ≠ x B thì heä soá goùc cuûa ( Δ ) laø : yB − y A kΔ = xB − x A Ñònh lyù 3: Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng (Δ1 ) vaø (Δ 2 ) . Khi ñoù: Δ1 // Δ 2 ⇔ k Δ1 = k Δ2 Δ1 ⊥ Δ 2 ⇔ k Δ1 .k Δ 2 = −1 AÙp duïng: 1 1 4 Bài 1 : Cho ñöôøng cong (C): y = x 3 + x 2 − 2 x − .Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát 3 2 3 tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng (d): y = 4x+2. x2 + 3 Bài 2 : Cho ñöôøng cong (C): y = . Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán x +1 vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ( Δ ) : y = −3 x c. Daïng 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(xA;yA)
y (C ) : y = f ( x) A( x A ; y A ) x O Δ : y − y A = k(x − xA ) ⇔ y = k(x − xA ) + y A Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau Böôùc 1: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ( Δ ) qua A vaø coù heä soá goùc laø k bôûi coâng thöùc: y − y A = k ( x − x A ) ⇔ y = k ( x − x A ) + y A (*) Böôùc 2: Ñònh k ñeå ( Δ ) tieáp xuùc vôùi (C). Ta coù: ⎧f(x)=k(x-x A ) + y A ⎪ Δ tieáp xuùc (C) ⇔ heä ⎨ ' coù nghieäm (1) ⎪f ( x ) = k ⎩ Böôùc 3: Giaûi heä (1) tìm k. Thay k tìm ñöôïc vaøo (*) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm. AÙp duïng: Bài 1 : Cho ñöôøng cong (C): y = x 3 + 3x 2 + 4 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(0;-1) 2x − 5 Bài 2 : Cho ñöôøng cong (C): y = x −2 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(-2;0). BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1 Baøi 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán Δ cuûa ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = x 3 − 2 x 2 + 3 x taïi ñieåm 3 uoán vaø chöùng minh raèng Δ laø tieáp tuyeán cuûa (C) coù heä soá goùc nhoû nhaát x2 + x −1 Baøi 2: Cho ñöôøng cong (C): y = Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp x+2 tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ( Δ ) : y = x − 2 x 2 + 3x + 6 Baøi 3: Cho haøm soá y = (C).Tìm treân ñoà thò (C) caùc ñieåm maø tieáp tuyeán taïi ñoù x +1 1 vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (d ) : y = x 3 2 x + x +1 Baøi 4: Cho ñöôøng cong (C): y = .Tìm caùc ñieåm treân (C) maø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi x +1 ñoù vuoâng goùc vôùi tieäm caän xieân cuûa (C).
x2 + x −1 Baøi 5: Cho haøm soá y = (C).Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø tieáp tuyeán taïi moãi x −1 ñieåm aáy vôùi ñoà thò (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa (C). (CTNC) 1 m 2 1 Baøi 6: Cho haøm soá y = x 3 + x + (Cm). Goïi M laø ñieåm thuoäc (Cm) coù hoaønh ñoä baèng - 3 2 3 1 . Tìm m ñeå tieáp tuyeán cuûa (Cm) taïi ñieåm M song song vôùi ñöôøng thaúng 5x-y=0 Baøi 7: Cho ñöôøng cong (C): y = x 3 − 3x 2 + 2 .Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm M(2;-7) Bài 8: Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + m (1) . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B sao cho diện tích cùa tam 3 giác OAB bằng . 2 2x Bài 9: Cho hàm số y = . Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số, biết tiếp tuyến x +1 1 của (C) tại M cắt các trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng . 4 x Bài 10: Cho hàm số y = (1). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm x −1 cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân. III.SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA HAI ÑOÀ THÒ Baøi toaùn toång quaùt: ⎧(C1 ) : y = f(x) Trong mp(Oxy) . Haõy xeùt söï töông giao cuûa ñoà thò hai haøm soá : ⎨ ⎩(C2 ) : y = g(x) y (C1 ) y (C1 ) y (C1 ) M 1 y2 M2 y1 (C2 ) M0 x x x O x1 O x2 O (C2 ) (C2 ) (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm chung (C1) vaø (C2) caét nhau (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau Phöông phaùp chung: * Thieát laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñoà thò hai haøm soá ñaõ cho: f(x) = g(x) (1) * Khaûo saùt nghieäm soá cuûa phöông trình (1) . Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) chính laø soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò (C1) vaø (C2). Ghi nhôù: Soá nghieäm cuûa pt (1) = soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò (C1) vaø (C2).
Chuù yù 1 : * (1) voâ nghieäm ⇔ (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm ñieåm chung * (1) coù n nghieäm ⇔ (C1) vaø (C2) coù n ñieåm chung Chuù yù 2 : * Nghieäm x0 cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä ñieåm chung cuûa (C1) vaø (C2). Khi ñoù tung ñoä ñieåm chung laø y0 = f(x0) hoaëc y0 = g(x0). y y0 x x0 O AÙp duïng: 2x − 1 Bài 1: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C): y = vaø ñöôøng thaúng ( d ) : y = −3 x − 1 x +1 1 x2 Bài 2: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng cong (C): y = 2 vaø (C') : y = x +1 2 x+3 Baøi 3: Cho hàm số y = . Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt đồ x +1 thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. 3 − 2x Baøi 4: Cho hàm số y = . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 x −1 cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. Baøi 5: Cho haøm soá y = ( x − 1)( x 2 + mx + m ) (1) Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät. Baøi 6: Cho haøm soá y = x 3 + 3 x 2 + mx + m − 2 (1) Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät. Bài 7: Cho haøm soá y = x 3 − ( 2m + 1) x 2 + xm + m (1) Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông. Bài 8: Cho haøm soá y = x 3 − 2 ( m + 1) x 2 + ( 7m − 2 ) x + 4 − 6m (1) Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông. ( ) Bài 9: Cho haøm soá y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 2 m2 + 4m + 1 x − 4m(m + 1) (1) Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä lôùn hôn 1. Baøi 10: Cho haøm soá y = x 4 − mx 2 + m − 1 (1) Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân bieät. Baøi 11: Cho haøm soá y = x 4 − (3m + 1) x 2 + 3m (1)
Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân bieät sao cho caùc caùc hoaønh ñoä giao ñieåm naøy laäp thaønh moät caáp soá coäng . Bài 12: Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (C) của hàm số y = x 4 − ( 3m + 2 ) x2 + 3m tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. x2 − 1 Bài 13: Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y = tại hai x điểm phân biệt A,B sao cho AB = 4 x2 + x − 1 Bài 14: Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị hàm số y = tại hai x điểm phân biệt A,B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. (CTNC) x +1 Bài 15: Tìm m để đường thẳng y = m ( x + 1) − 2 cắt đồ thị (C) của hàm số y = tại hai điểm x −1 phân biệt A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua điểm M(1;1) 2x + 1 Bài 16: Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị (C) của hàm số y = tại hai điểm phân x+2 biệt A, B sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất. x 2 − mx + m − 1 Bài 17: Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số y = tại hai điểm x +1 phân biệt A, B sao cho OA ⊥ OB b. Ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa ñoà thò hai haøm soá : Ñònh lyù : ⎧ f(x) = g(x) ⎪ (C1) tieáp xuùc vôùi (C1) ⇔ heä : ⎨ ' ' coù nghieäm ⎪ f (x) = g (x) ⎩ y (C 1 ) M x O Δ (C 2 ) AÙp duïng: − x 2 + 2x − 3 Bài 1: Cho ( P) : y = x 2 − 3 x − 1 vaø (C ) : y = . Chöùng minh raèng (P) vaø (C) tieáp xuùc x −1 nhau Bài 2: Tìm k để đường thẳng (d) : y = kx tiếp xúc với đường cong (C) : y = x3 + 3x 2 + 1 Bài 3: Tìm k để đường thẳng (d) : y = k ( x − 2 ) − 7 tiếp xúc với đường cong (C) : y = x3 − 3x 2 + 2 2x + 1 Bài 4: Tìm k để đường thẳng (d) : y = k ( x + 1) + 3 tiếp xúc với đường cong (C) : y = x +1 Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua A(0;-5) và tiếp xúc với đường cong x2 − x − 1 (C) : y = x +1
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho haøm soá y = 2 x 3 − 3 x 2 −1 (C) Goïi (d) laø ñöôøngthaúng ñi qua ñieåm M(0;-1) vaø coù heä soá goùc baèng k. Tìm k ñeå ñöôøng thaúng (d) caét (C) taïi ba ñieåm phaân bieät. Baøi 2: Cho haøm soá y = x 4 − mx 2 + m − 1 (1) Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân bieät. x2 − 2x + 4 Baøi 3: Cho haøm soá y = (1) x −2 Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d): y = mx+2-2m caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät x2 − x −1 Baøi 4: Cho haøm soá y = (1) x +1 Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d): y = m(x-3)+1 caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät mx 2 + ( m + 1) x + 4 Baøi 5: Cho hàm số y = (1) x +1 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4 mx 2 + x + m Baøi 6: Cho haøm soá y = (1) x −1 Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taò hai ñieåm phaân bieät vaø hai ñieåm ñoù coù hoaønh ñoädöông . x 2 + mx − 1 Baøi 7: Cho haøm soá y = (1) x −1 Ñònh m ñeå ñöôøng thaúng y = m caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät A, B sao cho OA ⊥ OB . − x 2 + 3x − 3 Baøi 8: Cho haøm soá y = (1) 2( x − 1) Tìm m ñeå ñöôøng thaúng y=m caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm A,B sao cho AB=1 x 2 − 2x + 2 Bài 9: Cho hàm số y = (C) và đường thẳng (d): y = −x + m . Xác định m để (d) cắt (C) x −1 tại hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 3 . VI.BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ Cô sôû cuûa phöông phaùp: Xeùt phöông trình f(x) = g(x) (1) Nghieäm x0 cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1):y=f(x) vaø (C2): y=g(x)
y (C1 ) (C2 ) x x0 Daïng 1 : Baèng ñoà thò haõy bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình f(x) = m (*) Phöông phaùp: Böôùc 1: Xem (*) laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñoà thò: • (C ) : y = f ( x ) : (C) laø ñoà thò coá ñònh • (Δ) : y = m : (Δ) laø ñöôøng thaúng di ñoäng cuøng phöông Ox vaø caét Oy taïi M(0;m) Böôùc 2: Veõ (C) vaø ( Δ ) leân cuøng moät heä truïc toïa ñoä Böôùc 3: Bieän luaän theo m soá giao ñieåm cuûa ( Δ ) vaø (C) Töø ñoù suy ra soá nghieäm cuûa phöông trình (*) (C ) : y = f ( x ) y m2 x Minh hoïa: O m1 Δ y=m (0; m ) Daïng 2: Baèng ñoà thò haõy bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình : f(x) = g(m) (* *) Phöông phaùp: Ñaët k = g(m) Böôùc 1: Xem (**) laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñoà thò: • (C ) : y = f ( x ) : (C) laø ñoà thi coá ñinh • (Δ) : y = k : (Δ) laø ñöôøng thaúng di ñoäng cuøng phöông Ox vaø caét Oy taïi M(0;k) Böôùc 2: Veõ (C) vaø ( Δ ) leân cuøng moät heä truïc toïa ñoä Böôùc 3: Bieän luaän theo k soá giao ñieåm cuûa ( Δ ) vaø (C) . Döï a vaøo heä thöùc k=g(m) ñeå suy ra m Töø ñoù keát luaän veà soá nghieäm cuûa phöông trình (**).
y K2 x Minh hoïa: O M1 Δ K y=k (0; k ) AÙp duïng: Bài 1: 1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá y = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4 2) Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4 − m = 0 3) Tìm m ñeå phöông trình sau coù 6 nghieäm phaân bieät: 2 x − 9 x 2 + 12 x = m 3 Bài 2: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x 4 − 4x 2 2) Với giá trị nào của m, phương trình x 2 x 2 − 2 = m có đúng 6 nghiệm phân biệt. V.HOÏ ÑÖÔØNG CONG BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT: Cho hoï ñöôøng cong (C m ) : y = f ( x, m) ( m laø tham soá ) Bieän luaän theo m soá ñöôøng cong cuûa hoï (C m ) ñi qua ñieåm M 0 ( x0 ; y 0 ) cho tröôùc. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI: Ta coù : Hoï ñöôøng cong (C m ) ñi qua ñieåm M 0 ( x0 ; y 0 ) ⇔ y 0 = f ( x 0 , m) (1) Xem (1) laø phöông trình theo aån m. Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (1) ta suy ra soá ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M0 Cuï theå: • Neáu phöông trình (1) coù n nghieäm phaân bieät thì coù n ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M0 • Neáu phöông trình (1) voâ nghieäm thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu khoâng ñi qua M0 • Neáu phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi m thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu ñi qua M0 Trong tröôøng hôïp naøy ta noùi raèng M0 laø ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong (C m ) AÙp duïng: m2 Bài 1: Goïi (Cm) laø ñoà thò haøm soá y = − x + m + 1 − . Tìm m ñeå tieäm caän xieân cuûa (Cm) ñi x+m qua ñieåm A(2;0) (CTNC) Bài 2: Cho haøm soá y = x 3 − 3mx 2 + 9 x + 1 (1). Tìm m ñeå ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá (1) thuoäc ñöôøng thaúng y=x+1
Bài 3: Cho hàm số y = x 4 − ( m + 1) x2 + m . Chứng minh rằng đồ thị của hàm đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m IV.ĐOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ COÙ MANG DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA Phöông phaùp chung: Ñeå veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù mang daáu giaù trò tuyeät ñoái ta coù theå thöïc hieän nhö sau: Böôùc 1: Xeùt daáu caùc bieåu thöùc chöùa bieán beân trong daáu giaù trò tuyeät ñoái . Böôùc 2: Söû duïng ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái ñeå khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái Phaân tích haøm soá ñaõ cho thaønh caùc phaàn khoâng coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái ( Daïng haøm soá cho bôûi nhieàu coâng thöùc) Böôùc 3: Veõ ñoà thò töøng phaàn roài gheùp laïi( Veõ chung treân moät heä truïc toïa ñoä) * Caùc kieán thöùc cô baûn thöôøng söû duïng: 1. Ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái : ⎧ A neáu A≥0 A =⎨ ⎩− A neáu A
Daïng 1: Töø ñoà thò (C ) : y = f ( x) → (C1 ) : y = f ( x) Caùch giaûi ⎧ f ( x) neáu f(x) ≥ 0 (1) B1. Ta coù : (C1 ) : y = f ( x) = ⎨ ⎩− f ( x) neáu f(x) < 0 (2) B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C1) nhö sau: • Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía treân truïc Ox ( do (1) ) • Laáy ñoái xöùng qua Ox phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ( do (2) ) • Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ta seõ ñöôïc (C1) Minh hoïa y f(x)=x^3-3*x+2 y f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3-3*x+2) 8 8 y=x3-3x+2 y = x -3x+2 3 6 6 4 4 (C1 ) : y = x 3 − 3 x + 2 2 2 x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y=x3-3x+2 -2 3 -2 (C): y = x -3x+2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 Daïng 2: Töø ñoà thò (C) : y = f(x) → (C2 ) : y = f( x ) ( ñaây laø haøm soá chaün , ñoà thị ñoái xöùng qua truïc tung) Caùch giaûi B1. Ta coù : (C2 ) : y = f( x ) = f(x) {f(−x) neáu x ≥ 0 neáu x < 0 (1) (2) B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C2) nhö sau: • Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân phaûi truïc Oy ( do (1) ) • Laáy ñoái xöùng qua Oy phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân phaûi truïc Oy ( do do tính chaát haøm chaün ) • Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân traùi truïc Oy (neáu coù) ta seõ ñöôï (C2) Minh hoïa: y y f(x)=x^3-3*x+2 y y f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2 x 8 8 y=x3-3x+2 y = x3-3x+2 6 6 3 4 4 (C 2 ) : y = x − 3 x + 2 2 2 x x x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y=x3-3x+2 -2 -2 (C): y = x3-3x+2 -4 -4 Daïng 3: Töø ñoà thò -6 (C ) : y = f ( x) → (C3 ) : y = f ( x) -6 -8
Caùch giaûi ⎧ f ( x) ≥ 0 ⎪ B1. Ta coù : (C3 ) : y = f ( x) ⇔ ⎨⎡ y = f ( x) (1) ⎪⎢ y = − f ( x) (2) ⎩⎣ B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C3) nhö sau: • Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía treân truïc Ox ( do (1) ) • Laáy ñoái xöùng qua Ox phaàn ñoà thò (C) naèm phía treân truïc Ox ( do (2) ) • Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ta seõ ñöôïc (C3) Minh hoïa: y y f(x)=x^3-3*x+2 y y f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=x^3-3*x+2 8 f(x)=-(x^3-3*x+2) 8 3 y=xy =-x -3x+2 3 6 (C3) : y = x3 −3x + 2 6 4 4 2 x x 2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 3 y=x= - -3x+2 -2 3 (C): y x -6 -4 -8 -6 -8 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho haøm soá : y = − x 3 + 3 x (1) 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1) 2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau: b) y = − x + 3 x c) y = − x 3 + 3x 3 a) y = − x 3 + 3x x +1 Baøi 2: Cho haøm soá : y = (1) x −1 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1) 2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau: x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 a) y = b) y = c) y = d) y = e) y = x −1 x −1 x −1 x −1 x −1